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第四章 海洋中的声传播理论水声传播常用的方法：波动理论（简正波方法）——研究声信号的振幅和相位在声场中的变化；射线理论（射线声学）——研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题。
4.1 波动方程和定解条件1、波动方程当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：p t u -∇=∂∂ρ 0=⋅∇+∂∂u tρρρd c dp 2= 状态方程可写为：tc t p ∂∂=∂∂ρ2由状态方程和连续性方程可得：012=⋅∇+∂∂u tp c ρ 利用运动方程从上式中消去u可得0112222=∇⋅∇-∂∂-∇ρρp tp c p当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同。
引入新的从变量：ρϕp=，则可得0432********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇+∂∂-∇ρρρρϕϕt c 对于简谐波，222ω-=∂∂t ，则上式可写为：()0,,22=+∇ϕϕz y x K式中，2224321⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇-∇+=ρρρρk K 。
ϕ不是声场势函数，K 也不是波数。
在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则()z y x c k K ,,ω==，于是()0,,22=+∇ϕϕz y x k ()0,,22=+∇p z y x k p如果介质中有外力作用F，例如有声源情况，则有()ρϕϕFz y x K ⋅∇=+∇,,22在密度等于常数时，有()ρϕϕFz y x k ⋅∇=+∇,,22()F p z y x k p⋅∇=+∇,,22上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程——泛定方程。
2、定解条件满足物理问题的具体条件——定解条件。
物理量在介质边界上必须满足的条件。
（1）绝对软边界绝对软边界条件：声压为零界面方程表示为()t y x z ,,η=，()()0,,,,,==t y x z t y x p ηη——不平整海面 也称为第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布，则()()s t y x z p t y x p ==,,,,,ηη，称为第一类非齐次边界条件。
第四章 平面波本章从麦克斯韦方程及物质的本构关系出发，研究在均匀介质中平面波的传播及其主要特征。
首先讨论线性、均匀、各向同性介质中均匀平面波的传播，再推广到各向异性介质中的情况。
比平面波更复杂的电磁波也可用平面波展开，本章对此也作了讨论。
最后讨论平面波传播的传输线模型，为以后用传输线模型求解复杂的场问题打下基础。
4.1得出电场强度E 与磁场强度H 满足的波方程，4.2从波方程得到简单介质中的平面波解，4.3、4.4讨论平面波的极化特性以及平面波在有耗介质中的传播，4.5介绍色散与群速的基本概念，4.6与4.7分别研究电各向异性介质和磁各向异性介质中平面波的传播特征。
4.8讨论髙斯波束的平面波展开，4.9证明电磁波沿某一方向传播可与特定参数传输线上电压、电流波的传播等效，即电磁波传播的传输线模型。
4.1 波方程3.4已分析过，麦克斯韦方程组中两个旋度方程是独立的。
在两个旋度方程中电场强度E 与磁场强度H 耦合在一起。
从解方程角度看，先要将E 跟H “去耦”，即从两个旋度方程消去H （或E ），然后得到只关于E （或H ）的方程。
本节讨论无源、简单介质中麦克斯韦方程的解，所谓无源，就是指所研究的区域内不存在产生电磁场的源J 与ρv 。
对于简单介质，ε、μ是常量。
在这种特定情况下，将物质的本构关系（3.4.1）、（3.4.2）代入麦克斯韦方程（3.2.8）~（3.2.11），得到 ∇⨯E =–j ωμH （4.1.1） ∇⨯H = j ωεE （4.1.2） ∇⋅E = 0 （4.1.3） ∇⋅H = 0 （4.1.4） 式（4.1.1）、（4.1.2）两个方程中，只有E 和H 两个独立的场量，但E 和H 耦合在一起。
为了从这两个方程得到只关于E 或H 的方程，对式（4.1.1）取旋度，并将式（4.1.2）代入，得到 ()()()E E H E μεωωεωμωμ2=-=⨯∇-=⨯∇⨯∇j j j利用恒等关系()()E E E 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，而根据式（4.1.3），0=⋅∇E ，所以上式成为022=+∇E E μεω（4.1.5）同样对式（4.1.2）取旋度，将式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量运算恒等关系，得到022=+∇H H μεω（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并写成 ()022=⎩⎨⎧+∇HEk（4.1.7） 式中μεω22=k（4.1.8）在自由空间或真空中，μ = μ0，ε = ε0，k 记作k 000220εμω=k（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做无源简单介质中的波方程，在这个方程中E 跟H 不再耦合在一起。
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
第四章 平面波本章从麦克斯韦方程及物质的本构关系出发，研究在均匀介质中平面波的传播及其主要特征。
首先讨论线性、均匀、各向同性介质中均匀平面波的传播，再推广到各向异性介质中的情况。
比平面波更复杂的电磁波也可用平面波展开，本章对此也作了讨论。
最后讨论平面波传播的传输线模型，为以后用传输线模型求解复杂的场问题打下基础。
4.1得出电场强度E 与磁场强度H 满足的波方程，4.2从波方程得到简单介质中的平面波解，4.3、4.4讨论平面波的极化特性以及平面波在有耗介质中的传播，4.5介绍色散与群速的基本概念，4.6与4.7分别研究电各向异性介质和磁各向异性介质中平面波的传播特征。
4.8讨论髙斯波束的平面波展开，4.9证明电磁波沿某一方向传播可与特定参数传输线上电压、电流波的传播等效，即电磁波传播的传输线模型。
4.1 波方程3.4已分析过，麦克斯韦方程组中两个旋度方程是独立的。
在两个旋度方程中电场强度E 与磁场强度H 耦合在一起。
从解方程角度看，先要将E 跟H “去耦”，即从两个旋度方程消去H （或E ），然后得到只关于E （或H ）的方程。
本节讨论无源、简单介质中麦克斯韦方程的解，所谓无源，就是指所研究的区域内不存在产生电磁场的源J 与ρv 。
对于简单介质，ε、μ是常量。
在这种特定情况下，将物质的本构关系（3.4.1）、（3.4.2）代入麦克斯韦方程（3.2.8）~（3.2.11），得到 ∇⨯E =–j ωμH （4.1.1） ∇⨯H = j ωεE （4.1.2） ∇⋅E = 0 （4.1.3） ∇⋅H = 0 （4.1.4） 式（4.1.1）、（4.1.2）两个方程中，只有E 和H 两个独立的场量，但E 和H 耦合在一起。
为了从这两个方程得到只关于E 或H 的方程，对式（4.1.1）取旋度，并将式（4.1.2）代入，得到 ()()()E E H E μεωωεωμωμ2=-=⨯∇-=⨯∇⨯∇j j j利用恒等关系()()E E E 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，而根据式（4.1.3），0=⋅∇E ，所以上式成为022=+∇E E μεω（4.1.5）同样对式（4.1.2）取旋度，将式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量运算恒等关系，得到022=+∇H H μεω（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并写成 ()022=⎩⎨⎧+∇HEk（4.1.7） 式中μεω22=k（4.1.8）在自由空间或真空中，μ = μ0，ε = ε0，k 记作k 000220εμω=k（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做无源简单介质中的波方程，在这个方程中E 跟H 不再耦合在一起。
μεω=k 叫做传播常数，其物理意义以后会深入讨论。
式（4.1.7）在形式上与传输线上电压V 电流I 满足的波方程类似。
（V 、I ）是标量，而（E 、H ）是矢量，所以式（4.1.7）叫做矢量波方程。
4.2 平面电磁波要从无源、简单介质中E 和H 满足的波方程得到具体电磁问题的解，还要给出特定的边界条件。
本节研究边界趋于无穷远的情况。
传输线理论告诉我们，趋于无穷远的均匀传输线上只有入射波，没有反射波。
由此可推论，在边界趋于无穷远的情况下，均匀介质中不存在从无穷远反射回来的波。
在直角坐标系中E 、H 可表示为()()()()000,,,,,,,,z y x E z y x E z y x E z y x E z y x z y x ++= （4.2.1） ()()()()000,,,,,,,,z y x H z y x H z y x H z y x H z y x z y x ++=（4.2.2）将上述E 、H 表达式代入波方程（4.1.7）()()()()[]()()()[]0,,,,,,,,,,,,00000022=⎪⎩⎪⎨⎧+++++∇z y x z y x z y x H z y x H z y x H z y x E z y x E z y x E k z y xz y x（4.2.3）要使上式成立，只有等式左边每个分量都等于零，即()()()0,,,,,,)(22=⎪⎩⎪⎨⎧+∇z y x E z y x E z y x E k zy x（4.2.4a ）()()()0,,,,,,)(22=⎪⎩⎪⎨⎧+∇z y x H z y x H z y x H k zy x（4.2.4b ）所以对式（4.2.3）的求解归结为解标量波方程()0,,)(22=Φ+∇z y x k（4.2.5）式（4.2.5）可用熟知的分离变量法求解。
设),,(z y x Φ可分离成：())()()(,,z Z y Y x X z y x =Φ（4.2.6）将式（4.2.6）代入式（4.2.5）得到 0)()()()(2222222=+∂∂+∂∂+∂∂z Z y Y x X k zy x 或0)()()()()()()()()()()()(2222222=+∂∂+∂∂+∂∂z Z y Y x X k y Y x X zz Z z Z x X y y Y z Z y Y x x X 等式两边除以)()()(z Z y Y x X 得到0)()()()()()(2222222=+∂∂+∂∂+∂∂k z Z z z Z y Y y Y x X x x X （4.2.7）等式左边第一、二、三项分别只是x 、y 、z 的函数，要使它们加起来为常数–2k ，只能是每一项都等于某一待定常数222,,x y z k k k ---，即0)()(222=+x X k dx x X d x（4.2.8a ）0)()(222=+y Y k dyy Y d y（4.2.8b ） 0)()(222=+z Z k dzz Z d z （4.2.8c ） 以及 μεω22222==++k k k k z y x（4.2.9）式（4.2.8a 、b 、c ）的解分别为 x jk x e x X -~)( yjk y ey Y -~)(z jk z e z Z -~)(x jk x e -等表示沿x 方向传播到无穷远的波，另一个解x jk x e 等表示逆x 方向由无穷远传播来的波，因为假定边界趋于无穷远，不存在反射波，这个解可以不予考虑。
根据式（4.2.6），可得r k ⋅-++-=Φj z k y k x k j e e z y x z y x )(~)..(（4.2.10） 式中 000z y x k z y x k k k ++=（4.2.11）000z y x r z y x ++=k 叫做波矢，其绝对值k 叫做传播常数，k 2满足的方程（4.2.9）叫做介质的色散方程。
所以电场E 和磁场H 在均匀介质中每一分量的解为z y x i e E z y x E j i i ,,,),,(0==⋅-r k ， z y x i e H z y x H j i i ,,,),,(0==⋅-r k进一步得到r k r k r k z y x E r E ⋅-⋅-⋅-++==j z j y j x e E e E e E z y x 000000),,()(rk E ⋅-=j e 0（4.2.12） 式中 0000000z y x E z y x E E E ++=（4.2.13） 同理 rk H H r H ⋅-==j e z y x 0),,()(（4.2.14） 式中 0000000z y x H z y x H H H ++= （4.2.15） 计及时间因子tj e ω后，其解为)(0),(r k E r E ⋅-=t j e t ω （4.2.16）)(0),(r k H r H ⋅-=t j e t ω（4.2.17）这里我们省略了取实部的运算符号Re ，以后遇到类似情况不再特别说明。
从形式上看式（4.2.12）、（4.2.14）表示电场E 和磁场H 的解是一个常数矢量E 0、H 0与一个指数函数rk ⋅-j e的乘积。
即方向由常数矢量E 0、H 0决定，大小由标量函数rk ⋅-j e 决定。
这个解我们以后把它叫做平面波。
在深入讨论其物理意义之前，熟悉对式（4.2.12）、（4.2.14）所表示的场量进行散度、旋度运算是十分必要的。
【例4-1】求场量rk E E ⋅-=j e 0的E ⋅∇与E ⨯∇、E 2∇。
解：因为()()()()000000x y zx y z j k x k y k z j j k x k y k z x y z j e e xy z j k k k e j e -++-⋅-++-⋅⎛⎫∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂⎝⎭=-++=-k r k rx y z x y z k（4.2.18）再利用矢量运算恒等关系（1.5.50）、（1.5.51）得到()()()E k E k E E E E rk 0r k r k r k ⋅-=⋅-=⋅∇+∇⋅=⋅∇=⋅∇⋅-⋅-⋅-⋅-j ej e e e j j j j 000（4.2.19）()()Ek E k E E E E rk 0r k r k r k ⨯-=⨯-=⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇⋅-⋅-⋅-⋅-j e j e e e j j j j 000（4.2.20）()()E E E E r k r k 2020k e e j j -=∇=∇⋅∇=∇⋅∇⋅-⋅-（4.2.21）波方程的解（4.2.12）、（4.2.14）有丰富的内涵：1．E 、H 、k 三者相互垂直，且构成右手螺旋关系，模|E |与|H |之比为一常数，叫做波阻抗。
将式（4.2.12）、（4.2.14）代入麦克斯韦方程组中两个旋度方程可得到001E k H ⨯=ωμ（4.2.22）001H k E ⨯-=ωε（4.2.23）引入单位波矢κ0使得κ0·κ0=1，k =k κ0 则式（4.2.22）、（4.2.23）成为 H 0 = Y κ0⨯E 0 （4.2.24）E 0 = –Z κ0⨯H 0 （4.2.25） 式中εμωεωμ///1====k k YZ （4.2.26）Z 、Y 叫做均匀介质中平面波的本征阻抗或本征导纳。
本征阻抗也叫波阻抗，习惯上也用η表示。
对于自由空间，波阻抗为00/εμ= 377Ω，习惯上用η0表示。
由两个散度方程0 ,0=⋅∇=⋅∇H E 及式（4.2.24）、（4.2.25）还可得到E 0，H 0，κ 0三者正交。
κ0·H 0=0（4.2.27a ）κ0·E 0=0 （4.2.27b ） E 0·H 0=0（4.2.27c ） 因此我们可以选择一个特定的坐标系使得 E 0 = E 0x 0 （4.2.28a ） H 0 = H 0y 0 （4.2.28b ） k = k z 0（4.2.28c ）在这个特定坐标系中，电场、磁场、波矢各只有一个分量。
