线性系统的状态空间分析法
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第九章线性系统的状态空间分析法一、教学目的和要求通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。
三、教学内容：以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。
1、系统数学描述的两种基本方法一种是外部描述。
一种是内部描述。
对比举例2、系统描述中常用的基本概念输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形3、系统状态空间描述常用的基本概念状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。
将概念讲解、举例、对比来加深理解。
4、举例熟悉对概念理解5、根据系统机理建立状态空间表达式方法步骤：①确定输入输出向量；②根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程；③选择状态变量，根据方程建立状态方程；④列写输出方程；⑤将状态方程、输出方程变换为向量—矩阵形式。
举例：RLC网络（单输入-单输出）；机械位移系统（双输入-三输出）第一节 线性系统的状态空间描述一、教学目的和要求掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点由传递函数建立状态空间表达式 三、教学内容：1、由系统微分方程建立状态空间表达式方法（单输入-单输出） （1）系统输入量中不含倒数项。
()(1)(2)12100...n n n n n y a y a y a y a y uβ∙----+++++=式中y ,u 分别为系统的输出、输入量；0110,,...,,n a a a β-是由系统特性确定的常数。
由于给定n 个初值1(0),(0),...(0)yn y y - 及t ≧0的u （t ）时，可唯一确定t>0时系统得的行为，可选取n 个状态变量为(1),,...,12n x y x y x y n -===，故上式可化为12231 (011210)x xx xxx nn x a x a x a x un n n y xβ∙∙∙∙∙∙∙===-=----+-=再将上式写成向量-矩阵形式，并画出状态变量图。
（2）系统输入两种含有倒数项。
（m=n ）()(1)(2)12100()(1)...11...n n n n n y un n b u b ub n n y a y a y a a y b u -----++++-+++++=可按下列规则选择状态变量，设10;2,3,...,11x x y h ux h u i n i i i ⎫⎪⎬⎪⎭=-=-=--各h 值可按如下选取01110221120 (1)122310h b n h b a h n n h b a h a h n n h b ah a h a h n n n n n ==---=-----=---------记0112200...n n n n h b a h a h a h a h ----=-----故0112211...nn n n n n xa x a x a x a x h u---=-----+将上面微分方程写成向量-矩阵形式的动态方程。
（3）系统输入两种含有倒数项。
（m<n ） 可按下列规则选择状态变量，设;1,2,...,11x x yn x a y b u i n i i i i ⎫⎪⎬⎪⎭==+-=-+100n xa xb u =-+将微分方程式列写为向量-矩阵形式的动态方程。
2、由系统传递函数建立状态空间表达式方法12...()1210()12() (1210)n n n b s b s b s b s b n Y s n n G s n n n U s s a s a s a s an n --+++++--==--+++++--应用综合法有121210121210......()n n n n nn n n n sss n s a sa sa s a G sb ββββ--------+++++++++=+=()()n N s b D s +其中系数由综合除法得到为000111222111...n nn n n n n n n nb a b b a b b a b b a b ββββ------=-=-=-=-下面介绍几种由()()N s D s 导出几种标准形式动态方程的方法。
（1） N(s)\D(s)串联分解的情况。
将()()N s D s 分解为俩部分相串联，取Z 为中间变量，z,y 应满足.()(1)110.(1)110......n n n n n za za z a z uy zz zβββ----++++==+++选取状态变量...(1)123,,,...,n n x z x z x z x z-====，列写出状态方程和输出方程，其向量-矩阵形式的动态方程为 .,x A x b u y c x=+=式中[]0110121010 00001...00::::,,...:000...10...1n n A b c a a a a βββ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦上式中A 阵又称友矩阵，若状态方程中的A,b 具有这种形式，则称为可控标准型，画出状态变量图。
（2）N(s)\D(s)只含单实极点时的情况。
设D(s)可分解为12()()()...()n D s s s s λλλ=---式中1,...n λλ为系统的单实极点，则传递函数可展成部分分式之和1()()()()ni i ic Y s N s U s D s s λ===-∑而()()|,()i i i s N s c s D s λλ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦且有1()()ni i ic Y s U s s λ==-∑令状态变量 1()();i iX s U s s λ=-或()();1,2,...,i i ic X s U s i n s λ==-再进行拉氏反变换即可得到状态空间表达式， （3）N(s)\D(s)只含重实极点时的情况。
314()()()...()n D s s s s λλλ=---传递函数可展成下列部分分式和131112324111()()()()()()ni i ic c c c Y s N s U s D s s s s s λλλλ===+++----∑其状态变量的选取方法与只单实极点时相同。
3、举例 各种方法的应用小结： （1）由系统微分方程建立状态空间表达式方法。
（2）由系统传递函数建立状态空间表达式方法。
作业：9-119-3系统的传递函数矩阵一、教学目的和要求掌握变量之间的传递关系。
二、重点系统的传递函数矩阵 三、教学内容： 1、齐次状态方程的解状态方程 .()()x t A x t = （9-36） （1）幂级数法设状态方程（9-36）的解是t 的向量幂级数2012()......kk x t b b t b t b t =+++++其中1022033001216:1!kk b A b b A b b A b b A b k ====且0(0)x b =,故 2211()(......)(0)(0)2!k k A tx t I A t A t A t x e x k =+++++=（2）拉普拉斯变换法将(9-36)取拉氏变换有()()(0)sX s AX s x =+则 1()()(0)X s s IA x -=- 然后进行拉氏反变换求解. 2、状态转移矩阵的运算性质状态转移阵 2211() (2)!A t k kt e I A t A t A t k Φ==+++++具有如下性质[]121221112211212110(1)(0)(2)()()()(3)()()()()()(4)()(),()()(5)()()()(6)()()()(7)()()kIt A t t At t t t t t t t t t x t t t x t t t t t t t t kt --Φ=Φ=Φ=ΦΦ±=ΦΦ±=Φ±ΦΦ=Φ-Φ-=Φ=Φ-Φ-=Φ-Φ-Φ=Φ(8)若AB=BA ，则()A B t At Bt Bt At e e e e e +==若AB BA ≠,则()A B t At Bt Bt At e e e e e +≠≠ (9)若()t Φ为.()()x t Ax t =的状态转移阵,则引入非奇异变换x P x -=后的状态转移矩阵为1()At t P e P --Φ=(10)两种常见的状态转移矩阵123212...2(1)!...(),()(2)!::::::000 (00)...m tttttm t tt tttt tte teeem e t etee et t m e te e λλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ=Φ=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明和应用3、非奇次状态方程的解状态方程 .()()()x t Ax t Bu t =+ （1）积分法上式两边同乘以At e -,然后两边积分得000()()()()()tt x t t t x t t Bu d τττ=Φ-+Φ-⎰（2）拉普拉斯变换法: 两端取拉氏变换,得()()(0)()()tx t t x Bu t d τττ=Φ+Φ-⎰例 试求如下线性定常系统⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21213210x x xx的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t ）。
解 对于该系统，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210A其状态转移矩阵由下式确定 ])[()(11---==ΦA sI L et At由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-321321000s s s sA sI其逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3213)2)(1(1)(1s s s s s s s s s s s s s s A sI因此])[()(11---==ΦA sI L et At=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-----------ttt t ttt t e ee e eee e 22222222由于Ф-1（t ）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+---==Φ--tt tt tt tt Ate e ee ee e e et 222212222)( 例 求下列系统的时间响应：u x x xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1032102121式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。
