第三章静电场边值问题

第三章 静电场边值问题在上一章中，我们已经知道了几种从电荷分布求静电场的问题。

一种是直接积分式(2-2-1)求得已知电荷分布情况下的电场；另一种是利用式(2-2-4)高斯定理求解某些具有对称性电荷分布的静电场问题；再一种就是由式(2-2-10)求出静电势，再利用关系式ϕ=-∇E求出电场，这些问题一般都不存在边界。

然而，对于许多实际静电问题，电荷的分布是复杂的，计算积分很困难，甚至是不能积分，有些静电问题只给出了边界上的面电荷或电势。

在这种情况下，需有其它有效的方法求解静电问题，这种方法就是求解静电势所满足的偏微分方程。

这偏微分方程就是由式(2-2-10)给出的方程：2ρϕε∇=-因此，对于有边界存在的情况下，我们不得不求解给定边界条件下静电势微分方程，然后求出静电场，这一问题称为静电场边值问题错误！未找到引用源。

即求出满足给定边界条件的泊松方程的解。

在这一章中，我们首先介绍静电唯一性定理，它是解决静电场边值问题的基础。

基于静电唯一性定理，我们主要介绍两种求解静电场边值问题的方法：电像法和分离变量法。

当然，求解边值问题还有其它的方法。

值得一提的是，本章所介绍的方法不仅仅适用于静电场，它同样适用于静磁场和时变电磁场。

3-1 静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。

这就是静电唯一性定理错误！未找到引用源。

下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。

在由边界面s 包围的求解区域V 内，若： 1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数snϕ∂∂，则V 内的电势唯一确定。

以上的表述就是静电唯一性定理。

下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。

证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(r )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数snϕ∂∂)。

即：2212,ρρϕϕεε∇=-∇=-并有12sssϕϕϕ==或12sssnnnϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂式中s ϕ和snϕ∂∂为给定的边界条件。

令φ = φ1 – φ2，则在区域V 内各点：2212()0φϕϕ∇=∇-=(3-1-1)及在边界s 上各点：120sssφϕϕ=-= (3-1-2)或120sssnnnϕϕφ∂∂∂=-=∂∂∂ (3-1-3)利用式(1-10-5)，22d d ()d VV sV V φφφφφ∇+∇=∇⎰⎰⎰s将式(3-1-1)带入上式得：2d ()d d VssV snφφφφφ∇=∇∂=∂⎰⎰⎰s(3-1-4)若在边界s 上各点无论是给定了电势或给定了电势法向偏导数均有：2d 0VV φ∇=⎰(3-1-5)因|∇φ|2 ≥ 0，满足上式的条件只能是在求解区域V 内各点∇φ = 0。

因此，φ1 - φ2= 常数如果在边界上是给定了电势φ|s ，则因φ1|s = φ2|s ，此常数为零；若边界条件给出的不是电势，而是(∂φ/∂n )|s 此常数不一定为零。

但由式E = -∇φ，区域V 内的电场唯一确定，一个常数并不改变电场的基本特性，通常为了方便，此常数选择为零。

由此，我们最初假定φ1和φ2是两个不同的电势解是不成立的。

这样我们就证明了静电唯一性定理。

在边界上各点给定电势值φ|s 的条件通常我们称为第一类边界条件错误！未找到引用源。

；而给定法向偏导数条件(∂φ/∂n )|s 则称为第二类边界条件错误！未找到引用源。

从式(3-1-4)来看，若部分边界上给出第一类边界条件，部分边界上给出第二类边界条件，并不改变我们的结论。

若空间存在不同的介质，显然这种情况并没有影响我们的证明过程。

因此也不改变我们的结论。

但在实际中，我们通常是将每一种介质作为一个子区域来求解电势问题。

子区域之间的电势通过边值关系(2-4-4)和(2-4-12)(分别对应于各子区域的第二类和第一类边界条件)连接起来而得到整个空间的电势解。

因此，在这种情况下，还必须给出介质分界面的电荷密度，这仍然是“给出求解区域内的电荷分布”情况。

若空间存在导体，导体区域不是我们的求解区域，而导体表面则是求解区域的边界。

因此，若空间存在导体，则必须给出导体上的电势或面电荷密度(面电荷密度对应于第二类边界条件，0fsnϕρε∂=-∂)，否则不能得到唯一解。

但通常情况是给出了导体所带的电量Q ，而不是给出面电荷密度。

这种情况仍属于第二类边界条件问题，因面电荷密度0fsnϕρε∂=-∂，而sd fs s Q ρ=⎰ ，其中s 为包围导体的封闭面。

在应用静电唯一性定理时，要注意的是，有时边界面在无穷远处。

静电唯一性定理有两个重要的意义：(1) 它指明了确定电势解的条件是什么。

这些条件是： i) 求解区域内的电荷分布必须给出(包含ρf = 0)；ii) 求解区域边界上各点必须给定电势值φ|s 或电势法向偏导数snϕ∂∂。

(2) 因满足给定边界条件的泊松方程的解是唯一的，因此我们可以尝试解错误！未找到引用源。

只要尝试解满足区域内电荷分布，满足边界条件，此尝试解就是唯一解。

从实际的观点来看，静电唯一性定理的意义在于：无论我们用什么方法，一旦得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，则此解是唯一的，而不用担心有其它的解。

这个“无论什么方法”，指的是系统的方法、或机灵的猜测、或幸运的猜测、或简单的记住了过去的类似解而给出符合问题的变形等等方法。

需要指出的是：“满足泊松方程的解”意味着解满足了求解区域内的电荷分布。

或者说给定电荷分布既是给定了泊松方程的具体形式。

因此，根据静电唯一性定理，确定电势解的全部条件(简称定解条件)为泊松方程的具体形式和边界条件。

下面，我们给出几个尝试法的例子。

例 3-1-1 一位于原点的点电荷q ，求空间的电势。

解: 此问题是我们熟知的问题，这里在于理解如何应用尝试法求电势解。

首先我们应清楚求解区域是整个空间。

空间中电荷分布为ρ(r ) = q δ(r )，而求解区域的边界在无穷远，无穷远的电势通常我们选择为零。

因此，根据静电唯一性定理，确定本问题解的条件(定解条件错误！未找到引用源。

)为：2()/q ϕδε∇=-r (r ≥ 0) (3-1-6a)0ϕ=∞(31-6b)因本问题具有球对称性，通常电势与距离r 成反比。

因此，我们猜测解具有如下形式：A Br ϕ=+式中A 和B 为待定常数。

将其带入式 (3-1-6b)得：B = 0.利用式(1-9-17)，我们有：[]2214()4()A A A rϕπδπδ∇=∇=-=-r r与式(3-1-6a)比较得：4q A πε=因此，所求电势为：04q rϕπε=它满足定解条件，因此是唯一解。

当然，本问题也可在球坐标系中得出解析解。

例 3-1-2 一位于z = 0的平面带有面电荷密度ρfs = ρ0sin(αx )sin(βy )，式中ρ0、α、β为常数。

求空间的电势。

解: 在本问题中，在z = 0有一分界面，且带有面电荷密度。

为方便，我们将求解区域分为z < 0和z > 0两个子区域。

这两区域的电势分别用下标1和2表示。

在分界面两则电势满足式(2-4-4)和(2-4-12)。

因此，本问题的定解条件可写成：210ϕ∇= (z < 0) (3-1-7a) 220ϕ∇= (z > 0) (3-1-7b) 10z ϕ→-∞= (3-1-7c) 20z ϕ→∞=(3-1-7d) 12z z ϕϕ=== (3-1-7e)210000sin(x)sin(y)s z z zzϕϕεερραβ==∂∂-=-=-∂∂ (3-1-7f)在直角坐标系中，2222222xyzϕϕϕϕ∂∂∂∇=++∂∂∂根据边界条件(3-1-7c)、(3-1-7d)、(3-1-7f)，我们猜测解的形式为：12sin()sin()sin()sin()zzAe x y Aex y γγϕαβϕαβ-==式中A 和γ为待定常数。

由电势微分方程(3-1-7a)和(3-1-7b)得：222sin()sin()sin()sin()sin()sin()0zzzA ex y A ex y A ex y γγγααββαβγαβ±±±--+=由此得出：22γαβ=±+因此，222212sin ()sin()sin ()sin()zzAe x y Aex y αβαβϕαβϕαβ+-+==又由边界条件(3-1-7f)得：2222000sin()sin()sin()sin()sin()sin()A x y A x y x y εαβαβεαβαβραβ-+-+=-因此，2202A ρεαβ=+最后我们得到所求的解为：2222122002220sin ()sin()02sin ()sin()02zzex y z ex y z αβαβρϕαβεαβρϕαβεαβ+-+=<+=>+以上解满足所有定解条件，因此是唯一解。

由上面的例子可以看出，求解静电势的关键是完整、准确地写出定解条件错误！未找到引用源。

写出定解条件的方法即根据静电唯一性定理的第一个意义，即：首先找出求解区域，求解区域中的电荷分布如何，然后写出泊松方程。

其次是求解区域的边界在哪？边界上给出的条件是什么，但要注意无穷远边界。

还有一个特殊的“边界”值得注意。

若求解区域包含坐标原点，从数学上来说，它也是一个“边界”。

后面的例题中我们将说明以上问题。

对于静电问题，静电唯一性定理是很重要的。

后面介绍的电像法、分离变量法的根据就是静电唯一性定理。

静电唯一性定理的本质是来源我们第一章中介绍的矢量场唯一性定理。

静电唯一性定理的表述和矢量场唯一性定理的表述一一对应。

Review questions:1) What are the necessary conditions to determine the electrostatic potential in a region? 2) What are the significances of the uniqueness theorem?3) How do we find the conditions to determine the electrostatic potential in terms of the uniquenesstheorem?3-2 电像法对于某些边值问题，例如在有限空间中有一个或几个点电荷的情况，可以用电像法求解边值问题。

电像法错误！未找到引用源。

的核心是：边界的效应可用一个或几个等效点电荷取代。

这样，原来有边界的问题变成了无边界的点电荷问题。

而点电荷的电势是我们熟知的。

等效电荷错误！未找到引用源。

取代相应的边界后，并没改变原来的静电问题，因此原求解区域中的电势并没有改变。