第六节隐函数的求导公式

隐函数求导方法
隐函数求导方法是一种用于求解非显式函数的导数的技巧。

与显式函数不同，隐函数没有直接的形式来表示其自变量和因变量之间的关系。

因此，为了求解其导数，我们需要使用一种特殊的方法。

隐函数求导的基本思路是通过对该隐函数进行微分，然后利用链式法则来进行推导。

下面是具体的步骤：
1. 首先，将隐函数表示为一个等式，例如：
F(x, y) = 0
2. 对上述等式两边关于x进行求导，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
3. 根据求导法则，我们知道∂F/∂x 表示 F 关于x的偏导数，而∂F/∂y 表示 F 关于y的偏导数。

4. 我们希望求得 dy/dx，可以通过移项得到：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
通过上述步骤，我们可以得到隐函数的导数。

需要注意的是，这种方法只适用于能够将隐函数表示为一个等式的情况，并且可以通过求导来解出 dy/dx。

在一些复杂的情况下，可能需要更多的推导和技巧来求解。

隐函数的求导法则笔记在微积分中，隐函数的求导是一个重要的概念。

隐函数是指方程中的变量之间存在函数关系，但并未显式地表示出来。

在这种情况下，我们需要使用隐函数的求导法则来求出其导数。

本文将介绍隐函数的求导法则，并通过实例演示如何应用这一法则。

隐函数的求导法则可以总结为以下几点：1. 隐函数的求导法则假设有一个方程式：F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。

为了求出 y 对 x 的导数，我们可以使用以下的步骤：- 对方程两边关于 x 求导- 将得到的导数项集中到一边，将 y' 提取出来- 最终得到 y' 的表达式2. 通过实例演示隐函数的求导法则为了更好地理解隐函数的求导法则，我们通过一个具体的例子来演示。

假设有一个方程式：x^2 + y^2 = 25，我们需要求出 y 对x 的导数。

首先，对方程两边关于 x 求导，得到：2x + 2yy' = 0。

然后，将导数项集中到一边，得到：2yy' = -2x。

最后，将 y' 提取出来，得到：y' = -x/y。

3. 隐函数的高阶导数除了一阶导数之外，有时候我们也需要求隐函数的高阶导数。

在这种情况下，我们可以通过多次应用隐函数的求导法则来求出高阶导数。

4. 隐函数的参数化有时候，我们也可以通过参数化的方法来求隐函数的导数。

通过引入参数 t，将隐函数表示为参数方程的形式，然后对参数 t 求导，最终得到 y 对 x 的导数。

5. 隐函数的求导在实际问题中的应用隐函数的求导在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，隐函数的求导可以帮助我们求解运动学和动力学问题；在工程学中，隐函数的求导可以帮助我们优化设计和分析系统行为；在经济学中，隐函数的求导可以帮助我们理解市场行为和决策过程。

总结隐函数的求导法则是微积分中的重要概念，它可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中得到应用。

通过本文的介绍和实例演示，相信读者对隐函数的求导法则有了更深入的理解。

隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。

1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。

4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。

§8.5 隐函数的求导公式一、二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程F x y(,)=0可确定一个一元的隐函数y f x=(),将之代入原方程,得到一个恒等式F x f x[,()]≡0对恒等式两边关于变量x求导,左边是多元复合函数,它对变量x的导数为F F dy dxx y+右边的导数自然为0,于是有F F dy dxx y+=0解出dydx,得到隐函数的导数dydxFFxy=-。

由多元复合函数的求导定理可知,当F x y(,)=0在(,)x y具有一阶连续偏导数,而y f x=()在x可导时,才可求出复合函数F x f x[,()]的导数,若Fy≠0时,才有dydxFFxy=-这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。

二、由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程F x y(,)=0可以确定一个一元的隐函数y f x=(),那么三元方程F x y z(,,)=0便可确定一个二元的隐函数z f x y=(,)。

下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。

对F x y z(,,)=0两边关于变量x求偏导,并注意z是x y,的函数,有F Fzxx z+⋅=∂∂解出∂∂zx ,得到二元隐函数的偏导数 ∂∂z xF F x z=-。

类似地，可得到F F z yy z +⋅=∂∂0,∂∂z yF F y z =-。

【例1】设x y z z 22240++-=, 求 ∂∂22zx 。

解: 将方程x y z z 22240++-=中的z 视为x y ,的隐函数,对x 求偏导数有2240x z z xz x+⋅-⋅=∂∂∂∂∂∂z xx z =-2再一次对x 求偏导数,仍然将z 视为x y ,的隐函数有∂∂∂∂222202z xz x z xz =--⋅--()()()=--⋅--()()2222z x x zz=-+-()()22223z x z也可以用下述方法来求二阶偏导数对422=⋅-⋅+xz xz z x ∂∂∂∂两边关于x 求偏导数,注意到x zz ∂∂,均为x y ,的函数,有2224022222+⋅+⋅-⋅=()∂∂∂∂∂∂z xz z xz x∂∂∂∂2222231222z xz xzz x z =+-=-+-()()()三、由两个函数方程所确定的隐函数的导数设有函数方程组F x y u vG x y u v (,,,)(,,,)==⎧⎨⎩00由此联立的方程组可消去一个变量v ,这样便得到由三个变量所构成的函数方程H x y u (,,)=0,而三元函数方程可确定一个二元隐函数 u u x y =(,),将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程F x y u x y v (,,(,),)=0,于是,我们也可将变量v表示成x y ,的隐函数v v x y =(,)。

隐函数的求导公式在数学的领域中，隐函数是一个十分重要的概念，而对于隐函数的求导，则有一套特定的公式和方法。

这不仅是数学分析中的重要内容，也在众多实际问题的解决中发挥着关键作用。

首先，咱们来理解一下什么是隐函数。

简单来说，隐函数并不是像常见的函数那样，直接用一个表达式明确地写出因变量和自变量之间的关系，比如常见的\（y ＝ f(x)＼）。

隐函数通常是以一个方程的形式给出，比如\（F(x,y) ＝ 0\），在这个方程中，＼（x\）和\（y\）的关系不是那么直接能看出来的。

那为什么我们要研究隐函数的求导呢？这是因为在很多实际问题中，变量之间的关系并不是那么直观地就能写成显函数的形式，但我们又需要知道它们之间的变化率，也就是导数。

接下来，咱们就来具体讲讲隐函数的求导公式。

假设我们有一个隐函数方程\（F(x,y) ＝ 0\），要对\（x\）求导。

那么，我们需要使用到一个重要的方法——复合函数求导法则。

我们对\（F(x,y)＼）分别对\（x\）和\（y\）求偏导数，记为\（F_x\）和\（F_y\）。

然后，根据隐函数求导公式，＼（＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{F_x}｛F_y}＼）。

为了更好地理解这个公式，咱们来看一个具体的例子。

比如，方程\（x^2 ＋ y^2 1 ＝ 0\）表示一个单位圆。

我们来求\（y\）对\（x\）的导数。

首先，对\（F(x,y) ＝ x^2 ＋ y^2 1\）分别求偏导数。

＼（F_x ＝2x\），＼（F_y ＝ 2y\）。

然后，根据隐函数求导公式，＼（＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{2x}｛2y} ＝＼frac{x}｛y}＼）。

这里需要注意的是，当\（y ＝ 0\）时，导数不存在，这在几何意义上也很好理解，因为在圆的水平直径上，切线是垂直的，斜率不存在。

再来看一个稍微复杂一点的例子，方程\（e^y ＋ xy 1 ＝ 0\）。

对\（F(x,y) ＝ e^y ＋ xy 1\）求偏导数，＼（F_x ＝ y\），＼（F_y＝ e^y ＋ x\）。

隐函数求导公式隐函数求导是数学分析学中十分重要的一个内容，它是指求取拓展又称多元函数在任意变量上导数的过程。

隐函数求导公式是数学分析学课程中经常提及的一个概念，它用来解释多元函数在任意变量上的导数，是多元函数求导学习中必不可少的。

隐函数求导公式是一类多元函数求导方法，可以有效地计算多元函数在任意变量上的导数。

它是由哥本哈根大学教授L.C.Young于1896年提出的，由此可以看出，隐函数求导的概念具有很长的历史。

隐函数求导的方法一共有四种：基本公式、偏导数法、极限法和高等切线法。

以下是基本隐函数求导公式：设y=f(x1,x2,...,xn)，则其在任意变量xk上的导数为：(y)/(xk)=(f(x1,x2,...,xn))/(xk)=f/xk由此可见，导数的运算规则极其简单：先对所有的变量求偏导数，即把其它变量看做常数，再把求出的偏导数累加起来，便可得到在任意变量上的导数。

这就是隐函数求导的基本原理。

除此之外，偏导数法是求取隐函数导数的重要方法之一。

它的思想是：假设其它变量都为常数，关于一个变量求取其偏导数，使用应用问题可以更加具体地解释偏导数的概念和意义。

例如，设y=x^2+2x，求x的偏导数：(y)/(x)=(x^2+2x)/(x)=2x+2从这里可以看出，偏导数即可以描述函数在某一特定点处的性质，也可以表示函数在任意点上的变化率。

极限法是另外一种重要的求取隐函数导数的方法。

它的意思是：把不同变量的变化率的极限纳入计算，从而得到在任意变量上的导数。

极限法的应用范围并不局限于求取隐函数导数，同样也能用来求取某一函数的极限。

例如：设f(x)=x^2+2x，求lim(x→1) f(x)lim(x→1) f(x)=lim(x→1) (x^2+2x)=1+2=3最后，高等切线法是一种求取隐函数导数的高等数学方法，它是由柯西公式发展而来的。

柯西公式是一种将变量从函数定义域扩展到实数域的一种切线法，其中每条切线也就是一个变量与另一变量的函数，而柯西公式的核心就是求取函数在其变量上的导数。

如何理解隐函数求导公式隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。

1求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y 其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

2显函数与隐函数显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。

显函数可以用y=f(x)来表示。

隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。

比如：y=2x+1。

隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

隐函数求导的方法是什么?隐函数求导的方法是什么?一、隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2y-e^xy)。

求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

三、显函数与隐函数1、显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。

显函数可以用y=f(x)来表示。

2、隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

3、隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。

比如:y=2x+1。

隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。