12.3.2两数和(差)的平方

华师大版数学八年级上册第十二章第三节12.3.2两数和（差）的平方同步练习一、选择题1.下列式子满足完全平方公式的是（）A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x）B．（3x﹣y）（3x+y）C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x）D．（﹣3x﹣y）（y+3x）答案：D解答：完全平方指的是两数的和（差）相乘，即两因式相同，故选D．分析：根据完全平方的定义直接得出答案．2．若x=a2﹣2a+2，则对于所有的x值，一定有（）A．x＜0B．x≤0C．x＞0D．x的正负与a值有关答案：C解答：x=a2﹣2a+2=（a-1）2+1>0,故选C．分析：利用完全平方公式化成一个数的平方加一个常数的形式，既可判断出值的情况．3．若等式（x﹣4）2=x2﹣8x+m2成立，则m的值是（）A．16B．4C．﹣4D．4或﹣4答案：D解答：将等式左边展开：（x﹣4）2=x2﹣8x+16，所以m2=16,m=4或﹣4,故选D．分析：利用完全平方公式使等式左右相等，得到m2的值，进而得到m的值．4．若x2+ax+9=（x+3）2，则a的值为（）A．3B．±3C．6D．±6答案：C解答：（x+3）2=x2+6x+9，所以a=6,故选C．分析：利用完全平方公式将（x+3）2展开即得．5．（x+k）2=x2+2kx+4，则k的值是（）A．﹣2B．2C．±2D．3答案：C解答：解：（x+k）2=x2+2kx+k2 ,所以k2=4,所以k=±2,故选C．分析：利用完全平方公式将等式左边展开，计算得出．6．运算结果为2mn﹣m2﹣n2的是（）A．（m﹣n）2B．﹣（m﹣n）2C．﹣（m+n）2D．（m+n）2。

（3）〔3a+ （4） (x-
〕2=9a2-24ab+16b2 ) 2=x2+4y2
2、运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2 (2) (a-1)2 (3) (-2y+3x)2
(4)1982
(5) (2x+3)2 (6) (–a-1)2
全课小结 这节课我学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了……
判断正误： ①
② x 2 yz x 4 xyz 4 y z （ × ）
-
2 2 =m n
–
2 2amn+a
(-3b
2 2c) + =9b2 – 12bc + 4c2 2 =4b
(-2b-5)2
+ 20b + 25
已知：a+b=5, ab=3, 求a2+b2和（a-b）2的值
2
2
2
(a b)
2
(a b) a +2ab + b
2
2
2
这个公式我们称为两数和的平方公式
(a b) a2 -2ab + b2
2
这个公式我们称为两数差的平方公式
1、填空：(组内完成，组长订正)
（1）(a＋ )2 =a2＋6a＋9；
（2）(2x－5)2=4x2 － 20x＋
；
很久很久以前,有一个王国的公主被妖怪抓到了森 林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公 主。国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为 a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不 可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢？”国王答 应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊 ?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地 的边长都增加b米就好了。 国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的 吗？” 你认为他们的要求一样吗?

两数和（差）的平方要与公式（ab ）2=a 2b 2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +- 【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+- ()252y x -=再用公式计算（反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-）； 方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a ”和“b ”. 对应练习：()2b a -- 知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++ 【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++ 【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：（2a －b ＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： （1）()()y x y x 22++； （2）()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；（2）()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件. 对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数（式）的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形 例6、已知实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求下列各式的值：（1）22b a+；（2）()2b a - 【解题思路】此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】（1）22b a +=()822=-+ab b a ； （2）()()ab b a b a 422-+=-=6. 【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：已知：x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。

图 12－3－4 用“－b”替换公式中的“b”，即可得到“两数和的平方公 式”的另一形式——“两数差的平方公式”：(a－b)2＝ _a_2－2ab＋b2 __．
11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月19日星期二2021/10/192021/10/192021/10/19 17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/192021/10/192021/10/1910/19/2021 18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/192021/10/19October 19, 2021 19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/192021/10/192021/10/192021/10/19
12.3.2 两数和（差）的平方
12.3.2 两数和（差）的平方
探究新知
活动1 知识准备 计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝__p_2＋2pq＋q2 _； (2)(m＋2)(m＋2)＝_ m2＋4m＋4 _； (3)(x－y)(x－y)＝__ x2－2xy＋y_2 _．
12.3.2 两数和（差）的平方
12.3.2 两数和（差）的平方
重难互动探究
探究问题一 理解两数和(差)的平方公式 例 1 [课本例 4、例 5 变式题] 填空： (1)(a ＋ 2b)2 ＝ (__a__)2 ＋ 2·__a__·__2_b_ ＋ (__2_b_)2 ＝