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流体第二章 静力学2

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流体力学 第二章 水静力学 (2)

流体力学 第二章 水静力学 (2)
式中
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A

xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：

《流体力学》第二章流体静力学

《流体力学》第二章流体静力学
z4
p z C g
pa 4 3 真空 1
p2 g
p=0
z1
z3
2
z=0
p 为压强水头 g
z 为位置水头
2.3 重力场中的平衡流体 重要结论
p p0 gh
(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性 规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强P0；另一部分是该点到自由 液面的单位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静 压强相等，即任一水平面都是等压面。
2.2 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
2 3
2
3
p dx 1 p dx 1 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
dA dA n
dF pdAn
F pdAn
A
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； （矢量） 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的 （标量） 没有方向性 压强。
2.1 平衡流体上的作用力 证明：
z A
pn px
微元四面体受力分析
py
dx C x
dz O dy B y
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px

第2章静力学

第2章静力学

yD
=
Jc + yc A
yc
！压力中心 D 恒在平面形心 C 的下方。
为什么？
应用上述公式时应该注意： （1）没有考虑大气压的影响。 （2）在压力中心的计算式中y坐标原点的取法。
将y轴原点取在自由液面上。
[例题2-3] 如图所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左 边水深H1 = 4.5m，右边水深 H2 = 2.5m ，闸门与水面成 α = 450
四.流体静压力的两个重要特性：
特性一：静压力方向永远沿着作用面内法线方向
p
τ
证明：
pn m
一方面，流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只 能沿法线方向；
另一方面，流体不能承受拉力，只能承受压力。所以，静 压力唯一可能的方向就是内法线方向。
特性二：静止流体中任何一点上各个方向的静压力
大小相等，与作用面方位无关。
说明： 实压力体（+）：压力体内充满液体，垂直分力是向下的； 虚压力体（-）：压力体内没有液体，垂直分力是向上的。 压力体液重并不一定是压力体内实际具有的液体重力，只 是一个虚构概念。
综上所述，压力体的画法可归纳为以下几步：
（1）将受力曲面根据具体情况分成若干段； （2）找出各段的等效自由液面。 （3）画出每一段的压力体并确定虚实。 （4）根据虚实相抵的原则将各段的压力体合成，得到最
受压曲面ab的压力体为V=BAabc。 面积Aabc为扇形面积aob与三角形 cob面积之差，所以有
θ
P
Pz
b
Pz = ρ gBAacb
图2－23 例2－4图
Pz = ρ gBAacb
=
ρgB
⎡α
⎢ ⎣
360
（π H ）2 − sin α

中南大学《流体力学》课件第二章静力学.

中南大学《流体力学》课件第二章静力学.

证明
质量力 表面力
1 f x dxdydz 6
1 p 0 0 p A cos( n , x ） x dydz n n 2
导出关系式 得出结论
F 0
x
px pn
第一节 平衡流体中的应力特征
第二节 流体平衡微分方程
压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如 机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力，龙卷风产生强大的 负压强作用，液压泵和压缩机推动流体做功等都与压强有关。 然而，压强在静止流体、相对静止流体及粘性运动流体中的 分布规律将明显不同。
如图所示的密闭容器中，液面压强 问题1： p0＝9.8kPa，A点压强为49kPa， 则B点压强为多少 ,在液面下的深度为多少? 答案 39.2kPa;
3m
问题2： 露天水池水深5m处的相对压强为：
答案
49kPa
图示容器内 A、B 两点同在一水 问题3：平面上，其压强分别为 pA 及 pB。 因 h1 h 2，所以 pA pB。 答案
• 点压强的定义及特性 • 微元体法推导出流体平衡微分方程 即流体平衡的规律 • 重力作用下流体的平衡
p p ( U U ) 0 0
pp gh 0
等压– 绝对压强p‘ 绝对压强不可为负 – 相对压强（表压强）p 相对压强可正可负 – 真空压强（真空值）pv 真空压强恒为正值
自由面上 p 0 所以 AB 上各点的压强均为 0
[例]试标出如图所示盛液容器内A、B、C三点的位置水头、 测压管高度、测压管水头。以图示0-0为基准面。
pC g pB g
A
pA g
Z
Z
c
ZB
C 因为 ，所以，以A点的测压管水头为依据， g 可以确定B点的位置水头为2m和测压管高度为6m ；C点的 位置水头6m，测压管高度为2m.

02 流体静力学

02 流体静力学
积分上式，得
W const.
可见，等压面就是等势面。
特性：等压面⊥质量力(证略)： F dl Xdx Ydy Zdz 0
形状：平面或曲面。
2019/5/19
2.3 流体静力学基本方程
15
2.3.4 压强计算基准和量度单位
A. 压强的计算基准
a. 相对压强——以大气压为基准，亦称表压强。
p p pa gh
b. 绝对压强——以绝对真空为零点。
p pa gh pa p
c. 真空度——表压强为负时，其绝对值。
pv p pa p ( p pa时)
2019/5/19
2.3 流体静力学基本方程
16
用下列图表直观地表示p'、p和pv间的关系
流体静力学
研究流体平衡状态及其与其他物体之间相互作用的科 学(力学规律)。
平衡
静止流体 相对静止流体
概括地说，无相对运动，意味着流体中不存在切 应力(或变形)，此时，静止流体或以“刚化物体” 运动的流体仅承受压力，即静压力。
2019/5/19
2 流体静力学
4
2.2 流体静压强(Fluid Static Pressure)
A.流体静压强
——平衡流体中，某点所承受的单位面积上的内法向力。
P p lim
A0 A
B.流体静压强的特性
①流体静压强的作用方向总是沿着作用面的内法线方向。 ②任一点的流体静压强的大小与其作用面的方位无关，只
与该点的位置有关。亦即在同一点各方向上的流体静压 强相等，故有
p p( x, y, z)
1


h
若取 0.8, 则

流体力学第二章参考答案

流体力学第二章参考答案

第二章 流体静力学2-1 将盛有液体的U 形小玻璃管装在作水平加速运动的汽车上(如图示)，已知L ＝30 cm ，h ＝5cm ，试求汽车的加速度a 。

解：将坐标原点放在U 形玻璃管底部的中心。

Z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致，则玻璃管装在作水平运动的汽车上时，单位质量液体的质量力和液体的加速度分量分别为0,0,,0,0x y z x y z g g g ga a a a ===-===代入压力全微分公式得d (d d )p a x g z ρ=-+因为自由液面是等压面，即d 0p =，所以自由液面的微分式为d d a x g z =- 积分的：a z x c g=-+，斜率为a g -，即a g h L = 解得21.63m/s 6g a g h L ===2-2 一封闭水箱如图示，金属测压计测得的压强值为p ＝4.9kPa(相对压强)，测压计中心比A 点高z ＝0.5m ，而A 点在液面以下h ＝1.5m 。

求液面的绝对压强和相对压强。

解：由0p gh p gz ρρ+=+得相对压强为30() 4.91010009.81 4.9kPa p p g z h ρ=+-=⨯-⨯⨯=-绝对压强0( 4.998)kPa=93.1kPa abs a p p p =+=-+2-3 在装满水的锥台形容器盖上，加一力F ＝4kN 。

容器的尺寸如图示，D ＝2m ，d ＝l m ，h ＝2m 。

试求(1)A 、B 、A ’、B ’各点的相对压强；(2)容器底面上的总压力。

解：(1)02 5.06kPa 4F F p D A π===,由0p p gh ρ=+得：0 5.06kPa A B p p p ===''0 5.06kPa+10009.82Pa 24.7kPa A B p p p gh ρ==+=⨯⨯=(2) 容器底面上的总压力为2'24.7kPa 77.6kN 4A D P p A π==⨯= 2-4 一封闭容器水面的绝对压强p 0＝85kPa ，中间玻璃管两端开口，当既无空气通过玻璃管进入容器、又无水进人玻璃管时，试求玻璃管应该伸入水面下的深度h 。

第二章 流体静力学


d
例题3

考虑左侧水的作用
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
ab段曲面(实 压力体)
bc段曲面(虚 压力体)
阴影部分相 互抵消
abc曲面(虚压 力体)
例题3

考虑右侧水的作用
a
b
c
bc段曲面 (实压力体)
例题3

合成
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
左侧水的作 用
右侧水的作 用
abc曲面(虚压 力体)
例4
圆柱形压力水罐，半径R=0.5m，长l=2m，压 力表读值p=23.72kN/M2，试求（1）端部平 面盖板所受水压力；（2）上、下半圆筒所 受水压力。
分析思路
流体作用在曲面各微元面积上的压力 不是平行的，不能直接相加，而是采取 力学中“先分解，后合成”的方法确定总压 力。
§2.5 作用在曲面上的静水总压力
压力大小
dP ghd
一、静水总压力的水平分力
水平分力
dPx dP cos ghd cos ghd x
hd 为压力体体积
z
z
压力体
z
h d z
定义： 压力体相当于从曲面向上引至液 面（自由液面）的无数微小柱体的 体积总和，它是纯数学概念，与这 个体积内是否充满液体无关。
画法： （1）自由液面 （2）曲面 （3）根据静压强作用的方向找特殊点 （4）分段 （5）沿曲面的边界引垂直液面的铅垂面
空气 A 水
故A点的真空值为
p v p a p A (h2 h1 ) 1000 9.8 (2 1) 9800 Pa

第二章 流体静力学

工程实际：堤坝、闸门、桥墩 研究目标：合力的大小、方向、作用点 计算方法：解析法和图解法
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0

《流体力学》第二章 流体静力学2.1-2.4


解:1
pA' p0 h
pA pA' pa
2
p p0 pa
第四节 液柱测压计
测压计种类： 弹簧管金属式 电测式 液柱式
液柱式： 测压管 微压计 压差计
压差计
例题2-4：对于压强较高的密封容器，可以采 用复式水银测压计，如图示，测压管中各液 面高程为：▽1=1.5m, ▽2=0.2m, ▽3=1.2m, ▽4=0.4m, ▽5=2.1m,求液面压强p5.
倾斜微小圆柱体轴向力的平衡,
P1
就是两端压力及重力的轴向分
力三个力作用下的平衡。
△l
P 2P 1G cos0
△h α
P1 p1dA
P2 p2dA
G dA
P2
GldA
液体内微小圆柱的平衡
p 2 d A p 1 d A ld A c o s 0
p2 p1h
流体静压强的分布规律为：静止液体中任两点的
第一节 流体静压强及其特性
流体静压强的定义
p P A
p lim P Aa A
流体静压强的单位: Pa bar kgf/m2 atm at
流体静压强的特性
流体静压强的方向与作用面垂直，并指向 作用面。 流体在静止时不能承受拉力和切力。
任意一点各方向的流体静压强大小相等， 与作用面的方位无关。
(21)h0
由于液体容重不等于零，要满足上式，则必须Δh=0， 即分界面是水平面，不可能是倾斜面。
分界面既是水平面又是等压面。
分界面和自由面是水平面这一规律是在静止、 同种、连续液体的条件下得到的。如不能同时 满足这三个条件，就不能应用上述规律。
例题2-2：容重不同的两种液体，装在容器中， 各液面深度如图示，若γb=9.807kN/m3,大气压 强98.07kPa,求γa及pA

2第二章 流体静力学基本方程


p b 为大气压强
17
图1-8 静力水头线与测压管水头线
公安海警学院基础部
热工基础
第二章 流体静力学方程
设一个大气压力为 9 . 81 10 4 N 3 3 的密度 10 kg / m 2 力加速度 g 9 . 81 m / s 则
pb
/m
2
而水 重
g

9 . 81 10
3
4
例2
热工基础
第二章 流体静力学方程
解： A点： 位置水头： z 压力水头： h 测压管水头：
H
A
A
h1 h 2 3 3 6 m
A

pA
g

5 10
5 3
10 10
50 m
z A h A 6 50 56 m
24
公安海警学院基础部
热工基础
第二章 流体静力学方程
第二章 流体静力学方程
当f2>>f1时： 可以用很小的力：p1*f1 f1 举起重物：p1*f2
帕斯卡定律：在平衡液 体里面，其液面或任意 一点的压力和压力变化， 可以按照它原来的大小， 传递到液体的各个部分。
35
p1
G
p1
f2
公安海警学院基础部
热工基础
第二章 流体静力学方程
36
图1-16 油压千斤顶的 构造原理
27
公安海警学院基础部
热工基础
第二章 流体静力学方程
小结
重力
作 用 在 流 体 上 的 力
质量力
惯性力
直线惯性力
离心惯性力 切应力 表面力
压强
28
公安海警学院基础部
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二、流体静压力的计量标准及其表示方法
2、流体静压力的表示方法 绝对压力 pab p0 gh pa gh 相对压力：表压，真空压力（真空度） 表压：绝对压力大于当地大气压力时，相 对压力大于零。
pM pab pa gh
真空压力（真空度）：绝对压力小于当地 大气压力时，相对压力小于零。
p小于大气压力
例2—1 油罐内装有相对密度为0.8的油品， U型测压管装置如图所示。求油面的高度H 及液面压力 p0 。
拱顶罐外观
3、U形压差计
U形压差计与U形测压管原理相同，只是将 测压管两端接在不同的两个测压点上，用 来比较两点的压差。
pv pa pab
二、流体静压力的计量标准及其表示方法
ab
pab pa p
ab
pab pa pv
p pab pa pv
ab
补充：连通器内液体的平衡
定义：连通器是两个或两个以上的相互连 通的容器。 p01 1gh 1 p02 2 gh 2
在同一连续的重力作用 下的静止流体的水平面 都是等压面。 但必须注意，这个结论 只是对互相连通而又是 同一种流体才适用。
一、流体静力学基本公式
（3）静止流体边界上压力的变化将均匀地 传递到流体中的每一点，这就是著名的帕 斯卡定律。
二、流体静压力的计量标准及其表示方法
1、流体静压力的计量标准 绝对标准（绝对压力）：以物理真空（绝 对真空）为零点的标准 相对标准（相对压力）：以当地大气压力 为零点的标准
0
1、简单测压管
直接由同一液体引出来的液柱高度来测量 压力的装置称为测压管。 简单的测压管一端和测压点相联接，另一 端开口，和大气相通。 p（表压） ghA A
1、简单测压管
优点：结构简单，精度较高，造价低廉。 缺点：量程较小； 不适于测量气体压力。
2、U形测压管
U形测压管是利用相对密度较大的水银作为 工作液，装在U形管中，一端接在容器的测 压点上，用来量测该点压力大小。 A-A面是等压面
p1 p2 z1 z2 g g
】
三、静力学基本方程式
适用条件：重力作用下静止的均质流体。 对于分装在互不相同的两个容器内的流体 或装在同一容器中的不同密度的两种流体 之间，流体静力学基本方程式不成立。
四、静力学基本方程式的意义
1、几何意义
在容器侧壁打一个 小孔，接上与大气 相通的玻璃管，就 形成一根测压管。
三、静力学基本方程式
单位质量流体所受到的质量力 X=Y=0；Z=-g 代入 dp ( Xdx Ydy Zdz) dp gdz或dp gdz 0 得 对均质流体，密度为常数， d ( p gz) 0 【 静力学基本方程式
p gz c p z c g
物理意义：静止流体中总比能为常数。 压能和位能之间可以相互转化。
第三节 流体静力学基本公式及其应用
一、流体静力学基本公式
边界条件：z 0时，p p0 代入 p gz c ，得
c p0
h z
pA p0 pgh
一、流体静力学基本公式
对于任意两点，上式可写成 h为两点间深度差 p2 p1 gh
p表 汞 gh2 gh1
p表 gh1 汞 gh2
如被测流体为气体
p表 汞 gh2
p大于大气压力
2、U形测压管
p表 gh1 汞 gh2 0
p表 gh1 汞 gh2 (gh1 汞 gh2 )
水银测压计的量测范 围可以达到1~2个大 气压。
p2 p1 gh 】 【 p p0 pgh 流体静力学基本公式
一、流体静力学基本公式
说明： （1）重力作用下的均质流体内部的静压力 与深度h呈线性关系。
p p0 pgh
h
一、流体静力学基本公式
（2）静止流体内部任意点的静压力由液面 上的静压力 p0 与液柱所形成的静压力 pgh 两部分组成，深度h相同的点静压力相等。 p pa pgh( 自由液面， p0 pa )
三、流体静压力的测量
在工程实际和流体实验中经常需要直接测 量某点压力或两点的压力差，如为了保证 泵正常运转，在泵进口和出口分别装上真 空表和压力表，以便随时观测压力大小来 控制泵的工作。 目前经常采用的有压力表（金属测压计）、 压力传感器（电子测压计）和液式测压计。
液式测压计
液式测压计是利用液柱高度与被测液体压 力相平衡原理制成的测压仪表。 优点：构造简单，使用方便。 原理： p p0 pgh p与p 必须标准一致 方法：找等压面 是两种流体或多种流体之间的桥梁， 采用最多的是两种流体的分界面。
四、静力学基本方程式的意义
1、几何意义
四、静力学基本方程式的意义
2、物理意义
m gz z mg
位置水头z：单位重力流体所具有的位置势能，比 位能。 p 压力水头 g ：单位重力流体所具有的压力势能， 比压能。 p z 测压管水头 ：单位重力流体所具有的总机械 g 能，总比能。
p1 p2 z1 z2 c g g
四、静力学基本方程式的意义
1、几何意义 z：测柱高度，压力水头，m z p ：测压管液面到基准面的高度， g 测压管水头，m 几何意义：静止流体中测压管水头为常数