固体物理53平面波法

1.稻草、石墨烯和金刚石是一种元素组成的吗？为何存在外型和性能方面存在很大差异？同为碳元素，从微观角度来说碳元素的排列不同决定了宏观上性质及外型不同2.固体分为晶体、非晶体和准晶体，它们在微观上分别觉有什么特点？ 晶体的宏观特性有哪些？晶体有哪些分类？晶体长程有序，非晶体短程有序，准晶体具有长程取向性，没有长程的平移对称性；晶体宏观特性：自限性，解理性，晶面角守恒，晶体各向异性，均匀性，对称性，以及固定的熔点；晶体主要可以按晶胞、对称性、功能以及结合方式进行分类。

原胞是一个晶格中最小的重复单元，体积最小，格点只在顶角上，面上和内部不含格点。

晶胞体积不一定最小，格点不仅在顶角上，还可以在内部或面心上。

3.简单晶格与复式晶格的区别？简单晶格的晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同； 复式晶格的晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，这些网格的相对位移形成复式晶格。

4.假设体心立方边长是a,格点上的小球半径为R ，求体心立方致密度。

1=81=28N ⨯+ 单胞中原子所占体积为33148=33V N R R ππ⋅=4R = 体心立方体体积为32V a =致密度为3312423=8V V aπρ⎫⨯⎪⎝⎭== 5.晶面的密勒指数为什么可用晶面的截距的倒数值的比值来表征（把基矢看做单位矢量），提示：晶面一般用面的法线来表示，法线又可以用法线与轴的夹角的余弦来表示。

晶面的法线方向与三个坐标轴的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。

晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。

6.简立方[110]等效晶向有几个,表示成什么？110随机排列，任意取负，共12种，表示为<110>。

7.倒格子矢量Kh=h1b1+h2b2+h3b3 的大小，方向和意义(矢量Kh 这里h 为下标，h1, b1, h2, b2, h3, b3里的数字均为下标，b1, b2, b3 为倒格子原胞基矢)，提示：从倒格子性质中找答案。

固体物理英语固体物理基本词汇（汉英对照）一画一维晶格 One-dimensional crystal lattice一维单原子链 One-dimensional monatomic chain 一维双原子链 One-dimensional diatomic chain 一维复式格子One-dimensional compound lattice 二画二维晶格 Two-dimensional crystal lattice二度轴 Twofold axis二度对称轴 Twofold axis of symmetry几何结构因子 Geometrical structure factor三画三斜晶系 Triclinic system三方晶系 Trigonal system三斜晶系 Triclinic system刃位错 Edge dislocation小角晶界 Low angle grain boundary马德隆常数 Madelung constant四画元素晶体 Element crystal元素的电负性 Electronegativities of elements元素的电离能 Ionization energies of the elements 元素的结合能 Cohesive energies of the elements 六方密堆积 Hexagonal close-packed六方晶系 Hexagonal system反演 Inversion分子晶体 Molecular Crystal切变模量 Shear module双原子链 Diatomic linear chain介电常数 Dielectric constant化学势 Chemical potential内能 Internal energy分布函数 Distribution function夫伦克耳缺陷 Frenkel defect比热 Specific heat中子散射 Neutron scattering五画布喇菲格子 Bravais lattice布洛赫函数 Bloch function布洛赫定理 Bloch theorem布拉格反射 Bragg reflection布里渊区 Brillouin zone布里渊区边界 Brillouin zone boundary 布里渊散射 Brillouin scattering正格子 Direct lattice正交晶系 Orthorhombic crystal system正则振动 Normal vibration正则坐标 Normal coordinates立方晶系 Cubic crystal system立方密堆积 Cubic close-packed四方晶系 Tetragonal crystal system对称操作 Symmetry operation对称群 Symmetric group正交化平面波 Orthogonalized plane wave电子-晶格相互作用 Electron-lattice interaction 电子热容量 Electronic heat capacity电阻率 Electrical resistivity电导率 Conductivity电子亲合势 Electron affinity电子气的动能 Kinetic energy of electron gas 电子气的压力 Pressure of electron gas电子分布函数 Electron distribution function 电负性 Electronegativity电磁声子 Electromagnetic phonon功函数 Work function长程力 Long-range force立方晶系 Cubic system平面波方法 plane wave method平移对称性 Translation symmetry平移对称操作 Translation symmetry operator 平移不变性 Translation invariance石墨结构 Graphite structure闪锌矿结构 Blende structure六画负电性 Electronegativity共价结合 Covalent binding共价键 Covalent bond共价晶体 Covalent crystals共价键的饱和 Saturation of covalent bonds 光学模 Optical modes光学支 Optical branch光散射 Light scattering红外吸收 Infrared absorption压缩系数 Compressibility扩散系数 Diffusion coefficient扩散的激活能 Activation energy of diffusion 共价晶体 Covalent Crystal价带 Valence band导带 Conduction band自扩散 Self-diffusion有效质量 Effective mass有效电荷 Effective charges弛豫时间 Relaxation time弛豫时间近似 Relaxation-time approximation扩展能区图式 Extended zone scheme自由电子模型 Free electron model自由能 Free energy杂化轨道 Hybrid orbit七画纯金属 Ideal metal体心立方 Body-centered cubic体心四方布喇菲格子 Body-centered tetragonal Bravais lattices 卤化碱晶体 Alkali-halide crystal劳厄衍射 Laue diffraction间隙原子 Interstitial atom间隙式扩散 Interstitial diffusion肖特基缺陷 Schottky defect位错 Dislocation滑移 Slip晶界 Grain boundaries伯格斯矢量 Burgers vector杜隆-珀替定律 Dulong-Petit’s law粉末衍射 Powder diffraction里查孙-杜师曼方程 Richardson-Dushman equation 克利斯托夫方程 Christofell equation克利斯托夫模量Christofell module位移极化 Displacement polarization声子 Phonon声学支 Acoustic branch应力 Stress 应变 Strain切应力 Shear stress切应变 Shear strain八画周期性重复单元 Periodic repeated unit底心正交格子 Base-centered orthorhombic lattice 底心单斜格工 Base-centered monoclinic lattices 单斜晶系 Monoclinic crystal system金刚石结构 Diamond structure金属的结合能 Cohesive energy of metals金属晶体 Metallic Crystal转动轴 Rotation axes转动-反演轴 Rotation-inversion axes转动晶体法 Rotating crystal method空间群 Space group空位 Vacancy范德瓦耳斯相互作用 Van der Waals interaction 金属性结合 Metallic binding单斜晶系 Monoclinic system单电子近似 Single-erection approximation极化声子 Polarization phonon拉曼散射 Raman scattering态密度 Density of states铁电软模 Ferroelectrics soft mode空穴 Hole万尼尔函数 Wannier function平移矢量 Translation vector非谐效应 Anharmonic effect周期性边界条件 Periodic boundary condition九画玻尔兹曼方程 Boltzman equation点群 Point groups迪. 哈斯－范. 阿耳芬效应 De Hass－Van Alphen effect胡克定律Hooke’s law氢键 Hydrogen bond亲合势 Affinity重迭排斥能 Overlap repulsive energy结合能 Cohesive energy玻恩-卡门边界条件 Born-Karman boundary condition费密-狄喇克分布函数 Fermi-Dirac distribution function费密电子气的简并性 Degeneracy of free electron Fermi gas 费密 Fermi费密能 Fermi energy费密能级 Fermi level费密球 Fermi sphere费密面 Fermi surface费密温度 Fermi temperature费密速度 Fermi velocity费密半径 Fermi radius恢复力常数 Constant of restorable force绝热近似 Adiabatic approximation十画原胞 Primitive cell原胞基矢 Primitive vectors倒格子 Reciprocal lattice倒格子原胞 Primitive cell of the reciprocal lattice 倒格子空间 Reciprocal space倒格点 Reciprocal lattice point倒格子基矢Primitive translation vectors of the reciprocal lattice倒格矢 Reciprocal lattice vector倒逆散射 Umklapp scattering粉末法 Powder method原子散射因子 Atomic scattering factor配位数 Coordination number原子和离子半径 Atomic and ionic radii原子轨道线性组合 Linear combination of atomic orbits离子晶体的结合能 Cohesive energy of inert crystals离解能 Dissociation energy离子键 Ionic bond离子晶体 Ionic Crystal离子性导电 Ionic conduction洛伦兹比 Lorenz ratio魏德曼－佛兰兹比 Weidemann－Franz ratio 缺陷的迁移 Migration of defects缺陷的浓度 Concentrations of lattice defects 爱因斯坦 Einstein爱因斯坦频率 Einstein frequency爱因斯坦温度 Einstein temperature格波 Lattice wave格林爱森常数 Gruneisen constant索末菲理论 Sommerfeld theory热电子发射 Thermionic emission热容量 Heat capacity热导率 Thermal conductivity热膨胀 Thermal expansion能带 Energy band能隙 Energy gap能带的简约能区图式 Reduced zone scheme of energy band 能带的周期能区图式 Repeated zone scheme of energy band 能带的扩展能区图式 Extended zone scheme of energy band 配分函数 Partition function准粒子 Quasi- particle准动量 Quasi- momentum准自由电子近似 Nearly free electron approximation十一画第一布里渊区 First Brillouin zone密堆积 Close-packing密勒指数 Miller indices接触电势差 Contact potential difference基元 Basis基矢 Basis vector弹性形变 Elastic deformation排斥能Repulsive energy弹性波 Elastic wave弹性应变张量 Elastic strain tensor弹性劲度常数 Elastic stiffness constant弹性顺度常数 Elastic compliance constant 弹性模量 Elastic module弹性动力学方程 Elastic-dynamics equation 弹性散射 Elastic scattering十二画等能面 Constant energy surface晶体 Crystal晶体结构 Crystal structure晶体缺陷 Crystal defect晶体衍射 Crystal diffraction晶列 Crystal array晶面 Crystal plane晶面指数 Crystal plane indices晶带 Crystal band晶向 direction晶格 lattice晶格常数 Lattice constant晶格周期势 Lattice-periodic potential 晶格周期性 Lattice-periodicity晶胞 Cell, Unit cell晶面间距 Interplanar spacing晶系 Crystal system晶体 Crystal晶体点群 Crystallographic point groups晶格振动 Latticevibration晶格散射 Lattice scattering散射 Scattering等能面 surface of constant energy十三画隋性气体晶体的结合能 Cohesive energy of inert gas crystals 滑移 Slip滑移面 Slip plane简单立方晶格 Simple cubic lattice简单晶格 Simple lattice简单单斜格子 Simple monoclinic lattice简单四方格子 Simple tetragonal lattice简单正交格子 Simple orthorhombic lattice简谐近似 Harmonic approximation简正坐标 Normal coordinates简正振动 Normal vibration简正模 Normal modes简约波矢 Reduced wave vector简约布里渊区 Reduced Brillouin zone禁带 Forbidden band紧束缚方法 Tight－binding method零点振动能 Zero-point vibration energy 雷纳德－琼斯势 Lenard－Jones potential 满带 Filled band十四画磁致电阻 Magnetoresistance模式密度 Density of modes漂移速度 Drift velocity漂移迁移率 Drift mobility十五至十七画德拜 Debye德拜近似 Debye approximation德拜截止频率 Debye cut-off frequency 德拜温度 Debye temperature霍耳效应 Hall effect螺位错 Screw dislocation赝势 Pseudopotential。

能带计算平面波方法
计算平面波方法（Plane Wave Method）是一种常用的计算材
料电子结构的方法，主要用于计算固体晶体的电子能带结构和物性。

以下是可以带计算平面波方法的步骤：
1. 准备晶体结构：首先要准备晶体结构的信息，包括原子的位置坐标和晶胞参数。

可以使用实验结果或者其他计算方法获得。

2. 设定计算参数：设定计算平面波方法的计算参数，包括选择的波函数基组、计算的精度和收敛准则等。

波函数基组一般是由平面波和赝势构成，通过选择适当的平面波截断能和赝势能来平衡计算精度和计算效率。

3. 生成平面波基组：根据设定的能量截断和晶胞参数，生成平面波基组。

平面波基组是由一组平面波组成，用于展开电子波函数表示。

4. 计算赝势：如果使用赝势方法，需要生成赝势。

赝势是用来近似描述原子核和价电子间的相互作用的势能，通过赝势可以将电子波函数的计算范围限制在局域空间内，减少计算量。

5. 执行总能量计算：使用平面波基组和赝势，通过求解波函数的Schrödinger方程，计算体系的总能量。

总能量包括动能、
电子-电子、电子-原子核相互作用等项。

6. 计算能带结构：根据总能量计算得到体系的能带结构。

能带结构是描述固体材料电子能级分布和能量间隙的重要参数，可
以通过求解电子的Bloch方程得到。

需要注意的是，计算平面波方法是一种基于密度泛函理论的计算方法，对于大系统的计算可能需要较高的计算资源和时间。

此外，对于一些特殊的体系（如过渡金属、化学反应等），可能需要使用更复杂的波函数基组和近似方法来提高计算精度。

量子力学中的薛定谔方程解析量子力学是研究微观世界中的粒子行为和现象的重要分支学科。

其中，薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了粒子的波函数演化规律。

本文将介绍薛定谔方程的基本原理和解析方法。

一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，用于描述微观粒子的行为。

薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是粒子的波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。

该方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的变化。

二、薛定谔方程的解析方法在实际应用中，我们通常采用特定形式的波函数来解析求解薛定谔方程。

下面介绍几种常见的薛定谔方程解析方法。

1. 分离变量法分离变量法是一种常用的薛定谔方程解析方法。

它的基本思想是将多变量波函数分解为若干个单变量的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程进行求解。

2. 平面波方法平面波方法是一种常见的简化模型，适用于特定情况下的薛定谔方程。

该方法假设波函数可以用平面波的线性叠加表示，然后通过代入薛定谔方程得到对应的能量本征值和本征函数。

3. 变分法变分法是薛定谔方程求解的一种非常灵活的方法。

该方法通过引入一组试探波函数，利用变分原理寻找使波函数能量达到最小值的解。

4. 系统对称性方法系统对称性方法适用于具有特殊对称性的系统。

通过利用系统的对称性，可以简化薛定谔方程的求解过程，并得到更加精确的解析解。

三、薛定谔方程的应用与发展薛定谔方程不仅在量子力学的基础研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个实际领域。

在原子物理学中，薛定谔方程用于描述电子在原子中的运动轨迹和能级结构，揭示了量子力学的基本规律，对原子光谱和分子结构的解释有重要贡献。

在固体物理学中，薛定谔方程应用于研究电子在晶体中的行为，解释了导电性等晶体性质，为材料科学和电子器件的发展提供理论基础。

在量子信息科学中，薛定谔方程被用于研究量子态的演化和测量，为量子计算和量子通信等领域的发展带来了新的可能性。

一、填空1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。

2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______;组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。

3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________;而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。

4晶体结构的最大配位数是____;具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。

5. 简单立方结构原子的配位数为______;体心立方结构原子的配位数为______.6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的.7。

金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子.8. 以结晶学元胞(单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。

9。

满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=⎧⋅===⎨≠⎩当时 （，当时关系的123,,b b b 为基矢，由112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______.10。

晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。

11。

晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______;其第一布里渊区的体积为_______。

12。

晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。

13。

晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________14。

固体物理习题参考答案1.尝试用Drude模型推导焦耳定律W=RI2解：记电子在两次碰撞之间经过的距离为l,导体横截面为S,总电子数为N,则R=lσS,I=jS.在Drude模型中j=−env,结合j=σE得到：j2=−envσE,因此nEv=−j2σe.因此，W=NF v=−nSleEv=Sle j2σe=Slj2σ=RI2￿此即焦耳定律。

2.用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：(1)波矢k的取值和k空间状态密度(2)能量空间状态密度(3)零温度时的费米能级和电子气总能(4)电子出现在空间任何一点的几率(5)平均动量(6)问：由上面这些结果，无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在哪里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？解：(1)容易得到无限深势阱内波函数的形式为ψ(x,y,z)=A sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z)其中,k i=n iπL,i=x,y,z;n i=±1,±2,±3,···由边界条件给出。

归一化波函数得到A=√8L3=√8V.由于每个状态在k空间所占的体积为∆k=π3/V,所以k空间状态密度为1∆k =Vπ3.(2)能量E到E+d E之间的状态数为d N=2×Vπ34πk2d k￿而d E= 22m2k d k→d k=(m2 2)1/21√Ed E所以d N=4Vπ2(2m2)3/2√E d E.能量空间状态密度为D(E)=d Nd E=4Vπ2(2m2)3/2√E.(3)状态密度积分得到电子总数∫E0F 04Vπ2(2m2)3/2√E d E=N.所以费米能级可表示为E0F =28m(3π2n)2/3,其中n=N/V。

因此系统总能量为∫E0F 04Vπ2(2m2)3/2E√E d E=35E0FN.(4)电子出现在空间任意一点的几率为|ψ(x,y,z)|2=8Vsin2(k x x)sin2(k y y)sin2(k z z).(5)电子x方向的平均动量为（y,z方向类似）<p x>=∫L0∫L∫Lψi∂ψ∂xd x d y d z=√2Ln xπi∫Lsinπn x xLcosπn x xLd x=0.(6)讨论驻波解：（a）驻波解不是动量算符的本征解。