多元复合函数的二阶偏导数公式

多元复合函数的求导法则(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第四节 多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。

重点：各种类型复合函数的求导与计算。

难点：抽象函数的二阶偏导数计算。

作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13一．多个中间变量，一个自变量情况定理1 如果函数()u t ϕ=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ϕψ=在点t 可导，且其导数公式为dz z du z dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂ （全导数） 证明 设t 有增量t ∆，相应函数()u t ϕ=及()v t ψ=的增量为,u v ∆∆，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ∆．又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f fz u v u v u vεε∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂ 这里，当0,0u v ∆→∆→时，120,0εε→→，上式除以t ∆得12z f u f v u vt u t v t t tεε∆∂∆∂∆∆∆=+++∆∂∆∂∆∆∆． 当0t ∆→时，0,0u v ∆→∆→，,u du v dvt dt t dt∆∆→→∆∆， 所以 0lim t dz z f du f dvdt t u dt v dt∆→∆∂∂==+∆∂∂，即 dz f du f dv z du z dvdt u dt v dt u dt v dt ∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ∂∂=+∂∂从形式上看是全微分z zdz du dv u v∂∂=+∂∂两端除以dt 得到的，常将dzdt称为全导数．推论 若),,(w v u f z =，()u t ϕ=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数[](),(),()z f t t w t ϕψ=满足定理条件，则有全导数公式dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt∂∂∂=++∂∂∂例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dtdu ． 解dt du u dx u dyx dt y dt∂∂=+∂∂1sin ln cos (sin cos )y t y t t yx e x x t e t t t -=+=+． 二．多个中间变量，多个自变量情况定理2 若(,)u x y ϕ=及(,)v x y ψ=在点),(y x 具有偏导数，而函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=在点),(y x 两个偏导数存在，且有公式xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂； yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例2．设函数vu z =，而223y x u +=，y x v 24+=，求yz x z ∂∂∂∂,． 解16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x-∂∂∂∂∂=+=+⋅∂∂∂∂∂ 224212242226(42)(3)4(3)ln(3)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++u u y vu yv v z y u u z y z v v ln 221+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂- 224212242222(42)(3)2(3)ln(3)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++． 注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下： 首先从自变量z 向中间变量,u v 画两个分枝，然后再分别从,u v 向自变量,x y 画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求zx∂∂（z y ∂∂）时，我们只要把从z 到x （y ）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，（y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂） 推论1. 设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，),(y x w w =在点),(y x 有偏导数，而函数),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 偏导数连续，则复合函数[](,),(,),(,)z f x y x y w x y ϕψ=在点),(y x 的两个偏导数存在，且有公式xw w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；y ww z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂． 推论2. 设函数),(y x u ϕ=具有偏导数，而函数),,(y x u f z =可微，则复合函数],),,([y x y x f z ϕ=在点),(y x 偏导数存在，且有公式xfx u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yf y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂． 注意x z ∂∂与xf ∂∂区别: x z∂∂是把函数[](,),,f x y x y ϕ中的y 看成常数，对x 求偏导， xf∂∂是把),,(y x u f 中y u ,看常数，对x 求偏导． 前者是复合后对x 的偏导数，后者是复合前对x 的偏导数．例3．设函数222),,(z y x e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求xu ∂∂和y u ∂∂． 解y x ze xe xzz f x f x u z y x z y x sin 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2+++=y x ze ye yzz f y f y u z y x z y x cos 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ yx y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=．例4．设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =求全导数dtdz ． 解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂= t t u ve t cos )sin (+-+=t t t e t cos )sin (cos +-=． 例5．设抽象函数),(22xy e y x f z -=，其中f 偏导数连续，求yz x z ∂∂∂∂,．解xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，其中22y x u -=，xy e v =， 212122f ye f x xe f x f xy xy '+'=⋅'+⋅'=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 1212(2)2xy xy f y f xe yf xe f ''''=⋅-+⋅=-+其中u v u f u z f ∂∂=∂∂='),(1，vv u f v z f ∂∂=∂∂='),(2．三．复合函数的二阶偏导数若函数),(v u f z =，(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=二阶偏导数连续，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=存在二阶偏导数．记号2211u z f ∂∂=''，v u z f ∂∂∂=''212，u v z f ∂∂∂=''221，2222vz f ∂∂=''． 例6．设复合函数),32(y xy x f z +=，其中),(v u f 对v u ,具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2．解2112f yf x v v z x u u z x z '+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)12(212f y f y y x z '+'∂∂=∂∂∂)1(221f y y y f '∂∂+∂'∂= ))(3(11))(3(222222221211yxf f y f y y x f f -''+⋅''+'--''+⋅''= 22122223111236f y f y x y f y x f '-''-+''-''=． 练习题 设函数2(,)yz f x y x=，其中),(v u f 对v u ,具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2．（y x z ∂∂∂23'1122122132122y x yf f yf f xf x x'''''''=-+-+）复合函数求偏导数步骤：（1）搞清复合关系——画出复合关系图；（2）分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量；（3）对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量而最后归结到该自变量．例7.设复合函数),(xyz z y x f w ++=，且f 具有二阶连续偏导数，求xw∂∂，zx w∂∂∂2． 解21f yz f xw'+'=∂∂)(2221212112xy f f yz f y f xy f z x w''+''+'+''+''=∂∂∂ 22122211)(f y f yz xy f z xy f '+''++''+''=． 例8.设函数),(y x f u =的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标形式（1） 22)()(y u x u ∂∂+∂∂；（2） 2222yux u ∂∂+∂∂解 （1）直角坐标与极坐标关系θcos r x =，θsin r y =，则(,)(cos ,sin )(,)u f x y f r r F r θθθ====记这里(,)u f x y =看作由函数(,)u F r θ=及22y x r +=，xyarctan =θ，复合而成的复合函数，按复合函数求导公式，得x u x r r u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθru r u θθθsin cos ∂∂-∂∂=， 其中θθcos cos 22==+=∂∂r r y x x xr；r y x y xy x y x θθsin 1222222-=+-=+-=∂∂， 同理y u y r r u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθcos sin u u r rθθθ∂∂=+∂∂，其中θθsin sin 22==+=∂∂r r y x y yr ；r y x x xy x y θθcos 112222=+=+=∂∂， 上边两式平方后相加，得 22222)(1)()()(θ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ur r u y u x u ． （2）y y u y r y u r y u ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂θθ)()(22 rr u r u r u r u r θθθθθθθθθcos )cos sin (sin )cos sin (∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=θθθθθθsin )cos cos sin (2222r u r r u r u ∂∂-∂∂∂+∂∂= 222cos sin cos (sin cos )u u u u r r r r rθθθθθθθθ∂∂∂∂++-+∂∂∂∂∂r r u r u r u r r u r u θθθθθθθθθθ2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin ∂∂+∂∂-∂∂+∂∂∂+∂∂=同理r r u r u r u r r u r u x u θθθθθθθθθθ222222222222sin cos sin 2sin cos sin 2cos ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂上边两式相加得22222222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u r r u r r u y u x u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂=222))((1θu r u r r r r四．全微分形式不变形设函数),(v u f z =具有连续偏导数，则全微分dv vzdu u z dz ∂∂+∂∂=， 若函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=有连续偏导数，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ= 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yvv z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= )()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vzdu u z ∂∂+∂∂=． 可见无论z 是自变量y x ,的函数或中间变量v u ,的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性．例9.利用全微分形式不变性求微分)sin (v e d dz u =，其中xy u =，y x v +=．解 因为vdv e vdu e v e d dz u u u cos sin )sin (+== 又因为 xdy ydx xy d du +==)(，dy dx y x d dv +=+=)(， 所以 sin ()cos ()u u dz e v ydx xdy e v dx dy =⋅+++(sin cos )(sin cos )u u u u e v y e v dx e v x e v dy =⋅++⋅+dy y x y x x e dx y x y x y e xy xy ))cos()sin(())cos()sin((+++++++=若先求出(sin()cos())xy ze y x y x y x∂=+++∂，(sin()cos())xy z e x x y x y y ∂=+++∂代入公式dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=得结果完全一样． 思考题1．如何求复合函数的偏导数需要注意什么问题 2．。

偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。

对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。

偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。

对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。

同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。

这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。

二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。

这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。

2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。

这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。

2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。

2x3x 2 fdx x 3 h (xdy ydxxdy ydx习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法？(1)多元复合函数设二兀函数z f(u,v)在点(u o ,v o )处偏导数连续，二元函数 u u(x, y), v v(x, y)在点 (x o , y o )处偏导数连续，并且u o u(x o , y o ),v o v(x o ,y o ),则复合函数 z f (u(x, y), v(x, y))在点(x o ,y o )处可微，且dz — dx —z dyx y计算—f u f v zu f v 代人，xu x v xyu y v yzz f uf v fu f v dzdx dydxdyxy u x v xuyv yf u . uf v , v ,dx dydx dyu x yvxydu dv u v例 1 设 z x 3f xy,—，求一^,二。

x x y解：dz f 3x 2dx x 3df 3x 2 fdx x 3 f |d(xy) f 2 d — xf u o ,v ou x o , y of u o ,v ov x o ,y o(x o ,y o )uxvxf u o , v ou x o , y of u o ,v ov X o , y o(x o ,y o )uy vyz xz y多元函数微分形式的不变性:则将z 看成x, y 的函数，有f (u,v),u u(x, y), v v(x, y)，均为连续可微,我们将 dz — dx — dyx y—du ~~ dv 叫做微分形式不变性。

u v例3已知函数y f (x)由方程ax by f x 2 y 2 , a,b 是常数，求导函数。

解：方程ax by f x 2 y 2 两边对x 求导，a b 业 f (x 2 y 2) 2x 2y 业dxdxdy 2xf (x 2 y 2) a dx b 2yf (x 2 y 2)两端分别关于x i 求偏导数得到，并解f, 可得到公式：一yF x x,y F y x, yX iXi例4设函数x x(z), y y(z)由方程组2 2 2 …x y z 12 o 2 2 dx 2y z 1 0确定，求0确定，求导之函数？ y(x 1 ,...,x n ),对于方程F(X 1,...,X n ,y(X 1,...,X n ))3x 2fx 3yf i xyf 2 dx x 4 f 1 x 2f 2 dy由微分形式不变性,dz — dx x—dy y 3x f xyf ixyf 2 dx x 4 f 1 x 2 f 2 dy3x 2fx 3yf ixyf 2x 4 f 1 x 2 f 2例2已知y，求亠dydx解考虑二元函数y1 ,vx 应用推论得dy dxdu u dxy dv .vuv dx(In u)u v $ x1x(1 In x).⑵隐函数 若函数 x ,由方程 按隐函数定义有恒等式:F x, y x 0 x, y A F dx0确定, x, y x求导之函数?F x x, yF y x, y x y xF x x,y x oF y x, y x从这是可见：函数y x 可导有一个必要条件是,F y x,y 0.般来说，若函数y y x ,由方程F x, y将y 看作是x 1,...,x n 的函数y y xdx dy dz ，dzdz dz 2 2 2 ,2x2y — 2z解xyz 1dx dy 解方程得：2小2x 2yz 212x dz —4y dz 2zdxdydxdz = 1 4y 2y 2z 1 12yzdy 4xy2x 2x2z4xy8xzdz由此得到dX 3z, dy 2zdz x ' dz yu,v 是由方程uv 1 0 u （x, y）的x, y 的隐函数，在这两个等式两端分别关于0 cosv 」usinv y 1 sinv —u ucosv yx, y 求偏导数，得_v y v yv(x, y)cosv 』 xsinv 』 x usinv — x ucosv 」x得到u vsin uuv cosv得到ycosv,sin v,xxuy xu将这个结果代入前面的式子，得到z u vv uvcosv sin vx xxz u v与v u -vsin v cosvyyyu f (x, y, z,t)⑶ 隐函数函数u u(x,y)由方程 g(y, z,t) 0 确定，求一9x h(z,t) 0变量）？ 3 （ 方程）=2（自变量）; ）,二中（z, t ）解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法x, y 是自变量，u,v 是中间变量（u,v 是x, y 的函数）,先由z uv 得到zzuzv u vv u x u x v x x x zzuz v u vv uy u yv y y y例5已知函数z z x, y 由参数方程：x u cosvy usinv ,给定，试求—. x y zuv解：函数关系分析：5 （ 一函（u ）,二自（x, yz , ,i h 上 g g t 0y ©h)t 丨（乙t ）| h yz z 二阶偏导数：一阶导函数的偏导数 f f zf tyz yt yf hf hg u ft zz tyyyg h ghz t tzu f u =5exxy例6 z 2 z(x, y)由 x 2y 2 2 z a 决定，求解: 2x 2^z 0 2y 2zZ oxy x y2zzx z _y xJz yz 2z yz xy23x yzxzx f x,2x ,x，其中函数的二阶偏导数连续，求d 2g x dx 2X\ f(xy,—) y xf lff f5f25yf2fu f2fvf 2ff2fM1222212J121uvu vv u,f 二阶连续可微，求 xy, v2 2 -2xzf u f v1 £y f 1f xuxvxy2zzf 11 f2 2yxx xxyxu,v 为中间变量,都是以r 1 F F f11 「2u因为 v以x,y 为自变量的函数，所以将以上两式代入前式得 f 1uv1fnf 12y fn f 12xxxy f 2uv1七f21f22y f 21—怯xxxy2z 2 fo f1 f2 y T 11122 T22 .xy例9设z z(x, y)二阶连续可微，并且满足方程例10 设u(x, y)2C2,又ux2u 220, u(x,2x) x, u x(x,2x) x ,求yU xx(x,2x), U xy(x,2x) U yy(X,2X)解：u / c \(x,2x) x2 x ,两边对x求导,2z 2z2B -------x y2z若令U X y,试确定v x y 为何值时能变原方程为2z0.u,v看成中间变量，利用链式法则得z z u z vx u x v xz z u z vy u y v y2z z z 2 z2 x x u v 2 u2z z z2 2z2y y u v 2 u2z z zx y x u vz z——zu v u vz z——zu v u v2 2 2z z2- 2 —zu v v u v2 2z 2 z2 2u v v u2 2 2z z z2 2u u v v2B —z v2z _ ~~2= yA 2B 2B2 z~~2 vA 2B0.问题成为方程 A 2Bt Ct20有两不同实根，即要求令 B ■ B2AC, B B2AC ,即可。

多元复合函数的二阶偏导数公式黄世强郑州工业大学数力系孙跃俊焦作工学院基础部454150摘要本文建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。

关键词偏导数矩阵内积中图分类号 O17211使用Jacobi矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。

但是长期以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式。

本文以具有两个中间变元的复合函数为例建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。

从而使繁冗且易错的运算可以规范化地进行。

1 一阶偏导数的各种表示式设函数zfuv?C2其中uuxy?C2vvxy?C2。

构造函数矩阵行向量2:A〔f′uf′v〕Bx〔u′xv′x〕By〔u′yv′y〕则成立一阶偏导数公式5z5xf′uu′xf′vv′xABTxABx15z5yf′uu′yf′vv′yABTyABy2其中AT是A的转置ABx是A与Bx的内积。

定义称F,6,9f〃uuf〃uvf〃uvf〃vv为A关于u、v的导数矩阵。

2 定理定理一矩阵A关于x或y的偏导数等于矩阵Bx或By左乘A关于u、v的导数矩阵F。

证明5A5x〔55xf′u5A5xf′v〕〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvBxF3同理可得5A5yByF4定理二设矩阵G 〔Υx、y.7x、y〕?C′则55xAGTBxFGTA55xGT5第18卷第3期1997年 9月郑州工业大学学报JournalofZhengzhouUniversityofTechnology Vol118 No131Sep1199755yAGTByFGTA55yGT6 证明由式1及内积求导公式2并利用式3有55xAGT55xAG5A5xGA5G5xBxFGTA55xGT同理可得6式。

3 复合函数的二阶偏导数公式取GBx或GBy将其分别代入式5、6整理后就有:52Z5x2〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xxv〃xx752Z5y2〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′yv′y〔f′u.f′v〕u〃yyv〃yy852Z5x5y〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xyv〃xy9特别地当uuxvvx时有d2Zdx2〔u′v′〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′v′〔f′u.f′v〕u〃v〃。