2020年 高中数学 一轮复习 课时练46 抛物线(文科)(北师大版)

课时规范练46 圆的方程基础巩固组1.(2018河北涞水月考,5)圆2+y2-(4m+2)-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线+y-4=0上,则圆的面积为()A.9πB.πC.2πD.由m的值而定2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为()A.(+1)2+(y-3)2=29B.(-1)2+(y+3)2=29C.(+1)2+(y-3)2=116D.(-1)2+(y+3)2=1163.(2018四川阆中中学期中,4)若点(1,1)在圆(-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()A.-1<a<1B.0<a<1C.a<-1或a>1D.a=±14.(2018贵州凯里期末,6)设圆2+y2-4+4y+7=0上的动点P到直线+y-4=0的距离为d,则d的取值范围是()A.[0,3]B.[2,4]C.[3,5]D.[4,6]5.(2018甘肃兰州诊断,7)半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线=0和+y=2均相切,则该圆的标准方程为()A.(-1)2+(y+2)2=4B.(-2)2+(y+2)2=2C.(-2)2+(y+2)2=4D.(-2)2+(y+2)2=46.已知直线l;+my+4=0,若曲线2+y2+2-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为()A.2B.-2C.1D.-17.在平面直角坐标系Oy中,以点(1,0)为圆心且与直线m-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.8.若直线l;2a-by+2=0(a>0,b>0)与轴相交于点A,与y轴相交于点B,被圆2+y2+2-4y+1=0截得的弦长为4,则|OA|+|OB|(O为坐标原点)的最小值为.9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=上,并且在轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为.综合提升组11.设点M(0,1),若在圆O;2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则0的取值范围是()A.[-1,1]B.-C.[-]D.-12.已知点P在圆2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.13.已知M为圆C;2+y2-4-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.14.已知圆C;2+y2+2-4y+3=0.(1)若圆C的切线在轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.创新应用组15.(2018安徽定远重点中学月考,16)如图所示,边长为1的正方形PABC沿轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(,y)的轨迹方程是y=f(),则对函数y=f()有下列判断;①若-2≤≤2,则函数y=f()是偶函数;②对任意的∈R,都有f(+2)=f(-2);③函数y=f()在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f()在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)16.已知平面区域恰好被面积最小的圆C;(-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为.参考答案课时规范练46 圆的方程1.B∵圆的方程是2+y2-(4m+2)-2my+4m2+4m+1=0,∴圆心坐标是(2m+1,m),∵圆心在直线+y-4=0上,∴2m+1+m-4=0,解得m=1,∴圆的方程是2+y2-6-2y+9=0,即(-3)2+(y-1)2=1,∴半径r=1,圆的面积S=πr2=π,故选B.2.B由题意知以线段AB为直径的圆的圆心为点,,即(1,-3),其半径为=,故以线段AB为直径的圆的方程是(-1)2+(y+3)2=29.故选B.3.A∵点(1,1)在圆(-a)2+(y+a)2=4的内部,∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.故选A.4.C由题得圆的标准方程为(-2)2+(y+2)2=1,所以圆心坐标为(2,-2),半径为1.所以圆心到已知直线的距离为=4,所以动点P到已知直线的最短距离为4-1=3,最大距离为4+1=5,故选C.5.C设圆心坐标为(2,-a)(a>0),则圆心到直线+y=2的距离d==2,所以a=2,所以圆C的标准方程为(-2)2+(y+2)2=4.6.D曲线2+y2+2-6y+1=0是圆(+1)2+(y-3)2=9,若圆(+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l;+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.7.(-1)2+y2=2由m-y-2m-1=0,可得m(-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线m-y-2m-1=0的距离的最大值为=.故所求圆的标准方程为(-1)2+y2=2.8.3+2由题意可得圆的标准方程为(+1)2+(y-2)2=4,其圆心为(-1,2),半径为2,而直线l被圆截得的弦长为4,所以直线过圆心,所以a+b=1,又A-,0,B0, ,所以|OA|+|OB|=+=+(a+b)≥=3+2,当且仅当b=a时等号成立.9.2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))设C(,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(-2)2+(y-1)2=4或(+2)2+(y+1)2=4设圆M的标准方程为(-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得解得或所以圆M的标准方程为(-2)2+(y-1)2=4或(+2)2+(y+1)2=4.11.A如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,圆上存在点N使∠OMN=45°,则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.当∠AOM=45°时,0=±1.∴结合图像知,当∠AOM≤45°时,-1≤0≤1,∴0的取值范围为[-1,1].12.6方法1;设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),·=2cos α+4.当α=2π,∈时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.故·的最大值为6.方法2;设P(,y),2+y2=1,-1≤≤1,=(2,0),=(+2,y),·=2+4,故·的最大值为6.13.解 (1)由圆C;2+y2-4-14y+45=0,可得(-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.又|QC|==4>2,所以点Q在圆C外,所以|MQ|ma=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.(2)由题意可知表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=(+2),即-y+2+3=0,则=.因为直线MQ与圆C有交点,所以≤2,所以2-≤≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.14.解 (1)将圆C的方程配方,得(+1)2+(y-2)2=2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=,由=,得=2±,∴切线方程为y=(2±).②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为+y-a=0(a≠0),由=,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.∴切线方程为+y+1=0或+y-3=0.综上,圆的切线方程为y=(2+)或y=(2-)或+y+1=0或+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得+=(1+1)2+(y1-2)2-2,整理得21-4y1+3=0,即点P在直线l;2-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO⊥l,∴直线PO的方程为2+y=0.解方程组得点P的坐标为-,.15.①②④当-2≤≤-1,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,当-1≤≤1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为的圆,当1≤≤2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,当3≤≤4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,∴函数y=f()的周期是4.画出函数y=f()的部分图像如图所示.①根据图像的对称性可知函数y=f()是偶函数,∴①正确.②由图像可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f()在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f()在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.16.(-2)2+(y-1)2=5由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r==,所以圆C的方程为(-2)2+(y-1)2=5.。

学习资料第八章 平面解析几何第六节 抛物线课时规范练A 组—-基础对点练1．已知抛物线y 2＝错误!x ，则它的准线方程为( ）A ．y ＝－2B ．y ＝2C ．x ＝－错误!D 。

y ＝错误!解析:因为抛物线y 2＝错误!x ，所以p ＝错误!,错误!＝错误!，它的准线方程为x ＝－错误!。

答案:C2．过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是（ )A ．y 2＝－92x 或x 2＝错误!y B ．y 2＝错误!x 或x 2＝错误!yC ．y 2＝错误!x 或x 2＝－错误!yD ．y 2＝－错误!x 或x 2＝－错误!y解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P （－2，3），解得k ＝－92，m ＝错误!，∴y 2＝－错误!x 或x 2＝错误!y ，选A.答案：A3．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1）,则a ＝（ ）A ．1B ．错误!C ．2D 。

错误!解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝错误!y ，所以其焦点坐标为(0，错误!），则有错误!＝1，a ＝错误!，故选D.答案：D4．（2020·洛阳模拟）已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是（2，2），则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3 D.4解析：F 错误!，那么M 错误!在抛物线上，即16＝2p 错误!,即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4。

答案:D5．若抛物线y 2＝2px (p ＞0）上的点P （x 0,2）到其焦点F 的距离是P 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ）A 。

错误!B ．1C.错误!D。

2解析：根据焦半径公式|PF|＝x0＋错误!,所以x0＋错误!＝3x0，解得x0＝错误!，代入抛物线方程（错误!)2＝2p×错误!,解得p＝2.答案：D6．抛物线C：y2＝2px(p＞0）的焦点为F,P是C上一点，若P到F的距离是P到y轴距离的两倍，且△OPF的面积为1（O为坐标原点)，则p的值为（）A．1 B．2C．3 D.4解析：设点P(x，y),根据已知可得x＋错误!＝2x，解得:x＝错误!，|y|＝p，所以S△OPF＝错误!×错误!×p＝1，解得p＝2。

课时作业(四十九) 抛物线A 级1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x2．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．拋物线3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定4．(2012·四川卷)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 55．拋物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与拋物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则拋物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x6．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有________条．7．(2012·北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．8．点P 在抛物线x 2＝4y 的图像上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为____________．9．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.10．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．B 级1．(2011·辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.742．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.3．(2012·山东潍坊二模)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．答案课时作业(四十九)A 级1．D 由题意知圆心为(1，－3)，抛物线开口向右或向下．把(1，－3)代入验证知D 正确． 2．D 把直线x ＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是拋物线的定义． 3．C 设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1，B 1分别为A ，B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 4．B 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋P 2＝2＋P2＝3，∴P ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，拋物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴拋物线C 的方程为y 2＝2x .6．解析： 容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切．答案： 27．解析： ∵y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.答案：38．解析： 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝⎛⎭⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小． 答案： ⎝⎛⎭⎫－1，14 9．解析： 由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ，∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k24＝0.∴x 1x 2＝14.而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.答案： 5610．解析： 由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c ，设抛物线方程为y 2＝4c ·x .∵拋物线过点⎝⎛⎭⎫32，6， ∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故拋物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴94a 2－6b 2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1.∴a2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34，故双曲线方程为x 214－y 234＝1. 11．解析： (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.B 级1．C 过A ，B 两点，分别向拋物线的准线作垂线，垂足分别为A ′，B ′，设线段AB 的中点为P ，点P 到准线的距离为|PP ′|，如右图所示．由拋物线定义：|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|PP ′|＝3，∴|PP ′|＝32.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为d ＝|PP ′|－14＝32－14＝54.故选C.2．解析： 由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知， y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2，∴|BF |＝12－(－1)＝32. 答案： 323．解析： (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，由韦达定理及p ＞0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0， 设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ＞0得k ＜－4或k ＞0， ∴x 0＝x B ＋x C 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴b ＝2(k ＋1)2， ∴b ＞2.。

高考数学一轮复习 抛物线课时作业45 文 北师大版一、选择题1．(2010年四川高考)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析：y 2＝8x 的焦点到准线的距离为p ＝4，选C.答案：C2． [2011·辽宁卷] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54 D.74如图，过A ，B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线，所以|MN |＝|AD |＋|BC |2.解析：由抛物线的定义知|AD |＋|BC |＝|AF |＋|BF |＝3，所以|MN |＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故选C . 答案：C3．(2010年辽宁高考)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：如图，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°，∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |，∴△PAF 为等边三角形，由|HF |＝4得|AF |＝8，∴|PF |＝8. 答案：B4．(2010年山东高考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：抛物线的焦点F (p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p (y ＋p 2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.答案：B5．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.答案：C6．[2011·山东卷] 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：根据x 2＝8y ，所以F (0,2)，准线y ＝－2，所以F 到准线的距离为4，当以F 为圆心、以|FM |为半径的圆与准线相切时，|MF |＝4，即M 到准线的距离为4，此时y 0＝2，所以显然当以F 为圆心，以||FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交时，y 0∈(2，＋∞)．答案：C二、填空题7．(2010年重庆高考)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF |＝|AB |＝2.答案：28．(2010年浙江高考)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：由题得抛物线的焦点F 的坐标为(p 2，0)，线段FA 的中点B 的坐标为(p 4，1)代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为(24，1)，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.答案：324 9．(2010年湖南高考)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.解析：依题意，抛物线的焦点F 的坐标为(0，p 2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y －p 2＝x ，代入抛物线方程得，y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ，直角梯形ABCD 有一个内角为45°.故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝22p ，梯形面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32p 2＝122，解得p ＝2.答案：2三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ，所以另一直角边的方程是y ＝－12x . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝p 2y ＝p ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8p y ＝－4p ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为(p 2，p )和(8p ，－4p )． ∴ p2－8p 2＋p ＋4p 2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x . 11．[2011·江西卷] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且||AB ＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解： (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值．解：证明：(1)设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．又y ′＝12x ， 则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1， 切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2， 由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知：－4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2， ∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0. ∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 12tx －y ＋4＝0x 2＝4y 得x 2－2tx －16＝0. 则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16.。

抛物线一、选择题1．(2021·衡水模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A．y2＝4x B．y2＝36xC．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32xC　[设P(x0，y0)，则x0＋＝10，y0＝±6，即点P的坐标为，又点P在抛物线y2＝2px上，∴2p＝36，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或p＝18，因此所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝36x，故选C．]2．(2021·泰安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF 为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p ＝( )A．1 B． C．2 D．2B　[由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得1＝，∵p＞0，∴p＝，故选B．]3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O 的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OPB　[如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P．故选B．]4．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( ) A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36yD　[将y＝ax2化为x2＝y．当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝．当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－．∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y．]5．过抛物线y2＝4x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点(x A＞x B)，则＝( )A． B． C．3 D．2D　[设直线方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，所以(2x－1)(x －2)＝0，x1＝，x2＝2．因为x A＞x B，所以x A＝2，x B＝，所以＝＝＝2．]6．(2021·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－，则△MAF的面积为( )A． B．2 C．4 D．8C　[如图所示，设准线l与x轴交于点N．则|FN|＝2．∵直线AF的斜率为－，∴∠AFN＝60°．∴∠MAF＝60°，|AF|＝4．由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形．∴S△AMF＝×42＝4．故选C．]二、填空题7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2，0)，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________．y2＝8x　6　[抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2，0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x．由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y＝±2，则M(1，±2)，则点N的坐标为(0，±4)，所以|FN|＝＝6．]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．2　[建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意可知抛物线过点(2，－2)，故4＝4p，∴p＝1，∴x2＝－2y．故当y＝－3时，x2＝6，即x＝．所以当水位降1米后，水面宽2米．]9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若| AF|＝3，则|BF|＝________．　[法一：由题意可知F(1，0)，设A(x A，y A)，B(x B，y B)，点A在第一象限，则|AF|＝x A＋1＝3，所以x A＝2，y A＝2，所以直线AB的斜率为k＝＝2．则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，x A＋x B＝，所以x B＝，所以|BF|＝＋1＝．法二：由＋＝可知＝1－＝，∴|BF|＝．]三、解答题10．如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．[解]　(1)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∵圆(x－2)2＋y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4．∴抛物线的方程为y2＝8x．(2)依题意直线AB的方程为y＝2x－4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10．|AB|＋|CD|＝|AD|－|CB|＝10－4＝6．11．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．[解]　(1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2．∴抛物线E的方程为y2＝4x．(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)，由A(2，2)，F(1，0)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)，由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，∴B．又G(－1，0)，∴k GA＝，k GB＝－，∴k GA＋k GB＝0，∴∠AGF＝∠BGF．∴GF为∠AGB的平分线．1．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )A．3 B．4 C．5 D．＋1A　[由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3．]2．(2021·济宁三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足AF＝2FB，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为( )A． B． C． D．B　[由题意得抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AF＝2FB，∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)，∴x1＝2x2＋1，∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y，∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝．∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝．故选B．]3．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．[解]　(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则k AB＋k AC＝＋＝＝0，∴x1＋x2＝－8．∴k BC＝＝＝＝－2，∴直线BC的斜率为定值－2．(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则k PQ＝＝＝＝，∴x0＝1．∴M(1，－2＋b)．又点M在抛物线内部，∴－2＋b＞，即b＞．由得x2＋8x－4b＝0，∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b．∴|BC|＝|x3－x4|＝·＝×．又b＞，∴|BC|＞10．∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．1．(2021·潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( ) A．＋B．9＋C．＋D．9＋D　[∵MA∥x轴，∴A，由题意可知AB经过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，∴直线AB的方程为y＝－(x－1)．联立方程解得B(4，－4)，∴|AM|＝3－＝，|AB|＝＋4＋2＝，|MB|＝＝．∴△ABM的周长为9＋．故选D．]2．已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，且FA＋FB＋FC＝0，则称该三角形为“核心三角形”．(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0，0)和(1，2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知△ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2．[解]　(1)抛物线Г：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由FA＋FB＋FC＝0，得1＝，0＝，故第三个顶点的坐标为3(1，0)－(0，0)－(1，2)＝(2，－2)，但点(2，－2)不满足抛物线的方程，即点(2，－2)不在抛物线上，所以这样的“核心三角形”不存在．(2)设直线AB的方程为y＝4x＋t，与y2＝4x联立，可得y2－y＋t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，y1＋y2＝1，x1＋x2＝(y1＋y2－2t)＝－t，由(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3)＝(3，0)，可得x3＝t＋，y3＝－1，代入方程y2＝4x，可得11＋2t＝1，解得t＝－5，所以直线AB的方程为4x－y－5＝0．(3)证明：设直线BC的方程为x＝ny＋m，与y2＝4x联立，可得y2－4ny－4m＝0，因为直线BC与抛物线相交，故判别式Δ＝16(n2＋m)＞0，y1＋y2＝4n，所以x1＋x2＝n(y1＋y2)＋2m＝4n2＋2m，可得点A的坐标为(－4n2－2m＋3，－4n)，又因为A在抛物线上，故16n2＝－16n2－8m＋12，可得m＝－4n2＋，因为m＞－n2，所以n2＜，故A的横坐标为－4n2－2m＋3＝－4n2＋8n2＝4n2＜2．。

高考数学一轮复习：第六节 抛物线授课提示：对应学生用书第363页[A 组 基础保分练]1．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到点C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析：设A （x ，y ），由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12．又因为点A到y 轴的距离为9，即x ＝9，所以9＋p2＝12，解得p ＝6．答案：C2．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A ．4 B ．9 C ．10 D ．18解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10． 答案：C 3．（2021·安阳模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′．若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为（ ） A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′．设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠F AA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2．四边形AA ′PF 的面积S＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝⎛⎭⎫p ＋52p ·2p2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x ．答案：C4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于（ ）A ．4B ．92C ．5D ．6解析：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k （x －1）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－（2k 2＋4）x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2（x B＋1），即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92．答案：B5．（2021·合肥检测）已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．2 2 D ．4解析：双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p22＝1，解得p ＝2． 答案：B 6．（2021·广东六校联考）抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为（ ）A ．118B ．54C ．32D ．1解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由题意知y 0≥b＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b 2，则|AB |＝1＋k 2·k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b ．因为弦AB 的长为3，所以1＋k 2·k 24＋2b ＝3，即（1＋k 2）⎝⎛⎭⎫k 24＋2b ＝9，故（1＋4y 0－4b ）（y 0＋b ）＝9，即（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝36．由基本不等式得，（1＋4y 0－4b ）＋（4y 0＋4b ）≥2（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝12，当且仅当⎩⎨⎧b ＝18，y 0＝118时取等号，得1＋8y 0≥12，y 0≥118，故点M 的纵坐标的最小值为118．答案：A 7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，－2），则此抛物线的标准方程为_________．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py （p ＞0），因为焦点坐标为（0，－2），所以－p2＝－2，解得p ＝4．故所求的抛物线的标准方程为x 2＝－8y ． 答案：x 2＝－8y 8．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），且与C 交于A ，B 两点，则p ＝ ，1|AF |＋1|BF |＝_________． 解析：由p2＝1，得p ＝2．当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1，代入y 2＝4x ，得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x －1）（k ≠0），代入抛物线方程，得k 2x 2－2（k 2＋2）x ＋k 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF |·|BF |＝x 1＋x 2＋2（x 1＋1）（x 2＋1）＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1．综上，1|AF |＋1|BF |＝1．答案：2 19．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ． （1）求抛物线的方程；（2）若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解析：（1）抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ．（2）∵点A 的坐标是（4，4），由题意得B （0，4），M （0，2）．又∵F （1，0），∴k F A ＝43．∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34．又F A 的方程为y ＝43（x －1），故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45． 10．（2021·襄阳联考）动点P 到定点F （0，1）的距离比它到直线y ＝－2的距离小1．设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作曲线C 的切线，且两切线相交于点M ． （1）求曲线C 的方程；（2）求证：AB →·MF →＝0． 解析：（1）由已知得动点P 在直线y ＝－2的上方，条件可转化为动点P 到定点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，∴动点P 的轨迹是以F （0，1）为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，故其方程为x 2＝4y ．（2）证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0． 设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ．∴直线AM 的方程为y －14x 2A ＝12x A （x －x A ），①直线BM 的方程为y －14x 2B ＝12x B （x －x B ）．② ①－②，得14（x 2B －x 2A ）＝12（x A －x B ）x ＋12（x 2B －x 2A ）， ∴x ＝x A ＋x B 2＝2k ．将x ＝x A ＋x B2代入①，得y －14x 2A＝12x A x B －x A 2＝14x A x B －14x 2A， ∴y ＝14x A x B ＝－1，∴M （2k ，－1）．∵MF →＝（－2k ，2），AB →＝（x B －x A ，k （x B －x A ））， ∴AB →·MF →＝－2k （x B －x A ）＋2k （x B －x A ）＝0．[B 组 能力提升练]1．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝36x C ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x解析：因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到抛物线对称轴的距离为6，所以可设该点为P （x 0，±6）．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以根据抛物线的定义得x 0＋p 2＝10．① 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0．② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x ． 答案：C 2．（2021·武汉模拟）已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A （5，3），M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：由题意知，当|MA |＋|MF |的值最小时，△MAF 的周长最小．设点M 在抛物线的准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|MD |＝|MF |，因此|MA |＋|MF |的最小值即|MA |＋|MD |的最小值．根据平面几何的知识可得，当D ，M ，A 三点共线时，|MA |＋|MD |最小，最小值为x A －（－1）＝5＋1＝6．又|F A |＝（5－1）2＋（3－0）2＝5，所以△MAF 周长的最小值为6＋5＝11． 答案：B 3．（2021·河北六校模拟）抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为_________． 解析：设满足题意的圆的圆心为M ． 根据题意可知圆心M 在抛物线上． 又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，则x M ＝6－p2．又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8．∴抛物线方程为y 2＝16x ． 答案：y 2＝16x 4．（2021·成都摸底）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且|AF ||BF |－|AF |＝1，则抛物线C 的标准方程为_________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ，则|DF |＝p ．由抛物线的定义知|BE |＝|BF |．设|BE |＝|BF |＝m ，因为△AEB ∽△ADF ，所以|AF ||AB |＝|DF ||BE |，即|AF ||AF |－|BF |＝|DF ||BF |，所以|AF ||AF |－m ＝p m ，所以|AF |＝pm p －m．由|AF ||BF |－|AF |＝1，得pmp －m m －pm p －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x ．答案：y 2＝2x5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若|AO |＝|AF |＝32．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．解析：（1）因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b （b ≥0），代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0＜b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2b 3＋b 2（0＜b ≤1）．设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，函数单调递增，所以当b ＝1时，△OPQ 的面积取最大值为2．6．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）和定点M （0，1），设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N ． （1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解析：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ①，x 1x 2＝－2p ②．（1）由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p ＝－1，所以p ＝2．（2）易得直线AN ：y －y 1＝x 1p （x －x 1），直线BN ：y －y 2＝x 2p（x －x 2），联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p（x －x 1），y －y 2＝x 2p （x －x 2），结合①②式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N （pk ，－1）．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，则△ABN 的面积S △ABN＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号．因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y ．[C 组 创新应用练]1．（2021·兰州模拟）设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点M （4，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝4，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝（ ）A ．34B ．45C ．56D ．25解析：由抛物线方程y 2＝8x ，得焦点F 的坐标为（2，0），准线方程为x ＝－2．如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为E ，N ．设直线AB 的方程为y ＝k （x －4）（k ≠0），则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），y 2＝8x ，消去y 并整理得k 2x 2－（8k 2＋8）x ＋16k 2＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝16．由抛物线的定义知|BF |＝|BN |＝x 2＋2＝4，所以x 2＝2，所以x 1＝8，所以|AE |＝x 1＋2＝10．因为BN ∥AE ，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AE |＝410＝25．答案：D2．已知抛物线x ＝18y 2的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A 在第一象限），抛物线的准线交x 轴于点K ，则|AF ||AK |最小时，直线AK 的斜率为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．2 2解析：x ＝18y 2可化为y 2＝8x ．如图，过A 作准线的垂线，垂足为A 1．因为|AF |＝|AA 1|，所以|AF ||AK |＝|AA 1||AK |＝sin ∠AKA 1．若|AF ||AK |最小，则sin ∠AKA 1最小，即∠AKA 1最小．数形结合可得，直线AK 与抛物线y 2＝8x 相切时，∠AKA 1最小．设直线AK 的方程为y ＝k （x ＋2），且k ＞0，与y 2＝8x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，消去x ，得ky 2－8y ＋16k ＝0，由Δ＝64－64k 2＝0，得k ＝1．答案：A。

课时规范练46抛物线基础巩固组1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M 到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是() A.2 B.3 C.4 D.5=7-5,所以|a|=8, |MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以|a|4=4,故选C.因此焦点F到准线l的距离是|a|22.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2B.2√2C.2√3D.4|PF|=x P+√2=4√2,可得x P=3√2.∴y P=±2√6.∴S△POF=1|OF|·|y P|=2√3.故选C.23.(2019内蒙古呼和浩特模仿,7)已知抛物线x2=y的焦点为F,M,N是抛物线上两点,若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x 轴的距离为( )A.32B.34C.58D.54解析抛物线x2=y的焦点为,准线为y=-,过M,N分别作准线的垂线,则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=,所以|PP'|=|MM'|+|NN'|2=34,所以中点P到x轴的距离为|PP'|-18=3 4−18=58.故选C.4.F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若=2,则|PQ|=( )A.92B.4 C.72D.3解析记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得,即,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=,所以|PQ|=|PF|+|QF|=故选A.5.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为()A.2√2B.√6C.2D.√3F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又y0=y1+y22|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=1,线段AB的垂直2平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=2=√6,故选B.6.(2019福建福州模仿,7)已知双曲线C:x2-4y2=1的左焦点恰好在抛物线D:y2=2px(p≠0)的准线上,过点P(1,2)作两直线PA,PB 分别与抛物线D交于A,B两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,则点A,B的纵坐标之和为( )A.2B.4C.-4D.±4,故p=2.的左焦点F(-1,0),D的准线x=-p2运用极端化头脑处置惩罚,当两直线PA,PB重合时,A,B的坐标均为(1,-2),点A,B的纵坐标之和为-4.故选C.7.(2019江西吉安质检,8)已知直线l:x-y-=0过抛物线C:y2=2px 的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是( )A.抛物线的方程为y2=4xB.线段AB的长度为163C.∠MFN=90°D.线段AB的中点到y轴的距离为83l:√3x-y-√3=0经过点F(1,0),可得p=2,即抛物线C:y2=4x,准线方程为x=-1,联立直线√3x-,-y-√3=0和抛物线C:y2=4x,可得3x2-10x+3=0,可得A(3,2√3),B(132√33),即有|AB|=√(3-13)2+(2√3+2√33)2=163,由M (-1,2√3),N (-1,-2√33),F (1,0),可得k NF ·k MF =2√332·2√3-2=-1,则MF ⊥NF ,即∠MFN=90°,线段AB 的中点为53,2√33,则线段AB 的中点到y 轴的距离为53.综上可得A,B,C 正确,D 错误.故选D . 8.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,则|AC|+|BD|的最小值为 .解析由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值.当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点是F ,直线l 1:y=x-1交抛物线于A ,B 两点,分别从A ,B 两点向直线l 2:x=-2作垂线,垂足分别是D ,C ,则四边形ABCD 的周长为 .+4√2剖析由题知,F(1,0),准线l 的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是,所以|CD|=|AB|sin π4=8×√22=4√,所以四边形ABCD 的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4√2=18+4√2.10.(2019四川成都模仿,16)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F 且斜率为1的直线交E 于A,B 两点,线段AB 的中点为M,其垂直平分线交x 轴于点C,MN⊥y 轴于点N.若四边形CMNF 的面积等于7,则E 的方程为 .2=4x(p2,0),直线AB 的方程为y=x-p2.联立方程组{y 2=2px ,y =x -p 2,可得x 2-3px+p 24=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=3p ,y 1+y 2=x 1+x 2-p=2p ,∴M (3p 2,p),∴N (0,p ),直线MC 的方程为y=-x+5p 2.∴C (5p2,0), ∴四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN -S △ONF =(3p 2+5p2)·p2−12·p 2·p=7p 24=7,∴p=2,即抛物线E 的方程为y 2=4x.综合提升组11.(2019贵州贵阳模仿,9)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0为d2,则d1+d2的最小值为( )A.3B.4C.√D.√7P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则该点到直线的距离为d1+d2最小值,如图所示;由F(1,0),直线4x-3y+11=0,所以d1+d2=|4-0+11|√22=3,故选A.12.(2019河南洛阳联考(四),8)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC 恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为( )A.116B.3 C.113D.6C2:x2+y2-12x+11=0可化为(x-6)2+y2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,故B(6,-5),C(6,5).将B点坐标代入抛物线方程得25=12p,故p=2512,抛物线方程为y2=256x.联立{y2=256x,x2+y2-12x+11=0,消去y得x2-476x+11=0,解得x=116或x=6(舍去),故A点横坐标为116.故选A.13.(2019河南豫北重点中学联考,14)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l与抛物线C相切于Q点,P是l上一点(不与Q重合),若以线段PQ为直径的圆恰好经过F,则|PF|的最小值是.解析根据抛物线的对称性设Q(m,2)(m>0),则kQF=,所以直线PF 的方程为y=(x-1),由y2=4x,取y=2,y'=,所以直线l的方程是y-2(x-m),联立解得点P的横坐标x=-1,所以点P在抛物线的准线上活动,当点P的坐标是(-1,0)时,|PF|最小,最小值是2.14.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,20)设抛物线的极点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.设抛物线方程为x2=2py(p>0).∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由{y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则{x1+x2=4k, x1·x2=-24.由x 2=4y ,得y=x 24,∴y'=x2.抛物线在点P (x 1,x 124)处的切线方程为y-x 124=x 12(x-x 1),令y=-1,得x=x 12-42x 1,可得点R (x 12-42x 1,-1),由Q ,F ,R 三点共线得k QF =k FR , ∴x 224-1x 2=-1-1x 12-42x 1,即(x 12-4)(x 22-4)+16x 1x 2=0,整理得(x 1x 2)2-4[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+16+16x 1x 2=0,∴(-24)2-4[(4k )2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k 2=14,即k=±12,∴所求直线m 的方程为y=12x+6或y=-12x+6.创新应用组15.(2019山西湛江一模,8)已知直线l:4x-3y+6=0和抛物线C:y2=4x,P 为C 上的一点,且P 到直线l 的距离与P 到C 的核心间隔相称,那么这样的点P 有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个P 为C 上的一点,设P (y 24,y),P 到直线l :4x-3y+6=0的距离d 1=|y 2-3y+6|√.又因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离与到准线的间隔相称,所以P到C的焦点距离d2=y24+1,则|y2-3y+6|√22=y24+1.①当y2-3y+6√22=y24+1,即y2+12y-4=0时,Δ>0,方程有两个不相称的实数根,即P点有两个;②当-(y2-3y+6)√22=y24+1,即9y2-12y+44=0时,Δ<0,方程无实根,所以P点不存在.综上,点P有2个,故选C.16.(2019河南安阳模仿,21)已知直线l的方程为y=-x-2,点P是抛物线C:x2=4y上到直线l间隔最小的点.(1)求点P的坐标;(2)若直线m与抛物线C交于A,B两点,△ABP的重心恰好为抛物线C的焦点F.求△ABP的面积.解(1)设点P的坐标为(x0,y0),则=4y0,所以,点P到直线l的距离d=,当且仅当x0=-2时取得最小值,此时P点坐标为(-2,1).(2)抛物线C 的焦点F 的坐标为(0,1),设线段AB 的中点为Q (x 0,y 0),由三角形重心的性质知PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .又P (-2,1),所以(2,0)=2(x 0,y 0-1),解得x 0=1,y 0=1,即Q 的坐标为(1,1),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2,且x 12=4y 1,x 22=4y 2,以上两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)=4(y 1-y 2),所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=12, 故直线m 的方程为y-1=12(x-1),经检验,符合题意,即直线m 的方程为y=12x+12,联立抛物线C :x 2=4y 得x 2-2x-2=0, 所以|AB|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=15,且点P 到直线m 的距离为|-2-2+1|√=3√,所以△ABP 的面积为S=12×√15×3√=32√3.。

抛物线文(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A ．14 B ．－14C ．4D ．－4 B [由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a ＝1，解得a ＝－14.]2．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＝－5的距离小1，则点M 的轨迹方程是( )A ．x ＝－4B ．x ＝4C ．y 2＝8xD ．y 2＝16xD [依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x ＝－4的距离，因此点M 的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，p ＝8，∴点M 的轨迹的方程为y 2＝16x ，故选D.]3．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]4．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为4，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝12x 2C ．y 2＝6xD ．y 2＝12xD [设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝－p 2，由题知1＋p2＝4，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝12x ，故选D.]5．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( )A ．627B ．1827C ．427D ．227C [设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427.]二、填空题6．(2019·泰安期末)若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是________．9 [根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]7．(2019·营口期末)直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝________.±3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]8．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1,0) [由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a >0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]三、解答题9．(2019·襄阳模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，M (0,4)，动点P 到点F 的距离与到直线y ＝－14的距离相等．(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由．[解] (1)设P (x ，y )，由题意得x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －142＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋14，化简得y ＝x 2.∴点P 的轨迹方程为x 2＝y .(2)假设存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值，设P (t ，t 2)，则以PM 为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＋422＝t 2＋t 2－424，∴以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为l ＝2t 2＋t 2－424－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋42－a 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －154t 2－a 2＋4a若a 为常数，则对于任意实数y ，l 为定值的条件是a －154＝0，即a ＝154时，l ＝152.∴存在定直线y ＝154，以PM 为直径的圆与直线y ＝154的相交弦长为定值．10．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． [解] (1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－223，∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线．B 组 能力提升1．(2019·鸡西模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l .设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为( )A ．5 B.41 C ．41－2 D ．4B [由题意得，圆C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F (2,0)．根据抛物线的定义，得m ＋|PC |＝|PF |＋|PC |≥|FC |＝41.]2．(2019·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．13B ．23C ．34D ．43A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2120°＝8p 3，所以x 1＋x 2＝5p3.又x 1x 2＝p24，可得x 2＝32p ，x 1＝p 6，则|AF ||BF |＝p 6＋p232p ＋p 2＝13.故选A ．] 3．(2019·山东枣庄期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线C 2：x 23－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点重合，若点F 到双曲线C 2的一条渐近线的距离为1，则C 1的焦点F 到其准线的距离为________．4 [根据题意，双曲线的一个焦点为(b 2＋3，0)，它到一条渐近线y ＝b3x 的距离为|b b 2＋3|b 2＋3＝b ＝1，所以焦点F (2,0)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2，故C 1的焦点F 到其准线的距离为4.]4．(2019·江西吉安模拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝5的两个交点之间的距离为4.(1)求p 的值；(2)设过抛物线C 1的焦点F 且斜率为k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与圆C 2交于C ，D 两点，当k ∈[0,1]时，求|AB |·|CD |的取值范围．[解] (1)由题意知，交点坐标为(－2,1)，(2,1)，代入抛物线C 1：x 2＝2py ，解得p ＝2. (2)由(1)知，抛物线C 1方程为x 2＝4y ，故抛物线C 1的焦点F (0,1)．设直线方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C 1：x 2＝4y 联立化简得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·4k2－4×－4＝4(1＋k 2)．∵圆心C 2到直线y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，∴|CD |＝25－d 2＝25－11＋k2＝25k 2＋41＋k2.∴|AB |·|CD |＝4(1＋k 2)×25k 2＋41＋k2＝81＋k25k 2＋4＝85k4＋9k2＋4.又k∈[0,1]，∴|AB|·|CD|的取值范围为[16,242]．。

第6讲抛物线最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线．(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(2016·四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)解析 抛物线y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，故y 2＝4x ，则焦点坐标为(1,0)．答案 D3．(2014·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．8解析 由y 2＝x ，得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14.设A 点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选C. 答案 C4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．解析很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.答案y2＝－8x或x2＝－y5．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1,1]．答案[－1,1]考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M 到y轴的距离是________．(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|P A|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________．解析(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足x M＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M到y轴的距离为9.(2)将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)． 答案 (1)9 (2)(2,2)规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 【训练1】 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →(λ＞0)，则λ的值为( ) A.34 B.32 C.3 D ．3(2)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，－x 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)， 令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.(2)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 答案 (1)D (2)y 2＝4x考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析 (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2， ∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋(3)2＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .(2)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)， ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p ＋8＝p 24＋5，解得p ＝4(负值舍去)，∴C 的焦点到准线的距离为4.答案(1)D(2)B规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x(2)(2017·西安模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．解析(1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线l的斜率为3，故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，故p|AA1|＝|CF||AC|＝12，即p＝32，从而抛物线的方程为y2＝3x，故选C.(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标为y＝22，所以A(2,22)，所以直线AF的方程为y＝22(x－1)，联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝22，由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以S △AOB ＝12×1×|y A －y B |＝322. 答案 (1)C (2)322考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究) 命题角度一 直线与抛物线的公共点(交点)问题【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由． 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ， 因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t )． 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点．规律方法 (1)①本题求解的关键是求点N 、H 的坐标．②第(2)问将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断．(2)①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.②解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．命题角度二 与抛物线弦长(中点)有关的问题【例3－2】 (2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积． 解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.【训练3】 已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切． (1)解 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2， 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．[思想方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)． 2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1,2)，代入曲线y ＝kx (k >0)得k ＝2，故选D.答案 D2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2 D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 答案 D3．(2017·宜春诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B. 答案 B4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 解析∵FP→＝4FQ →， ∴|FP→|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ， 则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案 C5．(2017·衡水金卷)已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．12B ．24C ．16D ．32解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －4)，得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32＞32，综上可知，y 21＋y 22≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32.故选D.答案 D 二、填空题6．(2016·兰州诊断)抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析 由图可知弦长|AB |＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝12×23×3＝3 3.答案 3 37．(2017·安徽四校三联)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案88．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米．答案2 6三、解答题9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(1)解∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2,0)．即抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p，x 2＝y 222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2，又∵P ，Q 关于l 对称．∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ，即⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2，∴⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ， 即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0. 即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43， 故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式， 得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ， 则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝ 12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2017·汉中模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p2)， 联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4，又∵y 1y 2＜0，∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案 A12．(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22 D ．1 解析 如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM→＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2等号成立．故选C.答案 C13．(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－114．(2017·南昌模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解 (1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2， ∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2→·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)， 联立⎩⎨⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎨⎧y ＝kx .x 2＝4y得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ， 又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝ 2·(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k (t ≤－2)，则有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2时，此时k ＝－1，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.。

课时作业46 直线的交点坐标与距离公式一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1， ∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m . ∴m ＝－6或m ＝12.故应选B. 答案：B2．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称， ∴直线l 2恒过定点(0,2)． 答案：B3．平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －3解析：在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点为M (2,1)，B 关于点(1,1)对称的点为N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3，故选D.答案：D4．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0，∴|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3. ∴l 的方程为3x －y －4＝0. 答案：C5．(2014 ·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：设所求直线上一点(x ，y )，(x ′，y ′)为直线3x －4y ＋5＝0上的点，且(x ，y )与(x ′，y ′)关于x 轴对称，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′y ＝－y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x y ′＝－y，代入直线3x －4y ＋5＝0得3x ＋4y ＋5＝0，故选A. 答案：A6．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )A.85 B.32 C ．4D ．8解析：由平行直线的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝|－7－12|32＋42＝1525＝32. 答案：B7．(2014·青岛模拟，2)设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则( )A ．0°≤α≤180°B ．0°≤α<135°C ．0°≤α<180°D ．0°<α<135°解析：由题意得⎩⎨⎧0°<α<180°0°≤α＋45°<180°∴0°<α<135°. 答案：D8．(2014·山西六校模拟，8)设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2 3D. 3解析：依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12|P A |·|AC |)＝|P A |·|AC |＝|P A |＝|PC |2－1，因此四边形P ACB 的面积的最小值是22－1＝3，选D. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)9．(2014·天津模拟)过点P (1,3)，并且在两坐标轴上截距到原点距离相等的直线方程是________．解析：截距为0时，方程为3x －y ＝0，截距不为0时，设直线方程为x a ±y a ＝1(a ≠0)代入(1,3)得a ＝4或－2，即x ＋y －4＝0或x －y －2＝0.答案：3x －y ＝0或x ＋y －4＝0或x －y －2＝010．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析：设B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值， 此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32，∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)， 即3x －2y ＋5＝0. 答案：3x －2y ＋5＝011．(2014·宁夏固原一模)若m >0，n >0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋4n 的最小值等于________．解析：由题意知(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(1－n,1＋m )．依题意可知1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋4n ＝12(m ＋n )(1m ＋4n )＝12×(5＋n m ＋4m n )≥12×(5＋2×2)＝92. 答案：92三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，求过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程．解：分P 1、P 2在直线的两侧和同侧，两侧时，直线过P 1P 2中点，同侧时直线平行于P 1P 2.设所求直线为l ，由于l 过点A 且与点P 1，P 2距离相等，所以有两种情况，如图：(1)当P 1，P 2在l 同侧时，有l ∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0； (2)当P 1，P 2在l 异侧时，l 必过P 1P 2的中点(－1,4)，此时l 的方程为x ＝－1.∴所求直线的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.13．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0， 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2 ＝－(a 2＋12)2＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪ (－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ， |ab |＝|a ＋1a |≥2，当且仅当a ＝±1时，等号成立， 因此|ab |的最小值为2.14．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|P A |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k l ＝－1， 即3·b －4a ＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为(a 2，b ＋42)，且在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋42－1＝0， 即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．此时点P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大．。