全称量词与存在量词 田儒森 鲁先进

第五节全称量词与存在量词知识清单1.全程量词及全称量词命题（1）短语“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.（2）通常，将含有变量x 的语句用⋅⋅⋅，，，)()()(x r x q x p 表示，变量x 的取值范围用M 表示，全称量词命题：“对M 中任意一个x ，)(x p 成立”，可用符号简记为：)(x p M x ，∈∀．2.存在量词及存在量词命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”等在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．（2）存在量词命题：“存在M 中的元素x ，)(x p 成立”，可用符号简记为：)(x p M x ，∈∃．3.全程量词命题与存在量词命题的否定（1）全称量词命题：)(x p M x ，∈∀，它的否定为：)(x p M x ⌝∈∃，．全称量词命题的否定为存在量词命题．（2）存在量词命题：)(x p M x ，∈∃，它的否定为：)(x p M x ⌝∈∀，．存在量词命题的否定为全称量词命题．（3）命题与命题的否定一定是一真一假4.简单的逻辑联结词（*不要求掌握）命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．（1）用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作q p ∧，读作“p 且q ”．（2）用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作q p ∨，读作“p 或q ”．（3）对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”．（4）简单复合命题的真假①q p ∧：q p ，有一假为假②q p ∨：q p ，有一真为真③p 与p ⌝：真假相对即一真一假（5）“q p ∨”的否定：“q p ⌝⌝∧”，“q p ∧”的否定：“q p ⌝⌝∨”题型训练题型一全称量词与全称量词命题1．下列不是全称量词的是（）A ．任意一个B ．所有的C ．每一个D ．很多2．下列命题中全称量词命题的个数为（）①正方形的对角线互相平分；②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．33．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是（）A ．对任意实数b a ，，都有02222<--+b a b a B ．梯形的对角线不相等C ．一次函数)0(>+=k b kx y 在R 上随着x 的增大而增大D ．xx R x =∈∃2，4．给出下列四个命题：①有理数是实数；②矩形都不是梯形；③122≤+∈∃y x R y x ，，；④凡是三角形，都有内切圆.其中全称量词命题是题型二存在量词与存在量词命题5．下列不是存在量词的是（）A ．有些B ．至少有一个C ．有一个D ．所有6．下列命题是存在量词命题的是（）A ．二次函数的图象关于y 轴对称B ．正方形都是平行四边形C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在实数大于等于37．下列命题中，既是真命题又是存在量词命题的是（）A ．xx R x -=∈∃，B ．存在实数x ，使012=+x C ．对任意的R x ∈，都有012>+x D ．菱形的两条对角线相等8．下列命题不是“32>∈∃x R x ，”的表述方法的是（）A ．有一个R x ∈，使得32>x 成立B ．对有些R x ∈，使得32>x 成立C ．任选一个R x ∈，都有32>x 成立D ．至少有一个R x ∈，使得32>x 成立题型三全称量词命题与存在量词命题的否定9．命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（）A ．所有能被2整除的整数都是奇数B ．所有不能被2整除的整数都不是奇数C ．存在一个能被2整除的整数是奇数D ．存在一个不能被2整除的整数不是奇数10．三个数c b a ，，不全为0的否定是（）A ．c b a ，，都不是0B ．c b a ，，至多一个是0C ．c b a ，，至少一个是0D ．c b a ，，都为011．命题“01202≥+->∀x x x ，”的否定是（）A ．01202<+->∃x x x ，B ．01202<+->∀x x x ，C ．01202<+-≤∃x x x ，D ．01202<+-≤∀x x x ，12．命题“0200200<->∃x x x ，”的否定是（）A ．0200200≥->∃x x x ，B ．0200200≥-≤∃x x x ，C ．0200200≥->∀x x x ，D ．0200200≥-≤∀x x x ，题型四根据命题求参数13．若R x ∈∀，022≥++a x x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1<a B ．1≤a C ．1>a D ．1≥a 14．若命题“m x R x >-∈∃21，”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A ．1<m B ．1≤m C ．1>m D ．1≥m 15．若命题“02312≤--<<-∃a x x x ，”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．316．已知命题0212≥-≤≤∀a x x p ，：，命题02222=+++∈∃a a ax x R x q ，：．（1）若命题p ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和q ⌝均为真命题，求实数a 的取值范围．综合训练1．下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“0122≤++∈∃x x R x ，”的否定为“0122≤++∈∀x x R x ，”；③命题“b a >是22bc ac >的必要条件”是真命题．A ．0B ．1C ．2D ．32．命题“2x x R x >∈∃，”的否定是（）A ．2x x R x <∈∀，B ．2x x R x ≤∈∃，C ．2x x R x ≤∈∀，D ．2x x R x <∈∃，3．设Z x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题B x A x p ∈∈∀2，：，则（）A ．B x A x p ∈∈∃⌝2，：B ．B x A x p ∈∉∃⌝2，：C ．Bx A x p ∉∈∃⌝2，：D ．Bx A x p ∉∉∀⌝2，：4．命题“R a ∈∀，方程032=--a x ax 有解”的否定是（）A ．R a ∈∀，方程032=--a x ax 无解B ．R a ∉∀，方程032=--a x ax 有解C ．R a ∈∃，方程032=--a x ax 无解D ．R a ∉∃，方程032=--a x ax 无解5．若“200<<∃x ，使得012020<+-x x λ成立”是假命题，则实数λ可能的值是（）A ．1B ．32C ．3D ．236．关于命题”，“01:2≠+∈∀x R x p 的叙述正确的是（）A ．p 的否定：012≠+∈∃x R x ，B ．p 的否定：012=+∈∀x R x ，C ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题7．若命题“a x x ><∃，2019”是假命题，则实数a 的取值范围是8．下列命题的否定是真命题的有①0412≥+-∈∀x x R x ，；②所有的正方形都是矩形；③0222≤++∈∃x x R x ，；④至少有一个实数x ，使02=-x x .第五节全称量词与存在量词参考答案题型一全称量词与全称量词命题1-4D ，C ，C ，①②④题型二存在量词与存在量词命题5-8D ，D ，A ，C题型三全称量词命题与存在量词命题的否定9-12D ，D ，A ，C题型四根据命题求参数13-15D ，A ，A 16．（1）1>a （2）10≤<a 综合训练1-6B ，C ，C ，C ，A ，C7．2019≥a 8．③。

全称量词与存在量词知识集结知识元全称量词与全称命题知识讲解1．全称量词和全称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．例题精讲全称量词与全称命题例1.存在x>0，3x（x-a）<2，则a的取值范围为（）A．（-3，+∞）B．（-2，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）例2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列命题错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是函数f（x）的极大值点，则f（x）在（x0，+∞）上是增函数D．函数f（x）可能是R上的增函数例3.若a、b不全为0，必须且只需（）A．ab≠0B．a、b中至多有一个不为0C．a、b中只有一个为0D．a、b中至少有一个不为0存在量词与特称命题知识讲解1．存在量词和特称命题【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x 0∈M ，有p （x 0）成立”简记成“∃x 0∈M ，p （x 0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题x ∈M ，p （x ）特称命题x 0∈M ，p （x 0）表述方法①所有的x ∈M ，使p （x ）成立①存在∃x 0∈M ，使p （x 0）成立②对一切x ∈M ，使p （x ）成立②至少有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立③某些x ∈M ，使p （x ）成立④对任给一个x ∈M ，使p （x ）成立④存在某一个x 0∈M ，使p （x 0）成立⑤若x ∈M ，则p （x ）成立⑤有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q ”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．例题精讲存在量词与特称命题例1.已知函数．f（x）=ax2+2x-e x，若对∀m，n∈（0，+∞），m>n，都有成立，则a的取值范围是（）A．B．（-∞，1]C．D．（-∞，e]例2.已知命题“∃x0∈[-1，1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（-，+∞）B．（4，+∞）C．（-2，4）D．（-2，+∞）例3.函数f（x）满足f'（x）=f（x）+，x∈[，+∞），f（1）=-e，若存在a∈[-2，1]，使得f （2-）≤a3-3a-2-e成立，则m的取值范围是（）A．[，1]B．[，+∞）C．[1，+∞）D．[，]当堂练习单选题练习1.下列命题中是真命题的是（）A．∃x0∈R，B．∀x∈R，lg（x2+1）≥0C．若x2>x，则x>0”的逆命题D．若x<y，则x2<y2”的逆否命题练习2.下列“非p”形式的命题中，假命题是（）A．不是有理数B．π≠3.14C．方程2x2+3x+21=0没有实根D．等腰三角形不可能有120°的角练习3.下列四个命题：p1：任意x∈R，2x>0；p2：存在x∈R，x2+x+1<0，p3：任意x∈R，sin x<2x；p4：存在x∈R，cos x>x2+x+1。

1.5全称量词和存在量词一、全称量词和存在量词 1. 全称量词与全称命题“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题．符号：∀，表示任意 2. 存在量词与特称命题“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作特称命题．符号：∃，表示存在【例1】判断下列全称量词命题的真假 （1）所有的素数都是奇数 （2）11,≥+∈∀x R x（3）对任意的一个无理数x ，x 2也是无理数 【例2】判断下列存在量词命题的真假 （1）有一个实数x ，使得0322=++x x（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 （3）有些平行四边形是菱形【例3】下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 至少有一个Z x ∈,使得32<x 成立B. 对任意的R b a ∈,，都有)1(222-+≥+b a b aC. x x R x =∈∃2，D. 菱形的两条对角线长度相等 【例4】给出下列四个命题：①有理数是实数；（这个命题虽然没有全称量词，但也是全称命题，只是省略了，应该这样理解这个命题“所有的有理数都是实数”） ②有些平行四边形不是菱形； ③022>-∈∀x x R x ，； ④12+∈∃x R x ，为奇数以上命题是真命题的是 3. 全称命题与特称命题的否定 （1）命题的否题一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这个新命题称为原命题的否定。

原命题和命题的否定的真假性对换，即原命题为真，它的否定为假；原命题为假，它的否定为真。

例如：“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”。

（2）全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“存在某一个”等短语，使命题进行否定（不成立）例：“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整数的整数不是奇数”（3）特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明“所有的对象”都不满足这一性质，实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题． 对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需把“存在一个”“至少有一个”等存在量词，变成“一个都不存在”“所有的”等短语，使命题进行否定（不成立）例：“有些整数既能被2整除，又能被3整除”的否定是“所有的整数都不能既能被2整除，又能被3整除”【例5】写出下列命题的否定（1）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上（2）对任意2x Z x ，∈的个位数字不等于3（3）存在实数a ，使得a 没有意义（4）存在一个实数对()y x ，，使得032>-+y x 成立【例6】先判断是全称命题还是特称命题，并写出下列命题的否定： (1)三个给定产品都是次品；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)方程x 2－8x ＋15＝0有一个根是偶数；(4)有的四边形是正方形.【例7】命题“对于任意的R x ∈,0123≤+-x x ”的否定是（ ）A ．不存在R x ∈，0123≤+-x xB ．存在R x ∈，0123≥+-x xC ．对任意的 R x ∈，0123>+-x xD ．存在R x ∈，0123>+-x x【例8】判断下列命题的真假（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对),(y x 都对应一点P. ( ) （2）每一条线段的长度都能用正有理数来表示. ( ) （3）至少有一个直角三角形不是等腰三角形. （ ）（4）存在一个实数x ，使得方程062=++x x 成立. （ ） （5）0232=+-∈∃x x R x ，. ( )（6）()2222,,y xy x y x Z y x +-=-∈∀. ( )补充：逻辑联结词：且“∧”、或“∨”、非“⌝” 1. 逻辑联结词“且”①定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题p 且q ． ①命题p 且q 的真假判定①逻辑联结词“且”与集合中的A 与B 的交集： A ∩B ＝{x |x ①A 且x ①B }. 2. 逻辑联结词“或”①定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题p 或q ． ①命题p 或q 的真假判定①逻辑联结词“或”与集合中的A与B的并集：A①B＝{x|x①A或x①B}.3. 逻辑联结词“非”①定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作：﹁p；读作：非p或p 的否定．①命题﹁p的真假判定①逻辑联结词“非”与集合中的“补集”来定义集合A在全集U中的补集：①U A={x|x①U且x①A}.4．命题“p且q”与“p或q”的否定命题：①﹁(p且q)＝﹁p或﹁q；①﹁(p或q)＝﹁p且﹁q【例9】分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“ ﹁p”形式的命题．(1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．【例10】若﹁p或q是假命题，则()A．p且q是假命题B．p或q是假命题C．p是假命题D．﹁q是假命题【例11】已知p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若﹁p 是假命题，则a 的取值范围是什么？课后练习1．将命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题为( ) A ．对任意x ，y ①R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立 B ．存在x ，y ①R ，使x 2＋y 2≥2xy 成立 C ．对任意x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xy 成立 D ．存在x <0，y <0，使x 2＋y 2≤2xy 成立2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 3．下列语句中，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 ①菱形的四条边都相等；②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有的有理数都是实数4．命题“R x ∈∃,0123=+-x x ”的否定是（ ）A. 存在R x ∈∃，0123≠+-x x B ．不存在R x ∈，0123≠+-x x C ．对任意的 R x ∈，0123=+-x x D ．对任意的R x ∈，0123≠+-x x 5．命题“对任意的R x ∈，都有02≥x ”的否定为（ ） A. 对任意的R x ∈，都有02<xB ．不存在R x ∈，02<xC ．存在 R x ∈，02≥xD ．存在R x ∈，02<x 6．如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同7．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( ) A ．(﹁p )或qB ．p 且qC ．(﹁p )且(﹁q )D ．(﹁p )或(﹁q )8．已知命题p ：“任意x ①[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ①R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≤－2或a ＝1} B ．{a |a ≥1} C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2} D ．{a |－2≤a ≤1}9．已知集合{}21≤≤=x x A ，则命题“02≤-∈∀a x A x ，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．4≥aB ．4≤aC ．5≥aD ．5≤a 10．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(﹁p )①(﹁q ) B ．p ①(﹁q ) C ．(﹁p )①(﹁q )D ．p ①q11．命题“任意x ①R ，若y >0，则x 2＋y >0”的否定是 ． 12．写出下列命题的否定 （1）01,≠-+∈∀x x R x ；（2）R a ∈∃，一次函数a x y +=的图像经过原点13．能够说明“存在两个不相等的正数a,b ，使得ab b a =-是真命题”的一组有序数对()b a ,为14．判断下列命题的真假（1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （ ）（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （ ） （3）有些实数是无限不循环小数； （ ）（4）至少有一个整数n ，使得12+n 是4的倍数； （ ）15. 已知命题“02212≥++≤≤a x x x ，使”为真命题，求实数a 的取值范围。