第四节 多元复合函数的求导法则
要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。
作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13
一．多个中间变量，一个自变量情况
定理1 如果函数()u t ϕ=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ϕψ=在点t 可导，且其导数公式为
dz z du z dv
dt u dt v dt
∂∂=+
∂∂ （全导数） 证明 设t 有增量t ∆，相应函数()u t ϕ=及()v t ψ=的增量为
,u v ∆∆，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ∆．
又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f
z u v u v u v
εε∂∂∆=
∆+∆+∆+∆∂∂ 这里，当0,0u v ∆→∆→时，120,0εε→→，上式除以t ∆得
12
z f u f v u v
t u t v t t t
εε∆∂∆∂∆∆∆=+++∆∂∆∂∆∆∆． 当0t ∆→时，0,0u v ∆→∆→，,u du v dv
t dt t dt
∆∆→→
∆∆， 所以 0lim t dz z f du f dv
dt t u dt v dt
∆→∆∂∂==+
∆∂∂，即 dz f du f dv z du z dv
dt u dt v dt u dt v dt ∂∂∂∂=+=+
∂∂∂∂． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ∂∂=+∂∂从形式上看是全微分z z
dz du dv u v ∂∂=+∂∂两端除以dt 得到
的，常将dz
dt
称为全导数．
推论 若),,(w v u f z =，()u t ϕ=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数
[](),(),()z f t t w t ϕψ=满足定理条件，则有全导数公式
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
∂∂∂=++∂∂∂ 例1．设函数y
x u =，而t
x e =，sin y t =，求全导数
dt
du ．
解
dt du u dx u dy
x dt y dt
∂∂=+
∂∂1sin ln cos (sin cos )y t y t t yx e x x t e t t t -=+=+． 二．多个中间变量，多个自变量情况
定理2 若(,)u x y ϕ=及(,)v x y ψ=在点),(y x 具有偏导数，而函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=在点),(y x 两个偏导数存
在，且有公式
x
v
v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂； y
v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例2．设函数v
u z =，而2
2
3y x u +=，y x v 24+=，求
y
z x z ∂∂∂∂,． 解
16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x
-∂∂∂∂∂=+=+⋅∂∂∂∂∂ 2
2421
2242226(42)(3)
4(3)ln(3)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++
u u y vu y
v v z y u u z y z v v ln 221+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂- 2
2421
2242222(42)(3)
2(3)ln(3)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++．
注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：
首先从自变量z 向中间变量,u v 画两个分枝，然后再分别从,u v 向自变量,x y 画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求
z x ∂∂（z y
∂∂）时，我们只要把从z 到x （y ）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到
x
v
v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂，（y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂） 推论1. 设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，),(y x w w =在点),(y x 有偏导数，而函数
),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 偏导数连续，则复合函数[]
(,),(,),(,)z f x y x y w x y ϕψ=在点),(y x 的两个偏导数存在，且有公式
x w w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；y
w
w z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂．
推论2. 设函数),(y x u ϕ=具有偏导数，而函数),,(y x u f z =可微，则复合函数
],),,([y x y x f z ϕ=在点),(y x 偏导数存在，且有公式
x
f
x u u f x z ∂∂+
∂∂∂∂=∂∂；
y
f y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂． 注意
x z ∂∂与x
f ∂∂区别: x z
∂∂是把函数[](,),,f x y x y ϕ中的y 看成常数，对x 求偏导， x
f
∂∂是把),,(y x u f 中y u ,看常数，对x 求偏导． 前者是复合后对x 的偏导数，后者是复合前对x 的偏导数．
例3．设函数2
22
),,(z y x
e z y x
f u ++==，而y x z sin 2
=，求
x u ∂∂和y
u ∂∂． 解
y x ze xe x
z
z f x f x u z y x z y x sin 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ y
x y x e y x x 2422
sin 22)sin 21(2+++=
y x ze ye y
z
z f y f y u z y x z y x cos 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ y
x y x
e y y x y 2422
sin 4)cos sin (2+++=．
例4．设函数t uv z sin +=，而t
e u =，t v cos =求全导数dt
dz ． 解
t
z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂= t t u ve t
cos )sin (+-+=t t t e t
cos )sin (cos +-=． 例5．设抽象函数),(2
2
xy
e y x
f z -=，其中f 偏导数连续，求
y
z x z ∂∂∂∂,． 解
x
v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，其中22y x u -=，xy
e v =， 212122
f ye f x xe f x f xy xy
'+'=⋅'+⋅'=
y
v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂
