6．2 多元函数微分法
6．2．3 隐函数及其微分法
一、相关问题
1.下面各方程和方程组能确定几个几元函数？ （1）0),
(=y x F ； （2）0),,(=z y x F ；
（3）⎩⎨
⎧==0
),,(0)
,,(z y x G z y x F ；
（4）⎩⎨
⎧==0
),,,(0),,,(v u y x G v u y x F
（5）⎪⎩
⎪⎨
⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x
二、相关知识
1.如何确定隐函数的因变量及自变量？
2.求隐函数的偏导数的方法有哪些？
3.一般来说m 个n m +元方程可以确定几个几元函数？如何确定因变量和自变量？
三、练习题
1.方程组22222z x y x y z ⎧+=
⎪⎨⎪++=⎩
在点（1，-1, 2）附近能否确定隐函数？并求隐函数的导数。
解 记 ()()2
2
2
,,,,,22
z F x y z x y G x y z x y z =+-=++-，则 F , G 连续，且具有连续的偏导数；记()01
,1,2P -，则 ()()()()00
0022,0,0;
||4011,p p x y F G F P G P x y ∂====≠∂， 根据隐函数组存在定理，必存在隐函数组()()
x x z y y z =⎧⎪⎨=⎪⎩且可以用以下方法求得隐函数的导数。
由方程组
()()222
,,0
2
,,20z F x y z x y G x y z x y z ⎧=+-=⎪⎨⎪=++-=⎩
两边对 z 求导，视x 与 y 为z 的函数，得
()()()()''
''
220
10
xx z yy z z x z y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩
解此方程组得
()()()()
()()''022,,,22dx y z dy x z x z y z x y z P dz x y dz x y +--=
===∈--
注：同样，可计算
()()()
()
000022,,||40,||01111,,p p p p x z y z F G F G x z y z --∂∂==≠==∂∂，可知该
方程组也可以有隐函数组()()x x y z z y =⎧⎪⎨=⎪⎩
但不能确定以x 为自变量的隐函数是否存在。
2.设2
2
()z x z y y
ϕ+=，其中ϕ为可微函数，求dz 。
解1 方程两端对x 求导得 22()z z z x z
x y x ϕ∂∂'+=⋅∂∂，解得22()z x z x z y
ϕ∂=-∂'-；
方程两端对y 求导得
2()()z y
z z z z y z
y y
y y ϕϕ∂-∂∂'=+⋅∂，解得()()
2()z z
y z z y y z y yz y y
ϕϕϕ'-∂=∂'-；
所以 222x y z dz dx dy z yz y ϕϕϕϕ'
--=
+''
--。
解2 令2
2
(,,)()z
F x y z x z y y
ϕ=+-
则2,()(),2()x y z z z z z F x F F z y y y y
ϕϕϕ'''''==-+
=- 故22()
x z F z x z x F z y ϕ'∂=-=-'∂'-， ()()2()y z z z
y z F z y y z y F yz y y ϕϕϕ'-'∂=-='∂'-
于是()()
22()2()
z z
y z x y y
dz dx dy z z
z yz y y y
ϕϕϕϕ'--=
+''--。
解3 方程两端求全微分得 22ydz zdy
xdx zdz dy y
ϕϕ-'+=+⋅
所以222x y z dz dx dy z yz y ϕϕϕϕ'
--=
+''
--。
3.设3
22
u x y z =，其中(,)z z x y =是由方程3
3
3
30x y z xyz ++-=确定的隐函数，求
,u u x y
∂∂∂∂。
解 2
22
3
2
3
2
322du x y z dx x yz dy x y zdz =++ （1） 2
2
2
3333()0x dx y dy z dz yzdx xzdy xydz ++-++= （2）
由（2）可得222
()()x yz dx y xz dy dz xy z -+-=- （3）
将（3）代入（1）得
22
2
22
3
2
323222
()()3222x yz dx y xz dy du x y z dx x y z x yz dy x y z xy z xy z
--=+++-- 222
2
3
22
2()()[3]2[]x x yz y y xz x y z z dx x yz z dy xy z xy z --=+
++-- 33332
2
3
22
32()2()xyz z x y z x y z dx x yz dy xy z xy z
-+-=+-- 所以3322232()u xyz z x x y z x xy z ∂-+=∂-， 333
22()u y z x yz y xy z
∂-=∂-。
4.求由方程组()()
2
,,u f ux v y v g u x v y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定的隐函数的偏导数 ,u u x y ∂∂∂∂。
分析： ①方程的个数是 2 （可知确定的隐函数有两个）；变量的个数是 4 （可知所确定的
隐函数都是422-=元函数）；
② 在这四个变量中，哪两个是隐函数的因变量，哪两个是隐函数的自变量呢？题中有信息告知：从题的要求可知，x ， y 为自变量，则同时知道 u ，v 就是隐函数的因变量。
解 方程两边分别对x ， y 求偏导，视 u ，v 为x ， y 的函数：
()()12
12
12x x x x x x u u xu f v f v u g vyv g =++⎧⎪⎨
=-+⎪⎩ 解此方程组得
()()()()()12211221122122112112y y y y y y uf vyg f g u x xf vyg f g u xu f v f v u g vyv v g ∙-+∂=
∂--+⎧=++⎪⎨=++⎪⎩
解此方程组得
()()()222221221
21121vyg f v f g u
y xf vyg f g --∂=
∂--+。
四、思考题
1.设方程(,,)0F x y z =确定了隐函数(,)z z x y =，求隐函数(,)z z x y =偏导数有哪些方法？
答 有三种方法：
方法1方程两边同时对自变量x （或y ）求偏导数,可得到一个含有
z
x
∂∂（或z y ∂∂）的方
程,从中解出
z
x
∂∂（或z y ∂∂）即是.
利用此法时注意: x 、y 是自变量,z 是,x y 的函数,z 的函数是,x y 的复合函数.
方法2 由多元隐函数求偏导数公式(,,)(,,),(,,)(,,)
y x z z F x y z F x y z z
z x F x y z y F x y z ''∂∂=-=-
''∂∂得到,其中(,,)x F x y z '，(,,)y F x y z '，(,,)z F x y z '分别表示对x ，y 和z 的偏导数.
方法3 利用一阶微分形式的不变性，方程两端求微分,解出dz ．然后根据函数可微的必要条件求出
z x ∂∂和z
y
∂∂． 2.如何求由方程组所确定的隐函数的导数或偏导数？
答 （1）查清所给方程的个数和变量的个数：方程的个数即为要确定的隐函数的个数；变量的个数减法去方程即为隐函数自变量的个数。
究竟哪些变量充当隐函数的因变量，哪些变量是隐函数的自变量，题中会有显示。
（2）确定了各个变量的地位之后，对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数。
