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静电场的边界条件一、介绍静电场是电荷相互作用的结果，它在物理学中有着重要的应用。
在讨论静电场的问题时，我们需要考虑边界条件，即影响电荷分布和电场分布的物体或介质的边界条件。
本文将对静电场的边界条件进行全面、详细、完整的探讨。
二、电场的基本概念回顾在深入讨论静电场的边界条件之前，我们先回顾一下电场的基本概念。
电场是指空间中某一点周围的电力场，它由电荷所产生。
电场的强度用电场强度表示，通常用符号E表示，其单位为N/C（牛顿/库仑）。
电场的方向是从正电荷指向负电荷。
三、边界条件的意义静电场的边界条件对于解决各种实际问题非常重要。
在处理实际问题时，我们常常需要考虑到材料接触面上的边界条件，以确定电场分布和电荷分布。
四、电场的边界条件在讨论静电场的边界条件时，我们主要关注以下几个方面：4.1 自由边界条件自由边界条件指在物体表面没有约束电荷和电场的存在。
在这种情况下，电荷和电场可以自由传播。
4.2 导体表面的边界条件导体表面的边界条件是我们最常见的一种情况。
导体表面上，电场与导体表面垂直。
这是因为在导体表面上，导体内部的电荷会受到表面电荷的驱动，沿着导体表面朝水平方向运动，最终达到平衡状态。
4.3 介质表面的边界条件介质表面的边界条件与导体表面的边界条件相似，但不完全相同。
在介质表面上，电场仍然与表面垂直，但电场的强度在介质表面的两侧有所变化。
4.4 电势的边界条件电势是电场的一种特殊形式，它表示单位正电荷在电场中移动所具有的能量。
在讨论边界条件时，我们也需要考虑电势的变化情况。
五、总结静电场的边界条件是解决静电场问题的关键之一。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来确定相应的边界条件。
不同的边界条件将会对电场和电荷分布产生影响，因此我们必须认真考虑边界条件的选择和分析。
通过对静电场的边界条件的全面、详细、完整的探讨，我们可以更好地理解和应用静电场的理论，解决实际问题。
物理学中的基本方程和边界条件物理学是一门探究自然现象和规律的学科，而其中的基本方程和边界条件则是物理学研究的基础，也是实践中应用的重要内容。
本文将围绕物理学中的基本方程和边界条件展开深入探讨。
一、基本方程基本方程是指物理学中描述物质和场的运动与变化的方程，它们是物理学研究的重要基础。
基本方程包括牛顿力学的牛顿第二定律、热力学的热力学第一定律、电磁学的麦克斯韦方程等等。
例如，牛顿第二定律是牛顿力学中最基本的方程之一，它描述了质点在外力作用下的运动规律。
其表达式为F=ma，其中F表示作用在物体上的力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第二定律包含了牛顿力学中质点的运动规律，是牛顿力学的核心和基础，广泛应用于物理学和工程学等领域中。
另外一个例子就是热力学第一定律，它描述了热量和机械功的转化关系。
其表达式为Q=W+U，其中Q表示系统所吸收或放出的热量，W表示系统所做的功，U表示系统的内能变化。
热力学第一定律是热力学中最基本的方程之一，它揭示了热量能量和机械能量之间的关系，是热力学研究的基础。
由此可见，基本方程是物理学研究的基础，它们描述了物质和场的基本运动规律和变化过程，应用广泛，为实践提供了基础理论支撑。
二、边界条件边界条件是指在某个区域内物理量的取值在区域的边界上受到限制的条件。
边界条件是物理学中物理量的求解和分析的重要基础，是大量物理问题的解决关键。
例如，在静电场理论中，边界条件常常是描述电势的拉普拉斯方程的充分条件，它对边界周围电势场的取值作出限制。
在电场理论中，边界条件通常是描述电场分布的亥姆霍兹方程的充分条件，它对边界周围电场的取值也作出了限制。
这些边界条件在电场和电势的求解中起到了至关重要的作用。
另一个例子是在热传导方程的求解中，边界条件是描述温度场分布的重要限制条件，它对边界周围温度场的取值作出了精确的限制。
这些边界条件在热传导领域的求解中具有重要的应用。
综上可见，边界条件是物理学中物理量的求解和分析的基础，约束了物理量在区域边界上的取值。
静电场的边界条件公式
物理学术语，指某种空间区域，其中具有一定性质的物体能对与之不相接触的类似物体施加一种力，如引力场、电场、磁场等。
电荷周围存在电场。
电荷和电荷之间有力的作用，这个作用就是依靠电场来传递的。
仅由相对于观察者静止的电荷产生的电场，称为静电场。
为了具体地度量电场，引入一个试验电荷。
试验电荷必须有三个性质：1.正电荷：统一电性。
2.点电荷：测量一点的电场。
3.电量足够小：不至于影响原电场。
把试验电荷放在电场中，它会受到一个力的作用，称为电场力。
实验证明，电场力的大小F与试验电荷的电量q成正比，定义电场强度(简称场强)Ē=F，它是矢量，方向和正电荷受到的电场力方向相同，单位为N/C或V/m.电场强度遵循矢量叠加规则。
试验电荷与电场强度在外加电场为Ē的地方放置一电量为Q的点电荷，则它受到外加电场的电场力F=Ē Q。
在三维空间中，对于一个确定的电场，每一点都对应一个电场强度矢量，可记为函数Ē(x，y,z，这是一个向量场，可以用多元微积分中的场论来研究它。
2.5 静电场基本方程 分界面上的衔接条件
2.5.1 静电场的基本方程
总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程
⎰=⋅l 0d l E （2.5.1） ⎰=⋅S q S D d （2.5.2）
0=⨯∇E （2.5.3） ρ=⋅∇D （2.5.4）
称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。
方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。
基本方程的微分形式显得更为重要。
一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。
从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E 、D 、φ）的分布，在不同介质分界面上它不成立。
由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。
研究介质极化的影响，有
D = ε0
E + P （2.5.5a ）
D = ε E
（2.5.5b ）
方程（2.5.5a ）和（2.5.5b ）是联系D 、E 的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。
（2.5.5a ）对任何介质均成立，方程（2.5.5b ）只适用于各向同性线性介质。
2.5.2 介质分界面上的衔接条件
在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向
都可能发生突变，导致了在不同介质的分界面上D 、E 不连续。
在此处，静电场基本方程的微分形式不再适用，我们从基本方程的积分形式出发，导出介质的分界面衔接条件的出发点。
分界面两侧为各向同性线性介质，介电系数分别为ε1和ε2，同时还需要规定分界面正法线方向：由介质1指向介质2，有n e 。
（1）E 应满足的介质分界面衔接条件
假设我们站在分界面上的某点P 处，可视分界面为无限大。
分解场量E 为切向分量和法向分量。
在P 点处跨分界面处作十分窄小的矩形闭合回路l ，与分界面平行的回路长边为∆l ，在∆l 上可认为E 不变，回路短边为∆m ，它十分短 ∆m →0。
取回路l 所围面积∆S 的正方向为由屏幕穿出，其正法向单位矢量n 'e 。
在ε2介质侧定义回路l 的循行方向，使∆l
()l n n ∆⨯=∆'e e l
由环路定律的积分形式
()()0d 1212=∆⋅-=∆-⋅+
∆⋅=⋅⎰l E E l E l E
l E l
()()012=∆-⋅⨯'l n n E E e e
()[]012=-⨯⋅'E E e e n n
()012=-⨯E E e n （2.5.6）
得E 应满足的介质分界面衔接条件。
上式的标量式
t t E E 21= （2.5.7）
它表明，在不同介质分界面上，电场强度的切向分量总是连续的。
（2）D 应满足的介质分界面衔接条件
分界面上E 的衔接条件
E 1t
t
E E
在分界面上包围P 点作一很小的扁圆柱，它的上下底面∆S 与分界面平行，且∆S 很小，可认为在∆S 上D 近似不变；扁圆柱的高∆h 十分小，可视∆h →0。
对于这个小闭合面，应用高斯定律
()S D S D S D ∆-⋅+∆⋅=⋅⎰12d S
S n ∆-⋅=)(12D D e
h S S ∆∆+∆=ρσ
当∆h →0时，体电荷的贡献为零，有
σ=-⋅)(12D D e n （2.5.8）
得D 应满足的介质分界面衔接条件。
该式量值为
σ=-n n D D 12 （2.5.9）
这说明介质分界面上存在有自由面电荷时，介质分界面两侧的电位移矢量不连续。
（3）静电场的折射定律
在介质分界面上若 0=σ，两侧的各向同性线性介质中有111E D ε=、222E D ε=，入射角11βα=，折射角22βα=，则E 、D 的分界面衔接条件可写成
2211sin sin ααE E =
222111cos cos ααE εE ε=
两式相除得
2
121tg tg εε
=αα （2.5.10）
称为静电场的折射定律。
2.5.3电位表示的介质分界面衔接条件
用电位进行计算，需要用到由它表示的分界面衔接条件。
对于两种不同介质的分界面上，由分界面衔接条件t t E E 21=和ϕ-∇=E ，得
D 2t
D 1t
分界面上D 的衔接条件
t t e e ⋅-∇=⋅∇-21ϕϕ
t
t ∂∂-=∂∂-21ϕϕ
等式两端分别对t 积分，得
C +=21ϕϕ
其中C 为积分常数。
设1ϕ和2ϕ分别是分界面两侧的对应两点A 、B 的电位，而A 、B 两点非常靠近（距离d AB →0），考虑到电场强度为有限值，分界面两侧相距离无限小的A 、B 两点间的电位差应等于零，所以积分常数C 为零，得
21ϕϕ= （2.5.11）
再由σ=-n n D D 12，得
σϕϕ=∂∂-∂∂n
εn ε22
11 （2.5.12） 上两式即为电位表示的介质分界面衔接条件。
2.5.4 导体与介质相界面的情况
设与导体相界的是媒质2，分界面正方向由导体指向介质。
由分界面衔接条件
()012=-⨯E E e n
σ=-⋅)(12D D e n
并考虑导体中没有电场，应有 021==t t E E ，n n D e D 22=，于是在紧靠导体侧的介质表面上有
02=⨯E e n （2.5.13） σ=⋅2D e n （2.5.14）
称为介质的边界条件。
根据（2.5.14）式可计算出导体表面的自由电荷面密度。
若用电位来表述这种边界条件，有
21ϕϕ=（=导体的电位） （2.5.15）
σϕε-=∂∂n
2
2 （2.5.16）
2.5.5 计算举例
例1： 图1所示平板电容器，已知d 1、d 2、ε1和ε2，极板间电压0U ，试求出其中的电场强度和电位的分布。
解: 平板电容器板间距离远小于平板尺寸，可认为极板为无限大，忽略边沿效应。
如图1中所示，两种电介质均为各向同性线性均匀介质，同种介质电场均匀，E 、D 沿x 轴方向，与介质分界面垂直。
在分界面上无自由电荷，按衔接条件，应有电位移D 相等，故
⎩⎨
⎧=+=0
22112
211U d E d E E εE ε 求得
x U d εd εεe E 01
2212
1+=
x U d εd εεe E 01
2211
2+=
取右极板处为电位参考点，在第二种介质中
()()x d d d d U x x d d x
x -++=
⋅=⎰+211
2210
1222
1d εεεϕe E
在第一种介质中
()⎰⎰+⋅+⋅=2
11
1d d 211d d d
x d x x x x x e E e E ϕ
()[]21121
2210
d x d d d U εεεε+-+=
o
图1
U d 1
d 2
ε1
ε2
x
例2：图2所示平板电容器，已知S 1、S 2、1ε和2ε，两极板上的总电荷分别为0q +和0q -，试求出其中的电场强度。
对图2所示情况，由分界面衔接条件知，两种电介质中的电场强度E 相等
2211E E E E t t ===，而电位移D 不相等，使得每个极板上面积S 1和S 2两部分电荷密度不相等，设它们分别是1σ和2σ，应有
22221111E E x x εσεσ=⋅==⋅=D e ,
D e
由介质分界面条件和极板上的总电荷0q +
⎩⎨
⎧=+=0
22112
211q S S εεσσσσ// 解得
02
2111
1q S εS εε+=σ
02
2112
2q S εS εε+=
σ
电场强度为
x x x q S εS εεεD e e e E E 02
2111111
211
+====σ
作业：补充题1-6
图2
ε1
ε2
+q 0
-q 0
S 1 S 2
o
x。
