高一零班5月考数学试卷

智才艺州攀枝花市创界学校上杭一中二零二零—二零二壹第二学期5月月考高一数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.每一小题给出的四个选项里面，有且只有一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上〕21x >的解集是〔〕A.{}1x xB.{}|1x x >±C.{}|11x x -<<D.{1x x 或者}1x <- 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式求解即可 【详解】不等式x 2>1， 移项得：x 2﹣1>0，因式分解得：〔x +1〕〔x ﹣1〕>0， 那么原不等式的解集为{x |x ＜-1或者x>1}． 应选：D ．【点睛】此题考察了一元二次不等式的解法，考察了转化的思想，是一道根底题，也是高考中常考的计算题．ABC ∆中，2a =，那么cos cos b C c B +=〔〕A.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】通过余弦定理把cos,cosC B用三边表示出来代入待求值式化简即可．【详解】b cos C＋c cos B＝b·2222a b cab+-＋c·2222c a bac+-＝222aa＝a＝2.【点睛】在边角混合出现的式子中，可用正弦定理或者余弦定理化边为角或者化角为边，然后用相应的公式化简变形．3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头〔最少一层〕几盏灯？〞〔〕A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【详解】设塔顶的1a盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7=381=71121-2a，解得13a=．应选：D．【点睛】此题考察等比数列的首项的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用．l 是直线，α，β是两个不同的平面〔〕A.假设l α，l β，那么αβB.假设l α，l β⊥，那么αβ⊥C.假设αβ⊥，lα⊥，那么l β D.假设αβ⊥，lα，那么l β⊥【答案】B 【解析】【分析】.【详解】对于A ．假设l∥α，l∥β，那么α∥β或者α，β相交，故A 错；对于B ．假设l∥α，l⊥β，那么由线面平行的性质定理，得过l 的平面γ∩α＝m ，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的断定定理，得α⊥β，故B 对；对于C ．假设α⊥β，l⊥α，那么l∥β或者l ⊂β，故C 错；对于D ．假设α⊥β，l∥α，假设l 平行于α，β的交线，那么l∥β，故D 错． 应选:B ． 【点睛】5.圆心和圆上任意两点可确定的平面有〔〕 A.0个 B.1个C.2个D.1个或者无数个 【答案】D 【解析】 【分析】按三点是否一共线讨论，利用平面的根本性质及推论能求出结果． 【详解】假设圆心和圆上两点一共线，那么可确定无数个平面假设圆上任意三点不一共线，∴由不一共线三点确定一个平面，得圆上任意三点可确定的平面有且只有1个． 应选：D ．【点睛】此题考察平面个数确实定，是根底题，解题时要认真审题，注意平面的根本性质及推论的合理运用．{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，那么10a =〔〕A.2ln10+B.29ln10+C.210ln10+D.11ln10+【答案】A 【解析】 【分析】由得a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭由此利用累加法能求出a n ,那么10a 可求 【详解】在数列{a n }中，a 1＝2，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++⎪⎝⎭∴a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭∴a n ＝a 1+〔a 2﹣a 1〕+〔a 3﹣a 2〕+…+〔a n ﹣a n ﹣1〕＝2+ln 2+33lnln2ln 22121n n n n ⎛⎫++=+⨯⨯⨯⎪--⎝⎭＝2+lnn ，故10a =2+ln10应选：A【点睛】此题考察数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．ABC ∆中，假设22cos 2Ab bc =+，那么ABC ∆为〔〕 A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰或者直角三角形D.直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简整理后表示出cos A ，再利用余弦定理表示出cos A ，整理后得到a 2+c 2＝b 2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．【详解】∵22cos2A b c b += ∴1cos 1cA b+=+,∴cos A=c b，又根据余弦定理得：cos A=2222b c a bc+-，∴b 2+c 2﹣a 2＝2c 2，即a 2+c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形． 应选：D ．【点睛】此题考察了三角形形状的判断，考察二倍角的余弦公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；纯熟掌握公式及定理是解此题的关键．x ，y 满足211x y+=，且不等式2220x y m m +--<有解，那么实数m 的取值范围为〔〕 A.(,2)(4,)-∞-⋃+∞ B.(,4)(2,)-∞-+∞C.(2,4)-D.(4,2)-【答案】B 【解析】 【分析】 由题222x ym m <++有解，利用根本不等式求x+2y 的最小值即可求解【详解】由题222x ym m <++有解()21422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y=2,x=4等号成立那么228m m +>，解得实数m 的取值范围为(,4)(2,)-∞-+∞应选：B【点睛】此题考察根本不等式的应用，考察不等式有解问题，二次不等式解法，准确计算是关键，是根底题A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，ACD ∆为等边三角形，且DC =，当目的出如今B 点〔A ，B 两点位于CD 两侧〕时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，那么炮兵阵地与目的的间隔约为〔〕 A.1.1km B.2.2kmC.2.9kmD.3.5km【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理得出∠CBD ＝60°，在△BCD 中，由正弦定理得出BD ，再在△ABD 中利用余弦定理解出AB 即可． 【详解】如下列图：∠CBD ＝180°﹣∠CDB ﹣∠BCD ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在△BCDsin 75BD ︒=故BD=2sin 75 在△ABD 中，∠ADB ＝45°+60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos105° ∴5232.9km ．故炮兵阵地与目的的间隔为2.9km 应选：C【点睛】此题考察解三角形的实际应用，考察正余弦定理的灵敏运用，准确运算是关键，是中档题P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，那么异面直线PA 与BE 所成角为〔〕A.90B.60C.45D.30【答案】C 【解析】 试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB∠即为异面直线PA与BE 所成的角．因为四棱锥CDP -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45应选C ．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】此题考察异面直线所成角，直线与平面所成的角，考察线面垂直，比较根底连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，以下结论中，正确结论的序号是____〔把所有正确结论序号都填上〕. ①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11B D ∥平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④二面角1D AC D --；⑤四面体11ACB D 的体积等于312a .A.①④B.①③C.③④D.③⑤【答案】B 【解析】 【分析】 逐项分析即可【详解】对①，截面为如下列图的正六边形，故正确；对②11B D 与平面1ACB 相交，故错误；对③，由题1BD ⊥,AC 又1AB ⊥面11A D B ，故1BD ⊥1AB ，所以1BD ⊥平面1ACB ，正确；对④，取AC 中点O,连接11,,,,D O DO D OAC DO AC ⊥⊥故1D OD ∠为二面角的平面角，又112,,tan 22D D a DO D OD ==∴∠=，故错误 对⑤，四面体11ACB D 的体积V=1111111123314323A AB DC CBD D CAD B CAB a a V V V V V a a 正方体--------=-⨯⨯=，故错误应选：B【点睛】此题考察空间几何体的性质，线面平行与垂直的断定，考察推理与计算才能，是中档题{}n a 满足：12a =，111n na a+=-，记数列{}n a 的前n 项之积为n P .，那么2021P =〔〕A.12-B.12C.1D.-1【答案】D 【解析】根据递推公式，考虑数列的周期性，通过详细计算前几项，发现周期性并利用．【详解】12a =，111n na a +=-,得2341,1,22a a a ==-= 数列的项开场重复出现，呈现周期性，周期为3． 且31P =-，2021＝3×673+2，所以2021P =〔﹣1〕673121a a ⨯=-应选：D ．【点睛】此题考察数列的递推公式，数列的函数性质﹣﹣周期性．发现周期性并利用是此题的关键． 二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将最简答案填写上在答题卡相应位置上〕ABD 中，60A ∠=︒，3AB =，2AD =，那么sin ABD ∠=______【答案】7【解析】 【分析】由余弦定理可得BD 的值，由正弦定理可得sin∠ABD 的值．【详解】由余弦定理可得：BD ==∴由正弦定理可得：sin∠ABD AD sin DAB BD ⋅∠==【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．{}n a 的前n 项2nSn n =+，假设(5)n n b n a =-，那么n b 的最小值为______【解析】 【分析】先由2n S n n =+求得n a ，再利用二次函数求n b 的最小值【详解】当12,2n n n n a S S n -≥=-=，当n=1,12a =满足上式，故n a =2n,(5)n n b n a =-=()25n n -,对称轴为n=52,故n=2或者3时，n b 最小值为-12故答案为-12【点睛】此题考察由n S 求数列通项，考察数列最值，考察计算才能，是根底题，注意n 为正整数，是易错题P 的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，那么垂足H 是三角形ABC 的__心【答案】垂直 【解析】 【分析】根据PA ，PB ，PC 两两垂直得线面垂直，最后由线面垂直可证明线线垂直，得垂足H 是△ABC 的垂心．从而选出答案．【详解】∵PH ⊥平面ABC 于H ， ∴PH ⊥BC ， 又PA ⊥平面PBC ， ∴PA ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAH ，∴BC ⊥AH ，即AH 是三角形ABC 的高线， 同理，BH 、CH 也是三角形ABC 的高线，∴垂足H 是△ABC 的垂心．故答案为垂【点睛】此题主要考察了三角形五心，以及空间几何体的概念、空间想象力，线面垂直的判断，属于根底题．P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，那么它的外接球的外表积为______. 【答案】412π 【解析】【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，那么x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9，∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R== ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积为24142R ． 故答案为：412π． 【点睛】此题考察球内接多面体，考察学生的计算才能，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 1111ABCD A B C D -.〔1〕假设1AD AA =，求异面直线1BD 和1B C 所成角的大小；〔2〕假设三个相邻侧面的对角线长分别为1，求外接球的外表积. 【答案】〔1〕2π；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕连接1BC 证明1B C ⊥面11BD C 即可求解〔2〕利用长方体外接球心在体对角线中点求解即可【详解】〔1〕连接1BC ，因为1AD AA =，那么1B C ⊥1BC ，又11C D ⊥面11BCC B 故11C D ⊥1B C ，又1111C D BC C ⋂=，故1B C ⊥面11BD C ，所以1B C ⊥1BD∴异面直线1BD 和1B C 所成角的大小为2π； 〔2〕设长方体的棱长分别为a,b,c,那么222222123a b c b a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩那么2223a b c ++=，那么2R=，那么外接球的外表积为243R ππ=【点睛】此题考察异面直线的夹角，线面垂直的断定，长方体的外接球，考察空间想象才能，是根底题 〔1〕解关于x 的不等式()42f x a ≤-；〔2〕假设对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕答案不唯一，详细见解析.〔Ⅱ〕4a ≤【解析】【分析】〔Ⅰ〕将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解.〔Ⅱ〕假设1x =那么a R ∈；假设(]1,4x ∈，那么参变别离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用根本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕()24f x a ≤-+即()2220x a x a -++≤，∴()20x a x （）--≤，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2x x =； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； 〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.〔Ⅱ〕对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，14x <≤，∴013x <-≤，∴4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=〞,4a ∴≤. 综上4a ≤. 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变别离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或者根本不等式来求.ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 22cos 2A A +=. 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围.【答案】〔1〕3A π=；〔2〕(2,3]l ∈【解析】【分析】〔1〕运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A ；〔2〕运用正弦定理，求得b ，c ，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．【详解】〔1〕根据二倍角公式及题意得212cos 2cos 2A A +=，即24cos 4cos 10A A -+=， ∴2(2cos 1)0A -=，.∴1cos 2A =.又∵0A π<<，∴3A π=. 〔2〕根据正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，得b B =，c C =. ∴11sin )l b c B C =++=++，∵3A π=，∴23B C π+=， ∴21sin sin3l B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴(2,3]l ∈. 【点睛】此题考察三角函数的化简和求值，考察正弦定理和二倍角公式及两角和差的正弦公式，考察正弦函数的图象和性质，考察运算才能，属于中档题．20.如图，ABC ∆1AE =，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD CD =，且BD CD ⊥.〔1〕求证：AE 平面BCD ；〔2〕求证：平面BDE ⊥平面CDE .【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，由平面BCD ⊥平面ABC ，得DM ⊥平面ABC ，再证AE DM 即可证明〔2〕证明CD ⊥平面BDE ，再根据面面垂直的断定定理从而进展证明．【详解】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，因为BD CD =，且BD CD ⊥，2BC=. 所以1DM=，DM BC ⊥.又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE DM 又因为AE ⊄平面BCD ，DM ⊂平面BCD ，所以AE平面BCD . 〔2〕连接AM ，由〔1〕知AE DM ， 又1AE =，1DM =，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE AM .又ABC ∆是正三角形，M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥， 因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，所以DE CD ⊥.因为BD CD ⊥，BD DE D ⋂=，所以CD⊥平面BDE . 因为CD ⊂平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .【点睛】此题考察了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的断定定理，考察空间想象和推理才能，熟记定理是关键，是一道中档题．{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-.〔1〕求数列{}n a 的通项公式.〔2〕求数列13n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】〔1〕323n na =⋅-；〔2〕1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+- 【解析】【分析】〔1〕利用a n +1＝S n +1﹣S n 即可得到a n +1＝2a n +3，转化为a n +1+3＝2〔a n +3〕，利用等比数列的通项公式即可得出其通项；〔2〕由123n n na n n =⋅-，利用错位相减法求{}2n n ⋅的和即可求解 【详解】〔1〕∵23nn S a n =-，∴1123(1)n n S a n ++=-+ 两式相减，得1123(1)23n nn n S S a n a n ++-=-+-+ ∴11223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+， 即1323n n a a ++=+1123S a =-即1123a a =-，∴13a = ∴首项136a +=，公比2q .∴1623323n n n a -=⋅-=⋅- 〔2〕∵123n n na n n =⋅-， ∴()231222322(123)n n S n n =⋅+⋅+⋅++⋅-++++，()2341212223222(123)n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅-++++， ()23122222(123)n n n S n n +-=++++-⋅+++++， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+-. 【点睛】此题综合考察了递推关系求等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法〞、“分组求和〞、等差数列求和，准确计算是关键，属于中档题．22.如图，四边形ABCD 是正方形，PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点.〔1〕求证：AF EF ⊥： 〔2〕在平面AEF 中，是否总存在与平面PAD 平行的直线？假设存在，请作出图形并说明：假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕证明AF ⊥平面PBC 即可证明〔2〕取AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，得平面FGH平面PAD ，由线面平行的性质定理可求 【详解】〔1〕证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，∴AF PB ⊥. ∵PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵AD AB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD∵BC⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥.∵四边形ABCD 是正方形， ∴BCAB ⊥.∵PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .∵AF ⊂平面PAB ，∴BC AF ⊥. ∵PB BCB ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AF ⊥平面PBC . ∵EF ⊂平面PBC ，.∴AF EF ⊥.AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，那么平面FGH平面PAD 设AE GH M ⋂=，连接MF ，因为平面FGH 平面PAD ，那么PD ∥平面FGH ，那么PD MF那么直线MF 即为所求直线.【点睛】此题考察线面垂直的断定定理及性质，面面平行的断定及性质定理，熟记定理，准确推理是关键，是根底题。

高一第二学期5月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.( ) 如果复数z 满足z(1−i)=2−i ，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，＝x ＋y ，且＝2，则( )OP → OA → OB → BP → PA →A ．x ＝，y ＝B ．x ＝，y ＝C ．x ＝，y ＝D ．x ＝，y ＝23131323143434143．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若，，，则B ．若，，则 α⊥βα∩β=n m ⊥n m ⊥βm ∥n n ⊂αm ∥αC ．若，，，则D ．若，，则m ∥αm ∥βα∩β=n m ∥n m ⊥αm ⊥n n ∥α4.已知点，，，，则在方向上的投影向量为 A(−2,1)B(−1,−1)C(1,2)D(3,4)AB CD A.B.C.D.(−12,−12)(−22,−22)(12,12)(22,22)5．如图，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 不是共面直线的图是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知向量与共线，其中是的内角.1sin ,2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (3,sin )n A A = A ABC ∆若BC=4，则面积的最大值（ ）ABC ∆SA.4B.6C.D.4 4√3√27. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）A ．B ．C ．D 1222338. 如图，在正四棱台中，，且各顶点都在同一ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AA 1=2A 1B 1=23球面上，则该球体的表面积为 A ．B ．C ．D ．16π974π1054π30π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学一、选择题：每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知点(4,1),(1,3)A B -，则与向量AB方向相同的单位向量是（ ）A ．34(,)55-B ．43(,)55-C ．34(,)55-D ．43(,)55- 2.判断下列命题中正确的个数（ ）（1）||||||a b a b ∙=；（2）若//a b ，//b c ，则//a c ；（3）00a ∙= ；（4）若θ是两个向量的夹角，则[0,]θπ∈.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3.在ABC ∆中，2C π∠=，(2,2)BC k =- ，(2,3)AC =，则实数k 的值是（ ）A ．5B ．-5C ．32D ．32-4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(,)m a c a b =+- ，(,)n b a =，且//m n ，则角C 为（ ） A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π5.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,4),(1,2)e e ==C ．12(1,2),(3,7)e e =-=D ．123(3,4),(,2)2e e =-=-6.在ABC ∆中，若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等比三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形7.在ABC ∆中，3A π=，3,a b =，则B =（ ）A ．6π或56πB ．3πC ．6πD ．56π8.在ABC ∆中，,24A a b π===，则这个三角形解的情况为（ ）A ．有一组解B ．有两组解C ．无解D ．不能确定9.在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ∙≥∙，则（ ）A ．090ABC ∠=B ．90BAC ∠= C ．AC BC =D ．AB AC =10.已知P 是ABC ∆所在平面上的一点，且点P 满足：0aPA bPB cPC ++=，则点P 为三角形的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知(4,2),(2,6)a b =-=-，则a 与b 的夹角为.12.在ABC ∆中，3,5,7a b c ===，则ABC ∆的面积为.13.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2,,26a B c π===，则ABC∆外接圆的半径为.14.已知函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +∙=.15.已知AB AC ⊥ ，1||||AB AC t=，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ∙ 的最大值为. 三、解答题 （每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，求AB 在CD方向上的投影.17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()b b a c a c =-+，且B ∠为钝角.（1）求角A 的大小；（2）若12a =，求b 的取值范围. 18.（1）已知向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ，且a c ⊥ ，//b c ，求||a b +；（2）已知O 是ABC ∆的外心，已知2,4AB AC ==，求AO BC ∙.19.在平面直角坐标系xOy 中，点(cos )A θθ，(sin ,0)B θ，其中R θ∈.（1）当23πθ=时，求向量AB 的坐标；（2）在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+ ，其中01x ≤≤，01y ≤≤，求动点P 的轨迹所覆盖的面积.参考答案CBABCDCBDC11.34π 13.2 14.6 15.1317.（1）由题意可得222b ac =-，222b c a +-=，∴c o s A =∴6A π=.（2）由正弦定理可得sin ,sin b B c C ==，∵B ∠为钝角，∴2A C π+<，∴03C π<<.∴1sin()cos cos()623b C C C C C ππ=+==+，18.解：（1（2）AO BC AO AC AO AB ∙=∙-∙，过O 作,OM AB ON AC ⊥⊥，因为O 是ABC ∆的外心，∴,M N 分别是边,AB AC 的中点，∴24126AO BC AO AC AO AB AN AC AM AB ∙=∙-∙=∙-∙=⨯-⨯=.19.解：（1）AB =（2）OP xOA yOB =+，其中01x ≤≤，01y ≤≤，所以点P 的轨迹所构成的图形为以,OA OB 为邻边的平行四边形，在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，由2222cos a b c bc A =+-，可得2512650c c --=，∴(5)(513)0c c -+=，∴5c =或135c =-（舍），∴1sin 2ABC S bc A ∆==ABC ∆的内接圆的半径23ABC S r a b c ∆==++O 作OM AB ⊥.∵O 是ABC ∆的内心，∴OM r =，∴152ABC S ∆=⨯=，∴平行四边形OADB 的面积S =.。

高一年级5月考试数学试卷(满分150分，答题时间120分钟)一､选择题(本题包括12个小题 毎小题5分，共60分.毎小题只有项符合題意) 1.若函数()y f x =的值域是[]1,3，则函数()()123F x f x =-+的值域是（ ）A.[5,1]--B.[]2,0-C.[]6,2--D.[]1,32.点 C 是线段AB 靠近点 B 的三等分点，下列正确的是（ ）A.3AB BC =u u u r u u u rB.2AC BC =u u u r u u u rC.12AC BC =u u u r u u u rD.2AC CB =u u u r u u u r3.sin 1212ππ+=（ ）A.0B. D.24.下列结论中正确的是（ ）①若//a b r r 且||||a b =r r ，则a b =r r ；②若a b =r r ，则 //a b r r 且||||a b =r r ；③若a r 与b r 方向相同且||||a b =r r ，则a b =r r ；④若a b ≠r r ，则a r 与b r 方向相反且||||a b ≠r r .A.①③B.②③C.③④D.②④5.已知33cos ,,252ααππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）B.C.45D.56.在ABC △中，sin cos sin cos A A B B =，则ABC △的形状为（） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 7.已知0.10.3log 2,2,sin 789a b c ︒===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a b c <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a << 8.已知函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数，则ϕ的值可以取（ ） A.56π B.2 3π C.6π D.3π 9.在平行四边形ABCD 中，若||||BC BA BC AB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r 则四边形ABCD 是（ ）A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定10.已知,sin 2cos 1,cos 2sin 22ππαβαβαβ-<-<-=+=，则sin 6πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.3B.3C.3±D.3± 11.如图，在ABC △中，13AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上的一点29AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r 测实数m 的值为（ ）A.1B.13C.19D.312.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当点 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =1()()g x f x x π=-- 在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为（ ） A.π B. 2π C. 3π D. 4π 二､填空题13. （1）已知,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，445sin cos 9θθ+=，则sin 2θ=____________. （2）已知点O 为ABC △内一点，230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则ABC AOCS S =△△____________. （3）函数324tan tan 12tan tan x x y x x-=++的最大值与最小值的积是____________.(4)OAB △中，AOB ∠角平分线交AB 于点C .设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，且c a b λμ=+r r r .给出下列结论：①1λμ+=；②；11,22λμ==③12,33λμ==；④||||,||||||||b a a b a b λμ==++r r r r r r ； ⑤||||,||||||||a b a b a b λμ==++r r r r r r .其中命题一定正确的序号是____________.(把你认为正确的都填上) 三､解答题(共70分)14.(10分)巳知 ,αθ为锐角，4tan ,cos()35ααθ=+=- （1）求cos2α的值；（2）求tan()αθ- 的值. 15.(12分)设12,e e u r u u r 是不共线的非零向量，且12122,3a e e b e e =-=+u r u r u u r u u r（1）证明：,a b r r 可以作为一组基底；（2）以,a b r r 基底，求向量123c e e =-u r r u u r 的分解式；（3）若1243e e a b λμ-=+u r u u r r r ，求,λμ的值.16.(12分)巳知函数2()cos cos f x x x x =+（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.（2）求()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 17.(12分)设12,e e u r u u r 是两个不共线的向量，已知 12121228,3,2AB e e CB e e CD e e =-=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r（1）求证：,,A B D 三点共线；（2）若以123BF e ke =-u u u r u r u u r ，且//BF BD u u u r u u u r ，求实数k 的值.18. (12分)如图，矩形ABCD的长AD = 宽1AB =，,A D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，, B C 两点在第一象限.求2OB 的最大值.19. (12分)设函数()f x 在定义域[1,1]-是奇函数，当[1,0]x ∈-时，2()3f x x =-. （1）当 [0,1]x ∈，求()f x ；（2）对任意[1,1],[1,1]a x ∈-∈-，不等式2()2cos sin 1f x a θθ≤-+ 都成立，求θ的取值范围.。

高一数学 第5次 月考试卷班级______姓名________ 命题教师—— 一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、函数1()f x x x=-的图象关于（ A ）A 、坐标原点对称B 、x 轴对称C 、y 轴对称D 、直线y x =对称 2、函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（B ）A 、[)3,+∞B 、(],3-∞-C 、{}3-D 、(),5-∞3、函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()f x 的表达式为（B ）A 、1x -+B 、1x --C 、1x +D 、1x - 4、设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（ A ）A 、()(3)(2)f f f π>->-B 、()(2)(3)f f f π>->-C 、()(3)(2)f f f π<-<-D 、()(2)(3)f f f π<-<-5、在ABC ∆中，0120C =，tan tan A B +=tan tan A B 的值为（B ） A 、14 B 、31 C 、12 D 、436、若2a =，6b =，3a b •=-，则a b +等于 （D ）A 、23B 、34CD 7、已知α是锐角，3(,sin )4a α=，1(cos ,)3b α=，且a ∥b ，则角α为 （ D ）A 、015B 、045C 、075D 、015或0758、若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+等于（ A ）A 、79-B 、13-C 、13D 、799、若29sin 25α=，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+-等于 ( C ） A 、2 B 、12 C 、12- D 、2- 10、已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ) 00(πϕω<>>，，A 的图象如下所示，则函数()f x 的解析式为（ D ）A 、)321sin(2)(π+=x x fB 、)321sin(2)(π-=x x fC 、)322sin(2)(π-=x x fD 、)322sin(2)(π+=x x f11、设,,a b c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =，则（A ）A 、a b c <<B 、c b a <<C 、c a b <<D 、b a c <<12、已知不等式()f x 2632sin cos 6cos 04442x x x m =+--≤对于任意的5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围是（ A ） A 、3m ≥ B 、3m ≤ C 、3m ≤- D 、33m -≤≤ 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、计算：103264()lg 252lg 23--++ 5 。

远东第一中学2021-2021学年度第二学期创作人：历恰面日期：2020年1月1日高一年级5月月考数学试题一、选择题：〔每一小题4分，一共40分〕1、把表示成的形式，使最小的值是〔〕A、 B、 C、 D、2、、、的大小关系为〔〕A、 B、C、D、3、,且,那么与的夹角是〔〕A、B、C、 D、4、那么以下不等式正确的选项是〔〕A、 B、C、 D、5、的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且，那么点P与的位置关系是〔〕A、P在内部B、P在外部C、P在AB边上或者其延长线上D、P在AC边上6、假设那么〔〕A、=B、=C、=D、=7、函数为增函数的区间是〔〕A、 B、 C、D、8、函数最小值是〔〕A、 B、 C、0 D、9、函数的定义域是〔〕A．B．C． D．10、向量，且夹角为，那么向量与的夹角的余弦的值是〔〕A、 3 〔B〕 C、 D、二、填空题：〔每一小题4分，一共20分〕11、函数的值域为12、假设那么13、将函数的图像上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，那么所得到的图像的函数解析式为14、，在方向上的投影为，那么15、，向量与向量平行，那么实数k的值是远东第一中学2021-2021学年度第二学期高一年级5月月考数学答题卡一、选择题：〔每一小题4分，一共40分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：〔每一小题4分，一共20分〕11、12、13、14、15、三、解答题：〔一共40分〕17、〔8分〕，，求与的夹角18、〔10分〕函数，〔1〕化简；〔2〕求的值19、〔10分〕函数在一个周期内，当时，y取最大值2 ，其图像与x轴的相邻两个交点的间隔为.〔1〕求此函数的解析式，〔2〕求函数的值域20、〔12分〕函数。

〔1〕用“五点法〞作出函数在上的图像；〔2〕写出函数在上的单调递增区间；〔3〕当时，求函数的值域创作人：历恰面日期：2020年1月1日。

高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．若复数为纯虚数，则实数x 的值为（ ）()2100(10)i z x x =-+-A ． B ．10 C ．100 D ．或1010-10-【答案】A【分析】根据复数为纯虚数知虚部不为0，实部为0求解即可. 【详解】为纯虚数， z 同时21000x ∴-=100x -≠，10x ∴=-故选：A2．某学校共有老、中、青职工人，其中有老年职工人，中年职工人数与青年职工人数相20060等．现采用分层抽样的方法抽取部分职工进行调查，已知抽取的老年职工有人，则抽取的青年职12工应有（ ） A ．人 B ．人 C ．人 D ．人12141620【答案】B【分析】利用分层抽样的性质求解. 【详解】由题意知： 抽取的青年职工应有：人 . 1220060(14602-⨯=故选：B.3．在中，，则边上的高为（ ） ABC A ,3,43A AB AC π===BCA ．BC ．D 2【答案】B【分析】利用余弦定理可求，利用等积可求边上的高.BC BC【详解】由余弦定理可得，故，22234234cos133BC π=+-⨯⨯⨯=BC =设边上的高为，故BC h 113422h ⨯=⨯⨯h =故选：B.4．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）BC a =BA b = 3BE EF = BFA ．B ．1292525a b + 16122525a b +C ．D ．4355a b + 3455a b + 【答案】B【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，BC a =，，BA b = 3BE EF =则34BF BC CF BC EA =+=+ 3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ ，解得，所以. 93164BC BF BA =-+ 16122525BF BC BA =+ 16122525a b BF =+故选：B5．在中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）ABC A 150,15ABC BAC ∠=︒∠=︒BABC A ． BC ．D ．12BC12BC - BC 【答案】D【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】由题意：||||BA BC =在方向上的投影向量为:BA ∴ BC .||cos ,cos150||BCBA BA BC BC BC →→→→→→→⋅<>⋅=︒⋅=6．已知直线a ，b ，平面α，β，，，，那么“”是“”的（ ）b αβ= //a αa b ⊥r ra β⊥αβ⊥A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】过直线作平面，交平面于直线，，，，由可推出a γαa '//a α //a a '∴ab '∴⊥a β⊥，由可推出，故“”是“”的充要条件．αβ⊥αβ⊥a β⊥a β⊥αβ⊥【详解】解：若，a β⊥过直线作平面，交平面于直线，，， a γαa '//a α //a a '∴又，， a β⊥a β'∴⊥又，， a α'⊆ αβ∴⊥若，αβ⊥过直线作平面，交平面于直线，，， a γαa '//a α //a a '∴，，a b ⊥Q a b '∴⊥又，，αβ⊥Q b αβ= ，，a β'∴⊥a β∴⊥故“”是“”的充要条件， a β⊥αβ⊥故选：．C7．如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB 的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原x 'y '图形△AOB 的周长是（ ）A ．B ．C ．D ．4444【答案】B【分析】根据所给斜二测画法的直观图，判断原三角形为等腰三角形且高为16，底为4即可求解.【详解】由直观图可知，原图形△AOB 是等腰三角形，且底边上的高为16，由勾股定理可得，△AOB 的周长为. =44=故选：B8．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为，，，n n 1x 2x L ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）n x A ．，，，的平均数 B ．，，，的标准差 1x 2x L n x 1x 2x L n x C ．，，，的众数 D ．，，，的中位数1x 2x L n x 1x 2x L n x 【答案】B【分析】利用平均数，标准差，众数，中位数的定义和意义直接求解．【详解】解：平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故A 选项错误，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B 可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故B 选项正确，众数表示一组数据中出现次数最多的数，故C 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故C 选项错误，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故D 选项错误． 故选：B ．二、多选题9．甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则（ ） A ．甲的10次成绩的极差为4 B ．甲的10次成绩的75%分位数为8 C ．甲和乙的20次成绩的平均数为8 D ．乙比甲的成绩更稳定【答案】ACD【分析】根据给定数据，计算极差、75%分位数、平均数、方差判断各选项作答. 【详解】甲的极差为，A 正确；1064-=将甲的10次成绩由小到大排列为： 6，7，7，7，8，8，8，9，10，10，而，1075%7.5⨯=所以甲的10次成绩的75%分位数为9，B 不正确；甲的10次成绩的平均数为8，而乙的10次成绩的平均数为8，则甲和乙的20次成绩的平均数为，C 正确；108108820⨯+⨯=甲的10次成绩的方差， 222221[(68)3(78)3(88)(98)2(108)] 1.610-+⨯-+⨯-+-+⨯-=显然，乙比甲的成绩更稳定，D 正确. 1.60.4>故选：ACD10．在中，，，下述四个结论中正确的是（ ）ABC A 2A π=2AB AC ==A ．若为的重心，则G ABC A 1331AG AB AC =+B ．若为边上的一个动点，则为定值2P BC ()AP AB AC ⋅+C ．若，为边上的两个动点，且的最小值为M N BC MN =AM AN ⋅ 32D ．已知为内一点，若，且，则的最大值为2 P ABC A 1BP =AP AB AC λμ=+λ+【答案】AC【分析】A.以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由为G 的重心，结合向量的数乘运算判断；B.设，把用含t 的代ABC A ()01BP tBC t =≤≤()AP AB AC ⋅+数式表示判断；C.不妨设M 靠近B ，，求得M ，N 的坐标，得到关于x ,0BM x x =≤≤AM AN ⋅的函数，利用二次函数求值判断；D. 由结合BP =1，得到，再令AP AB AC λμ=+ ()22114λμ-+=，转化为，利用三角111sin ,cos ,,2242ππλθμθθ⎛⎫-==∈ ⎪⎝⎭)1sin 1cos 126πλθθθ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭函数的性质求解判断.【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则，因为为的重心，所以，则()()()()()0,0,2,0,0,2,2,0,0,2A B C AB AC == G ABC A 22,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以 ，所以，故A 正确； 112222,00,,333333AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1331AG AB AC =+ 设，则，则()01BP tBC t =≤≤ ()1AP AB BP AB tBC t AC t AB =+=+=+-，()()()()1AP AB AC t AC t AB AB AC ⋅+=+-⋅+ ，故B 错误； ()()()22114414t AC AB t AC t AB t AB AC t t =⋅++-+-⋅=+-=不妨设M 靠近B ，,0BM x x =≤， 2,21,1M N x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则，当的最小值为22112AM AN x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ x =AM AN ⋅ 32：故C 正确；由，且P 为内一点，BP =1，则AP AB AC λμ=+ABC A，即，()11BP AP AB AB λμ=-=-+ ()22114λμ-+=令，则，111sin ,cos ,,2242ππλθμθθ⎛⎫-==∈ ⎪⎝⎭)1sin 1cos 126πλθθθ⎛⎫+=-+=++ ⎪⎝⎭因为，则，所以， ,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭52,6123πππθ⎛⎫+∈⎪⎝⎭1cos 62πθ⎛⎛⎫+∈- ⎪ ⎝⎭⎝所以的范围是，故D 错误. λ1,12⎛+ ⎝故选：AC11．已知中，，M 在线段BC 上，AM ＝2，∠BAM ＝ABC A sin sin cos B C A ＝tan A =∠CAM ，则下列说法正确的是（ ） A ．△ABC 是直角三角形 B ．sin A =C ．BM ＝6CMD ．△ABM 的面积为【答案】ABD【分析】根据内角和公式化简由此判断A ，再由sin sin cos B C A ＝tan A =sin A 由此判断B ，结合三角形面积公式判断C ，D.【详解】因为，故，即sin sin cos B C A ＝()sin sin cos A C C A +=sin cos cos sin sin cos A C A C C A +=，则，因为，则cos C ＝0，，故是直角三角形，故A 正确；sin cos 0AC =sin 0A ≠2C π=ABC A 因为，，解得故B 正确；22sin tan cos sin cos 1,A A A A A⎧==⎪⎨⎪+=⎩0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1cos ,8A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则， 11sin 2211sin 22ACM ABM CM AC AM AC CAM S S BM AC AB AM BAM ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠△△1cos 8CM AC A BM AB ===故C错误；，，解得，AB ＝12，212cos 18CAM ∠-=3coscos 4CAM BAM ∠==∠32AC =在△ABM 中，sin BAM ∠=所以D 正确，11sin 21222ABM S AM AB BAM =⋅⋅∠=⨯⨯=△故选：ABD ．12．如图,正方形中,分别是的中点将分别沿ABCD E F 、AB BC 、,,ADE CDF BEF ∆A A DE DF EF 、、折起,使重合于点.则下列结论正确的是、、A B C PA ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角的余弦值为P EF D --13D ．点在平面上的投影是的外心 P DEF DEF ∆【答案】ABC【分析】对于A 选项，只需取EF 中点H ，证明平面；对于B 选项，知三EF ⊥PDH ,,PE PF PD 线两两垂直，可知正确；对于C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于D 选项，由于，可判断正误.PE PF PD =≠【详解】对于A 选项，作出图形，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知和为等腰BEF ∆DEF ∆三角形，故,，所以平面，所以，故A 正确；根据折起前PH EF ⊥DH EF ⊥EF ⊥PDH PD EF ⊥后，可知三线两两垂直，于是可证平面，故B 正确；根据A 选项可知 ,,PE PF PD PDE PDF ⊥平面为二面角的平面角，设正方形边长为2，因此，，PHD ∠P EF D --1PE PF ==PH =，由余弦定理得：DH ==2PD ==，故C 正确；由于，故点在平面上的投影2221cos 23PH HD PD PHD PH HD +-∠==⋅PE PF PD =≠P DEF 不是的外心，即D 错误；故答案为ABC.DEF ∆【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.三、填空题13．若复数，且满足，则点所围成的图形面积为__________. i(,)z x y x y =+∈R i 1z -=(,)x y 【答案】π【分析】在复平面中，表示复数对应点之间的距离． 1||2z z -12z ,z 12Z ,Z 【详解】由可知到的距离为1， i 1z -=(,)Z x y (0,1)即点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， Z (0,1)点所围成的图形面积为． (,)x y π故答案为：．π14．在某个位置测得一旗杆的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来θ的2倍，继续在平行地面上前进4倍，则该旗杆的高度为______米．【答案】30【分析】在中，由余弦定理求得，得到，结合，EBC A 1cos 2ECB ∠=-60ECD ∠= sin 60DE EC = 即可求解.【详解】如图所示，在中，，EBC A 60,EB AB BC EC ====由余弦定理得， 1cos 2ECB ∠==-可得，， 120ECB ∠= 60ECD ∠=所以. sin 6030DE EC === 故答案为：.3015．如图，一块边长为4的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积与表面积之比为______．【答案】16【分析】设正方形纸片为，其内的小正方形为，取，的中点分别为，1111D C B A ABCD 11D C AD ,H G 连接，对称性可知，从而求出的长，从而得到正四棱锥中的斜高，从而可求1,D G DH 1DH =1DG 出其高，得到体积与表面积. 【详解】如图，设正方形纸片为，其内的小正方形为，做成的正四棱锥为 1111D C B A ABCD P ABCD -取，的中点分别为，连接11D C AD ,H G 1,D G DH 由题意，,由对称性可知，112,4BD A D ==1DH =12D H =所以 1DD =1D G ====即在正四棱锥中，，又 P ABCD -PG ==12OG AB ==所以2PO ===所以正四棱锥的体积为， P ABCD -21142333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=表面积 ,2281422S AD PG AD =⨯⋅+==⋅所以,41386V S ==故答案为：1616．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】578【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号． 【详解】根据题意第六行第六列的数是8，从8开始向右读，得到一个三位数808，由于808>600，将它去掉，继续向右读，得到436，436<600说明它在总体内，将它取出，继续向右读，得到789，789>600，将它去掉，再向右读，得到535，535<600，将它取出，按此方法向右读，直到取到第六个样本为止，获得6个样本的编号依次为：436，535，577，348，522，578，因此第6个样本编号为578. 故答案为：578.【点睛】本题考查随机数表法，属于基础题．四、解答题17．已知复数，，其中是实数． ()21i z a =-243i z =-a (1)若，求实数的值；12i z z =a (2)若是纯虚数，是正实数，求．12z z a 231003111122224444z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1) 2-(2) 1-【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解； （2）利用为纯虚数求，从而得，然后通过复数的周期性进行求解即可. 12z z a 124i z z =-【详解】（1）∵，， ()21i z a =-243i z =-12i z z =∴()22i i 12i 34a a a ==---+从而，解得，21324a a ⎧-=⎨-=⎩2a =-所以实数a 的值为．2-（2）依题意得： ()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z --+==--+()()()()2222223222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i aa a a a a -++-++-+==---()()22464383i25a a a a +-+--=因为是纯虚数，所以：，从而或；12z z 2246403830a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩2a =-12a =又因为a 是正实数，所以． 12a =当时，，所以， 12a =2113()24i i z =-=--12434i i 43i z z --==--因为，，，，……，，，，，（）1i i =2i 1=-3i i =-41i =41i i n +=42i 1n +=-43i i n +=-4i 1n =n N ∈所以231003111122224444z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2341003(i)(i)(i)(i)i （）=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-5678100110021003(i 1i 1)(i)(i)(i)(i)(i)(i)(i)⎡⎤⎡⎤=--+++-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-⎣⎦⎣⎦ 00(i 1i)=++⋅⋅⋅+--+1=-所以.2310031111222244441z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，，，O ()1,1OA =()2,3OB =- ()6,OC k =- (1)当时，试判断，，三点是否共线，写出理由； 29k =A B C (2)若，，三点构成直角三角形，求实数的值 A B C k 【答案】(1)共线，理由见解析(2)或34-5-【分析】（1）利用向量共线的条件进行运算求解即可； （2）分三种情况分别计算数量积为0时，实数k 的值即可.【详解】（1）因为,()()()2,31,11,4AB OB OA =-=--=- ,()()()6,291,17,28AC OC OA =-=--=-所以，且有公共点A ,故，，三点共线.7AC AB =-A B C （2）由(1)知，，，()1,4AB =- ()()()6,1,17,1AC OC OA k k =-=--=--，()()()6,2,38,3BC OC OB k k =-=---=-+若，则，即，.90A ∠=︒0AB AC ⋅= ()()17410k ⨯---=34k =-若，则，即，90B Ð=°0BA BC ⋅=u u r u u u r()()()18430k -⨯-++=5k =-若，则，即，，无实根. 90C ∠=︒0CA CB ⋅=()()()()78130k k -⨯-+-+=22530k k ++=故实数的值为或.k 34-5-19．在中，角，，的对边分别为，，，． ABC A A B C a b c sin cos C c A =3a =(1)求大小；A(2)若，求的面积． BC ABC A 【答案】(1) π6A =【分析】(1)由正弦定理化边为角，化简求解；(2)由余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求bc 面积.【详解】（1，sin cos C c A =，因为， sin sin cos A C C A =sin 0C ≠所以，所以，tan A =()0,πA ∈π6A =（2）设边上的中线为，在中，由余弦定理得：，BC AD ABC A 2222cos a b c bc A =+-即①．229b c =+在和中，，ADC △ADB A cos cos 0ADC ADB ∠+∠=所以，即222222022AD CD b AD BD c AD CD AD BD +-+-+=⨯⨯()22222=AD CD b c ++化简， 2215b c +=代入①式得bc =所以的面积 ABC A 111sin 222S bc A ==⋅=20．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A 和球，圆柱的()B底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球2.B(1)求球A 的体积；(2)求圆柱的侧面积与球B 的表面积之比. 【答案】(1)4π3【分析】（1）根据圆柱的轴截面分析即可；（2）直接利用球表面积、圆柱的侧面积公式计算即可．【详解】（1）设圆柱的底面半径为R ，小球的半径为r ，且， r R <由圆柱与球的性质知，2222(2)(22)(22)AB r R r R r ==-+-即，22420r Rr R -+=，r R <((22 1.r R ∴===球A 的体积为∴344ππ.33V r ==（2）球B 的表面积，214π4πS r ==圆柱的侧面积，22π24π(6πS R R R =⋅==+2圆柱的侧面积与球B∴21．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地AOB OMPN 摊”区域，点P 在弧上，点M 和点N 分别在线段和线段上，且米，AB OA OB 90OA =3AOB π∠=．记．POB θ∠=(1)当时，求；4πθ=OM ON ⋅(2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大OMPN S θθS 值．【答案】(1)；)13501(2)；当时，取得最大值.S 26πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π0θ3<<6πθ=S【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；OPM ,PM OM （2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据OPM θ,PM OM 三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.θ【详解】（1）根据题意，在△中，，又， OPM 2,,1234MOP PMO MPO πππ∠=∠=∠=90OP =故由正弦定理sin sin sin OP PM OMPMO MOP MPO==∠∠∠==解得，，45PM ON ==OM=故.OM ON ⋅)1cos 45135012OM ON AOB =⨯⨯∠=⨯=即.OM ON ⋅)13501=-（2）由题可知，在△中，， PMO 290,,,33OP PMO MPO MOP ππθθ=∠=∠=∠=-则由正弦定理， sin sin sin OP OM PMPMO MPO MOP ==∠∠∠sin sin3OM PMπθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭故可得，,3OM PM πθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故 1sin 23PMO S PMO MP MOπθθ⎛⎫=∠⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭A 21sin cos sin 32πθθθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ 112cos 244θθ⎫=+-⎪⎪⎭11sin 2264πθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦26πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)3πθ<<即.22)63PMO S S ππθθ⎛⎫==+-<< ⎪⎝⎭A 当时，，此时取得最大值.6πθ=sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭S 22．在正方体中，棱长，M ，N ，P 分别是，，的中点．1111ABCD A B C D -2AB =1C C 11B C 11C D(1)直线交PN 于点E ，直线交平面MNP 于点F ，求证：M ，E ，F 三点共线． 11A C 1AC (2)求三棱锥的体积． D MNP -【答案】(1)证明见解析 (2) 12【分析】（1）本意利用点线面位置关系的额相关知识，先证平面平面，再证11AA C C PMN ME =平面PMN ，平面； F ∈F ∈11AAC C （2）利用转换顶点处理即． D MNP N MDP V V --=【详解】（1）证明：，11A C PN E = ，，11E A C ∴∈E PN ∈则平面，平面MPN E ∈11AAC C E ∈又，1M CC ∈ 平面， M ∴∈11AAC C 又平面PMN ，M ∈平面平面，∴11AA C C PMN ME =平面，1AC MPN F =平面PMN ，平面，F ∴∈F ∈11AAC C 点F 在直线ME 上，则M ，E ，F 三点共线．∴（2）解：， 113D MNP N MDP MDP V V S NC --==⋅A 又，1113222111212222MDP S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=A1311.322D MNP V -∴=⨯⨯=。

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）z ()1i 2z +=z =A B ．1C D ．2【答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设，则.22(1i)1i1i (1i)(1i)z -===-++-1i z =+故选：C2．最接近（ ）sin2023A ．B ．C D 【答案】B【分析】先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.()sin 137sin2023=-︒︒【详解】，()()0s sin 216137si in2023n 137=︒-︒=-︒︒其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，137-︒αsin 0α<其中，又()sin 135sin 45-︒=-︒=()sin 120sin 60-︒=-︒=而较，离更近，135-︒120-︒137-︒综上，最接近sin2023故选：B3．下列说法正确的是（ ）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．已知都是锐角，且，则（ ）a β、cos a =cos β=a β+=A ．B ．4π34πC ．或D ．或4π34π3π23π【答案】B【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．sin a sin βcos()a β+,a βa β+【详解】因为都是锐角，且a β、cos a =cos β=所以sin sin a βcos()cos cos sin sin a a a βββ∴+=-==又()0,a βπ+∈34a β∴+=π故选B.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物MN ，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部AB m C B C N A 的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）M A MA ．64B ．74C ．52D ．91m m m m【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从AC 30AMC ∠=︒45MAC ∠=︒ACM △MC =而得到的长度.MN 【详解】因为中，⊥，m ，，Rt ABC △AB BC 37AB =30ACB ∠=︒所以m ，274AC AB ==因为中，⊥，，Rt MNC △NC MN 45MCN ∠=︒所以，sin 45MN MC =⋅︒=由题意得：，45,1804530105MAC MCA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒故，1801054530AMC ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得：，ACM △sin sin MC ACMAC AMC =∠∠即，74sin 45sin 30MC =︒︒故，74sin 45sin 30MC ︒==︒故m74MN ==故选：B6．已知锐角，，则边上的高的取值范围为（ ）ABC AB =π3C =AB A ．B ．C ．D ．(]0,3()0,3(]2,3()2,3【答案】C【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求AB h ππ62A <<π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭值域即可.【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，ABC π3C =AB h所以，解得π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A <<由正弦定理可得，，4sin sin sin a b c A B C ====所以，，因为，4sin a A =4sin b B =11πsin223S ch ab ==所以2π14sin sin 4sin sin 32h A A A AA ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，ππ62A <<ππ5π2666A <-<1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以，所以边上的高的取值范围为.π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭AB (2,3]故选：C.7．已知向量，，满足，，，则的取值范围是（ ）a b c 1a = 2a b += ||3a c -= b c ⋅ A ．B ．C ．D ．[]12,6-[]12,4-[]10,6-[]10,4-【答案】A【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性||,||b c||||b c 质求解作答.【详解】，，而，即，解得，1a = 2a b += ||||||||||||b a a b b a -≤+≤+ |||1|2||1b b -≤≤+ 1||3b ≤≤ ，而，即，解得||3a c -=||||||||||||c a a c c a -≤-≤+ |||1|3||1c c -≤≤+ 2||4c ≤≤ 在直角坐标平面内，作，令，则，1,OA a OC a==- ,OB b OC c ==1||||2C B a b =+= ，||||3AC c a =-=于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，B 1C C A观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，||||||12b c b c ⋅≤≤ ,B C OA ,b c即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即，解得，||||12b c b c -⋅≤≤ 12b c ⋅≥- 当且仅当点都在直线上，且方向相同，,B C OA ,b c若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，，因4b c ⋅= 6b c ⋅=此，6b c ⋅≤所以的取值范围是.b c ⋅126b c -≤⋅≤ 故选：A8．在中，有，则的最大值是（ ）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- tan CA B C D 【答案】D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，cos C C tan C cos C sin C 即可求出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- 所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，，AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅ 所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅ 又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅==所以，2222222223()()22b c a a b c a c b +-+-++-=即，22223a b c +=，22222221(2)3cos 2236a b a b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥当且仅当即时取等号，36a b b a=b 显然为锐角，要使取最大值，则，此时C tan C cos C sinC =所以，即．sin tan cos C C C===tan C 故选：D ．二、多选题9．若复数（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）20231i z =+A B ．z 的虚部为-1C ．为纯虚数D ．2z 1iz =-【答案】ABC【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定i 1i z =-义依次判断各个选项即可.【详解】，()5052023431i 1i i 1iz =+=+⋅=-对于A ，A 正确；对于B ，由虚部定义知：的虚部为，B 正确；z 1-对于C ，为纯虚数，C 正确；()221i 2iz =-=-对于D ，由共轭复数定义知：，D 错误.1i z =+故选：ABC.10．在正方体中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段上一动点（不含C ）过1AC 1CC M ，N ，P 的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（ ）αA ．当P 为中点时，截面为六边形1CC αB ．当时，截面为五边形112CP CC <αC ．当截面为四边形时，它一定是等腰梯形αD ．设中点为Q ，三棱锥的体积为定值1DD Q PMN -【答案】AC【分析】延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交MN AD M 'CD N 'N P '11C D T 11A D S M S '于，连接，结合图形即可判断A ；延长交于，交于，连接1AA P '11,AC A C MN AD M 'CD N '交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断B ；当截面为1N D '1CC P 1M D '1AA P 'α1CPCC α四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断C.设为到平面的距离，P 1C 11A MNC h P QMN 三棱锥的体积：，不为定值，可判断D.Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ h 【详解】对A ，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取MN AD M 'CD N 'N P '11C DT 的中点，连接交于，连接，11A D S M S '1AA P '11,AC A C 因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以，//MN AC 同理，又因为，所以，11//ST A C 11//AC A C //ST MN 同理，所以共面，//,//SP PN MP PT '',,,,,S T P N M P '此时六边形为截面，STPNMP 'α所以截面为六边形，故A 正确；α对B ，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，MN AD M 'CD N '1N D '1CC P 连接交于，此时截面为五边形，1M D '1AA P 'α因为，所以，11CD C D ∕∕11CPN C PD ' ∽所以，即，11112CP CN C P C D '==113CP CC =所以当时，截面为五边形，故B错误；113CP CC ≤α对C ，当截面为四边形时，点与点重合，如图，αP 1C 由A 得，，所以四边形即为截面，11//MN A C 11A MNC α设正方体的棱长为1，则，1NC =1MA 11NC MA =所以四边形是等腰梯形，故C 正确.11A MNC 对D ，设为到平面的距离，h P QMN 延长，交于一点，连接与交于一点，MN DC E QE 1CC F 所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，1CC QMN 1CC QMN 三棱锥的体积：，Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ 因为为定值，P 为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，QMNS 1CC P QMN 所以三棱锥的体积为不为定值，故D 不正确.Q PMN -故选：AC.11．设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量O A B ()det ,OA OB OA OB'=⋅ OA ' 以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、OA O OA OA 'a 、，下列说法正确的是（ ）b cA ．()()det ,det ,a b b a= B ．对任意，R λ∈()()det ,det ,a b b a bλ+=C ．若、为不共线向量，满足，则，a b(),yb c x a y x +=∈R ()()det ,det ,a c x a b=()()det ,det ,by c b a =D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对、是否共线进行分类讨论，结合a b题中定义可判断D 选项.【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，a b()12,a a a = ()12,b b b = 设，则，()cos ,sin a r r θθ=()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 同理可得，()21,b b b '=-所以，，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=-⋅=-+，则，A 错；()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=-⋅=-+()()det ,det ,a b b a≠ 对任意的，由A 选项可知，，R λ∈0b b '⋅= 当、不共线时，，a b ()1221det ,0a b a b a b =-≠，B 对；()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a bλλλ''+=-+=-⋅+=-⋅=-=因为，所以，，xa yb c +=c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅ 所以，，同理可得，C 错；()()()()det ,det ,det,det ,b c c b c b x a b b a a b '⋅==='⋅()()()()det ,det ,det ,det ,c a a c y b a a b==当、不共线时，由C 选项可知，，a b ()()()()det ,det ,det ,det ,c b a c c a b a b a b =+所以，，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b=+=-- 所以，.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=任取两个向量、，对任意的实数，，m n p ()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n''=⋅=⋅= 当、共线时，设存在使得，且，a b k ∈R b ka = ()det ,0a b = 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b++=⋅+，()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=-=综上所述，，D 对.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.12．假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射(0,π)α∈π2α≠xoy α∠=xoy α-α-坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若21,e e ，则记为，那么下列说法中正确的是（ ）12OP xe ye =+ (,)OP x y = A．设，则(,)a m n = ||a = B ．设，若//，则(,),(,)a m n b s t == a bmt ns -=C ．设，若，则(,),(,)a m n b s t == a b ⊥ ()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设，若与的夹角为，则(1,2),(2,1)a b =-=- ab π3π3α=【答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：，21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=对于A ：若，则，(,)a m n =12a me ne =+ 可得，()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++所以，故A 正确；||a = 对于B ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 若//，则有：a b 当或时，则或，可得成立；0a = 0b =0m n ==0s t ==0mt ns -=当且时，则存在唯一实数，使得，0a ≠ 0b ≠λa b λ= 则，可得，整理得；()121212me ne se te se te λλλ+=+=+ m s n t λλ=⎧⎨=⎩0mt ns -=综上所述：若//，则，故B 正确；a b 0mt ns -=对于C ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 可得，()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅= 若，则，故C 错误；a b ⊥ ()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅对于D ：∵，(1,2),(2,1)a b =-=-由选项A 可得：，|||a b ====由选项C 可得：，()()()()12211122cos 45cos a b αα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=若与的夹角为，则，a bπ3πcos 3a b a b⋅=⋅即，解得，145cos 254cos αα-=-1cos 2α=∵，则，故D 正确；(0,π)α∈π3α=故选：ABD.三、填空题13．已知，则________.5π2tan 43θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭tan θ=【答案】5-【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为，5πtan tan5π4tan()5π41tan tan 4θθθ++=-⋅tan 121tan 3θθ+==--所以.tan 5θ=-故答案为：.5-14．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.a b4a kb - ka b -+ k =【答案】2±【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理a b ()4a a bkb k λ=-+-得到方程组，解得即可.【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,a b a b又向量与共线，所以，即，4a kb - ka b -+ ()4a a b kb k λ=-+- 4k b a kb a λλ-=+- 所以，解得.4k k λλ=-⎧⎨-=⎩2k =±故答案为：2±15．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好116AA =11AA B B过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．1111,,,AC BC A C B C ABC 【答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，ABC 侧面水平放置时，水的体积为11AA B B133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，于是，解得，ABC V S h ah == 12ah a =12h =所以当底面水平放置时，液面高为12.ABC 故答案为：1216．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，ABC 2b =，点P 是的重心，且，则___________.(()cos 24sin 1A B C ++=ABCAP ==a 【答案】【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可3A π=23A π=建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.c 【详解】，(()cos 24sin 1A B C +++=(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得，(22sin 4sin 0A A -++=解得（舍去），sin A =sin 2A =0A π<< 或.3A π∴=23A π=又∵点P 是的重心，ABC 1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭，||2AP b == 整理得.24cos 240c c A +-=当时，，得，3A π=22240c c +-=4c =此时，214162242a =+-⨯⨯⨯解得；a =当时，，得，23A π=22240c c --=6c =此时，214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得.a =故答案为：【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.四、解答题17．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）cm π【答案】(1)2120cm(2)31344cm【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（1．5cm ==故．()2(816)522120cm 2S +⨯=+⨯=侧（2）V V V V=++球直四棱柱四棱台3441π8420[12816243323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭.3326406721344cm ≈++=18．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．19．已知的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且．ABC 3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B --=+(1)求；cos A(2)若的面积为为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的最大值．ABC AD BC AD【答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得，再根据等面积得6bc =11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，3()32a b c ba b c --=+22223c b a bc +-=故.2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===（2）由（1）知，sin A =因为的面积为，ABC 1sin 2bc A =6bc =又因为，1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==所以221cos1sin sin ,sin sin 23A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=于是11sin sin 22ABC S b AD CADc AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么．1122AD b c⎛⋅⋅+⋅= ⎝所以（当且仅当时等号成立）2AD =≤=b c ==故的最大值为2．AD 20．设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.ABC 1P 2P 3P BC(1)求的值；112AB AP AP AP ⋅+⋅ (2)为线段上一点，若，求实数的值；Q 1AP 19AQ mAB AC=+m (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.P BC PA PC ⋅【答案】(1)26(2)13m =(3)在处时，取得最小值.P 3P PA PC ⋅1-【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.【详解】（1）∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，ABC 1P 2P 3P BC ∴()()()112112AB AP AP AP AB AB BP AB BP AB BP ⋅+⋅=⋅+++⋅+ ；2211112264428AB AB BC AB BC AB BC AB AB BC BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）设，13134444AQ AP AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 又，19AQ mAB AC=+根据平面向量基本定理解得；3111,4943m m λλ==⇒=（3）设，，PC tBC =[]0,1t ∈∴，()()2222168PA PC PC CA PC PC CA PC t BC CA tBC t t⋅=+⋅=+⋅=+⋅=-又，[]0,1t ∈∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）14t =P 3P PA PC ⋅1-21．如图，某小区有一块空地，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一ABC 个小池塘，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且.AEF △π4EAF ∠=(1)若EF 的值；BE =(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得AEF △EAB θ∠=θ的面积取得最小值，并求出面积的最小值.AEF △AEF △【答案】(2))12501【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得中，利用正弦定理EAB sin θ=ACF △结合三角恒等变换可求，即可得结果；CF （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到θ,AE AF AEF S△函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得BC ==设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+在中，由余弦定理，EAB 2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠则，即，(222502501700AE=+-⨯⨯=AE =由正弦定理，可得sin sin BE AE EAB ABE =∠∠sin sin BE ABE EAB AE ⋅∠∠==即，可得πsin 0,4θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cosθ==在中，ACF △πππsin sin sin cos cos sin 444FAC θθθ⎛⎫∠=-=-= ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2AFC θθ⎛⎫∠=+==⎪⎝⎭由正弦定理，可得，sin sin CF ACFAC AFC =∠∠sin sin AC FACCF AFC⋅∠===∠故MN BC BE CF =--==故EF（2）设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+由正弦定理，可得，sin sin AB AE AEB ABE =∠∠sin sin AB ABEAE AEB⋅∠===∠在中，由正弦定理，可得，ACF △sin sin AF ACACF AFC =∠∠sin sin AC ACFAF AFC⋅∠===∠故的面积AEF△11sin 22AEF S AE AF EAF =⋅⋅∠=，26251250sin cos cos sin 2cos 21θθθθθ====+++∵，∴，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 214θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴，当且仅当，即时，等号成)12501AEF S =≥=△πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π8θ=立，故面积的最小值.AEF △)1250122．已知函数，其中a 为参数.()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--(1)证明：，；()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R(2)设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.*N n ∈(),a n ()0f x =()0,πn 【答案】(1)证明见解析；(2).2023)【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023()f x π()0f x =(0,π)个根推理计算作答.【详解】（1）依题意，(π)[|sin(π)||cos(π)|]3sin(22π)7f x a x x x +=+++-+-，(|sin ||cos |)3sin 27()a x x x f x =-+---=，πππ()[|sin()||cos()|]3sin(π2)7222f x a x x x -=-+----(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =+--=3π3π3π()[|sin()||cos()|]3sin(3π2)7222f x a x x x -=-+----，(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =-+----所以.π3π()()(π)()22f x f x f x f x =-=+=-（2）由（1）知，函数是周期函数，周期为，()f x π对于每个正整数,都有，k ππ3π(7,()10,()4244k f a f f =-=-=-若1）得在区间内若有根，则各有偶数个根，7,a a a ≠≠≠()0f x =ππ(0,),(,π)22于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，()0f x =(0,π)n 如果，则，且，7a =()7(|sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--π()02f =当时,，π(0,2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =23740y y -+=于是，当时，方程在内有两个根，1241,3y y ==2y =43()0f x =π(0,)2当时，，π(,π)2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23y +7100y -=于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，12101,3y y ==-()0f x =π(,π)2()0f x =(0,π)从而方程在区间内有个解，由，得；()0f x =(0,π)n 3141n n n +-=-412023n -=506n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=于是，即只有一个解，121y y ==<π4x =当时，，π(,π)2x ∈()f x x =-cos )3sin 27x x --设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=显然函数在上单调递增，，方程没有属于2()310g y y =+-(1)70g =>()0g y =的根，因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=此方程无解，当时，，π(,π)2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=于是，即只有一个解，121y y ==<3π4x =因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =综上所述满足条件的为.(,)a n 2023)【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.。

高一5月月考数学试题_(有答案)一、选择题：每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(4,1),(1,3)A B -，则与向量AB 方向相同的单位向量是（ ）A ．34(,)55-B ．43(,)55-C ．34(,)55-D ．43(,)55-2.判断下列命题中正确的个数（ ） （1）||||||a b a b ∙=；（2）若//a b ，//b c ，则//a c ；（3）00a ∙=；（4）若θ是两个向量的夹角，则[0,]θπ∈. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3.在ABC ∆中，2C π∠=，(2,2)BC k =-，(2,3)AC =，则实数k 的值是（ ）A ．5B ．-5C ．32D ．32- 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(,)m a c a b =+-，(,)n b a =，且//m n ，则角C 为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π 5.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,4),(1,2)e e ==C ．12(1,2),(3,7)e e =-=D ．123(3,4),(,2)2e e =-=-6.在ABC ∆中，若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等比三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形7.在ABC ∆中，3A π=，3,a b ==，则B =（ ） A ．6π或56π B ．3π C ．6π D ．56π8.在ABC ∆中，,24A a b π===，则这个三角形解的情况为（ ）A ．有一组解B ．有两组解C ．无解D ．不能确定9.在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ∙≥∙，则（ ）A ．090ABC ∠=B ．90BAC ∠= C ．AC BC =D ．AB AC =10.已知P 是ABC ∆所在平面上的一点，且点P 满足：0aPA bPB cPC ++=，则点P 为三角形的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知(4,2),(2,6)a b =-=-，则a 与b 的夹角为 .12.在ABC ∆中，3,5,7a b c ===，则ABC ∆的面积为 .13.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2,,6a B c π===，则ABC ∆外接圆的半径为 .14.已知函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +∙= .15.已知AB AC ⊥，1||||AB AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB AC AP AB AC =+，则PB PC ∙的最大值为 .三、解答题 （每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，求AB 在CD 方向上的投影.17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()b b a c a c =-+，且B ∠为钝角.（1）求角A 的大小；（2）若12a =，求b 的取值范围. 18.（1）已知向量(,1),(1,),(2,4)a x b yc ===-，且a c ⊥，//b c ，求||a b +；（2）已知O 是ABC ∆的外心，已知2,4AB AC ==，求AO BC ∙.19.在平面直角坐标系xOy 中，点(cos )A θθ，(sin ,0)B θ，其中R θ∈.（1）当23πθ=时，求向量AB 的坐标； （2）在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01x ≤≤，01y ≤≤，求动点P 的轨迹所覆盖的面积.参考答案CBABCDCBDC11. 34π 13.2 14.6 15.1316. 217.（1）由题意可得222b a c =-，222b c a +-，∴cos 2A =，∴6A π=. （2）由正弦定理可得sin ,sin b B c C ==，∵B ∠为钝角，∴2A C π+<，∴03C π<<.∴1sin()cos cos()6223b C C C C C ππ=+=-=+，18.解：（1（2）AO BC AO AC AO AB ∙=∙-∙，过O 作,OM AB ON AC ⊥⊥，因为O 是ABC ∆的外心，∴,M N 分别是边,AB AC 的中点，∴24126AO BC AO AC AO AB AN AC AM AB ∙=∙-∙=∙-∙=⨯-⨯=.19.解：（1）31(,22AB =- （2）OP xOA yOB =+，其中01x ≤≤，01y ≤≤，所以点P 的轨迹所构成的图形为以,OA OB 为邻边的平行四边形，在ABC ∆中，16,7,cos 5AC BC A ===，由2222cos a b c bc A =+-，可得2512650c c --=，∴(5)(513)0c c -+=，∴5c =或135c =-（舍），∴1sin 2ABC S bc A ∆==ABC ∆的内接圆的半径2ABC S r a b c ∆==++O 作OM AB ⊥. ∵O 是ABC ∆的内心，∴OM r =，∴15233ABC S ∆=⨯⨯=，∴平行四边形OADB 的面积S =.。