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隐函数微分法

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隐函数的微分法

隐函数的微分法

确认隐函数的存在性.下面来探讨隐函数存在定理，并根
据多元复合函数的求导法则来导出隐函数的导数公式，
本节中的定理不作严格证明，仅给出推导过程.
一、一个方程的情形
定 理1
（一元函数存在定理）设函数F(x,y)满足如下条件： （1）在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数. （2） F(x0,y0)=0，Fy(x0,y0)≠0. 则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续导数的函数y=f(x)，且满足条件y0=f(x0)，并有
同理,可得
二、方程组的情形
引例说明为方便起见，取V,T为自变量，于是 S=S(V,T),E=E(V,T).因此有
将上式代入
，得
二、方程组的情形
再由状态方程
整理可得
又由
可得
化简得 此结果表明，气体的内能仅是温度的函数，与体积无关.
谢谢聆听
一、一个方程的情形
定理推导
将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F［x,y,f(x,y)］≡0,将等式 两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得
因为Fz连续，且Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个 邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得
一、一个方程的情形
【例2】
设
解 设Fx,y,z=ez－z+xy－3,则
于是
Fx=y,Fz=ez－1,
一、一个方程的情形
【例3】
设z=z(x,y)是由方程f(y－x,yz)=0所确定的隐函数，其 中f有二阶连续偏导数，求
解 方程两边同时对x求偏导,得
即
，再一次对x求偏导得
一、一个方程的情形

隐函数微分法

隐函数微分法

例3.设有方程F(xy,y+z,xz)=0,其中F可微，求
z x
,
z y
.
解：由题意可知z是x，y的函数，对方程两边关于x
求导，得
F1
'
y

F2
'
z x

F3
'

z

x
z x


0
解得 z = yF1 ' zF3 ' . x F2 ' xF3 '
类似，对y求导得
v 1 (F,G) x J (u, x )
同样可得
u 1 (F,G) y J ( y , v )
v 1 (F,G) y J (u , y )
定理3. 设函数
满足:
① 在点 导数；
的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0, v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
y y (x)

z

z
(x)
假设F,G可微且y, z可导，求y’(x)和z’(x).
将y y x, z z x 代入方程组，得
F x, y x, z x 0
G

x,
y

x

,
z

x



0
由G称复通Fxx为合常F函，GF、y数y我yyG链们''的Jx式x把雅法由可(GF则(Fx比zFz,,z，zG、y('')对)GxJxxa的求cGFo偏xx导0b0i导得)GF行数yy：列组式成.的行列式
z z

隐函数的微分法

隐函数的微分法
( z x2 F1) F2
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,

隐函数微分法

隐函数微分法
= 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z= f ( x , y ) ，
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数

高等数学之隐函数微分法

高等数学之隐函数微分法

解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略，同学们试试)
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ϕ ( x, t ) = 0 所确定的函数,
dy 且 ϕ ( x, t ) 可微.求 dx
x y t x
dy ∂f ∂f dt ∴ = + ⋅ dx ∂x ∂t dx
定理2 (二元隐函数存在定理) 设F(x,y,z) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, Fz ' ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 则方程F(x,y,z)=0在该邻域
内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0 = f ( x0 , y0 ), 并有: ∂z = − Fx ' , ∂z = − Fy '
∂2z 求 ∂x 2
F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z
∴
Fx ' = 2 x, Fz ' = 2 z − 4
∂z F' x =− x = ∂x Fz ' 2 − z ∂z (2 − z ) + x ∂2z ∂ x ∂x = ( ) = (2 − z ) 2 ∂x 2 ∂x 2 − z
∂x Fz ' ∂y Fz '
证:因为
F [ x, y, f ( x, y )] ≡ 0
两边分别对 x,y 求偏导:
Fy '+ Fz '⋅ ∂z =0 ∂y
Fx '+ Fz '⋅

隐函数的微分法

隐函数的微分法

隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。

隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。

隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。

在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。

根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。

然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。

在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。

链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。

此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。

根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。

隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。

它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。

综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。

通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。

05 第五节 隐函数微分法

05 第五节 隐函数微分法

05 第五节隐函数微分法隐函数微分法是一种在方程中含有多个变量时，用一个变量的导数表示另一个变量的导数的方法。

它的主要思想是将多元函数的某些变量看作常量（约束条件），然后将剩余的变量用其他变量的导数来表示。

这种方法在自然科学、工程技术以及经济学等领域中得到广泛应用。

一、隐函数微分法的基本思想我们考虑一个二元函数 $z=f(x,y)$，假设在某一点 $(x_0,y_0)$ 处，方程$F(x,y,z)=0$ 成立，这个方程可以看做是 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的隐函数。

我们要求在这个点上，$z$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值。

首先，我们可以对方程两边求导，得到：$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0$$于是，我们得到了两个方程：下面，我们通过一个例子来说明隐函数微分法的具体步骤。

假设我们要求以下方程的$\frac{dy}{dx}$：$$x^2+y^2=9$$我们可以将它看作是 $y$ 对 $x$ 的隐函数，并将它表示为 $F(x,y)=x^2+y^2-9=0$。

然后，我们对这个方程两边求导：$$\frac{\partial F}{\partial x}=2x$$将这三个式子带入到基本式中：这个结果说明了什么？实际上，这意味着在 $x^2+y^2=9$ 的曲线上，$y$ 和 $x$ 的变化率是无穷大的。

这是因为曲线的斜率在 $x=\pm \sqrt{2}$ 的点处无穷大。

隐函数微分法有广泛的应用，特别是在自然科学、工程技术以及经济学等领域中。

下面，我们举几个例子，展示隐函数微分法的实际应用。

1. 科学研究中的应用隐函数微分法在科学研究中的应用十分广泛。

例如，当我们研究一个物理系统时，通常会涉及到多个变量之间的关系。

隐函数微分法

隐函数微分法
第五节 隐函数微分法
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx

Fu

u x

Fv

v x

Fu ,
Fy

Fu
u y

Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x

Fx Fz


2
x
2x 2
ye
z

x yez
, x
z y
Fy Fz


2
2e x2
z
ye
z

ez z yez
,
因此
dz

x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程

隐函数微分法ppt课件

隐函数微分法ppt课件

Fx e y，Fy xe y 1，得
dy dx
ey xe y
。 1
dy dx
x0
e
d2y dx2
d dx
e xe y
y
1
( xe
y
1)e y y e y (e y ( xe y 1)2
xe y
y)
e y ( y ( xe y
e y )， 1)2
d2y dx 2
x0
2e 2。
例 2 验证方程 x 2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个可导、且 x 0时 y 1的隐 函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2 x, Fy 2 y,
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y 2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个可导、且x 0 时 y 1的函数 y f (x)．
事实上，这个函数就是
y 1 x 2 ,(1 x 1)
11
2x 2z
dy 1 1 2x 2z x z
dx 2 y 2z
2 y 2z y z
2x 2z dy 1 1 2x 2z x z dx 2 y 2z 2 y 2z y z
2y 2x dz 1 1 2 y 2x x y dx 2 y 2z 2 y 2z y z
dy dx
Fz
dz dx
Fx
Gy
dy dx
Gz
dz dx
Gx
当 Fy Gy
Fz Gz
0时 ，
dy
Fx Gx
Fz
Fy
Gy , dz Gy

9-7-隐函数的微分法

9-7-隐函数的微分法
F ∂y =− z ∂z Fy
=−
=
f1 + xzf 2 , f1 + yzf 2
,
2
1 − f1 − xyf 2 , f1 + xzf 2
把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得
∂x ∂x 0 = f1 ⋅ ( + 1) + f 2 ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y f + xzf x =− , 整理得 ∂ f + yzf ∂y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得
f + yzf ∂z = 整理得 ∂ x 1 − f − xyf
1 2 1
x ∂z (2 − z ) + x ⋅ ∂ 2 z ( 2 − z ) + x ∂x 2− z = 2 = ∂x ( 2 − z )2 (2 − z )2
( 2 − z )2 + x 2 = . ( 2 − z )3
Fy ∂x =− ∂y Fx
∴ y′ =
x+ y . x− y
1 − F1 y − F2 dy −Gx y F1 y 3 + F2 y = = xF = xF2 − xy 2 F1 . dx G y F1 x − 22 y
−x y2
1
二、一个方程,两个自变量 定理二
0 0 0 0
F ( x, y, z ) = 0
0 0
设 : (1)F ( x , y , z )在点 P ( x , y , z )的某一邻域内 具有连续的偏导数 ; (2 )F ( x , y , z ) = 0;√(3 )F ( x , y , z ) ≠ 0 ⇒ F ( x , y , z ) = 0在( x , y )的某一邻域内恒能 唯一确定具有连续偏导 数的单值函数 z = f ( x , y )

9-5-隐函数微分法

9-5-隐函数微分法

y 1 f u f v xy . 于是 z f u f v xz
u f v z x y
z x y , . 例：设 z = f (x + y + z, xyz)，求 , x y z
解法3：设 u = x + y + z，v = xyz，则 z = f (u, v)． 两边取微分，得 dz = fu du + fv dv = fu (dx + dy + dz) + fv (yzdx + xzdy + xydz).
Fx y Fy
Fxx Fy Fx Fyx . 2 Fy
Fxy Fy Fx Fyy . 2 Fy
Fx , F Fy
x y
隐函数的二阶导数
F(x, y) = 0 在一定的条件下 y = f (x) 存在
Fx dy . dx Fy
说明（课本P.77）
在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不 一 定非得套用公式，尤其是方程中含有抽象函数时，利用求 偏 导数或求微分的过程进行推导更为清楚．
z x y , . 例：设 z = f (x + y + z, xyz)，求 , x y z
解法2：设 u = x + y + z，v = xyz， ① 把 z 看作 x, y 的函数对 x 求偏导数，得
u f v z x y
z x y , . 例：设 z = f (x + y + z, xyz)，求 , x y z
解法2：设 u = x + y + z，v = xyz， ② 把 x 看作 y, z 的函数对 y 求偏导数，得 x u v f ( x y z , xyz ) f u fv y y y y

11.4 隐函数微分法(1-23)

11.4 隐函数微分法(1-23)

u v v u x v x 1 cos u sin x u u u2
v
v
u
u v v u x v x 0 sin u cos x u u u2
即为
u
u v v v v v 1 (cos sin ) sin x u u u x u u v v v v v 0 (sin cos ) cos x u u u x u
解以上线性方程组就可得 u , v 关于各变量的偏导数
例 设 x cos cos , y cos sin , z sin
z z , 求 x y 解 三个方程 , 五个未知量 , 根据隐函数存在定理
可确定其中三个变量是另外两个变量的函数 由题意知 z = z(x , y) , θ = θ(x , y) , = (x , y) 方法一: 将上方程组两边对 x 求偏导数 , 有 z cos x x sin cos cos sin 1 x x sin sin cos cos 0 x x
x2 y 2 z 2 6 例 : 设由方程组 确定函数 x y z 0 dy dz y y ( x) , z z ( x) , 求导数 , . dx dx 解 : 在每个方程的等号两边 对 x 求导 ,
dy dz 2 x 2 y dx 2 z dx 0 dy dz 1 0 dx dx dy x z 解得 ， dx yz
例 设
x u 2 v z
y u vz
,求
u v u , , x x z
解 两个方程 , 五个未知量 , 确定其中两个变量 是剩余三个变量的函数 由题意知: u = u (x , y , z) , v = v (x , y , z) 将上方程组两边取全微分 , 有

§8.6隐函数微分法

§8.6隐函数微分法
yo = f ( xo ) ，并有
Fx dy 。 =− dx Fy
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y = f (x) 代入方程 F ( x, y ) = 0 ，得 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，
dy 两端对 x 求导，得 Fx + F y ⋅ = 0， dx
∵ F y 连续，且 F y ( xo , y o ) ≠ 0 ，
∵在点 P ( xo , yo , uo , vo ) 的某个邻域内 J =
∂u 1 ∂ ( F ,G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) ∴ =− 。 , =− ∂x J ∂ ( x, v) ∂x J ∂ (u , x)
Fu Fv
Gu Gv
≠0，
∂u 1 ∂ ( F , G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) 同理可得 = − 。 , =− ∂y J ∂ ( y, v) ∂y J ∂ (u, y )
定理2 设 (1) n + 1元函数 F ( x1 , x2 , L , xn , u )在点
P ( x1 , L , xn , u0 )的某邻 域内具有连 续的一阶偏导数 ,
( 2) F ( x1 , L xn , u0 ) = 0, Fu ( x1 , L , xn , u0 ) ≠ 0,
0 0 0 0
Fu Fv ∂( F ,G) J |P = |P = | P ≠ 0, ∂ (u, v) Gu G v
F ( x, y , u , v ) = 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G ( x, y, u, v) = 0 一组单值连续且具有一阶连续偏导数的函数
u = u ( x, y ), v = v ( x, y ), 满足 u o = u ( xo , yo ), vo = v ( xo , yo ),

隐函数全微分法

隐函数全微分法

隐函数全微分法
隐函数全微分法（hidden variable total differential method，简称HVTDF），是指用某种方法检查问题的空间维度来计算函数的极值点的一种技术，是一种介于梯度下降
和单变量搜索之间的方法，它可以快速而有效地执行搜索。

HVTDF 实际上可以看作是一种隐藏变量的微分法，它从变量的“下一个”状态出发，
并继续使用一个隐藏变量回到原状态。

然而，HVTDF 是比依赖于一些显式变量更加一般性
的方法，可以处理多种问题，包括非线性系统和非平稳系统。

此外，不用担心梯度误差。

HVTDF 将解决方案应用到具有数十个状态变量的系统时，仍然可以得到良好的结果。

HVTDF 当前主要应用于在十进制代码中发现代码错误的问题上。

与梯度下降方法一样，HVTDF 可以将结果有效地应用到搜索某个特定范围内的数值范围上。

在发现代码错误的特
定范围内，HVTDF 可以帮助检查人员更快地解决缺陷。

HVTDF 被广泛应用于寻找计算机代码、机器学习参数和其他优化变量的最优解。

因为
它可以处理多种问题，所以可以很容易地应用于从算法设计到建模优化的各个方面。

此外，它的实现通常比较复杂，一般不会比其他搜索算法慢太多，因此在一些情况下可以提供比
其他算法更好的性能。

§8.6隐函数微分法

§8.6隐函数微分法

2 z z x 1 z x 2y 2 xy ( ) ( ) ( ) 。 xy y x 3 3z z 2 y 3z 2 3z 3
例 4．设 z z ( x, y ) 是由方程 F ( x az, y bz) 0 所确定 z z 1 。 的隐函数，其中a, b 为常数，证明a b x y
aF bF2 z z 1 故 a b 1 。 x y aF bF2 aF bF2 1 1
x 2 例 5．设 f ( x, y, z) e y z ，其中z z ( x, y ) 是由方程
x y z xyz 0 所确定的隐函数，求 f x (0, 1, 1) 。
解：设 ( x, y , z ) F ( x az , y bz ) ，则
x F1 ， y F2 ， z aF bF2 ， 1
y F2 x z F1 z ， ， x z aF bF2 y z aF bF2 1 1
Fx dy 2x x dy ， x0 0 。 dx Fy 2y y dx
2 2 方程 F ( x, y ) x y 1 0
y
y 1 x
2
表示单位圆。从图中直观地可 见，只要 ( x , y ) ( 1, 0) ，则 (1,0) 在
( x , y )
解：设 F ( x, y ) x y 1 ， 则 Fx 2 x ， F y 2 y ，F (0, 1) 0 ，F y (0,1) 2 0 ，
( 故由定理 1 可知，方程x y 1 0 在点 0, 1) 的
2 2
2
2
某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数、 当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f (x) 。

2.7隐函数微分法

2.7隐函数微分法

函数的一阶和二阶导数为
dy dx


Fx Fy

x y
,
dy 0, dx x0
d2y dx2


y xy y2


y
x y2
x y



1 y3
,
d2y dx2
x0

1.
例 2 已知ln
x2
y2

arctan
y x
，用公式求
dy dx
.
解
令 F ( x, y) ln
所以
dz f1 f3 dx f1 f2 dy.
f2 f3
f2 f3
因此
zx

f1 f2
f3 f3
,zy

f1 f2
f2 f3
.
例4
设z
f (x
y z,
xyz ) ，求
z x
，
x y
，
y z
.
解1： 令 F( x, y, z) z f ( x y z, xyz).

?
v y

?
隐函数存在定理 2.14
设F ( x, y, u, v)、G( x, y, u, v)在点P( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0，G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式）
F F
J

(F ,G) (u, v)

u G
v G
u v
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2.
定理5.4（隐函数存在定理4）设 、 在点 的某一邻域内满足：
①具有对各个变量的一阶连续偏导数，
② ，
③ ，
则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它们满足条件 , ，并有
，
定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：（同时也提供了一种比较实用的方法）
设方程组 有隐函数组 则
说明：
1）定理的条件是充分的，如方程 在原点 不满足条件③,但它仍能确定唯一单值连续且可导函数
2）若③换成 ，则确定隐函数 在点 可导,且
定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：
设方程 在点 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数 ，则有恒等式
两边对x求导，得 由 ，得 。
例１验证方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且
.-隐函数微分法
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第五节隐函数微分法
教学目的：(1)了解隐函数存在定理的条件与结论；
(2)会求隐函数的导数和偏导数。
教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
将所给方程的两边对 求导，用同样的方法可得
解3：（用全微分法）
方程组两边求全微分，得
即
解得：
所以，有
内容小结:
隐函数的求导法则（分以下几种情况）：
； ；3． 4. ．
思考题：已知 ，其中 为可微函数，求
解答：z
作业:练习册P16---P19.
两边对x求偏导得 （这是关于 ， 的线性方程组）
在点P的某邻域内，系数行列式 故得
，
同理可得 ，
例5：设 ，，求 .
解1：直接代入公式；
解2：方程两边对 求导:
即
ห้องสมุดไป่ตู้在 的条件下，
例6：设 ， ，求 ， ， 和 .
解1：直接代入公式；
解2：运用公式推导的方法，将所给方程的两边对 求导并移项得
在 的条件下，
， .
定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.
例3设 ，求 .
解：令 则
例4设 ，求 ， ， .
思路：把 看成 的函数对 求偏导数得 ，把 看成 的函数对 求偏导数得 ，把 看成 的函数对 求偏导数得 .
解：令 则
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
时 的隐函数 ，并求这函数的一阶和二阶导数在 的值.
解：令 ，则
依定理知方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 时
的函数 ．函数的一阶和二阶导数为
例2已知 ，求 .
解：令 则
所以
定理5.2（隐函数存在定理2）设函数 在点 的某一邻域内满足：
①具有连续的偏导数，
② ，
③ ，
则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 ，并有
教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学方法：讲练结合
教学时数：2课时
一、一个方程的情形
定理5.1 （隐函数存在定理1）设函数 在点 的某一邻域内满足：
①具有连续的偏导数 ，
② ，
③ ，
则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有
. （1）
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
二、方程组的情形
为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi）行列式：
，
定理5.3（隐函数存在定理3）设 、 在点 的某一邻域内满足：
①具有对各个变量的一阶连续偏导数，
② ，
③ ，
则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它们满足条件 , ，并有