回归分析(2))回归方程的检验

3. 图像
1 =1
=-1 <-1
0< < 1
-1< <0
非线性模型及其线性化方法
双曲线函数
1. 基本形式： 2. 线性化方法
令：y' = 1/y，x'= 1/x, 则有y' = + x'
3. 图像
<0
>0
非线性模型及其线性化方法
对数函数
1. 基本形式： 2. 线性化方法
一、多元线性回归模型
（概念要点）
1. 一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归。
2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1，x2，… xp 和 误差项 的方程称为多元线性回归模型。
3. 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
y 0 1x1i 2 x2i p x pi i
yˆ0 ，就是个别值的点估计。
2. 比如，如果我们只是想知道1990年人均国民收
入为1250.7元时的人均消费金额是多少，则属 于个别值的点估计。根据估计的回归方程得
yˆ0 54.22286 0.526381250.7 712.57(元)
利用回归方程进行估计和预测
（区间估计）
1. 点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际 值之间是有误差的，因此需要进行区间估计。
2、 E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为
yˆ0 t 2 (n 2)S y
1 x0 x2
n
n
xi
x
2
式 中 ： Sy 为 估 计标准误差
i 1
利用回归方程进行估计和预测
（置信区间估计:算例） 【例】根据前例，求出人均国民收入1250.7元 时，人均消费金额95%的置信区间。 解：根据前面的计算结果

C.对两个变量无需进行相关性检验,可直接求回归直线方程
D.由回归方程得到的预测值就是变量的精确值 解析:对于两个变量,在尚未断定是否具有线性相关关系的情 况下,应先进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求
回归方程,这时求出的回归方程才有意义,故C不对,由回归方
程得到的预测值不是变量的精确值,而是变量的可能取值的平 均值,故D不对,根据回归分析的一般步骤,可知答案为A.
4 若某学生入学数学成绩为80分, 代入上式可求得,
ˆ 84分, 即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分. y
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规律技巧:相关系数的取值范围为-1≤r≤1.相关系数为正数,表 示两变量之间为正相关;相关系数为负数,表示两变量之间 为负相关,相关系数r的绝对值的大小表示相关程度的高低.
线性相关关系,具体步骤:①假设x与y不具有线性相关关系,
②根据小概率0.05与n-2查表得出r的一个临界值r0.05;③根 据公式计算出样本相关系数r的值,④统计推断,若|r|>r0.05,
则具有线性相关关系;若|r|≤r0.05,则不具有线性相关关系.(2)
如果具有线性相关关系,求出回归直线方程
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2 因为x
1 (63 67 10
76) 70,
10
1 y (65 78 10
75) 76. (xi x )( yi y ) 1894,
i 1 10
(xi x )
i 1
10
2
2474, ( yi y )2 2056,
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D 变式训练3:下列说法不正确的是( ) A.具有相关关系的两个变量不是因果关系 B.回归直线通过样本点的中心

回归方程的显著性检验： （1）在模型上做假设：建立回归方程的目的是寻找Y 的均值随a 的变化规律，即找出回归方程a Y 0=＋x a 11＋x a 22＋x a 33＋x a 44＋x a 55。

如果错误!未找到引用源。

=0,那么不管错误!未找到引用源。

如何变化，Y 不随a 的变化做任何改变，那么这时所求的回归方程是没有意义的。

，此时的回归方程是不显著的。

如果错误!未找到引用源。

，x x 51...≠0那么a 变化时，Y 随x 的作回归变化，那么这时求得的回归方程是有意义的，此时是显著地。

综上，对回归方程是否有意义作判断就要作如下的显著性检验：H：x x 51...全为0 H1：x x 51...不全为0拒绝错误!未找到引用源。

表示回归方程是显著的。

对最终求得的回归方程：x x x x Y 5421092.18833.19111.0363.026.574++-+-= 进行F 检验。

（2）找出统计量：数据总的波动用总偏差平方和用2131))((∑=-=i iyave ST y表示，引起各Yave 不同的原因主要有两个因素：其一是错误!未找到引用源。

可能不真，Y 随a 的变化而变化，从而在每一个a 的观测值处的回归值不同，其波动用回归平方和2131i yave ypre SR ∑=-=））（（表示，其二是其他一切因素，包括随机误差、a 对y 的非线性影响等，这样在得到回归值以后，y 的观测值与回归值之间还有差距，这可用残差平方和2131i iypre SE y ∑=-=））（（表示。

（3）F 值的计算由定理：设y 1321....y y ，错误!未找到引用源。

相互独立，且),...(~255110σx a x a a yi i iN +++，I = 1， (13)则在上述记号下，有 ①）（1n ~SE 22-χσ②若H 0成立，则有）（p ~SE22χσ，（p 为回归参数的个数） ③SR 与SE ，yave 独立。

在回归分析中，我们通常使用一些统计指标来验证回归方程的有效性和预测能力。

以下是一些常用的回归方程验证方法：
R-squared（决定系数）：R-squared 用于衡量回归方程对数据的拟合程度。

它的值介于0和1之间，越接近1表示回归方程对数据的拟合度越好。

Adjusted R-squared（调整决定系数）：与R-squared 类似，但考虑到模型中自变量的数量。

如果模型中增加一个自变量，Adjusted
R-squared 可能会下降。

F-statistic（F统计量）：用于检验回归方程的整体显著性。

如果F 统计量的值较大，且对应的p 值较小，则说明回归方程是显著的。

p-value（p 值）：用于检验单个自变量的显著性。

如果p 值小于预设的显著性水平（如0.05），则该自变量被认为是显著的。

Residuals（残差）：实际观测值与回归方程预测值之间的差异。

检查残差的直方图、Q-Q 图等，可以判断残差是否符合假设（如正态分布、同方差等）。

AIC 和BIC（信息准则）：用于比较不同模型之间的优劣。

AIC 和BIC 的值越小，模型的拟合效果越好。

Cross-validation（交叉验证）：将数据分为训练集和测试集，使用训练集拟合回归方程，然后在测试集上评估其预测能力。

常用的交叉验证方法有k-fold cross-validation 等。

Prediction intervals（预测区间）：基于回归方程，为新的观测值
计算一个预测区间，以评估预测的不确定性。

通过以上方法，可以对回归方程进行全面的验证，确保其有效性并评估其预测能力。