《两数和(差)的平方》

《两数和（差）的平方》一、教材分析本课是华东师大版八年级（上）第12章第3节《两数和（差）的平方》，主要研究两数差的平方公式，并对两数和（差）的平方进行总结，通过学习能对两数和（差）的平方运算能进行顺利的计算，对公式的特点能有较为深刻的认识，也是以后学习因式分解和配方法解题的关键.二、设计思想本课对两数差的平方公式进行探索，通过先由学生自己自主探索，教师进行观察，就学生采用的方法进行分析，进一步培养学生的分析能力和自主探索的习惯，让学生主动的从事计算，交流等活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.三、教学目标1、知识与技能①理解并掌握两数的和（差）平方的公式.②能正确区分在实际运算中采用了那个公式或采用了怎样的运算思路，进一步培养学生分析问题的能力.2、过程与方法①能自主探索两数差的平方公式.②通过例子与练习能正确进行计算.3、情感、态度和价值观①经历自主探索、表达交流等活动，体验数学学习需要合情推理，更需要合作交流.②让学生在自主探索的过程中加深对两数和（差）平方公式的理解，激发求知欲望.③培养逆向思维能力.四、教学重点、难点及解决方法重点：两数和（差）的平方公式.难点：两数和（差）的平方公式在解题时的运用.解决方法：对于两数差的平方公式，通过学生先自主探索，然后又师生共同进行总结的方法，形成对问题解决的思路，并在解决的过程中，对公式进行总结.然后进行应用，在应用时，可以既强调正确套用公式，又强调利用推导公式的思路，从而形成对公式本质的认识.五、教学类型研究性学习六、教具准备多媒体课件等七、教学过程：说明：如果时间允许，可进行下列活动，如果时间不允许，下列活动可安排在课后完成：⑴课本37页习题12.3第4题填空：①226__(__)a a a ++=+； ②22420__(2__)x x x -+=-；③222()____a b a b +=-+； ④()22()____x y x y -+=+.⑵阅读课本35页的读一读及课本37页的阅读材料. 八、作业课本37页习题12.3第2题的⑶、⑷及第3题. 九、板书设计 十、教后反思。

华东师大版数学八年级上册《两数和(差)的平方》说课稿一. 教材分析华东师大版数学八年级上册《两数和(差)的平方》这一节主要介绍了平方差公式和完全平方公式的概念及其应用。

这两个公式是代数学习中非常重要的基础知识，对于学生后续学习二次函数、解一元二次方程等都有很大的帮助。

教材通过例题和练习题的方式，使学生能够熟练掌握这两个公式的运用。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的运算、因式分解等知识，对于代数的基本概念和运算规则有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能会对平方差公式和完全平方公式的推导和应用存在理解上的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况进行教学。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平方差公式和完全平方公式的概念及其运用。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式和完全平方公式的概念及其运用。

2.教学难点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何灵活运用这两个公式解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、启发引导的教学方法，让学生在探索中学习，提高学生的思维能力和创新能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，进行直观演示和板书，帮助学生理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的运算、因式分解等知识，为学生学习平方差公式和完全平方公式奠定基础。

2.讲解新课：讲解平方差公式和完全平方公式的概念、推导过程和运用方法。

3.例题讲解：分析并讲解典型例题，让学生理解并掌握平方差公式和完全平方公式的运用。

4.练习巩固：让学生进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。

5.拓展提高：通过解决实际问题，引导学生灵活运用平方差公式和完全平方公式。

第8课 两数和（差）的平方公式班别： 姓名： 。

一、 两数和的平方：总结特征：一个二项式的完全平方，其结果有三项，其中两项是这个二项式各项的平方，还有一项是这个二项式中各项乘积的两倍。

注意：（a ＋b ）2并不等价于a 2 ＋b 2 ，两者一般情况下是不等的。

例：计算：（1）（2a ＋2b ）2 （2）（2x －3y ）2 (3) 20012;解：（1）原式＝（2a ）2＋2 • 2a • 2b＋（2b ）2 ＝4a 2＋2ab ＋4b 2 （2）原式＝（ ）2－2 •（ ）•（ ）＋（ ）2＝(3) 20012 =( + ) 2=即学即练：计算：（1）（x ＋2）2； (2)（3x ＋2y ）2； (3）（0.5a －2b ）2；三、巩固练习：（A组）1、判断题；（1）（a－b）2=a2－b 2 （）（2）(a＋2b)2=a2＋2ab＋2b2 （）（3）（－a－b）2= -a2－2ab＋b 2 （）（4）（a－b）2=（b－a）2 （）2、计算：（1）（x＋3）2；（2）（2x＋y）21n）2（3）（5x－3y）2；（4）（2m－2（5）（－4m＋n）2；（6）（－4m－n）23、要给一边长为a米的正方形桌子铺上桌布，四周均留出0.1米宽，问桌布面积需要多大？4.填空：（1）x 2＋ ＋9＝（ ＋ ）2；（2）4a 2＋kab ＋9b 2是完全平方式，则k ＝ ；（3）（ ）2－8xy ＋y 2＝（ - y ）25.已知x 2＋y 2＝15，xy ＝5，求（x ＋y ）2和（x －y ）2的值。

巩固练习1． 运用平方差或完全平方公式计算：（1）（2a ＋5b ）（2a －5b ）； （2）（－2a －1）（－2a ＋1）；（3）（2a －4b ）2； （4）（2a ＋31b ）2（5）（21a －31b ）2 (6) 100222.新世纪中学教学楼前有一块边长为a 米的正方形空地。

现准备将这块空地四周均留出b 米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池。

1 / 312.3.2 两数和（差）的平方【教学目标】：1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。

2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。

3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。

重点：掌握公式的特点，牢记公式。

难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算。

【教学建议】：(1)在教学中应在讨论的基础上，从代数运算的角度运用多项式乘法法则，推导出公式()2222b ab a b a ++=+。

(2)关于公式 ()2222b ab a b a ++=+的获得，要鼓励学生自己探索，鼓励学生算法的多样化，学生既要按多项式的乘法 的法则计算；也可以利用公式()2222b ab a b a ++=+来获得结果。

【评价建议】：过程性：（1）公式推导过程中关注学生 对多项式乘法法则的掌握程序；（2）公式得出后关注学生对公式的理解；（3）关注学生算法的合理性及其与同学们进行交流的积极性。

知识性：关注学生对符合完全平方式计算的多项式乘法观察的敏锐性，熟练运用完全平方公式进行简单的计算。

【教学过程】：1.知识与回顾：（1）两数和的公式是什么？（2）口述多项式乘以多项式法则。

（3）计算 （2x －1）（3x －4）、 （5x ＋3）（5x －3）2.设计活动，导入新课。

师：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们。

来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……2 / 3(1) 第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？〖设计说明〗从具有现实生活实际的情境设计问题，可以激发生学生学习兴趣，让学生乐于利用所学知识解决实际问题，也可以体现数学的实用性。

（2）第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a ＋b ）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？ 〖设计说明〗通过一系列的问题，不仅可以体现循序渐进的原则，也利于学生更有效地运用所学知识解决实际问题。

两数和（差）的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个：〔a+b 〕2=a2+2ab+b2,〔a-b 〕2=a2-2ab+b2.即，两数和〔或差〕的平方，等于这两个数的平方和，加上〔或者减去〕这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为〔a ±b 〕2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的表达为：〝首平方、尾平方，2倍乘积在中央〞.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为〔a+b 〕2，也可以表示为S ＝S Ⅰ+ S Ⅱ+ S Ⅲ+S Ⅳ，同时S ＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式〔a+b 〕2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上〔这两项相加时〕或减去〔这两项相减时〕这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数〔正数或负数〕，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.3、在使用完全平方公式时应注意问题：〔1〕千万不要发生类似〔a ±b 〕2=a2±b2的错误；〔2〕不要与公式〔ab 〕2=a2b2混淆；〔3〕切勿把〝乘积项〞2ab 中的2漏掉；〔4〕计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，那么可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，那么运用乘法法那么进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算〔反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-〕； 方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定〝两数〞即〝a 〞和〝b 〞.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：〔2a －b ＋4〕2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： 〔1〕()()y x y x 22++； 〔2〕()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】〔1〕()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；〔2〕()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数〔式〕的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】此题假设直接运用乘法公式和法那么较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•假设把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形例6、实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：〔1〕22b a +；〔2〕()2b a -【解题思路】此例是典型的整式求值问题，假设按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】〔1〕22b a +=()822=-+ab b a ； 〔2〕()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：：x ＋y ＝－1，x2＋y2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。

华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.2.两数和（差）的平方》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《12.3.2.两数和（差）的平方》这一节主要让学生掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。

这是初中数学中比较重要的一个知识点，也是学习二次函数、解一元二次方程等知识的基础。

本节课的内容在教材中处于承前启后的位置，既是对前面所学平方知识的一个巩固，又是为后面学习二次函数做铺垫。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方、平方差公式等知识，对平方运算有一定的了解。

但是，对于两个数的和的平方、差的平方的计算方法，还需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

同时，学生在学习过程中可能存在对公式死记硬背的现象，缺乏对公式的理解和灵活运用能力。

三. 教学目标1.让学生掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生对平方运算的理解和灵活运用能力。

四. 教学重难点1.重点：掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。

2.难点：对两个数的和的平方、差的平方的计算方法的灵活运用。

五. 教学方法采用“问题-探究”的教学方法，通过实例引入，引导学生发现问题、探究问题，从而解决问题。

同时，运用小组合作、讨论交流等教学方法，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。

2.准备课件和教学素材。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：已知两个数，求它们的和的平方和差的平方。

让学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）呈现两个数的和的平方和差的平方的计算方法，让学生观察和理解这两个公式的意义和运用。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用这两个公式计算一些给定的数的和的平方和差的平方。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）通过一些变式的练习题，让学生进一步巩固这两个公式的运用。

学习必备欢迎下载《两数和（差）的平方》教学设计课题：两数和（差）的平方科目数学教学对象初二年级学生课时1提供者单位一、教学目标情感态度价值观：经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。

过程与方法：小组合作探究，教师积极引导。

知识与技能：1、理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算2、培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想。

二、教学内容分析完全平方公式是我们在学习整式乘以整式的最后一个内容，它是把两数和（差）根据前面的算法与图形结合求解之后，给出一个直接的公式，使得以后的计算更方便。

在以后的分解因式中也会用到，在我们的配方解方程中也是作为基础知识点出现的，所以很重要。

三、学情分析从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维能力有待培养，从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

从认知状况来说，学生在此之前已经学习了多项式乘法法则、平方差公式的探索过程，对“完全平方公式”已经有了初步的认识，为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于“完全平方公式” 的理解，（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出。

四、教学策略选择与设计现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。

根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。