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第6章多元函数微分学6-10(隐函数及其微分法)

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第6章 多元函数微分学6-8导学解答(6.2.3 隐函数及其微分法)

第6章 多元函数微分学6-8导学解答(6.2.3 隐函数及其微分法)

6．2 多元函数微分法6．2．3 隐函数及其微分法一、相关问题1.下面各方程和方程组能确定几个几元函数？ （1）0),(=y x F ； （2）0),,(=z y x F ；（3）⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ；（4）⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F（5）⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x二、相关知识1.如何确定隐函数的因变量及自变量？2.求隐函数的偏导数的方法有哪些？3.一般来说m 个n m +元方程可以确定几个几元函数？如何确定因变量和自变量？三、练习题1.方程组22222z x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩在点（1，-1, 2）附近能否确定隐函数？并求隐函数的导数。

解 记 ()()222,,,,,22z F x y z x y G x y z x y z =+-=++-，则 F , G 连续，且具有连续的偏导数；记()01,1,2P -，则 ()()()()000022,0,0;||4011,p p x y F G F P G P x y ∂====≠∂， 根据隐函数组存在定理，必存在隐函数组()()x x z y y z =⎧⎪⎨=⎪⎩且可以用以下方法求得隐函数的导数。

由方程组()()222,,02,,20z F x y z x y G x y z x y z ⎧=+-=⎪⎨⎪=++-=⎩两边对 z 求导，视x 与 y 为z 的函数，得()()()()''''22010xx z yy z z x z y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩解此方程组得()()()()()()''022,,,22dx y z dy x z x z y z x y z P dz x y dz x y +--====∈--注：同样，可计算()()()()000022,,||40,||01111,,p p p p x z y z F G F G x z y z --∂∂==≠==∂∂，可知该方程组也可以有隐函数组()()x x y z z y =⎧⎪⎨=⎪⎩但不能确定以x 为自变量的隐函数是否存在。

多元函数微分学6.6隐函数的微分法

多元函数微分学6.6隐函数的微分法

Fx 3yz, Fy 3xz, Fz 3z2 3xy,
从而
z x
Fx Fz

yz , z2 xy
z y


Fy Fz

xz z2 xy.
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于是
2z xy

( z ) y x

y
( yz ) z2 xy
数的求导法则，得
Fx

Fy
dy dx

0
由于 Fy连续，且 Fy(x 0, y0 ) 0, 所以存在点(x0,y0)
的某个邻域，在此邻域内 Fy 0, 于是得到
dy Fx . dx Fy
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例6-28 设方程 sin xy ex y2 确定了y是x的函数，
我们可以根据三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程
F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)的存在，以及这个
函数的性质．
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定理6-7 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续
的偏导数，F(x 0, y0, z0 ) 0, Fz(x 0, y0, z0 ) 0. 则方程
z Fy . y Fz
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例6-29 设方程 sin z x2 yz 确定了函数z f (x, y)
求 z 及 z . x y 解 设 F( x , y, z ) sin z x2 yz, 则有
Fx 2xyz, Fy x2z, Fz cos z x2 y.
dy Fx . dx Fy 公式（1）就是隐函数的求导公式．

第6章 多元函数微分学

第6章 多元函数微分学

6.4 多元复合函数微分法 6.4.1 多元复合函数微分法 设 z = f (u,v), u = u (x,y), v = v(x,y),则 , ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 这是本节最重要、最好记忆的公式, 这是本节最重要、最好记忆的公式,也是应 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话, 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话,你 是不会出错的. 是不会出错的. 本节假设所有的抽象函数总能 满足所需要的条件. 满足所需要的条件. 的偏微商. 练习 求 z = (x2 + y2)xy 的偏微商. 提示： 提示：令u = x2 + y2, v = xy.
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
的偏微商与全微分. 例 求z = cos2x + 3siny的偏微商与全微分 的偏微商与全微分 ∂z ∂z 解 = −2sin 2x, = 3cos y. ∂x ∂y
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
= − 2sin2xdx + 3cosydy
第6章 多元函数微分学
重点： 重点：求偏微商 难点： 难点：多元复合函数微分法 多元函数极值
6.1 空间解析几何
6.1.1 空间直角坐标系
点与坐标
两点间的距离公式 间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + (z1 − z2 )

人教版高中数学电子课本目录

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人教版高中数学电子课本目录人教版高中数学电子课本目录第一章函数与极限1-1 函数概念1-2 函数的表示与分类1-3 极限的概念1-4 极限的性质1-5 单侧极限与无穷大1-6 极限存在准则第二章导数与微分2-1 导数的概念2-2 导数的计算2-3 函数在一点的导数2-4 导数的应用2-5 微分的概念与计算2-6 微分的应用第三章曲线的性质与图形的变化率3-1 曲线的单调性3-2 求解函数极值3-3 函数的凸凹性3-4 曲线的拐点3-5 图形的变化率第四章积分4-1 不定积分的定义与性质4-2 基本积分公式4-3 定积分的定义与性质4-4 定积分的计算4-5 定积分的应用第五章微分方程5-1 微分方程的概念与分类5-2 可分离变量的微分方程5-3 一阶线性微分方程5-4 高阶线性微分方程第六章空间解析几何6-1 点、向量、向量积的概念6-2 点、直线、平面方程6-3 点与线、点与平面的距离6-4 空间图形的位置关系第七章空间解析几何7-1 参数方程与一般式方程7-2 球面和球体方程7-3 直线和面的交线7-4 空间图形的计算第八章多元函数微分学8-1 函数的概念及性质8-2 偏导数的概念及计算8-3 隐函数及其微分8-4 多元函数极值8-5 条件极值与拉格朗日乘数法8-6 多元函数的微积分学应用第九章概率与数理统计9-1 概率的基本概念9-2 随机变量及其分布9-3 正态分布及其应用9-4 统计与统计量参考内容：1.函数与极限：本章主要讲述了函数的概念，分类以及极限的概念和性质，并对单侧极限和无穷大进行了详细的介绍。

函数和极限是高中数学的基础，学好了这一章可以打下坚实的基础，为后面的学习打下基础。

2.导数与微分：本章主要讲述了导数的概念、计算、含义以及微分的概念、公式和应用。

导数是研究函数的变化率和极值问题的基本工具，微分在自然科学和工程技术领域中有广泛的应用。

3.曲线的性质与图形的变化率：本章主要讲述了曲线的单调性、函数的极值、函数的凸凹性和拐点问题，以及图形的变化率问题。

第六章多元函数典型例题

第六章多元函数典型例题

z z 13 设z z ( x, y )是由方程F ( x z, y z ) 0确定，试求 , . x y 解：解法一 方程两边分别对 x和y求偏导，并注意 z是x, y的函数.
若设u x z, v y z , 则有F (u, v) 0, 函数的结构为
u F v z y y
(2) z (1 xy) y
z 解： y (1 xy) y 1 y y 2 (1 xy) y 1 , x z y ln(1 xy) (e ) y y x y ln(1 xy ) e [ln( 1 xy) y ] 1 xy xy y (1 xy) [ln( 1 xy) ] 1 xy
x
x
z z z z Fu (1 ) Fv 0, Fu ( ) Fv(1 ) 0, x x y y Fu Fv z z 解得 , . x Fu Fv y Fu Fv
解法二 利用隐函数的微分法 . 若设u x z , v y z , 则有F (u , v ) 0.
2 2 2z z z 2 2 12 x 2 , 2 , 12 y 2. 2 2 xy x y
(3) 判断 在驻点(1,1)处， B 2 AC 4 100 96 0, 且A 0, 所以z在点(1,1)和(1,1)处取得极小值 z 2. 在驻点(0,0) 处， B 2 AC 4 4 0. 这时不能判断点 (0,0)是否为极值点，为此考 察函数在点 (0,0) 附近的变化情况：在点 (0,0)的足够小邻域内，沿直 线y x有 z ( x, x) 2 x 4 z (0,0) 0;而沿直线y x有z ( x, x) 2 x 4 4 x 2 2 x 2 ( x 2 2) z (0,0) 0,由此可见，点 (0,0)不是函数的极值点， 即z (0,0) 0不是函数的极值 .

高等数学教材第五版目录

高等数学教材第五版目录

高等数学教材第五版目录第一章：极限与连续1.1 定义与性质1.2 重要极限1.3 极限运算法则1.4 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分与微分近似第三章：不定积分3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 基本积分公式与常见积分法3.3 分部积分与换元积分法3.4 有理函数的积分第四章：定积分4.1 定积分的定义与几何意义4.2 定积分的性质与定积分计算 4.3 定积分的应用4.4 反常积分第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的极值与条件极值 5.4 隐函数与参数方程第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法第七章：向量代数与空间解析几何 7.1 向量的基本运算7.2 空间直线与平面的方程7.3 空间曲线与曲面第八章：无穷级数8.1 数项级数8.2 正项级数的审敛法8.3 幂级数与傅里叶级数第九章：常微分方程9.1 方程的解与解的存在唯一性9.2 一阶线性常微分方程9.3 二阶线性常微分方程9.4 常系数齐次线性常微分方程第十章：数学实验与建模10.1 数学实验的基本思想与方法10.2 常见数学实验10.3 数学建模的基本步骤这是高等数学教材第五版的目录，并按照适当的格式进行呈现。

每一章节的内容简要描述了主要内容，方便读者了解教材的内容结构和重点。

在整个目录中，标题与内容紧密相连，清晰明了。

第六章多元函数微分学及其应用

第六章多元函数微分学及其应用

第六章 多元函数微分学及其应用主要考点：必考内容. 计算容易得分.难点：（1）涉及概念或结合应用的问题.（2）抽象函数的相关的计算（3）二元函数的泰勒公式（从未考过）概念：①多元函数微分学的基本概念及其联系．计算：②常见函数的偏导数、全微分等概念与计算（包括利用定义）．体会复合函数球偏导数的方法；理解一阶微分形式不变性．③抽象复合函数的偏导数、全微分的计算④隐函数的偏导数、全微分的概念与计算．．⑤变量替换下方程的变形．⑥方向导数与梯度（只对数一）．应用：⑦几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面）（只对数一）．⑧多元函数的极最值．常见题型：选择题、填空题、计算题.知识网络图一 多元函数微分学的基本概念及其联系几个概念之间的关系： ⇑⇐⇒⇓连续偏导数方向连续偏导数可微分方向导数存在注意：关注几个典型的例子!!!【例】（97）二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处 （ ） P87（A ）连续，偏导数存在， （B ）连续，偏导数不存在，（C ）不连续，偏导数存在， （D ）不连续，偏导数不存在。

【例】（02）考虑二元函数的下面4条性质： P87（1）在点处连续； （2）在点处的两个偏导数连续； ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x （3）在点处可微； （4）在点处的两个偏导数存在。

),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x 【例】(07)二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ） P153（A ）()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →−=⎡⎤⎣⎦（B ） ()(),00,0lim0x f x f x →−=，且()()00,0,0lim0y f y f y →−= （C ）()(,0,0,00,0lim 0x y f x f →−=（D ） 且()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →−=⎡⎤⎣⎦()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤−=⎣⎦ 二常见函数的偏导数、全微分等概念与计算1．利用定义【例】(08) 已知(,)f x y =，则 P153（A ），都存在 （B ）不存在，存在 (0,0)x f ′(0,0)y f ′(0,0)x f ′(0,0)y f ′（C ）不存在，不存在 （D ），都不存在 (0,0)x f ′(0,0)y f ′(0,0)x f ′(0,0)y f ′【例】32)sin(1)1(x xy x y z ++−=，求)1,2(x z ′。

第六章-多元函数微分学基础

第六章-多元函数微分学基础

z
V
O
y
V
V
V
x
图6-3 八卦限示意图
下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）
设M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)和M
2
(
x2
,
y2
,
z2
)为空间两点,
则点M
1与M
间的
2
距离为
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (6-1)
例1 在x轴上求一点P,使它到点A(3,2, 2)的距离为3.
0和G(x, y, z) 0是两个曲面方程,它们交线上的每一点的坐标
都同时满足上述两个曲面方程;反过来,曲时满足上述两个曲面
方程的点都在这条交线上.因此,联立方程组
z
F(x, y, z) 0
L
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
叫做空间曲线L的一般方程
由两点距离公式知
M1M (x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 M 2M (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2 又因为 M1M M 2M ,故知
(x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2
称上式为平面的一般方程,式中,A, B,C, D分别为变量x, y, z的系数; D为常数 Nhomakorabea.z
p3 c
例2 求过点P1(a, 0, 0), P2 (0,b, 0),
P3 (0, 0, c)的平面方程(其中a,b, c 0)
(见图6 5)
p1 a

江苏大学高等数学教材

江苏大学高等数学教材

江苏大学高等数学教材高等数学是大学数学学科的一门重要课程，对于理工科、经济学、管理学、信息科学与技术等各个专业的学生来说都是必修科目。

江苏大学高等数学教材主要针对江苏大学本科生的课程设置，旨在帮助学生全面理解和掌握高等数学的基本理论和方法。

本教材以系统性和应用性为核心，旨在培养学生的数学思维和分析解决问题的能力。

第一章：数列与极限在高等数学的学习中，首先要学习数列与极限的概念与性质。

数列是由一系列有序的数字组成的序列，而极限则是数列中的数值随着序列的无限增加或无限减少逐渐趋向的值。

本章主要介绍了数列的概念、性质和常见数列的求和方法，以及极限的定义、性质和计算方法。

第二章：函数与连续性函数是高等数学中的一个重要概念，是一种特殊的关系，它把一个自变量的值映射到一个因变量的值。

本章介绍了函数的概念、性质和分类，以及函数的运算和复合函数的概念与性质。

同时，本章还介绍了连续性的定义和连续函数的性质，以及间断点和间断函数的分类与性质。

第三章：导数与微分导数是函数变化率的衡量，是高等数学中的重要概念之一。

本章首先介绍了导数的定义、性质和计算方法，以及高阶导数和隐函数导数的概念与性质。

接着，本章还介绍了微分的概念和微分中值定理，以及利用导数分析函数的单调性、极值和凹凸性。

第四章：不定积分与定义积分积分是数学分析中的一个重要工具，在求解面积、曲线长度、物理量等问题时起着重要作用。

本章介绍了不定积分的定义、性质和计算方法，以及定积分的定义、性质和计算方法。

同时，本章还介绍了牛顿-莱布尼茨公式和反常积分的概念与性质。

第五章：微分方程微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的现象和规律。

本章介绍了一阶微分方程的基本概念、性质和求解方法，以及二阶线性齐次微分方程和非齐次微分方程的求解方法。

同时，本章还介绍了常微分方程和偏微分方程的概念与性质。

第六章：多元函数与多元微分学多元函数是多个变量共同作用下的函数关系，是高等数学中的另一个重要概念。

福州大学高等数学 第六章多元函数微分学习题

福州大学高等数学 第六章多元函数微分学习题

2.设z y x , 求z xx , z yy和z xy .
解 x y x ln y, z
z xx y x (ln y )2 ,
z yy x( x 1) y x 2 ,
z y xy x 1 ,
z xy xy
x 1
1 x ln y y y x 1 (1 x ln y ). y
f y (1,2) 4.
1 sin( x 2 y ) 3.设f ( x , y ) xy 0
xy 0 xy 0
, 求f x (0,1).
f (0 x ,1) f (0,1) 解 f x (0,1) lim x 0 x
lim 1 sin( x )2 x x
x 0
sin( x )2 lim 1. 2 x 0 ( x )
4.利用全微分计算 ln( 3 1.03 4 0.98 1)的近似值.
解 设f ( x , y ) ln( 3 x
4
y 1),
3 1 4 y 4 , x 4 y 1
f x ( x, y)
(2)f x ( x , y ), f y ( x , y )在(0,0)处是否连续?为什么?
解 (1)可微.
1 x sin 2 f ( x ,0) f (0,0) x 0, lim lim x 0 x 0 x x
2
1 y sin 2 f (0, y ) f (0,0) y lim lim 0, y 0 y 0 y y
.
4.设z ln x y , 则当x y 0时, z xx z yy
2 2 2 2
0
.
z 5.曲线

多元函数微分学(共184张PPT)

多元函数微分学(共184张PPT)

z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
上一页 下一页 返 回
• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页 下一页 返 回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n

第六单元 多元函数微分学

第六单元 多元函数微分学
2 3
(应用题) 2)求 曲 面 z xy 在 点 (1, 2 , 2 ) 处 的 切 平 面 方 程 .
解
1)点 (1, 1, 1) 处 t 1, x t 1, y t 2 t , z t 3 t ,
' ' ' 2
当 t 1时 ， x t 1, y t 2 , z t 3, 切 线 方 向 为 (1, 2 , 3 )
lim
f ( x0 x , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) x
x 0
f x ( x , y ) lim
f ( x h, y ) f ( x, y ) h
h 0
2 z z z z f xx ( x , y ), f yy ( x , y ), 2 2 x x x y y y
y x
z.
证
1)
z x
f (
'
y x
)(
y x
2
)
y x
2
f (
'
y x
)，
z y
f (
'
)(
1 x
)
1 x
f (
'
y x
)，
x
z x
y
z y

xy x
2
f (
'
y x
)
y x
f (
'
y x
) 0.
16
z x
z x F ' 2
y z
11
3
3) 1 2 2 4
n1 {1, 2, 1}, n 2 {2, 4, 2} 2 n1 , n1 与 n 2 平 行 ， 而 1 -1 3 6 ，所以两平面不重合.

高等数学作业题集2013版第六章多元函数微分学答案

高等数学作业题集2013版第六章多元函数微分学答案
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
二偏导数
1．求下列函数的偏导数
yx2 y2
)（3）z exysin(x y)（1）z（2）z ln(x 2xxy
x 2y2
（4）x（5）u xysin
z
yz
(6)f(x,t)解: (1) z
x at
x at
(u)du为连续函数
z1y 2 xyx
x 2yx 2kx1 2k
lim
(x,y) (0,0)x yx 0x kx1 ky kx
lim
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
x2ykx4k
lim (2)当(x,y)沿y kx趋于(0,0)时, lim 2(x,y) (0,0)x4 y2x 0x4 k2x41 k2
2
y kx
33
x y
解(1)
uy
xyyzzx( lnz) xx
y
z
x
uz
xyyzzx( lnx) yyzy
x
lnx ) (
z
ux
xyyzzx( lny) zz
z lnz) d( du xy[
z
xyx
ln
y)dz]
(2)
z y
dz
z z
dx dy
x y
2
(3)
z zxy
xexysin(x y) exycos(x y) yexysin(x y) ecosx ( y) x y
（3）
x2 y2x2 y***-*****
（4）由不等式0 4而( )lim(2 2) 0 *****x x y2xy2yx2yxy
x2 y2
0由加逼准则有lim4

考研数学高数真题分类—多元函数微分学

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第六章多元函数微分学综述：本章是对⼀元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推⼴，主要考点是围绕偏导数的⼀系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要⼤于⼀元函数，考试在微分学中的⼤题⼀般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右.本章的主要知识点有：⼆重极限的定义及其简单的性质，⼆元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，⽅向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平⾯，曲⾯的切平⾯与法线.其中学习的难点是⼆重极限、⼆元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这⼀部分考查的频率不⾼，且以⼩题为主，考⽣在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与⼀元函数的相关概念进⾏⽐较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应⽤上：⾸先，偏导数的计算与⼀元函数的求导并⽆本质区别，考⽣只需将⼀元函数求导的相关知识进⾏推⼴，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全⾯掌握了偏导数的计算⽅法之后，考⽣还需要掌握偏导数的各种应⽤，包括多元函数的极值（⽆条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平⾯、曲⾯的切平⾯与法线，对于它们，考⽣只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.⽅向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平⾯，6.空间曲⾯的切平⾯与法线.常考题型⼀：连续、偏导数与全微分1．【1994-1 3分】⼆元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的（）()A 充分条件⽽⾮必要条件()B 必要条件⽽⾮充分条件 ()C 充分必要条件()D 既⾮充分条件⼜⾮必要条件2．【1997-1 3分】⼆元函数22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ?≠ += =?，，，在点(0,0)处（）()A 连续，偏导数存在 ()B 连续，偏导数不存在()C 不连续，偏导数存在()D 不连续，偏导数不存在3．【2002-1 3分】考虑⼆元函数(,)f x y 的下⾯4条性质，正确的是（）①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在()A ②?③?①()B ③?②?①()C ③?④?①()D ③?①?④4．【2003-3 4分】设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极⼩值，则下列结论正确的是()A ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. ()B ),(0y x f 在0y y =处的导数⼤于零. ()C ),(0y x f 在0y y =处的导数⼩于零. ()D ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.5．【2007-1 4分】⼆元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的⼀个充分条件是（）()A ()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=.()B 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.()C ((,)0,0lim0x y →=.()D 00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→''''-=-=且. 6．【2008-3 4分】已知(,)f x y =()A (0,0)x f '，(0,0)y f '都存在()B (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()C (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在()D (0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在7．【2012-1 4分】如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 8．【2012-2 4分】设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?则使得1122(,)(,)f x y f x y <成⽴的⼀个充分条件是(A) 1212,x x y y ><(B)1212,x x y y >> (C)1212,x x y y <<(D)1212,x x y y <>9.【2012-3 4分】连续函数(,)z f x y =满⾜010x y →→=，则(0,1)dz=________。

)隐函数微分法

)隐函数微分法

域内可, 以确定唯一的函 y f (x), 即存在
0,当数xO x0,时,有F x, f (x) 0,且y0 f (x0);
(2) f 在O x0,内连续; (3) f 在O x0,内有连续的导数,且
dy Fx ( x, y) dx Fy ( x, y)
隐函数的求导公 式
4
隐函数的求导公式
y)dy
du 2ez[(x 1)e xdx ( y 1)e ydy].
13
隐函数的求导公式
(证明放后)仅推导公 将恒等式F( x, f ( x)) 0
式两.边关于x求 由全导数公式,
导,
F ( x,得f ( x)) 0
Fx
(
x,
y)
Fy
(
x,
y)
dy dx
0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0, y0 )的一个邻域在这个邻域 Fy ( x, y) 0,
F(x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
下面讨论如何由隐函数 求偏导数. 方程
2
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x, y) 0
在一元函数微分学曾介绍过隐函
中,
F( x, y) 0 数 (1)
的求导法. 现在利用复合函数的链导法给出隐函
数 的(求1)导公式并指出 , 隐函数:存在的一个充分条件.
3. 隐函数的导数仍含有x与y,
dy Fx (x理, y解) :
求高阶导时,利用
dx
Fy (x, y) y f (x) 复合函数的求导
4. 定理的条件只是充分条件. F方(x法, y). (x y)2 0.

(整理)第六章 微分方程

(整理)第六章 微分方程

于是原方程的通解为 y tan(1 x2 xC) 2
二 齐次方程
齐次方程
如果一阶微分方程 dy f (x, y) 中的函数 f(x, y)可写成 dx
y 的函数 即 f (x, y)( y) 则称这方程为齐次方程
x
x
下列方程哪些是齐次方程？
(1)
xy y y2 x2 0
G(y)F(x)C 由方程 G(y)F(x)C 所确定的隐函数就是原方程的通解
对称形式的一阶微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式
P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的 精品文档
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教学内容
若把 x 看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y)0 时 有
是
齐
次
方
dy y y2 x2 dy y ( y)2 1
dx
x
dx x x
(2)
1 x2 y
1 y2 不是齐次方程 dy dx
1 y2 1 x2
(3)(x2y2)dxxydy0 是齐次方程 dy x2 y2 dy x y dx xy dx y x
s02t2 C1t C2 (7) 这里 C1 C2 都是任意常数
把条件 v|t020 代入(6)得
20C1 把条件 s|t00 代入(7)得 0C2
把 C1 C2 的值代入(6)及(7)式得
v04t 20
(8)
s02t220t
(9)
在(8)式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
接积分不能求出通解
为求通解可将方程变为
1 y2
dy

高等数学教材第二版答案

高等数学教材第二版答案

高等数学教材第二版答案在高等数学教学过程中，教材是学生们学习的主要依据，而答案则是学生们在学习中所追求的。

本篇文章将给出《高等数学教材第二版》的答案，以满足学生们在学习过程中的需求。

第一章极限与连续1.1 初等函数的极限1.2 无穷小与无穷大1.3 极限运算法则1.4 一元函数的连续性1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性第二章一元函数微分学2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 函数的局部性质第三章一元函数积分学3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 不定积分的计算3.3 定积分的定义与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与换元积分法第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限4.2 偏导数的概念与计算4.3 隐函数的偏导数4.4 多元复合函数的偏导数4.5 方向导数与梯度4.6 多元函数的微分第五章多元函数积分学5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线与曲面积分第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程6.5 齐次线性微分方程第七章无穷级数7.1 数项级数的概念7.2 数项级数的收敛性7.3 幂级数与函数展开7.4 函数项级数的一致收敛性7.5 幂级数的和函数通过以上各章节的答案，学生们可以对高等数学教材第二版中的各个题目进行参考和对照，以检查自己的学习效果和理解程度。

同时，对于一些较难的问题，答案的给出也可以作为解题思路的参考，引导学生们加深对知识点的理解和应用。

值得注意的是，答案只是学习的辅助工具，学生们在学习过程中应注重理论的学习和问题的解决思路。

与学习过程相比，答案的提供仅是一个参考，对于理解掌握知识点并独立解决问题才是更为重要的。

希望本篇文章所提供的《高等数学教材第二版》答案能够帮助到广大学生，提升他们在高等数学学习中的自信与能力。

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2 z 2 2 2 例 2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
2z 4 2 0 x
解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4

x x Fx z z2 2 z x Fz
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x x F1 y F2 x ( 2 ) F1 ( 2 ) F2
注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下:
F[ x, y, f ( x, y)] 0,
z Fx Fz 0, x
z Fy Fz 0, y
又 Fz 0,
z Fx , x Fz
Fy z . y Fz
( 2) 若 Fx 0, 则
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ,
x
② F (0,0) 0 ,
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数 且
x Fx dy e y cos y x x 0, y 0 d x x 0 Fy x 0
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数 ① 在点
满足: 的某一邻域内具有连续偏
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ; ③J
导数
Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
Fx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
代入所证等式的左边即可得结论.
z 解法2 0 x 1 1 z y x 0 等式两边对x求偏导得： F1, F2 1 z z 2 x x x
z 1 z 1 z z 即F1(1 ) F2 ( 2) 0 x y x x x x
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x

( e x y)(cos y x) (e x y )( sin y y 1)
( cos y x )
2
3
x0 y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
确定了两个一元函数. 确定了两个二元函数.
x x ( u, v ) 3. y y( u, v ) z z ( u, v )
确定了一个以u,v为中间变量 x,y为自变量的二元函数.
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
Fy x , y Fx
Fz x . z Fx
(3) 也可求二阶偏导.
方程确定的隐函数及求导习例
2 z 2 2 2 例2 设x y z 4 z 0, 求 2 . x
z x y 例5 设z f ( x y z , xyz), 求 , , . x y z
内容小结 思考题
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 在点 P( x , y ) 的某一邻域内满足
0 0
① 具有连续的偏导数;
② F ( x0 , y0 ) 0 ;
③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 的某邻域内可唯一确定一个 并有连续 单值连续函数 y = f (x) , 满足条件


2
x y x
Fy2
2
Fx x Fy Fy x Fx Fy2
2 3 Fy

Fx y Fy Fy y Fx
Fx ( ) Fy
Fx x Fy 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
x
e y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d y 3 2 x0 dx
2
定理2.
若 (1) F ( x , y, z )在U ( P0 , )内有连续偏导数 ; ( 2) F ( x0 , y0 , z0 ) 0; ( 3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0;
则 (1) F ( x , y, z ) 0在U ( P0 , )内唯一确定了单值 连续函数 z f ( x , y ), 且z0 f ( x0 , y0 ); Fy z Fx z ( 2)有连续偏导数 , . x Fz y Fz
z z z f1 (1 ) f2 ( yz xy ), x x x
z f1 yzf 2 ; x 1 f1 xyf 2
x 求 时, x为函数, y, z为自变量. y z f ( x y z , xyz ), 两边对y求偏导得
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv Fu Fy 1 v 1 ( F , G ) 定理证明略.仅 Fu Fv Gu G y J ( u, y ) 推导偏导数公 y Gu Gv 式如下：
z
z
F1 1 z
z y ( y2 ) F1 ( x2 ) F2
z z
1 F2 z
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x dz dx d y F 2d y) x F1 y F2 x x y Fz
y 1 f1 xyf 2 . z f1 xzf2
解法3 利用两边全微分也可得到所求.
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
在此举例说明求偏导的方法, 方程组确定的隐函数 一般有以下几种情形:
F ( x , y, z ) 0 1. G ( x , y, z ) 0 F ( x , y, u, v ) 0 2. G ( x , y, u, v ) 0
z z 解法1 令 ( x , y , z ) F x , y y x 1 z z x F1, F2 F1 2 F2 x 2 x z z 2 y F1, F2 y 2 F1 F2 y 1
z F x , y y
1 z z 1 z z 同理可得F1( 2 ) F2 (1 )0 y y y x y y
代入所证等式左边即可得结论成立.
z x y 例5 设z f ( x y z , xyz), 求 , , . x y z
1 1 1 y z F1, F2 F1 F2 1 y x x
2 z x y( zF2 x F1) , x z x ( xF1 yF2 )
y x ( zF1 y 2 F2 ) z y z y( xF1 yF2 )
Fy f1 xzf2 x ; f1 yzf2 y Fx
Fz y f1 xyf2 1 1 f1 xyf2 . z Fy f1 xzf2 f1 xzf2
z 求 时, z为函数, x , y为自变量. 解法2 x z f ( x y z , xyz ), 两边对x求偏导得
x 0 f1 ( 1) f2 ( xz yz x ), y y
x f1 xzf2 ; y f1 yzf 2
y 求 时, y为函数, x , z为自变量. z z f ( x y z , xyz ), 两边对z求偏导得
y y 1 f1 ( 1) f2 ( xy xz ), z z