简单回归分析(2)

一、线性回归分析若是自变数与依变数都是一个，且Y 和X 呈线性关系，这就称为一元线性回归。

例如，以X 表示小麦每667m 2有效穗数，Y 表示小麦每667m 2的产量，有效穗数即属于自变数，产量即属于依变数。

在这种情形下，可求出产量依有效穗数而变更的线性回归方程。

在另一种情形下，两类变数是平行关系很难分出哪个是自变数，哪个是依变数。

例如，大豆脂肪含量与蛋白质含量的关系，依照需要确信求脂肪含量依蛋白质含量而变更的回归方程，或求蛋白质含量依脂肪含量而变更的回归方程。

回归分析要解决的问题要紧有四个方面：一是依如实验观看值成立适当的回归方程；二是查验回归方程是不是适用，或对回归方程中的回归系数的进行估量；三是对未知参数进行假设考试；四是利用成立起的方程进行预测和操纵。

（一）成立线性回归方程用来归纳两类变数互变关系的线性方程称为线性回归方程。

若是两个变数在散点图上呈线性，其数量关系可能用一个线性方程来表示。

这一方程的通式为：上式叫做y 依x 的直线回归。

其中x 是自变数，y ˆ是依变数y 的估量值，a 是x =0时的y ˆ值，即回归直线在y 轴上的截距，称为回归截距，b 是x 每增加一个单位时，y 将平均地增加（b ＞0时）或减少(b <0时) b 个单位数，称为回归系数或斜率（regression coefficient or slope ）。

要使 能够最好地代表Y 和X 在数量上的互变关系，依照最小平方式原理，必需使将Q 看成两个变数a 与b 的函数，应该选择a 与b ，使Q 取得最小值，必需求Q 对a ，b 的一阶偏导数，且令其等于零，即得：()()⎩⎨⎧∑=∑+∑∑=∑+212xyx b x a yx b an ()()∑∑=--=-=nn Q bx a y yy Q 1min212ˆbx a y +=ˆ()1.7ˆbx a y+=由上述（1）解得：将（）代入（2），那么得：（）的分子 是x 的离均差与y 的离均差乘积总和，简称乘积和（sum of products ），可记为SP ，分母是x 的离均差平方和，也可记为SS x 。

6.2.2 回归分析
(一)什么是回归分析
回归分析是用来研究一个指标与几个变量间的相关关系的方法。

设有两个变量x 和y ，前者为自变量,后者为因变量,并均为随机变量。

当自变量X 变化时，Y 会产生相应的变化，如果具有大量或较多的统计数据（x i ,y i ），则可以用数学方法找出两者之间的统计关系y ＝f(x)，这种数学方法称为回归分析。

当y ＝a ＋bx 时，称之为一元线性回归；
当y ＝f(x)为非线性函数关系时，称之为非线性回归；
当x 变量不止1个，有几个时，即有（x 1，x 2···，x n ），则y ＝f （x 1，x 2···，x n ）称之为多元回归。

当有y ＝a ＋b 1 x 1＋b 2 x 2＋···＋b n x n 时，称之为多元线性回归，否则为多元非线性回归。

回归分析可用于预测、质量控制等方面。

(二) 一元线性回归方程的计算方法
设一元线性回归方程的表达式为: y=a+bx
现在给出了n 对数据(x i , y i ),要求根据这些数据去估计a 与b 的值。

则：
其中 L xx:----x 的离差平方和
L yy ----y 的离差平方和
L xy ----x ，y 的离差成积之和 2n
1i )Lxx x x i -=∑=（2n 1i )
Lyy y y i -=∑=（x b y -=a xx xy L L =b )y )(Lxy n
1i y x x i i --=
∑=（。

西南科技大学Southwest University of Science and Technology经济管理学院计量经济学实验报告——多元线性回归的检验专业班级：姓名: 学号: 任课教师: 成绩:简单线性回归模型的处理实验目的：掌握多元回归参数的估计和检验的处理方法。

实验要求：学会建立模型，估计模型中的未知参数等。

试验用软件：Eviews实验原理：线性回归模型的最小二乘估计、回归系数的估计和检验。

实验内容：1、实验用样本数据：运用Eviews软件，建立1990-2001年中国国内生产总值X和深圳市收入Y的回归模型，做简单线性回归分析，并对回归结果进行检验。

以研究我国国内生产总值对深圳市收入的影响。

经过简单的回归分析后得出表EQ1：Depe ndent Variable: Y Method: Least Squares Date: 11/27/11 Time: 14:02 Sample: 1990 2001 In cluded observati ons: 12 VariableCoefficientStd. Error t-Statistic Prob.C -3.611151 4.161790 -0.867692 0.4059 X0.134582 0.003867 34.80013 0.0000 R-squared0.991810 Mean depe ndent var 119.8793 Adjusted R-squared 0.990991 S.D. dependent var 79.361247.02733 S.E. of regressi on7.532484 Akaike infocriteri on8Sum squared resid 567.3831 Schwarz criteri on 7.1081561211.0490.00000Log likelihood-40.16403F-statisticDurbin-Wats on stat 2.051640 Prob(F-statistic)其中拟合优度为：0.991810有很强的线性关系2、实验步骤: 1、 回归分析:(1) 在 Objects 菜单中点击 New objects ，在 New objects 选择 Group ，并以GROUP01定义文件名，点击 OK 出现数据编辑窗口，， 按顺序键入数据。

第二章 回归分析与相关分析§3 多元线性回归分析在现实地理系统中，任何事物的变化都是多种因素影响的结果，一因多果、一果多因的情况比比皆是。

为了处理一果多因的因果关系问题，我们需要掌握多元线性回归知识。

本节着重讲述二元线性回归分析。

至于三元以上，基本原理可以依此类推。

1 基本模型二元线性回归模型可以表为2211x b x b a y ++=, （3-1）式中a 、b 1、b 2为待定的偏回归参数（partial regression coefficient ）。

理论上的预测模型为i i i x b x b a y2211ˆ++=. （3-2） 原则上讲，式（3-2）中的参数a 、b 1、b 2与式（3-1）中的a 、b 1、b 2是有区别的：式（3-1）的是真实的系数值，式（3-2）的是计算的系数值。

但为了方便起见，我们不作符号上的区分。

实测数据的模型可以表作d yd x b x b a y i i i i i ±=±++=ˆ2211, （3-3） 从而i i i i i i x b x b a y yy d 2211ˆ---=-=. （3-4） 令min )(12221112→---==∑∑==ni i i i n i i x b x b a y d S . （3-5）为求极值，分别对a 、b 1、b 2求偏导，并令其为零，可得0)(22211=---=∂∂∑ii i i x b x b a y a S, （3-6） 0)(2122111=---=∂∂∑i ii i i x x b x b a y b S, （3-7）0)(2222111=---=∂∂∑i ii i i x x b x b a y b S. （3-8） 上面三式可以化为正规方程形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i ii i i i i i i i i y x x b x x b x a y x x x b x b x a y x b x b an 22222112121221112211. （3-9） 根据线性代数的有关原理，可令∑∑∑∑∑∑∑∑∑=222122121121iiiiiiiiiii i i x x x y x xx x y x xx y A , ∑∑∑∑∑∑∑∑=2222211121ii iiiiiii i i x y x xx x y x x x y nB ,∑∑∑∑∑∑∑∑=iiiiii iiii i yx x x x yx x x yx n B 2212121112, ∑∑∑∑∑∑∑∑=222122121121iiiiiiii i i xx x xx x x x x x nC .借助Cramer 法则容易得到C Aa =，C B b 11=，CB b 12=. （3-10） 2 回归结果的检验检验的类型与一元线性回归相似，包括相关系数检验、标准误差检验、F 检验、t 检验和DW 检验。

回归分析中的时间序列数据处理技巧时间序列数据在回归分析中扮演着重要的角色，它能够帮助分析人员了解某一变量随时间变化的趋势和规律。

然而，时间序列数据处理并不是一件简单的事情，它需要一定的技巧和方法。

本文将介绍一些在回归分析中处理时间序列数据的技巧，希望对读者有所帮助。

1. 数据平稳性检验在进行回归分析之前，我们需要先检验时间序列数据的平稳性。

平稳性是指时间序列数据在一定期间内的均值、方差和自协方差不随时间发生显著变化的性质。

平稳性检验常用的方法有ADF检验和单位根检验。

如果时间序列数据不是平稳的，我们需要对其进行差分处理，使其变得平稳。

2. 季节性调整许多时间序列数据都具有季节性变化的特点，这会给回归分析带来一定的困难。

为了消除季节性的影响，我们可以使用季节性调整方法，如X-12-ARIMA或SEATS等。

这些方法可以将时间序列数据中的季节性成分分离出来，从而更好地进行回归分析。

3. 自回归模型自回归模型是一种常用的时间序列数据分析方法，它可以帮助我们了解时间序列数据中的自相关性。

自回归模型的建立需要对时间序列数据进行自相关性检验，找出合适的滞后阶数，然后进行模型的拟合和诊断。

在回归分析中，自回归模型可以用来预测未来的时间序列数据。

4. 移动平均模型除了自回归模型，移动平均模型也是一种常用的时间序列数据分析方法。

移动平均模型可以帮助我们了解时间序列数据中的平稳性和波动性。

在回归分析中，移动平均模型可以用来对时间序列数据进行平滑处理，从而更好地进行分析。

5. 时间序列回归分析最后，我们需要将处理过的时间序列数据应用到回归分析中。

时间序列回归分析可以帮助我们找出时间对于变量的影响，以及变量之间的相互关系。

在进行时间序列回归分析时，需要注意调整时间滞后项和季节性因素，以及对模型的拟合和诊断。

总结回归分析中的时间序列数据处理是一个复杂而又重要的环节。

在处理时间序列数据时，需要注意数据的平稳性、季节性调整、自回归模型和移动平均模型的选择，以及时间序列回归分析的应用。

时间地点实验题目简单线性回归模型分析一、实验目的与要求：目的：影响财政收入的因素可能有很多，比如国内生产总值，经济增长，零售物价指数，居民收入，消费等。

为研究国内生产总值对财政收入是否有影响，二者有何关系。

要求：为研究国内生产总值变动与财政收入关系，需要做具体分析。

二、实验内容根据1978－1997年中国国内生产总值X和财政收入Y数据，运用EV软件，做简单线性回归分析，包括模型设定，估计参数，模型检验，模型应用，得出回归结果。

三、实验过程：（实践过程、实践所有参数与指标、理论依据说明等）简单线性回归分析，包括模型设定，估计参数，模型检验，模型应用。

（一）模型设定为研究中国国内生产总值对财政收入是否有影响，根据1978－1997年中国国内生产总值X 和财政收入Y，如图1：1978－1997年中国国内生产总值和财政收入（单位：亿元）根据以上数据，作财政收入Y 和国内生产总值X 的散点图，如图2：从散点图可以看出，财政收入Y 和国内生产总值X 大体呈现为线性关系，所以建立的计量经济模型为以下线性模型：01i i i Y X u ββ=++（二）估计参数1、双击“Eviews ”，进入主页。

输入数据：点击主菜单中的File/Open /EV Workfile —Excel —GDP.xls;2、在EV 主页界面点击“Quick ”菜单，点击“Estimate Equation ”,出现“Equation Specification ”对话框，选择OLS 估计，输入“y c x ”,点击“OK ”。

即出现回归结果图3：图3. 回归结果Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/10/10 Time: 02:02 Sample: 1978 1997 Included observations: 20Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 857.8375 67.12578 12.77955 0.0000 X0.1000360.00217246.049100.0000R-squared 0.991583 Mean dependent var 3081.158 Adjusted R-squared 0.991115 S.D. dependent var 2212.591 S.E. of regression 208.5553 Akaike info criterion 13.61293 Sum squared resid 782915.7 Schwarz criterion 13.71250 Log likelihood -134.1293 F-statistic 2120.520 Durbin-Watson stat0.864032 Prob(F-statistic)0.000000参数估计结果为：i Y = 857.8375 + 0.100036i X（67.12578） （0.002172）t =（12.77955） （46.04910）2r =0.991583 F=2120.520 S.E.=208.5553 DW=0.8640323、在“Equation ”框中，点击“Resids ”,出现回归结果的图形（图4）:剩余值（Residual ）、实际值（Actual ）、拟合值（Fitted ）.（三）模型检验1、 经济意义检验回归模型为：Y = 857.8375 + 0.100036*X （其中Y 为财政收入，i X 为国内生产总值；）所估计的参数2ˆ =0.100036，说明国内生产总值每增加1亿元，财政收入平均增加0.100036亿元。

回归分析习题一、选择题（共14小题；共70分）1. 在一组样本数据，，，（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为A. B. C. D.2. 已知回归方程，则该方程在样本处的残差为A. B. C. D.3. 对两个变量进行回归分析，则下列说法中不正确的是A. 由样本数据得到的回归方程必经过样本中心B. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好C. 用来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好D. 若散点图中的样本呈条状分布，则变量和之间具有线性相关关系4. 对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是A. 模型Ⅰ的相关系数为B. 模型Ⅱ的相关系数为C. 模型Ⅲ的相关系数为D. 模型Ⅳ的相关系数为5. 在两个变量与的回归模型中，选择了个不同模型，其中拟合效果最好的模型是A. 相关指数为的模型B. 相关指数为的模型C. 相关指数为的模型D. 相关指数为的模型6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和，如下表：甲乙丙丁则哪位同学的试验结果体现，两变量有更强的线性相关性A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 由一组样本数据得到的回归直线方程，那么下面说法不正确的是A. 直线必经过点B. 直线至少经过点中的一个点C. 直线的斜率为D. 直线和各点的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．8. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量，的回归模型时，分别选择了种不同模型，计算可得它们的相关指数分别如表：甲乙丙丁建立的回归模型拟合效果最差的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9. 设两个变量和之间具有线性相关关系，它们的相关系数是，关于的回归直线的斜率是，纵截距是，那么必有A. 与的符号相同B. 与的符号相同C. 与的相反D. 与的符号相反10. 若要有的把握作出两个变量具有线性相关关系的推断，则要求A. 两个相关变量的散点图必须近似的在一条直线上B. 回归系数C. 回归系数D. 线性相关系数满足11. 已知变量与之间的相关系数，查表得到相关系数临界值，若要使可靠性不低于，则可以认为变量与之间A. 不具有线性相关关系B. 具有线性相关关系C. 它们的线性关系还要进一步确定D. 不确定12. 下列说法正确的是A. 对于相关系数来说，，越接近，相关程度越大；越接近相关程度越小B. 对于相关系数来说，，越接近，相关程度越大；越大，相关程度越小C. 对于相关系数来说，，越接近，相关程度越大；越接近相关程度越小D. 对于相关系数来说，，越接近，相关程度越小；越大，相关程度越大13. 某商品的销售量（件）与销售价格（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论正确的是A. 与具有正的线性相关关系B. 若表示变量与之间的线性相关系数，则C. 当销售价格为元时，销售量为件D. 当销售价格为元时，销售量为件左右14. 两个变量与的回归模型中，分别选择了个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是A. 模型的相关指数为B. 模型的相关指数为C. 模型的相关指数为D. 模型的相关指数为二、填空题（共4小题；共22分）15. 回归分析（1）回归分析是对具有⑧的两个变量进行统计分析的一种常用方法．（2）样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据，，，，我们知道，，则将⑨称为样本点的中心．（3）相关系数：．当时，表明两个变量⑩；当时，表明两个变量⑪．的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性⑫．的绝对值越接近于，表明两个变量之间⑬．通常大于或等于⑭时，认为两个变量有很强的线性相关性．16. 若某函数模型相对一组数据的残差平方和为，其相关指数为，则总偏差平方和为，回归平方和为．17. 如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于．18. 和的散点图如图，则下列说法中所有正确命题的序号为．①、是负相关关系；②在该相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的相关指数为，则；③、之间不能建立回归直线方程．三、解答题（共2小题；共26分）19. 某种书每册的成本费元与印刷千册有关，经统计得到如下数据：试判断关于是否具有线性回归关系．20. 某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，．（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（3）已知这种产品的年利润与，的关系为．根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少?②年宣传费为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．第一部分1. D 【解析】所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上，则样本相关系数最大，为．2. C3. B 【解析】样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B不正确，越大拟合效果越好，故C正确，当散点图中的样本呈条状分布，表示两个变量具有线性相关关系，D正确．4. A 【解析】因为相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，A相关系数的绝对值约接近，所以A拟合程度越好．5. A6. D 【解析】越大，越小，线性相关性越强．7. B 【解析】由知所以必定过点．8. C9. A10. D11. B12. C13. D 【解析】当销售价格为元时，，即销售量为件左右.14. A 【解析】两个变量与的回归模型中，它们的相关指数越接近于，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中，是相关指数最大的值，因此拟合效果最好的是模型．第二部分15. 相关关系，，正相关，负相关，越强，几乎不存在线性相关关系，16. ，【解析】由题中条件可知，残差平方和占总偏差平方和的比例为，所以总偏差平方和为，回归平方和为或．17. ，或【解析】设样本点为，，回归直线为；若散点图中所有的样本点都在一条直线上，则此直线方程就是回归直线方程．所以有；残差平方和；解释变量和预报变量之间的相关系数满足，所以．18. ①②第三部分19. ，，计算，，，由公式计算的，因为，所以没有充分的理由认为与具有线性相关关系．20. （1）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型．（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，所以．所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为．（3）①由（2）知，当时，年销售量的预报值，．②根据（2）的结果知，年利润的预报值，所以当，即，取得最大值．故宣传费用为千元时，年利润的预报值最大．。

实验报告1日期姓名班级一简单线性回归分析题目：设公司的每周广告费支出和每周销售额数据如下图所示：要求：（1）广告费与消费额之间是否存在显著的相关关系？（2）计算回归模型参数。

（3）回归模型能解释销售额变动的比例有多大？（4）计算D-W的统计量。

（5）如下周的广告费支出为6700元，试预测下周的消费额（取置信区间a=0.05）步骤：一在excel里输入数据：每周广告费每周消费额4100 12.505400 13.806300 14.255400 14.254800 14.504600 13.006200 14.006100 15.006400 15.757100 16.50根据上表数据画出散点图由图可知，所有点几乎在同一条直线上，由插入趋势线后的散点图可知，每周销售额和每周广告费间的函数关系为：y=0.0011x+8.3039 ;本例中R 2值为0.719，表明销售额的变动中有71.9%可用广告费通过线性回归模型加以解释，剩余的28.1%则由其余因素引起，两个变量间的线性关系显著，可以进行下一步的回归分析。

二 回归分析(1)斜率计算公式为∑∑∑∑∑--=∧22)(x n y x xy n b x ，在H1中输入n ，在K2输入斜率b ，在L2中输入n 截距公式=(10*D12-B12*C12)/(10*E12-(B12)*(B12))；(2) 截距计算公式为 nx b n y a ∑∑∧∧-=，在K3输入截距a ，在L3输入公式=(C12/10-I2*B12/10);(3)y 的估计值为x b a y ∧∧∧+=，在F2输入公式=$L$3+$L $2*B2，并往下复制到F11处(4)检验线性关系的显著性可决系数222)(/)(1∑∑-∧---=y y y y R i i i ,在L4输入公式=1-SUMXMY2(C2:C11,F2:F11)/DEVSQ(C2:C11)；可得719039.02=R ，在L5中输入=soqr （L4），可得相关系数R=0.847962。