隐函数微分法
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隐函数的微分法
( z x2 F1) F2
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
隐函数的微分法
事实上， 事实上，这个函数就是 y = 1 − x 2 , ( −1 < x < 1)
函数的一阶和二阶导数为 ′ Fx dy x dy =− =− , = 0, y dx x = 0 ′ dx Fy
y − x − 2 d y y − xy′ =− =− 2 2 2 y dx y
x y = − 1 , 3
x
，求
Fx = e − y, Fy = cos y − x x Fx dy =− =− e −y cos y − x x = 0, y = 0 dx x = 0 Fy x = 0
y′ = −1
法一： 法一：公式法
d2 y d ex − y x = 0 ( ) y =0 2 x =0=− dx dx cos y − x
F(x, y)= 0, , y 满足什么条件 可确定函数 = f(x)使得 F(x,f(x))≡ 0?
隐函数存在定理 1 设 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 )的某 一邻域内满足 满足： 一邻域内满足： (1)具有连续的偏导数 具有连续的偏导数， (1)具有连续的偏导数， (2) F ( x 0 , y0 ) = 0 ， ′ (3) F y ( x0 , y0 ) ≠ 0 . 则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内恒能 唯一确定一个具有连续导数的函数 y = f ( x )，它满 足条件 y0 = f ( x0 )，并有
′ Fx ∂z =− Fz′ ∂x
′ Fy ∂z =− Fz′ ∂y
隐函数的求导公式
求导公式推导： 求导公式推导：
由
F ( x , y , f ( x , y )) ≡ 0,
求导， 两边分别对 x 和 y 求导，得
高等数学之隐函数微分法
解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略，同学们试试)
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ϕ ( x, t ) = 0 所确定的函数,
dy 且 ϕ ( x, t ) 可微.求 dx
x y t x
dy ∂f ∂f dt ∴ = + ⋅ dx ∂x ∂t dx
定理2 (二元隐函数存在定理) 设F(x,y,z) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, Fz ' ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 则方程F(x,y,z)=0在该邻域
内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0 = f ( x0 , y0 ), 并有: ∂z = − Fx ' , ∂z = − Fy '
∂2z 求 ∂x 2
F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z
∴
Fx ' = 2 x, Fz ' = 2 z − 4
∂z F' x =− x = ∂x Fz ' 2 − z ∂z (2 − z ) + x ∂2z ∂ x ∂x = ( ) = (2 − z ) 2 ∂x 2 ∂x 2 − z
∂x Fz ' ∂y Fz '
证:因为
F [ x, y, f ( x, y )] ≡ 0
两边分别对 x,y 求偏导:
Fy '+ Fz '⋅ ∂z =0 ∂y
Fx '+ Fz '⋅
隐函数的微分法
隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。
隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。
隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。
在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。
根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。
然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。
链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。
此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。
根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。
综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。
通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。
05 第五节 隐函数微分法
05 第五节隐函数微分法隐函数微分法是一种在方程中含有多个变量时，用一个变量的导数表示另一个变量的导数的方法。
它的主要思想是将多元函数的某些变量看作常量（约束条件），然后将剩余的变量用其他变量的导数来表示。
这种方法在自然科学、工程技术以及经济学等领域中得到广泛应用。
一、隐函数微分法的基本思想我们考虑一个二元函数 $z=f(x,y)$，假设在某一点 $(x_0,y_0)$ 处，方程$F(x,y,z)=0$ 成立，这个方程可以看做是 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的隐函数。
我们要求在这个点上，$z$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值。
首先，我们可以对方程两边求导，得到：$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0$$于是，我们得到了两个方程：下面，我们通过一个例子来说明隐函数微分法的具体步骤。
假设我们要求以下方程的$\frac{dy}{dx}$：$$x^2+y^2=9$$我们可以将它看作是 $y$ 对 $x$ 的隐函数，并将它表示为 $F(x,y)=x^2+y^2-9=0$。
然后，我们对这个方程两边求导：$$\frac{\partial F}{\partial x}=2x$$将这三个式子带入到基本式中：这个结果说明了什么？实际上，这意味着在 $x^2+y^2=9$ 的曲线上，$y$ 和 $x$ 的变化率是无穷大的。
这是因为曲线的斜率在 $x=\pm \sqrt{2}$ 的点处无穷大。
隐函数微分法有广泛的应用，特别是在自然科学、工程技术以及经济学等领域中。
下面，我们举几个例子，展示隐函数微分法的实际应用。
1. 科学研究中的应用隐函数微分法在科学研究中的应用十分广泛。
例如，当我们研究一个物理系统时，通常会涉及到多个变量之间的关系。
隐函数微分法
第五节 隐函数微分法
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
多元函数微分学6.6隐函数的微分法
Fx 3yz, Fy 3xz, Fz 3z2 3xy,
从而
z x
Fx Fz
yz , z2 xy
z y
Fy Fz
xz z2 xy.
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于是
2z xy
( z ) y x
y
( yz ) z2 xy
数的求导法则，得
Fx
Fy
dy dx
0
由于 Fy连续，且 Fy(x 0, y0 ) 0, 所以存在点(x0,y0)
的某个邻域，在此邻域内 Fy 0, 于是得到
dy Fx . dx Fy
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例6-28 设方程 sin xy ex y2 确定了y是x的函数，
我们可以根据三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程
F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)的存在，以及这个
函数的性质．
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定理6-7 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续
的偏导数，F(x 0, y0, z0 ) 0, Fz(x 0, y0, z0 ) 0. 则方程
z Fy . y Fz
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例6-29 设方程 sin z x2 yz 确定了函数z f (x, y)
求 z 及 z . x y 解 设 F( x , y, z ) sin z x2 yz, 则有
Fx 2xyz, Fy x2z, Fz cos z x2 y.
dy Fx . dx Fy 公式（1）就是隐函数的求导公式．
隐函数微分法
Fu Fv ( F ,G) J |P |P | P 0, (u, v) Gu Gv
F ( x, y,u, v) 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G( x, y,u, v) 0
一组连续且具有一阶连续偏导数的函数
u u ( x, y), v v ( x, y), 满足 u u ( x , y ),v v ( x , y ),
定理 4 设 （1） F ( x, y,u, v),G( x, y,u, v) 在点 P( x , y ,u , v ) 的某个邻 域内具有对各个变量的连续偏导数； （2） F ( x , y ,u , v ) 0, G( x , y ,u , v ) 0, Jacobi 行列式
例5 设u f ( x, y, z ), y g (sin x), z z ( x) 由方程
( x , e , z ) 0 确定, 其中f , 具有一阶连续 du
2 y
偏导数，g可导，且
z
0, 求
dx
.
且
y 1 (F , G ) , x J ( x, z )
z 1 ( F , G ) x J ( y, x )
⑥
x yz 2 dy dz 例3.设 2 1 2 求 , 在（ 1,1, 2）处的值。 2 dx dx x y z 2
F ( x, y,u, v) 0 其他情形：以 为例。 G( x, y,u, v) 0
y f ( x ) ， F ( x, f ( x)) 0, 并有
Fx dy 。 dx Fy
设有F ( x1, x2,
xn , y ) 0,
(1)
若存在y ( x1, x2, 恒等式，即F ( x1, x2,
F ( x, y,u, v) 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G( x, y,u, v) 0
一组连续且具有一阶连续偏导数的函数
u u ( x, y), v v ( x, y), 满足 u u ( x , y ),v v ( x , y ),
定理 4 设 （1） F ( x, y,u, v),G( x, y,u, v) 在点 P( x , y ,u , v ) 的某个邻 域内具有对各个变量的连续偏导数； （2） F ( x , y ,u , v ) 0, G( x , y ,u , v ) 0, Jacobi 行列式
例5 设u f ( x, y, z ), y g (sin x), z z ( x) 由方程
( x , e , z ) 0 确定, 其中f , 具有一阶连续 du
2 y
偏导数，g可导，且
z
0, 求
dx
.
且
y 1 (F , G ) , x J ( x, z )
z 1 ( F , G ) x J ( y, x )
⑥
x yz 2 dy dz 例3.设 2 1 2 求 , 在（ 1,1, 2）处的值。 2 dx dx x y z 2
F ( x, y,u, v) 0 其他情形：以 为例。 G( x, y,u, v) 0
y f ( x ) ， F ( x, f ( x)) 0, 并有
Fx dy 。 dx Fy
设有F ( x1, x2,
xn , y ) 0,
(1)
若存在y ( x1, x2, 恒等式，即F ( x1, x2,
3-4.2隐函数微分法
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
π x = a ( t − sin t ) 例6 求摆线 在t = 处的切线 2 y = a (1 − cos t ) 方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt π sin dy 2 = 1. ∴ = π t= π dx 2 1 − cos 2
练 习 题
填空题： 一、填空题： 1 、设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 y 是x 的函 d2y dy =________， 数，则 =________， 2 = ________. dx (1,1) dx 2 、曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点（1 ，2 ）处的切线方程 在点（ 是___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 3 、曲线 在t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 4 、已知 ,则 =______； =______. t π dx dx t = y = e sin t
例3 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 求导得 方程两边对x
4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
y′
x=0 y =1
(1)
1 = ; 4
将方程 (1)两边再对 x求导得
π x = a ( t − sin t ) 例6 求摆线 在t = 处的切线 2 y = a (1 − cos t ) 方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt π sin dy 2 = 1. ∴ = π t= π dx 2 1 − cos 2
练 习 题
填空题： 一、填空题： 1 、设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 y 是x 的函 d2y dy =________， 数，则 =________， 2 = ________. dx (1,1) dx 2 、曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点（1 ，2 ）处的切线方程 在点（ 是___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 3 、曲线 在t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 4 、已知 ,则 =______； =______. t π dx dx t = y = e sin t
例3 设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y′′在点 (0,1)处的值 . 解 方程两边对 求导得 方程两边对x
4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
y′
x=0 y =1
(1)
1 = ; 4
将方程 (1)两边再对 x求导得
9-5-隐函数微分法
y 1 f u f v xy . 于是 z f u f v xz
u f v z x y
z x y , . 例：设 z = f (x + y + z, xyz)，求 , x y z
解法3：设 u = x + y + z，v = xyz，则 z = f (u, v)． 两边取微分，得 dz = fu du + fv dv = fu (dx + dy + dz) + fv (yzdx + xzdy + xydz).
Fx y Fy
Fxx Fy Fx Fyx . 2 Fy
Fxy Fy Fx Fyy . 2 Fy
Fx , F Fy
x y
隐函数的二阶导数
F(x, y) = 0 在一定的条件下 y = f (x) 存在
Fx dy . dx Fy
说明（课本P.77）
在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不 一 定非得套用公式，尤其是方程中含有抽象函数时，利用求 偏 导数或求微分的过程进行推导更为清楚．
z x y , . 例：设 z = f (x + y + z, xyz)，求 , x y z
解法2：设 u = x + y + z，v = xyz， ① 把 z 看作 x, y 的函数对 x 求偏导数，得
u f v z x y
z x y , . 例：设 z = f (x + y + z, xyz)，求 , x y z
解法2：设 u = x + y + z，v = xyz， ② 把 x 看作 y, z 的函数对 y 求偏导数，得 x u v f ( x y z , xyz ) f u fv y y y y
11.4 隐函数微分法(1-23)
u v v u x v x 1 cos u sin x u u u2
v
v
u
u v v u x v x 0 sin u cos x u u u2
即为
u
u v v v v v 1 (cos sin ) sin x u u u x u u v v v v v 0 (sin cos ) cos x u u u x u
解以上线性方程组就可得 u , v 关于各变量的偏导数
例 设 x cos cos , y cos sin , z sin
z z , 求 x y 解 三个方程 , 五个未知量 , 根据隐函数存在定理
可确定其中三个变量是另外两个变量的函数 由题意知 z = z(x , y) , θ = θ(x , y) , = (x , y) 方法一: 将上方程组两边对 x 求偏导数 , 有 z cos x x sin cos cos sin 1 x x sin sin cos cos 0 x x
x2 y 2 z 2 6 例 : 设由方程组 确定函数 x y z 0 dy dz y y ( x) , z z ( x) , 求导数 , . dx dx 解 : 在每个方程的等号两边 对 x 求导 ,
dy dz 2 x 2 y dx 2 z dx 0 dy dz 1 0 dx dx dy x z 解得 ， dx yz
例 设
x u 2 v z
y u vz
,求
u v u , , x x z
解 两个方程 , 五个未知量 , 确定其中两个变量 是剩余三个变量的函数 由题意知: u = u (x , y , z) , v = v (x , y , z) 将上方程组两边取全微分 , 有
高等数学：隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法
隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法一、基本内容 1. 隐函数的微分法：方法一：利用微分法则和微分形式不变性。
方法二：假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式0))(,(≡x y x F然后利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dxdy 即可。
2. 对数微分法：先在函数两边取自然对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数。
3. 由参数方程所确定的函数的微分法：先分别求出dx 和dy ，由“微商”的概念，可得dx dy y ='，若求二阶导数，再计算y d '，而dxy d y '=''。
二、学习要求1. 会求隐函数和由参数方程所确定函数的一阶、二阶导数；2. 掌握对数微分法。
三、基本题型及解题方法 题型1 求隐函数的导数解题方法：导数又称“微商”，所以可以通过dx dy y ='，dxy d y '=''求导数，即通过微分来求导数。
【例1】求由方程yxe y -=1 所确定的隐函数y 的导数。
解： 方程两边同时微分，得 )(yxe d dy -=)(dx e dy xe dy yy+-=即 dx e dy xe yy-=+)1(当01≠+yxe 时， yyxe e dx dy +-=1。
【例2】设方程144=+-y xy x 确定了隐函数)(x y y =，求y ''在点)1,0(处的值。
解： 方程两边微分，得 04433=+--dy y ydx xdy dx x即 )4(3x y -dx x y dy )4(3-=当)4(3x y -0≠时，xy x y dx dy y --=='3344， 41)1,0(='y ， 又 ='y d 23323233)4()488()488(x y dxy y x x dy y x y x -+-++--='=''dx y d y 23323233)4()488()488(x y y y x x y y x y x -+-+'+-- 将 41,1,0)1,0(='==y y x 代入上式，得 161)1,0(-=''y 。
隐函数及其微分法
02 通过建立隐函数模型，可以描述经济变量之间的 非线性关系，并预测未来的发展趋势。
03 隐函数和微分法还可以用于研究其他领域中的非 线性关系，例如生态学和物理学。
解决几何问题
01
02
03
隐函数和微分法可以用 于解决几何问题，例如 确定曲线的形状和性质
。
通过建立隐函数模型， 可以描述几何对象的性 质，例如曲线的曲率、
常数求导法则
若$u$是常数，则$u'=0$。
微分在近似计算中的应用
线性近似
当函数在某点的切线与x轴平行时，可以用切线近似代替函数值。
多项式逼近
通过多项式逼近可以近似表示复杂的函数，并利用微分计算逼近 误差。
无穷小分析
利用微分的基本性质，可以分析无穷小量对函数值的影响。
微分中值定理
拉格朗日中值定理
03
在实际问题中，偏导数和全导数都有广泛的应用，例
如在优化问题、控制论、微分方程等领域。
隐函数求导的几何意义
01
隐函数的几何意义是指通过几何图形的方式表达函数的值和 自变量的关系。
02
对于一个隐函数f(x,y)=0，其求导结果表示该函数在某点处 的切线斜率。
03
在二维空间中，隐函数的几何意义可以理解为曲线在某点处 的切线斜率；在三维空间中，隐函数的几何意义可以理解为 曲面在某点处的切平面斜率。
方向和位置。
隐函数和微分法还可以 用于解决几何问题中的 优化问题，例如最小化 长度、面积或体积等。
04
隐函数的微分性质
微分的基本性质
线性性质
若$u$和$v$可微，则$u+v$和$uv$也可微，且 $(u+v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。
03 隐函数和微分法还可以用于研究其他领域中的非 线性关系，例如生态学和物理学。
解决几何问题
01
02
03
隐函数和微分法可以用 于解决几何问题，例如 确定曲线的形状和性质
。
通过建立隐函数模型， 可以描述几何对象的性 质，例如曲线的曲率、
常数求导法则
若$u$是常数，则$u'=0$。
微分在近似计算中的应用
线性近似
当函数在某点的切线与x轴平行时，可以用切线近似代替函数值。
多项式逼近
通过多项式逼近可以近似表示复杂的函数，并利用微分计算逼近 误差。
无穷小分析
利用微分的基本性质，可以分析无穷小量对函数值的影响。
微分中值定理
拉格朗日中值定理
03
在实际问题中，偏导数和全导数都有广泛的应用，例
如在优化问题、控制论、微分方程等领域。
隐函数求导的几何意义
01
隐函数的几何意义是指通过几何图形的方式表达函数的值和 自变量的关系。
02
对于一个隐函数f(x,y)=0，其求导结果表示该函数在某点处 的切线斜率。
03
在二维空间中，隐函数的几何意义可以理解为曲线在某点处 的切线斜率；在三维空间中，隐函数的几何意义可以理解为 曲面在某点处的切平面斜率。
方向和位置。
隐函数和微分法还可以 用于解决几何问题中的 优化问题，例如最小化 长度、面积或体积等。
04
隐函数的微分性质
微分的基本性质
线性性质
若$u$和$v$可微，则$u+v$和$uv$也可微，且 $(u+v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。
隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
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8
例5
设
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求dy.
解 等式两边取对数，得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
1 2
gt
2
,
求
(1)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
运
动
方
向;
(
2)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
速
度
大
小.
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13
解
(1)
在
t
时
0
刻
的
运
动
方
向
y
即 轨 迹 在t0时 刻 的 切 线 v0 vy v
方 向, 可 由 切 线 的 斜 率 来
vx
反映 .
o
x
dy
(v0t sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
对 方 程
x y
(t (t
)两 )
边
求
微
分, 得
dx (t)dt
dy (t)dt
则
dy (t)dt dx (t)dt
消去dt，得
dy (t) , dx (t)
即
yx
(t) (t )
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8
例5
设
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求dy.
解 等式两边取对数，得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
1 2
gt
2
,
求
(1)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
运
动
方
向;
(
2)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
速
度
大
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解
(1)
在
t
时
0
刻
的
运
动
方
向
y
即 轨 迹 在t0时 刻 的 切 线 v0 vy v
方 向, 可 由 切 线 的 斜 率 来
vx
反映 .
o
x
dy
(v0t sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
对 方 程
x y
(t (t
)两 )
边
求
微
分, 得
dx (t)dt
dy (t)dt
则
dy (t)dt dx (t)dt
消去dt，得
dy (t) , dx (t)
即
yx
(t) (t )
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隐函数微分法
.
x ( xf1 1)(2 yvg2 1) f2 g1
六、 du dx
f x
f x gx gy
f y gz hx gy hz
f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
例5 已知 x 2 e t 2 d t x y sin t d t x y z cos t 2 d t 0
0
0t
0
确定 z = z ( x , y ) ， 求 z , z
x y
解：令
F ( x , y , z ) x 2 e t 2 d t x y sin t d t x y z cos t 2 d t
0
fu
x y
1
fv xz
yz
x y
x y
fu fu
xzfv yzfv
,
把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得
1
f
u
y z
1
fv xy
xz
y z
例4
设 z f ( x y z, xyz),
求
z x
,
x y
,
y z
.
解
z x
fu yzfv 1 fu xyfv
,
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
9.5 隐函数微分法
教学要求：会求隐函数的导数或偏导数；了解隐 函数存在定理的条件与结论.
一、一个方程的情形
1. F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点P( x0 , y0 ) 的
隐函数全微分法
隐函数全微分法
隐函数全微分法（hidden variable total differential method，简称HVTDF），是指用某种方法检查问题的空间维度来计算函数的极值点的一种技术，是一种介于梯度下降
和单变量搜索之间的方法，它可以快速而有效地执行搜索。
HVTDF 实际上可以看作是一种隐藏变量的微分法，它从变量的“下一个”状态出发，
并继续使用一个隐藏变量回到原状态。
然而，HVTDF 是比依赖于一些显式变量更加一般性
的方法，可以处理多种问题，包括非线性系统和非平稳系统。
此外，不用担心梯度误差。
HVTDF 将解决方案应用到具有数十个状态变量的系统时，仍然可以得到良好的结果。
HVTDF 当前主要应用于在十进制代码中发现代码错误的问题上。
与梯度下降方法一样，HVTDF 可以将结果有效地应用到搜索某个特定范围内的数值范围上。
在发现代码错误的特
定范围内，HVTDF 可以帮助检查人员更快地解决缺陷。
HVTDF 被广泛应用于寻找计算机代码、机器学习参数和其他优化变量的最优解。
因为
它可以处理多种问题，所以可以很容易地应用于从算法设计到建模优化的各个方面。
此外，它的实现通常比较复杂，一般不会比其他搜索算法慢太多，因此在一些情况下可以提供比
其他算法更好的性能。
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= 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z= f ( x , y ) ，
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
Fx dy =− . dx Fy
定理的证明从略，仅就公式作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，Байду номын сангаас要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ，
F
∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， ∂x ∂x ∵ Fz 连 续 ， 且 F z ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ，
x y x z y
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 Fz ≠ 0 ，
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
3. 6由一个方程确定的隐函数的微分法 由一个方程确定的隐函数的微分法
定理3.4（隐函数存在定理） 定理 （隐函数存在定理）
如果二元函数 满足： 如果二元函数 F ( x , y ) 满足： 二元 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （ 2 ） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （3 （ 的某一邻域中 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域中唯一 确定了 确定了一个具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) 及 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，并且
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
Fx dy =− . dx Fy
定理的证明从略，仅就公式作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，Байду номын сангаас要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ，
F
∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， ∂x ∂x ∵ Fz 连 续 ， 且 F z ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ，
x y x z y
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 Fz ≠ 0 ，
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
3. 6由一个方程确定的隐函数的微分法 由一个方程确定的隐函数的微分法
定理3.4（隐函数存在定理） 定理 （隐函数存在定理）
如果二元函数 满足： 如果二元函数 F ( x , y ) 满足： 二元 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （ 2 ） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （3 （ 的某一邻域中 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域中唯一 确定了 确定了一个具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) 及 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，并且
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯