多元函数偏导数(第七讲)

多元函数计算多元函数的偏导数和梯度在数学中，多元函数是指含有多个自变量的函数。

对于多元函数，我们可以通过偏导数和梯度来描述其变化率和方向。

一、多元函数的偏导数偏导数是多元函数沿着某个特定变量的变化率。

对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以分别表示为∂f/∂x和∂f/∂y。

对于一个三元函数f(x, y, z)，则有∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z。

偏导数的求解与一元函数的导数类似，可以通过求偏导数的极限得到。

以二元函数f(x, y)为例，求解∂f/∂x时，将y视为常数，对x进行求导；同理，求解∂f/∂y时，将x视为常数，对y进行求导。

二、多元函数的梯度梯度是多元函数在某一点上变化最快的方向。

对于二元函数f(x, y)，其梯度可以表示为grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)，即梯度向量。

对于三元函数f(x, y, z)，梯度向量为grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。

梯度的方向指向函数增长最快的方向，梯度的模表示函数在该方向上的变化率。

如果梯度向量为0，则函数取得极值点或者驻点。

三、多元函数的计算示例现在，我们通过一个具体的例子来计算多元函数的偏导数和梯度。

考虑函数f(x, y) = x^2 + 2xy - y^2，我们要计算其偏导数和梯度。

首先，计算偏导数：∂f/∂x = 2x + 2y∂f/∂y = 2x - 2y然后，计算梯度：grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x + 2y, 2x - 2y)这样，我们就得到了函数f(x, y) = x^2 + 2xy - y^2的偏导数和梯度。

四、多元函数的应用多元函数的偏导数和梯度在数学和工程学科中应用广泛。

它们可以用于优化问题、微分方程的求解以及物理学和经济学等领域的建模分析中。

在优化问题中，可以使用梯度下降法来寻找函数的最小值点。

通过不断沿着负梯度方向更新自变量的值，可以逐步接近最优解。

多元函数的偏导数与方向导数在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。

对于多元函数，我们可以研究其导数和方向导数来揭示函数的性质和变化规律。

本文将介绍多元函数的偏导数和方向导数的概念及其计算方法，并通过具体的例子进行解析。

一、多元函数的偏导数偏导数是多元函数在某一变量上的导数。

对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi（i=1, 2, ..., n），表示在其他自变量保持不变的条件下，函数对第i个自变量的变化率。

注意，偏导数只关心某一变量的变化对函数的影响，而其他变量视为常数。

计算多元函数的偏导数时，可以按照每个自变量单独求导的方式进行，即将其他自变量视为常数进行计算。

最终的偏导数结果是一个函数，而不是一个具体的数值。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以计算出∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。

二、方向导数方向导数是多元函数在给定方向上的变化率。

对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，在点(x0, y0, ..., zn)沿着向量u=(u1, u2, ..., un)的方向上的方向导数可以表示为∂f/∂u = ∇f · u，其中∇f表示函数f的梯度（即所有偏导数的向量），u表示单位向量。

计算函数沿给定方向的方向导数时，首先需要计算函数的梯度∇f，然后再与给定方向向量u进行点乘，得到方向导数的值。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处沿着向量u=（2, 1）的方向上的方向导数可以表示为∂f(u)/∂u = ∇f(1, 2) · (2, 1) = 10。

三、应用实例下面我们通过实例来进一步理解偏导数和方向导数在多元函数中的应用。

例1：考虑函数f(x, y) = x^3 + 3xy^2，求其在点(1, 2)处的偏导数和沿着向量u=(1, 2)的方向导数。

多元函数的偏导数多元函数的偏导数以二元函数为例。

二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念。

.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识。

定义1 设f(x,y)为定义在点集D?R2上的二元函数，P0∈D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要P∈U(P0,δ)∩D，就有f P?f(P0)<ε，则称f(x,y)关于集合D在点P0连续。

定义2 设函数z=f x,y,(x,y)∈D，若(x0,y0∈D且f x,y0在x0的某一邻域内有定义，则当极限limΔx→0?x f(x0,y0)x =limΔx→0f x0+?x,y0?f(x0,y0)x存在时，则称这个极限为函数f x,y在点x0,y0关于x的偏导数，记作efex(x0,y0)。

定义3 设函数z=f x,y在点P0x0,y0某邻域U(P0,δ)内有定义，对于U(P0,δ)中的点P x,y=(x0+?x,y0+?y)，若函数f x,y在点P0x0,y0处的全增量可表示为?z=f x0+?x,y0+?y?f x0,y0=A?x+B?y+O(ρ)，其中A、B是仅与点P0x0,y0有关的常数，ρ= ?x2+?y2，O(ρ)是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f x,y在点P0x0,y0处可微。

二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导。

定理1：若z=f x,y在点x,y可微，则z=f x,y在点x,y一定连续。

定理2：若二元函数z=f x,y在其定义域内一点P0x0,y0处可微，则f x,y在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且A=f x x0,y0,B=f y x0,y0。

定理3：若二元函数z=f x,y的偏导数在点P0x0,y0的某邻域内存在，且f x x 0,y 0 与f y x 0,y 0 在点 x 0,y 0 处连续，则函数f x ,y 在点x 0,y 0 处可微。

第七讲 多元函数偏导数与最值问题一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组）例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f w kt f x y z u t v t w t -¶¶¶¶¶¶++=¶¶¶¶¶¶， 又 ,u v wx y z t t t ¶¶¶===¶¶¶有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -¶¶¶++=¶¶¶上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ¶¶¶++=¶¶¶ 即有 (,,)f f fu v w kf u v w u v w¶¶¶++=¶¶¶于是得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且0x j ¶¹¶，求du dx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图：有复合关系，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx¶¶¶¢¢¢=++=++¶¶¶ xyzxyxuUn Re gi st er ed由2(,,)0yx e z j =两边对x 求导，得12320y dy dzx e dx dxj j j ¢¢¢++=g g ，又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx j j j ¢¢=-+¢g于是123cos (2cos )y z x y f du f f x x e x dx j j j ¢¢¢¢¢=+-+¢g ． 例3．已知函数(,)u v x y =，满足方程2222()0u u u ua x y x y¶¶¶¶-++=¶¶¶¶ （1）试选择参数a ，b ，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e a b +=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y x =+，x y h =-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v v e v e v e x x xa b a b a b a a +++¶¶¶=+=+¶¶¶ 2222()()x y x y u v v ve v e x x x xa b a b a a a ++¶¶¶¶=+++¶¶¶¶ 222(2)x y v vv e x xa b a a +¶¶=++¶¶， ()x y u vv e y ya b b +¶¶=+¶¶， 22222(2)x yu v v v e y y ya b b b +¶¶¶=++¶¶¶ 将上述式子代入已知方程中，消去x yea b +变得到222222(2)(2)()0u u v v a a a a v x y x ya b a b a b ¶¶¶¶-+++-++-++=¶¶¶¶， Un Re gi st er ed由题意，令2020a a a b +=ìí-+=î，解出22a aa b ì=-ïïíï=ïî，故原方程为 22220u ux y ¶¶-=¶¶．（2）令x y x =+，x y h =-，则v v v v v x x x x h x h x h¶¶¶¶¶¶¶=+=+¶¶¶¶¶¶¶， v v v v vy y y x h x h x h¶¶¶¶¶¶¶=+=-¶¶¶¶¶¶¶ 22222222v v v v v x x x x xx h x h x x h x h h ¶¶¶¶¶¶¶¶¶=+++¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ 222222v v vx x h h ¶¶¶=++¶¶¶¶ 同理 2222222v v v v y x x h h¶¶¶¶=-+¶¶¶¶¶ 将上面式子代入22220u ux y¶¶-=¶¶中得到20vx h¶=¶¶． 二、求闭区域上连续函数的最值 （1）先求开区域内的最值，（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．例4．求函数22(,)49z f x y x y ==++在闭区域{}22(,)4D x y x y =+£上最大值和最小值．解：先求(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由(,)0x f x y ¢=，(,)0y f x y ¢=得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，Un Re gi st er ed再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界224x y +=上的情形，方法1：讨论22(,)49f x y x y =++在约束条件224x y +=下条件极值， 令 2222(,)49(4)F x y x y x y l =++++- 求导，得2222082040Fx x x Fy y y Fx y l l lì¶=+=ï¶ï¶ï=+=í¶ïï¶=+-=ï¶î， 解方程组，得0x =，2y =±，4l =-或2x =±，0y =，1l =-，求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，最小值(0,0)9m f ==．方法2：将条件224x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t j ==++求导，得 ()8cos sin 32sin cos 24sin cos t t t t t t t j ¢=-+=令()0t j ¢=，得到0t =，2t p =，则(0)13j =，(252pj =， 因为()t j 是周期函数，所以只讨论0t =，2t p=就可以了，结论同上．Un Re gi st er ed。

多元函数的偏导数在微积分中，我们学习了一元函数的导数，用于描述函数在某一点的变化率。

而对于多元函数，我们需要引入偏导数的概念，以便研究函数在不同自变量方向上的变化率。

一、二元函数的偏导数我们先来看二元函数的偏导数。

对于一个二元函数 f(x, y)，当我们只关注其中一个自变量的变化对函数的影响时，我们可以通过对该自变量求导数来得到该方向上的变化率。

设函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处可微分，那么 f 对 x 的偏导数定义为：∂f/∂x =lim[∆x→0] (f(x0+∆x, y0) - f(x0, y0)) / ∆x类似地，对于 y 的偏导数可以定义为：∂f/∂y =lim[∆y→0] (f(x0, y0+∆y) - f(x0, y0)) / ∆y注意，这里的偏导数是在其他自变量固定的情况下，只关注一个自变量的变化对函数的影响。

二、对于多元函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，我们可以依次对每个自变量求偏导数，得到它们的偏导数。

偏导数可以通过求导数的方式来计算，将除当前自变量外的其他自变量看作常数。

举个例子，对于函数 f(x, y, z) = x² + yz - 2z，我们可以求出它的各个偏导数：∂f/∂x = 2x∂f/∂y = z∂f/∂z = y - 2这样，我们就得到了多元函数在不同自变量方向上的变化率。

三、偏导数的应用偏导数在实际问题中有广泛的应用，尤其是在经济学、物理学和工程学等领域。

1. 极值问题在求解多元函数的极值问题中，偏导数起到关键的作用。

我们可以通过求偏导数来找到函数取极值的点。

2. 曲面的切线和法线对于多元函数所代表的曲面，通过偏导数我们可以求得曲面在某一点的切线和法线方程，帮助我们研究曲面的性质和变化规律。

3. 研究函数性质通过偏导数，我们可以了解函数在不同自变量方向上的变化规律，进而研究函数的性质，比如函数的凹凸性、增减性等。

四、高阶偏导数除了一阶偏导数，我们还可以计算多元函数的高阶偏导数。

多元函数的偏导数与全导数的概念及计算方法一、多元函数的偏导数概念及计算方法多元函数的偏导数是指在多元函数中，固定其他变量而对某一个变量求导的结果。

偏导数的计算方法可分为两种：使用基本的导数法则以及使用偏导数的定义。

1. 使用基本的导数法则计算偏导数假设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，则可以通过以下导数法则来计算它的偏导数：a. 对于一个与x1有关的函数，固定其他变量而对x1求导，得到偏导数∂f/∂x1。

对于每一个变量，都可以类似操作。

b. 对于一个与x1和x2有关的函数，固定其他变量而对x1和x2分别求导，得到偏导数∂f/∂x1和∂f/∂x2。

c. 继续对函数的其他变量进行相同的操作，直到计算得到所有的偏导数。

2. 使用偏导数的定义计算偏导数使用偏导数的定义计算偏导数需要先确定一个变量为自变量，其他变量为常数。

然后根据函数的定义，求出对应自变量的导数。

例如，对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。

计算时，我们先固定y为常数，然后将f(x, y)看作只是关于x的函数，使用基本的导数法则计算∂f/∂x。

接着，我们再固定x为常数，将f(x, y)看作只是关于y的函数，使用基本的导数法则计算∂f/∂y。

二、多元函数的全导数概念及计算方法多元函数的全导数是指对于一个多元函数中的每个自变量，都求出对应的偏导数。

全导数的计算方法与偏导数的计算方法类似。

假设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，则可以通过以下步骤来计算它的全导数：1. 计算所有的偏导数固定每个变量，分别对其求偏导数∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn。

这一步的计算方法可以使用上述的偏导数的计算方法。

2. 组合所有的偏导数将所有的偏导数组合在一起，形成一个向量，即全导数的结果。

如果函数有n个自变量，全导数可以表示为向量(d1f, d2f, ..., dnf)。

需要注意的是，全导数不同于偏导数的一个重要特点是可以通过向量的方式来表示。