第九章 气体动力学基础

1 k 1
[例2]某发动机的尾喷管，进口燃气参数为： * p1 =2.934×105Pa ，T1* =790K。 出口截面处达到音速状态，尾喷管的总压恢复 系数σ=0.98。求出口截面的流速、静温和静压。 [解]因为喷管内的流动是绝能的，总温不变。另 外出口截面上λ1=1，所以
2 pcr p k 1
p 2 V T T c2
上面的式子进一步可改写为
T* k 1 2 1 M T 2
因为假设的滞止过程是绝能等熵的，所以 由等熵关系可得：
p* k 1 2 1 M p 2
k k 1
ห้องสมุดไป่ตู้
k 1 2 1 M 2
*
1 k 1
—马赫线：超音速流场中，扰动发出的波 面。对于二维问题，则成为马赫线。 ●对于均匀来流，马赫线是直线，否则 为曲线。 ●对于直马赫线，其上参数是相同的； 否则马赫线上参数不同。 —马赫锥：超音速流场中，扰动所限制的 区域。 马赫角：马赫锥的半角。
arcsin1 M
二、理想气体流动的基本方程 可压缩流所遵守的流动方程仍然是第三章所 讨论的方程。 一维理想气体的流动方程组——假设：
1V1 A 2V2 A2 1 2 2 p2 2V2 A2 p1 1V1 A1 F
2 2 V2 V1 h2 h1 q 2 2
微分形式的方程是： d dv dA v A 0
滞止状态下，气体的速度为零，故由一维 气体动力学方程，得到
2 V C h h 2
此式表明，气流滞止时的焓是最大的。流体 质点所能进行转化的焓包括了静焓和动能两 部分。因此气流的总焓就是流体质点所具有 的总能量。 另外，上式很容易写成： 此式表明，总温等于静温加上动能引起的温 度变化，因此，后一项常称为动温。 从一维流的能量方程可知，当流动绝能 时，总焓是不变的，同样总温也是不变的。
* 1
* 2
T T
* 1
* 2
根据总静参数比公式：
* kk 1 2 p2 1 1.36 M k 1 p2
由M数及总温，可求得 出口面上的静温，进 而按马赫数定义求得 速度。
2、极限状态 这是跟滞止状态相反的参考状态。 如果假设气流按等熵过程不断加速，气体 的静焓将逐渐减小。当气体的温度降为绝对零 度时，气流的速度将达到最大值。这个状态称 为极限状态。此时气体的温度、压强和密度均 为零，但速度具有最大值，此速度称为极限速 度。极限速度是一点气流膨胀到绝对真空所能 达到的最大速度。 从一维流的能量方程，
2、微弱扰动在气流中的传播规律 (1) 扰动源在静止气体中的传播 ◎V=0，如图，微弱扰动 波的前缘是以O为球 心的球面。
◎V<a，如图，扰动 波前缘始终赶在扰 动源的前面。微弱 扰动波可达到空间 任何一点。 在随扰动源运 动的坐标系中，情 形如何呢？
◎V=a，如图，扰动波的波前沿和扰动源 同时达到空间某一位置。 在随扰动源运动的坐标系看，扰动 波只能在扰动源下游的半个空间内传播。
* 2 k k 1
2 p k 1
* 1

k k 1
1.248 105 Pa
2 Tcr T 678K k 1
* 2
2k Vcr ccr RT2* 509m s k 1
四、气体动力学函数 为避免每次都需要进行复杂的指数运算， 特把各总静参数比等公式与M数或λ数的关系做 成了图表，这类函数称为气动函数。这样只要 M数或者λ数已知，便立即可查出相应的总静参 数比或其他参数。 常用的气动函数有三类，共8个气动函数。
第九章 气体动力学基础
一、微弱扰动在气流中的传播 1、音速和马赫数 音速是微弱扰动在流场中的传播速度。微 弱扰动通常是流场中某个位置上的压强产生了 微小的变化。 在不可压缩流动中，任何扰动总是立即传 播到整个流场，但是在可压缩流里，不是在任 何情况下都能传播到整个流场，微弱扰动在流 场中是按一定的速度传播的，这个速度就是音 速。
kRT V2 kRT * C k 1 2 k 1
得到最大速度为：
Vmax 2 kRT * k 1
3、临界状态 在v-c状态平面上，可以看到，当气体速 度滞止为零时，当地音速达到滞止音速；当气 流速度被加速到极限速度时，当地音速达到零。 因此在气流速度由小变大的过程中，必然会出 现气流速度恰好等于当地音速的状态，即Ma=1 的状态，这就是临界状态。 临界状态也 是一个假想状态。 只有在音速点上， 才能达到临界状 态。
●流动定常 ●理想 ●按截面平均参数考虑，问题变成是一维的。 ●通常都是忽略质量力。 ●常常作绝热假设，这就是说，气体速度太
快，以至于来不及跟外界有热交换。 ●跟外界没有轴功率的交换。
先来回顾一下流体力学的基本方程。 V dV A v dA 0 t


F A v v dA t V v dV
dp c d s
2
对于微弱扰动，其热力学过程接近于绝热 的可逆过程，即等熵过程。对完全气体， dp d p 2 Const. c d d 即
c RT
2
(1)音速的的大小是和流体介质有关：可压缩性 大的介质，微弱扰动传播的速度慢、音速就小。 在20度的空气中，音速为343(m/s)；在20度的 水里，音速为1478(m/s)。
dp dh vdv 0

vdv 0
这样共是四个变量但只有三个方程，所以 需要补充一个状态方程或者过程方程（常是作 等熵假设）。
◎多维情况下的气体动力学方程 ——略。
◎熵方程
S q dS v S T dt 体系 t
1、总静参数比函数
T * T
p * p
*
1
因此：
k 1 2 k 1 2 1 1 M k 1 2
k 1 2 1 k 1 k 1 2 1 k 1
在波面附近取一个微元体，有连续方程：
cA d c dvA 动量方程： cAc dv c p p dpA
因为我们讨论的是微弱扰动，故高阶项可 忽略。把dv消去，得到音速为：
c dp d
2
弱扰动的过程可以认为是一个等熵过程，即有
v2 v2 e gz e gz v dA Q W A t 2 2




其中W是流体对外界所做功的功率，它等 于轴功率、流动功和粘性功之和。
在前面的假设下，一维气体流动下，连续 方程、动量方程和能量方程分别是：
三、参考状态 气体的参考状态主要有滞止过程、极限状 态和临界状态。 1、 滞止状态 在气体流动中，为了描述流场中某点的状 态，常常给出该点气流的压强、密度、温度等 热力学参数。这些参数在气体动力学中被称为 静参数。如果假想 按照等熵过程把气 流滞止到零，这个 时候的气体状态称 为滞止状态，所对 应的热力学参数称 为滞止参数或者总 参数。
从中可见，气流的总静参数比只取决于当 地马赫数。
说明 1、在气体动力学中，这组总静参数比具有非常 重要的作用，几乎可以说与不可压缩流中的伯 努利方程的作用等同。这将在下面看到。 2、总温总压的物理意义是：流场中一点处的总 温是该点气流所具有的总能量的度量；而总压， 则是总机械能的度量。 3、利用总静压强比公式，可以求得不考虑气 体的压缩性所带来的误差。这个推导也表明了， 在气体动力学中，总压、静压和动压的关系。
临界状态的特点是Vcr=ccr，因此临界音速为：
2k ccr RT * k 1
对于其他的临界参数，按照总静参数比 关系，可得：
T k 1 p k 1 Tcr 2 pcr 2
*
*
k k 1
k 1 cr 2
*
1 k 1
特别需要申明，临界音速与音速不是同 一个概念。
一个直圆管，里面充满了压强为p、密度为 ρ 、温度为T的静止气体。 活塞以dv速度运动，将压缩(或膨胀)最相邻 的气体层，致使那层气体的压强升高(或降低)、 温度升高(或降低)。这层气体又去压缩另外的气 体层。这样将在管道内形成微弱扰动的压缩波 (或膨胀波)，波面的传播速度假设为c，气体本 身也将随活塞一起运动，其运动速度将和活塞的 运动速度一致，是dv。
◎V>a，如图，扰动源永远赶在扰动波前面。扰 动波被限制在以扰动源为锥顶的圆锥内。在 平面流动中就被限制在夹角为θ的两条马赫线 内。θ又称为马赫角。该圆锥称为马赫锥。 马赫角(即 马赫锥的半 角θ)的大小： c arcsin v
1 arcsin M
马赫线这些 概念只在超音 速流中存在。
(2)亚音速和超音速气流的区别 微弱扰动的这种性质，使得亚音速气流与 超音速气流有本质的差别。 在亚音速流动中，因为扰动可以四面八方 地传播，因此气流在扰动的上方就能感受到扰 动，从而进行参数调整。 而在超音速气流中，因为扰动限制于马赫 锥内，所以上游的气流不能感知下游的物体产 生的扰动，从而不能及时调整气流状态，只有 当流动到达扰动源处，才能调整状态。
4、速度系数 速度系数是另一个无量纲速度，其地位与 马赫数相同，引进速度系数的意义在于有时使 用它比使用马赫数方便一些。 速度系数是速度与临界音速之比：
V ccr
速度系数与马赫数之间的关系：
k 1M 2 2 2 1 k 1M 2 2
22 k 1 M2 1 k 12 k 1
(2)音速是状态参数的函数。在相同介质中，不 同点的音速也不同。提到音速，总是指当地音速。