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y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
理4 隐 数 在 理2 定 4（ 函 存 定 2） 理 理
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
将方程组两边对 y 求导 ，得
∂v ∂u x −v− y =0 ∂y ∂y , ∂u ∂v u + y +x =0 ∂y ∂y
− y x −u xv − yu ∂u ; = = 2 2 x − y ∂y x + y y x v
x v y −u xu + yv ∂v . = =− 2 2 ∂y x − y x +y y x
= 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z= f ( x , y ) ，
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
xu − yv = 0 例 5 ． 求出方程组 所确定的隐函数的 yu + xv = 1
∂u ∂v ∂u ∂v , , . 偏导数 , ∂x ∂ x ∂ y ∂ y
解法 1 分析： ：将方程组两边对 x 求导 ，得 为自变量， 分析：所求偏导数表明 u, v 为因变量， x, y 为自变量，
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
8. 6. 2 隐函数的微分法
定理3（隐函数存在定理 ） 定理 （隐函数存在定理1）
满足下列条件： 设二元函数 F ( x , y ) 满足下列条件： 二元函数 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （3 （2） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （ 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内恒能唯一 确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) ，并有
法则解之， 用 Cramer 法则解之 ， 得
−u − y xu + yv ∂u − v x ; =− 2 = 2 x −y ∂x x +y y x
x −u y −v yu − xv ∂v . = = 2 2 ∂x x − y x + y y x
∂u ∂v x ∂y − y ∂y = v , ∂u ∂v y + x = −u ∂y ∂y
xu − yv = 0 解法 2：将方程组 两边求全微分得到 yu+ xv =1
xdu − ydv = − udx + vdy udx + xdu − vdy − ydv = 0 , , 即 ydu + xdv = −( vdx + udy ) udy + ydu + vdx + xdv = 0
Fx dy . =− dx Fy
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
∂v yu − xv ; 故 = 2 2 ∂x x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 ∂y x +y
作
业
习 题 六（P135） ）
）（4 8（1）； 9（1）（4）； ）（2 10（1）（2）； 11（1）；
12 ；13（2）； 14（2）.
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，只要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
x 2y dz = − dx −ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 )⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
− udx + vdy − y − (vdx + udy ) x − ( xu + yv )dx + ( xv − yu)dy du = , = 2 2 x −y x +y y x
xu + yv ∂u ; 故 =− 2 2 ∂x x +y
∂u xv − yu . = 2 2 ∂y x + y
x − udx + vdy y − (vdx + udy ) − ( xv + yu)dx − ( xu + yv )dy , = dv = 2 2 x −y x +y y x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
∂u = x v 故 u= u( ∂, y ) ， v=v( x, y ) ∂u − y ∂v = − u u+ x −y = 0 = x . ∂x ∂x ∂x , 即 ∂x , ∂u ∂v ∂u ∂v y +v+ x =0 y +x =−v ∂x ∂x ∂x ∂x
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
x ∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ， F y x z ∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， y ∂x ∂x
