相关与回归2
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上海交大基础医学院生物统计教研室
x引起的变异
y的总变异
误差引起的变异
总离均差平方和=回归平方和+残差平方和（剩余平方和）
上海交大基础医学院生物统计教研室
( y − y)2 = ( yˆ − y)2 + ( y − yˆ)2
lyy=U+Q
变异来源 回归 剩余 总
平方和 U Q lyy
自由度 1 n-2 n-1
相关系数的显著性检验
H0 : = 0 H1 : 0
sr =
1− r2 n−2
r tr = sr
df = n − 2
上海交大基础医学院生物统计教研室
例题分析
◼ 例6.1 某监测站拟用极谱法替代碘量法测定水 中溶解氧的含量。为此, 同时用两种方法测定 了十三份水样,得结果如表6.1(见第1.2列),问两 法的测得值是否有相关性?
◼ 相关研究：不施加干预（或尽量不施加），测量变量，寻 找它们之间关系（相关）
◼ 实验研究：施加干预，测量干预效果变量，也计算相关， 尤其是被干预变量和效果变量，提供更好的信息，可更好 揭示变量间关系
上海交大基础医学院生物统计教研室
自变量和因变量
◼ Independent variable vs. Dependent variable ◼ 自变量：被干预的变量，‘独立’于样本的最初的反应模
上海交大基础医学院生物统计教研室
几点说明
◼ 相关分析只是以相关系数来描述两个变量间线性相关 的程度和方向,并不阐明事物间存在联系的本质,也不 是两事物间存在联系的证据。要阐明两事物间的本质 联系,必须凭专业知识从理论上加以论证。因此,把两 个毫无关系的事物放在一起作相关分析是毫无意义的。
◼ 应用统计软件不仅可求得相关系数，还可得到检验结 果等其它统计量。
上海交大基础医学院生物统计教研室
统计分析步骤
（1） 据表6.2的14对数据,先作散点图。 散点分布呈直线趋势,可以拟合直线回归方程。
200
180 160
140
120
30
35
40
45
50
（2）算出以下中间结果,并求b和a。
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编号
x
x2
y
y2
xy
yˆ
y-yˆ
1
45
2025
11
43
1849
165 27225 7095 162.54 2.46
12
43
1849
158 24964 6794 162.54 -4.54
13
39
1521
166 27556 6474 175.53 -9.53
14
48
2304
143 20449 6864 146.29 -3.29
合计
600 25942 2282 375358 97060
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线性回归和相关
讲授：王柏松
变量间联系（relation）
◼ 在一个样本中，如果两个或多个变量值的分布是一致的模 式，即它们的值有条理地彼此对应，则称这些变量是有联 系的。
◼ 如大多数男性白细胞计数高，大多数女性白细胞计数低， 则认为性别和白细胞计数间存在联系，反之亦然；高的人 比矮的人重，则认为身高和体重之间存在联系；IQ高的学 生在考试重犯错误较少，则认为IQ和错误数间存在联系；
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相关回归应用范围
◼ 回归适用于分析变量间的依存关系；相关分析用于分析两 变量间相互联系的密切程度及相关方向。
◼ 如两个变量间的关系是线性的，可用直线相关与回归分析； 如两个变量间的关系是非线性的需用非线性（曲线）回归。
◼
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相关研究和实验研究
6
49
2401
153 23409 7497 143.04 9.96
7
47
2209
147 21609 6909 149.54 -2.54
8
42
1764
153 23409 6426 165.79 -12.79
9
41
1681
167 27889 6847 169.04 -2.04
10
40
1600
187 34969 7480 172.28 14.72
本例b为-3.2496,意味着对正常男性来说, 每增加一岁, 其运动后最大心率平均减少3.2496次/分。
有了回归方程就可作回归直线。 根据回归方程,就可由x的值来求出y的估计值
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直线回归和线性相关区别和联系
◼ 均对两个数值变量间关系进行分析 ◼ 均需相关系数或回归系数进行检验，检验结果相同。 ◼ 分析目的不同，联系程度，依存关系。 ◼ 回归要求两变量间“因果”联系。相关两变量地位相同。
x
b
=
(x − x )( y − (x − x )2
y)
=
l xy l xx
a = y − bx
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例题分析
例6.2 研究正常男性年龄对运动后最大心率的关系,得结果 如下，求直线回归方程。
年龄 x 45 35 37 44 47 49 47 42 41 40 43 43 39 48 心率 y 166 187 187 167 136 153 147 153 167 187 165 158 166 143
心脏横径
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线性相关与回归变量特点
◼ 线性相关分析要求两个分析变量是连续型变量，它们 都随机变动，处于同等地位。通过相关系数r来描述 和度量它们数量上线性联系的程度。
◼ 线性回归的两个变量的地位是不同的，自变量x是可 以随机变动，也可以是人为取值的；当x的数值确定 时，应变量y按某种规律随机变动。
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二、线性回归（Linear regression）
◼ 适用范围：两变量间不仅存在线性关系，且存在“因果” 关系
◼ 目的：找出描述x与y依存关系的直线方程 ◼ 依据：各点与该直线的纵向距离的平方和为最小
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y
yi − yˆi
yˆ = a + bx
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变量间联系
◼ 广义上来讲，每一个研究或科学分析都是寻找变量间联系， 科学的进展必然涉及到找到变量间新联系，相关研究和实 验研究是以最直接的方式来测量这些联系，
◼ 统计学就是帮助人们评估变量间联系，所有的统计方法均 可认为是评估不同的变量间联系。
◼ 联系的两个基本特点：程度（大小）和真实性（可靠性）， 二者是有联系的，样本数固定时，联系的程度越大，其可 靠性越大。
lxy = (x − x)(y − y) = xy − ( x y) / n =97060-600×2282/14=-740
b= (x − x)(y − y) /((x − x)2 ) =-740/227.7143=-3.2496
a = y − bx =163-(-3.2496)×42.8571=302.2684
166 27556 7470 156.04 9.96
2
35
1225
187 34969 6545 188.53 -1.53
3
37
1369
187 34969 6919 182.03 4.97
4
44
1936
167 27889 7348 159.29 7.71
5
47
2209
136 18496 6392 149.54 -13.54
x1x2 30.95 31.00 40.16 0.69 5.88 7.49 4.42 7.89 1.75 52.97 47.63 51.87 24.00 296.70
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相关系数的计算及检验
◼ 代入以上公式可得相关系数，r=0.9975 ◼ 相关系数一定要检验,t=46.82 ◼ 相关系数可用t检验或直接用相关系数查表得P值
均方 U/1 Q/(n-2)
F (U/1)/[Q/(n-2)]
变异来源 平方和
回归 2404.5954
剩余 987.4046
总
3392
自由度 1 12 13
均方
F
2404.5954 29.2232
82.2837
P <0.01
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（4）结果解释
回归系数b为正值,表示x与y间为正相关,当x增加时,y 也增加;b为负值时,表示x与y间为负相关,当x增加时y就 减少。
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一、线性相关
◼ 相关分析的目的在于通过相关系数r来描述和 度量两变量线性联系的程度和方向。
◼ r>0 正相关 ◼ r<0 负相关 ◼ r=0 零相关
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3.7
3.5
r=0.7495
3.3
3.1
2.9
2.7
2.5
40
45
50
55
60
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常见问题
◼ 离群值（极端值）：不常见值 ◼ 样本来自不一致组，如不同试验组，不同组变
量相关不一致 ◼ 非线性关系
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样本来自不一致组
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非线性关系
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（3）回归系数检验
x引起的变异
y的总变异
误差引起的变异
总离均差平方和=回归平方和+残差平方和（剩余平方和）
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( y − y)2 = ( yˆ − y)2 + ( y − yˆ)2
lyy=U+Q
变异来源 回归 剩余 总
平方和 U Q lyy
自由度 1 n-2 n-1
相关系数的显著性检验
H0 : = 0 H1 : 0
sr =
1− r2 n−2
r tr = sr
df = n − 2
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例题分析
◼ 例6.1 某监测站拟用极谱法替代碘量法测定水 中溶解氧的含量。为此, 同时用两种方法测定 了十三份水样,得结果如表6.1(见第1.2列),问两 法的测得值是否有相关性?
◼ 相关研究：不施加干预（或尽量不施加），测量变量，寻 找它们之间关系（相关）
◼ 实验研究：施加干预，测量干预效果变量，也计算相关， 尤其是被干预变量和效果变量，提供更好的信息，可更好 揭示变量间关系
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自变量和因变量
◼ Independent variable vs. Dependent variable ◼ 自变量：被干预的变量，‘独立’于样本的最初的反应模
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几点说明
◼ 相关分析只是以相关系数来描述两个变量间线性相关 的程度和方向,并不阐明事物间存在联系的本质,也不 是两事物间存在联系的证据。要阐明两事物间的本质 联系,必须凭专业知识从理论上加以论证。因此,把两 个毫无关系的事物放在一起作相关分析是毫无意义的。
◼ 应用统计软件不仅可求得相关系数，还可得到检验结 果等其它统计量。
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统计分析步骤
（1） 据表6.2的14对数据,先作散点图。 散点分布呈直线趋势,可以拟合直线回归方程。
200
180 160
140
120
30
35
40
45
50
（2）算出以下中间结果,并求b和a。
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编号
x
x2
y
y2
xy
yˆ
y-yˆ
1
45
2025
11
43
1849
165 27225 7095 162.54 2.46
12
43
1849
158 24964 6794 162.54 -4.54
13
39
1521
166 27556 6474 175.53 -9.53
14
48
2304
143 20449 6864 146.29 -3.29
合计
600 25942 2282 375358 97060
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线性回归和相关
讲授：王柏松
变量间联系（relation）
◼ 在一个样本中，如果两个或多个变量值的分布是一致的模 式，即它们的值有条理地彼此对应，则称这些变量是有联 系的。
◼ 如大多数男性白细胞计数高，大多数女性白细胞计数低， 则认为性别和白细胞计数间存在联系，反之亦然；高的人 比矮的人重，则认为身高和体重之间存在联系；IQ高的学 生在考试重犯错误较少，则认为IQ和错误数间存在联系；
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相关回归应用范围
◼ 回归适用于分析变量间的依存关系；相关分析用于分析两 变量间相互联系的密切程度及相关方向。
◼ 如两个变量间的关系是线性的，可用直线相关与回归分析； 如两个变量间的关系是非线性的需用非线性（曲线）回归。
◼
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相关研究和实验研究
6
49
2401
153 23409 7497 143.04 9.96
7
47
2209
147 21609 6909 149.54 -2.54
8
42
1764
153 23409 6426 165.79 -12.79
9
41
1681
167 27889 6847 169.04 -2.04
10
40
1600
187 34969 7480 172.28 14.72
本例b为-3.2496,意味着对正常男性来说, 每增加一岁, 其运动后最大心率平均减少3.2496次/分。
有了回归方程就可作回归直线。 根据回归方程,就可由x的值来求出y的估计值
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直线回归和线性相关区别和联系
◼ 均对两个数值变量间关系进行分析 ◼ 均需相关系数或回归系数进行检验，检验结果相同。 ◼ 分析目的不同，联系程度，依存关系。 ◼ 回归要求两变量间“因果”联系。相关两变量地位相同。
x
b
=
(x − x )( y − (x − x )2
y)
=
l xy l xx
a = y − bx
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例题分析
例6.2 研究正常男性年龄对运动后最大心率的关系,得结果 如下，求直线回归方程。
年龄 x 45 35 37 44 47 49 47 42 41 40 43 43 39 48 心率 y 166 187 187 167 136 153 147 153 167 187 165 158 166 143
心脏横径
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线性相关与回归变量特点
◼ 线性相关分析要求两个分析变量是连续型变量，它们 都随机变动，处于同等地位。通过相关系数r来描述 和度量它们数量上线性联系的程度。
◼ 线性回归的两个变量的地位是不同的，自变量x是可 以随机变动，也可以是人为取值的；当x的数值确定 时，应变量y按某种规律随机变动。
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二、线性回归（Linear regression）
◼ 适用范围：两变量间不仅存在线性关系，且存在“因果” 关系
◼ 目的：找出描述x与y依存关系的直线方程 ◼ 依据：各点与该直线的纵向距离的平方和为最小
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y
yi − yˆi
yˆ = a + bx
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变量间联系
◼ 广义上来讲，每一个研究或科学分析都是寻找变量间联系， 科学的进展必然涉及到找到变量间新联系，相关研究和实 验研究是以最直接的方式来测量这些联系，
◼ 统计学就是帮助人们评估变量间联系，所有的统计方法均 可认为是评估不同的变量间联系。
◼ 联系的两个基本特点：程度（大小）和真实性（可靠性）， 二者是有联系的，样本数固定时，联系的程度越大，其可 靠性越大。
lxy = (x − x)(y − y) = xy − ( x y) / n =97060-600×2282/14=-740
b= (x − x)(y − y) /((x − x)2 ) =-740/227.7143=-3.2496
a = y − bx =163-(-3.2496)×42.8571=302.2684
166 27556 7470 156.04 9.96
2
35
1225
187 34969 6545 188.53 -1.53
3
37
1369
187 34969 6919 182.03 4.97
4
44
1936
167 27889 7348 159.29 7.71
5
47
2209
136 18496 6392 149.54 -13.54
x1x2 30.95 31.00 40.16 0.69 5.88 7.49 4.42 7.89 1.75 52.97 47.63 51.87 24.00 296.70
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相关系数的计算及检验
◼ 代入以上公式可得相关系数，r=0.9975 ◼ 相关系数一定要检验,t=46.82 ◼ 相关系数可用t检验或直接用相关系数查表得P值
均方 U/1 Q/(n-2)
F (U/1)/[Q/(n-2)]
变异来源 平方和
回归 2404.5954
剩余 987.4046
总
3392
自由度 1 12 13
均方
F
2404.5954 29.2232
82.2837
P <0.01
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（4）结果解释
回归系数b为正值,表示x与y间为正相关,当x增加时,y 也增加;b为负值时,表示x与y间为负相关,当x增加时y就 减少。
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一、线性相关
◼ 相关分析的目的在于通过相关系数r来描述和 度量两变量线性联系的程度和方向。
◼ r>0 正相关 ◼ r<0 负相关 ◼ r=0 零相关
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3.7
3.5
r=0.7495
3.3
3.1
2.9
2.7
2.5
40
45
50
55
60
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常见问题
◼ 离群值（极端值）：不常见值 ◼ 样本来自不一致组，如不同试验组，不同组变
量相关不一致 ◼ 非线性关系
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样本来自不一致组
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非线性关系
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（3）回归系数检验
