上海市向明中学2015-2016学年高一下学期3月月考数学试卷 Word版含答案

上海市2016届高三数学3月月考试题 文（无答案）考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时刻120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必需涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一概不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每一个空格填对4分，不然一概得零分．1.已知集合{}{}032,lg 2<--===x x x B x y x A ，则A B =_______________.2.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a =_______________.3. 方程22log (x 1)2log (x 1)-=-+的解集为_________.4.已知圆锥的轴与母线的夹角为3π，母线长为3，则过圆锥极点的轴截面面积的最大值为_________. 5.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y ⋅=，1sin sin 3x y ⋅=，则x y -= .6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .7.圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:3l y x =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为_________.8．设正三棱柱的所有极点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，则该球的表面积为_________.9. 已知4()ln()f x x a x=+-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是 ．10.直线=(1)(0)y k x k +>与抛物线2=4y x 相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影别离是,M N ，若2BN AM =，则k 的值是 ．11.若,x y 知足不等式组2,,2,x y y x x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值为 ．12.某几何体的三视图及部份数据如图所示，则此几何体的表面积是 ．13. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，知足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的 一个“友好”三角形.在知足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C ===； ③75,75,30A B C ===. 14. 已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于A 、B 两点。

2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．（3分）arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝．2．（3分）＝．3．（3分）若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11＝44，则a3+a5+a10＝．4．（3分）设数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝（n≥1），则a2016＝．5．（3分）已知数列{a n}满足：a n＝n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n＝．6．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝3，a n+1＝9•（n≥1），则a n＝．7．（3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝，则＝．8．（3分）等比数列{a n}，a1＝3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3＝．9．（3分）定义在R上的函数f（x）＝，S n＝f（）+f（）+…+f（），n＝2，3，…，则S n＝．10．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两个根，则arctan x1+arctan x2的值为．11．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝，则S2016＝．12．（3分）设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n＝1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．（3分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．14．（3分）一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞15．（3分）等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于016．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n＝，n＝1，2，…，则（a 1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．17．（3分）已知＝1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9B．8C．12D．不确定18．（3分）已知f（n）＝（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．6三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+32+22+12＝n（2n2+1）20．已知数列{a n}满足a1＝1，其前n项和是S n对任意正整数n，S n＝n2a n，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x+sin2x＝k+1．（1）k为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a n+2＝2a n+1﹣a n+2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等差数列；（2）求：++…+．23．数列{a n}，{b n}满足，且a1＝2，b1＝4．（1）证明：{a n+1﹣2a n}为等比数列；（2）求{a n}，{b n}的通项．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2＝4，a5＝32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1＝6，d n•d n+1＝6a•（﹣）（a＞0），设T n＝d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n＝8时，T n取得最大值，求a的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝﹣arcsin（）+π﹣arccos ﹣arctan＝﹣+（π﹣）﹣＝，故答案为：．2．（3分）＝5．【解答】解：＝＝＝＝5．故答案为：5．3．（3分）若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11＝44，则a3+a5+a10＝33．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11＝44＝4a1+20d，∴a1+5d＝11．则a3+a5+a10＝3a1+15d＝3（a1+5d）＝33．故答案为：33．4．（3分）设数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝（n≥1），则a2016＝﹣．【解答】解：依题意，a1＝，a2＝＝＝3，a3＝＝＝﹣2，a4＝＝＝，a5＝＝＝，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016＝504×4，∴a2016＝a4＝﹣，故答案为：﹣．5．（3分）已知数列{a n}满足：a n＝n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n＝•3n+1+．【解答】解：∵a n＝n•3n，则此数列的前n项和S n＝3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3S n＝32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1＝（﹣n）3n+1﹣，∴S n＝•3n+1+．故答案为：•3n+1+．6．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝3，a n+1＝9•（n≥1），则a n＝27．【解答】解：由a n+1＝9•（n≥1），得，即，令b n＝lga n，则，∴，则数列{b n﹣3lg3}是以b1﹣3lg3＝lga1﹣3lg3＝﹣2lg3为首项，以为公比的等比数列，∴，即，∴，则a n＝＝103lg3＝10lg27＝27．故答案为：27．7．（3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝，则＝．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若＝，∴设S n＝kn×2n，T n＝kn（3n+1）（k≠0），则当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝4kn﹣2k；当n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝6kn﹣2k．∴＝＝，故答案为：．8．（3分）等比数列{a n}，a1＝3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意，，即，∴，得，∵a1＝3﹣5，∴，则q＝9，∴．故答案为：．9．（3分）定义在R上的函数f（x）＝，S n＝f（）+f（）+…+f（），n＝2，3，…，则S n＝2n﹣2．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（1﹣x）＝＝＝，∴f（x）+f（1﹣x）＝4，∴S n＝f（）+f（）+…+f（）＝4×＝2n﹣2．故答案为：2n﹣2．10．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两个根，则arctan x1+arctan x2的值为．【解答】解：由x1、x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两根，可得x1+x2 ＝sin，x1•x2＝cos，故x1、x2均大于零，故arctan x1+arctan x2∈（0，π），且tan（arctan x1+arctan x2）＝＝＝cotπ＝tan（﹣π），∴arctan x1+arctan x2＝．故答案为：．11．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝，则S2016＝．【解答】解：a n＝＝＝（﹣）．∴S2016＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝[1﹣（）]＝＝．故答案为：．12．（3分）设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n＝1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．【解答】解：由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝1，n＝1时，a1+a1＝1，解得a1＝．n＝2时，a1+a2+a1•（a1+a2）＝1，解得a2＝．…，猜想：a n＝．验证：a1+a2+…+a n＝++…+＝＝．∴a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝××…×＝．∴a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝+＝1．∴n＜＝＜n+1，∴＜S n＜，∴2016＜S63＜2080，∴数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．故答案为：63．二、选择题.13．（3分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．【解答】解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），故选：B．14．（3分）一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞【解答】解：设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．则q≥1时，+a＞aq，解得：．0＜q＜1时，＜a+aq，解得：＜q＜1．综上可得：公比q的范围是．故选：C．15．（3分）等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0【解答】解：∵a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|∴d＝a6﹣a5＞0∴数列的前5项都为负数∵a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0由等差数列的性质及求和公式可得，S9＝＝9a5＜0S10＝5（a1+a10）＝5（a5+a6）＞0由公差d＞0可知，S1，S2，S3…S9均小于0，S10，S11…都大于0．故选：C．16．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n＝，n＝1，2，…，则（a 1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．【解答】解：a n＝即a n＝∴a1+a2+…+a n＝（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a 1+a2+…+a n）＝+＝．，故选：C．17．（3分）已知＝1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9B．8C．12D．不确定【解答】解：将＝1，变形得：sinθ+1＝cot2016θ+2，整理得sinθ＝1+cot2016θ≤1，即cot2016θ≤0，又∵cot2016θ≥0所以cot2016θ＝0，所以cosθ＝0，sinθ＝1，所以（sinθ+2）2（cosθ+1）＝（1+2）2＝9；故选：A．18．（3分）已知f（n）＝（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．6【解答】解：由f（n）＝（2n+7）•3n+9，得f（1）＝36，f（2）＝3×36，f（3）＝10×36，f（4）＝34×36，由此猜想m＝36．下面用数学归纳法证明：（1）当n＝1时，显然成立．（2）假设n＝k时，f（k）能被36整除，即f（k）＝（2k+7）•3k+9能被36整除；当n ＝k +1时，[2（k +1）+7]•3k +1+9 ＝3[（2k +7）•3k+9]﹣18+2×3k +1 ＝3[（2k +7）•3k +9]+18（3k ﹣1﹣1）， ∵3k ﹣1﹣1是2的倍数，∴18（3k ﹣1﹣1）能被36整除，∴当n ＝k +1时，f （n ）也能被36整除．由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）＝（2n +7）•3n +9能被36整除，m 的最大值为36．三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12＝n （2n 2+1）【解答】证明：利用数学归纳法证明：（1）当n ＝1时，左边＝1＝右边，此时等式成立；（2）假设当n ＝k ∈N *时，12+22+32+…+（k ﹣1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+32+22+12 ＝k （2k 2+1）（k ∈N *）成立．则当n ＝k +1时，左边＝12+22+32+…+k 2+（k +1）2+k 2+…+22+12 ＝k （2k 2+1）+（k +1）2+k 2＝（k +1）[2（k +1）2+1]＝右边，∴当n ＝k +1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对n ∈N *等式成立．20．已知数列{a n }满足a 1＝1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n ＝n 2a n ，求此数列的通项公式．【解答】解：∵S n ＝n 2a n ，∴n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2a n ﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，化为：＝．∴a n ＝••…••a 1＝••…•××1 ＝，n ＝1时也成立．∴a n＝．21．已知方程cos2x+sin2x＝k+1．（1）k为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．【解答】解：（1）令f（x）＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），作出f（x）在[0，]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k+1＜2即0≤k＜1时，f（x）＝k+1有两个相异的解．（2）令2x+＝+kπ，解得x＝+，∴f（x）在[0，上的对称轴为x＝，∴α+β＝．22．设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a n+2＝2a n+1﹣a n+2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等差数列；（2）求：++…+．【解答】（1）证明：∵a n+2＝2a n+1﹣a n+2，∴（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4，∴数列{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+…+2×2+2＝＝n2+n．∴＝＝．∴++…+＝++…+＝1﹣＝．23．数列{a n}，{b n}满足，且a1＝2，b1＝4．（1）证明：{a n+1﹣2a n}为等比数列；（2）求{a n}，{b n}的通项．【解答】（1）证明：由a n+1＝﹣a n﹣2b n，可得：b n＝，∴b n+1＝﹣，代入b n+1＝6a n+6b n，可得：﹣＝6a n+6×（），化为：a n+2﹣2a n+1＝3（a n+1﹣2a n）．a2＝﹣2﹣2×4＝﹣10，a2﹣2a1＝﹣14，∴{a n+1﹣2a n}为等比数列，首项为﹣14，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣2a n＝﹣14×3n﹣1．化为：a n+1+14×3n＝2，∴数列是等比数列，首项为16，公比为2．∴a n+14×3n﹣1＝16×2n﹣1，可得a n＝2n+3﹣14×3n﹣1．∴b n＝﹣＝28×3n﹣1﹣3×2n+2．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2＝4，a5＝32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1＝6，d n•d n+1＝6a•（﹣）（a＞0），设T n＝d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n＝8时，T n取得最大值，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵a2＝4，a5＝32，由等比数列性质可知：a5＝a2•q3＝32，∴q3＝8，q＝2，∴a1＝2，∴由等比数列通项公式可知：a n＝2×2n﹣1＝2n，数列{a n}的通项公式a n＝2n；（2）∵a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2﹣[（n﹣2）•2n+2]＝n•2n，即b n＝＝n（n≥2），又∵a1b1＝2，即b1＝1满足上式，∴b n＝n；令∁n＝d n•d n+1＝6a•（﹣）n（a＞0），T n＝d1d2d3…d n＝，由当且仅当n＝8时，T n取得最大值，∴|T2|＜|T4|＜|T6|＜|T8|＞|T10|＞…，|T1|＜|T3|＜|T5|＜|T7|＞…＞|T11|＞…．当n≤7时，|∁n|＞1，当n≥8时，|∁n|＜1，∴6a＞27，即a＞，6a＜28，即a＜，∴a的取值范围（，）．。

一、填空题1．函数y _____． 【答案】{}|1x x ≥【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x 即可． 【详解】解：若函数有意义，则， 10x -≥解得，1x ≥故函数的定义域为． {}|1x x ≥故答案为：．{}|1x x ≥2．已知，，则______．3sin 5α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos α=【答案】##0.8 45【分析】利用同角三角函数关系式已知正弦求余弦值即可.【详解】因为，，3sin 5α=-π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以，4cos 5α===故答案为：. 453．在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为 ，则扇形的弧长为______； 60︒【答案】## π31π3【分析】将角度化为弧度，根据扇形的弧长公式，即可求得答案. 【详解】在单位圆中，扇形的弧所对的圆心角为,即弧度， 60︒π3故扇形的弧长为，ππ133⨯=故答案为：π34．函数（且）的图象恒过定点______． log 2a y x =+0a >1a ≠【答案】()1,2【分析】根据对数函数过定点求解. 【详解】解：由， log 2a y x =+令，得，1x =2y =所以函数（且）的图象恒过定点， log 2a y x =+0a >1a ≠()1,2故答案为：()1,25．是2的倍数，是6的倍数，则是的______条件． :x α:x βαβ【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当时，满足是2的倍数,但不满足是6的倍数，充分性不成立； 4x =x x ∴若是6的倍数，则一定是2的倍数，必要性成立. x x ∴则是的必要非充分条件. αβ故答案为：必要非充分. 6．当时，的最小值为______． 1x >41x x +-【答案】5【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解. 441111x x x x +=-++--【详解】解：因为，所以， 1x >10x ->所以， 44111511x x x x +=-++≥=--当且仅当，即时等号成立，411x x -=-3x =所以的最小值为. 41x x +-5故答案为：.57．一元二次方程的两个实根为，则______． 230x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】3【分析】利用韦达定理即可求解. 【详解】依题意，因为一元二次方程的两个实根为，230x x +-=12,x x 所以由韦达定理得：，， 12111x x +=-=-12331x x -==-所以.()()2212211212133x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：3.8．函数是偶函数，且定义域是，则______．()21f x ax bx =++[]6,2a a -a b +=【答案】2【分析】根据函数的奇偶性与定义域，列出方程组即可确定的值，进一步即可得到的值.,a b a b +【详解】是偶函数，且定义域是，()21f x ax bx =++ []6,2a a -且，则，()()f x f x ∴-=620a a -+=2a =又，()22()()11f x a x b x ax bx -=-+-+=++，故，2211ax bx ax bx ∴-+=++0b =.2a b ∴+=故答案为：2.9．定义在R 上的奇函数，当时，（k 为常数），则______．()f x 0x ≥()32xf x x k =++()1f -=【答案】-4【分析】由奇函数的性质，代入解析式求出的值，利用函数的奇偶性将转换成()00f =k ()1f -，然后直接代入解析式即可.()1f -【详解】是定义在R 上的奇函数，()f x ，解得，()100f k ∴=+=1k =-则当时，，0x ≥()321xf x x =+-.()()(321)411f f ∴--+-===--故答案为：-4.10．在锐角△ABC 中，角B 所对的边长b =6，△ABC 的面积为15，外接圆半径R =5，则△ABC 的周长为______.【答案】)61【分析】先由正弦定理得,进而得,由的面积可得，再由余弦定理求得，即sin B cos B ABC A ac a c +得周长.【详解】因为，外接圆半径，所以，6b =5R =63sin 2105b B R ===4cos 5B =因为的面积为15，所以，ABC A 1sin 152ac B =50ac =因为，22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--所以 224()22cos 361001002165a cb ac ac B +=++=++⨯=即)61a b c ++=故答案为：)61+11．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例x ∈R []x x []y x =如：，.已知，则函数的值域为______.[]3.74-=-[]2.32=()12121x x f x +-=+()y f x ⎡⎤=⎣⎦【答案】{}1,0,1-【分析】先把函数分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求()12121x x f x +-=+解.()y f x ⎡⎤=⎣⎦【详解】 ()()122132122233221212121x x x x x x x f x ++--⨯+-====-++++ 又， 133202110130122212121x xx x x >∴+>∴<<∴-<-<∴-<-<+++ 当时，所以的值域里有 312021x -<-<+32121x ⎡⎤∴-=-⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦1-当时，所以的值域里有 302121x ≤-<+32021x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦0当时，所以的值域里有 312221x ≤-<+32121x ⎡⎤∴-=⎢⎥+⎣⎦()y f x ⎡⎤=⎣⎦1所以的值域为 ()y f x ⎡⎤=⎣⎦{}1,0,1-故答案为：{}1,0,1-二、单选题12．已知是第四象限的角，则点在（ ）． α()tan ,cos P ααA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得 ，可得答案． αtan 0,cos 0αα<>【详解】根据题意， 是第四象限角，则， αtan 0,cos 0αα<>则点在第二象限, ()tan ,cos P αα故选：．B 13．若，则等于 18log 9185b a ，==36log 45A ．B ． 2a ba ++2a ba+-C ．D ．2a ba+2a ba +【答案】B【分析】先化为，化再利用换底公式化简，解得185b =5531823log log 2log b ==+9318233log 2log 2log a ==+，最后利用换底公式求结果. 3322log 22log 5a ab a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【详解】∵18b =5，∴，又，联立解得． 5531823log log 2log b ==+9318233log 2log 2log a ==+3322log 22log 5a a b a -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴．故选B ．9554533364923322log 2log log 22log22log 222ba b a a a a⨯⨯+++====-+-+⨯【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力. 14．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定经过和 (0,0)(1,1)B ．幂函数的图象一定关于y 轴或原点对称 C ．幂函数的图象一定不经过第四象限D ．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点 【答案】C【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，函数的图象不经过点，所以A 不正确； 1y x=()0,0对于B ，是非奇非偶函数，所以B 不正确； 12y x =对于C ，对于幂函数，当时，一定成立， y x α=0x >0y >所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C 正确；对于D ，，则令，解得：或或， 3,y x y x ==3x x =0x =1x ==1x -所以幂函数和有三个交点，所以D 不正确. 3y x =y x =故选：C.15．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅则.以下选项表述不正确的是（ ）x y ≠()()f x f y ≠A ．在上是严格增函数 B ．若，则()y f x =R (3)10f =(6)100f =C ．若，则 D ．函数的最小值为2(6)100f =1(3)10f -=()()()F x f x f x =+-【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不()f x 等式求解判断D 作答.【详解】任意，恒成立，,R x y ∈()()()f x y f x f y +=⋅且，假设，则有，R a ∈0a ≠()0f a =(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，， 2a a ≠x y ≠()()f x f y ≠R a ∈0a ≠()0f a ≠取，有，则，于是得，，0,0x a y =≠=()()(0)f a f a f =⋅(0)1f =R x ∀∈()0f x ≠，，，R x ∀∈2()([()]0222x x x f x f f =+=>()()(0)1f x f x f ⋅-==对于A ，函数，，，1()()2xf x =,x y ∀∈R 111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，x y ≠()()f x f y ≠1()()2xf x =R A 不正确；对于B ，，则，B 正确；(3)10f =(6)(3)(3)100f f f =⋅=对于C ，，则，而，有，又，因此(6)100f =(3)(3)100f f ⋅=(3)0f >(3)10f =(3)(3)1f f ×-=，C 正确； 1(3)10f -=对于D ，，，则有，()()1f x f x ⋅-=()0f x >()()()1F x f x f x =+-³=当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D 正确. ()()1f x f x =-=0x =()()()F x f x f x =+-故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.三、解答题16．已知全集为，集合. R {}|342=->A x x (1)求；A (2)已知集合，且，求实数的取值范围. {}01B xx m =≤≤+∣A B = R m【答案】(1)2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x (2) {}|1≥m m【分析】（1）根据补集的运算可得答案；（2）利用结合图形可得实数的取值范围.A B = R m 【详解】（1）因为或，{}{342|2=->=>A x x x x 23⎫<⎬⎭x 所以.2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x （2）因为，所以，解得. AB = R 12m +≥m 1≥实数的取值范围是.m {}|1≥mm17．已知为第二象限角，且求的值. αsin αsin()4sin2cos 21πααα+++【答案】【详解】试题分析：先对sin()4sin 2cos 21πααα+++根据为第二象限角，且，可计算出，然后代入代数式计算即可．试题解析：因为sin()4sin 2cos 21πααα+=++，又当为第二象限角，且时，所以，，所以sin()4sin 2cos 21πααα+++【解析】两角和差的正弦公式，二倍角公式．18．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知Ox α()0ββαπ<<<,P Q 点的坐标为.P 34(,55-（1）求的值； 113sin()5sin()2tan()72cos()cos()2ππααπαπαα-+--+--+（2）若，求的值.2παβ=+2sin cos 2cos βββ-【答案】（1）；（2）.49301625-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式及诱导公式即可计算求解；（2）由题得，利用诱导公式可求，的值，即可求解．2πβα=-sin βcos β【详解】（1）由题得，，，3cos 5α=-4sin 5α=4tan 3α=-∴113sin()5sin()3sin 5cos 2tan()tan 72cos sin 2cos()cos()2ππααααπααπαααα-+-+-+=----+.43354495534330255⎛⎫⨯+⨯- ⎪⎝⎭=+=⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭（2）由题得，∴，，2πβα=-cos sin αβ-=sin cos αβ=∴，，3sin 5β=4cos 5β=∴.344162sin cos 2cos 2255525βββ-=⨯⨯-⨯=-19．某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研．调研发现，销售量（单位：斤）与定价x （单位：元/斤）满足如下函数关系：()t x 4500()10500,1550t x x x x=-++≤≤(1)为使销售量不小于150斤，求定价x 的取值范围；(2)试写出总销售额）y （单位：元）关于定价x 的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价x 的值．【答案】(1){}|1545x x ≤≤(2)定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.【分析】（1）由题意销售量不小于150斤，即解不等式即得定价x 的取值范围； ()150t x ≥（2）由总销售额=定价销售量可得函数关系式，化简利用二次函数求最值即可得到总销售额的最⨯大值及此时定价x 的值.【详解】（1）因为量不小于150斤，所以， 4500()10500150t x x x=-++≥即，解得， 21035045000x x -++≥1045x -≤≤又因为，则， 1550x ≤≤{}|1545x x ≤≤故定价x 的取值范围. {}|1545x x ≤≤（2）总销售额=定价销售量 ⨯ 4500(10500),1550y x x x x=-++≤≤∴210(25)10750x =--+当时取得最大值，此时25x =y 210(2525)1075010750y =--+=即定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.20．若两个函数和对任意都有，则称函数和()y f x =()y g x =[,]x a b ∈|()()|1f x g x -≤()y f x =在上是“密切”的．()y g x =[],a b (1)已知命题“函数和在上是“密切”的”，判断该命题的真假．若211()22f x x x =--+()1g x x =-+[]1,2该命题为真命题，请给予证明;若为假命题，请说明理由;(2)若函数和在上是“密切”的，求实数的取值范围；211()22f x x x =--+()1g x x =-+[,1]a a +a (3)已知常数，若函数与在上是“密切”的，求实数的取1m >()1()3xx F x m m -=-2()3x G x m =[]1,2m值范围．【答案】(1)假命题，理由见解析； (2)[1,0]-(3)【分析】（1）由题意可知，由一元二次函数的图像结合函数“密切”的定义判211()()22f xg x x -=+断即可；（2）由解出的取值范围，根据集合间的关系求解即可； |()()|1f x g x -≤x （3）由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】（1）由可得211(),()122f x x xg x x =--+=-+，222111111()()(1)222222f xg x x x x x x -=-+--+=--=+由一元二次函数的图像可知，21151,222x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，即， 21151222x ≤+≤51()()2f xg x ≤-≤故命题“函数和在上是“密切”的”是假命题.211()22f x x x =--+()1g x x =-+[]1,2（2）由（1）知，即，所以， 22111|()()|1222x f x g x x +-=+=≤21x ≤11x -≤≤所以，解得，故实数a 的取值范围为.111aa -≤⎧⎨+≤⎩10a -≤≤[1,0]-（3）因与在上是“密切”的， ()1()3xx F x m m -=-2()3x G x m =[1,2]所以在上恒成立，()12133x xx m m m ---≤[1,2]所以，即， ()113xx m m -+≤13x x m m+≤因为，，所以，且单调递增，只需即可， 1m >[1,2]x ∈1x m >x m 13xxm m +≤又因为对勾函数在上为增函数，所以当时，取最大值，1y t t =+[1,)+∞2x =1xx m m+所以，即， 2213m m+≤42310m m -+≤所以，解得， 223524m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭232m ≤-≤2m ≤≤所以222m ≤≤m ≤≤。

2015-2016学年上海市某校高三（下）开学数学试卷一.填空题1. 计算：lim n →∞4−3n2n+1=________．2. 已知函数y =√16−x 2log 2(|x|+x)，则它的定义域是________．3. 已知tanθ=2，则sin2θ+sec 2θ的值为________．4. 复数z 满足1+z1−z =i ，则|z|=________．5. 若函数f(x)=8x 的图象经过点(13，a)，则f −1(a +2)=________． 6. 已知(√x √x)5的展开式中含x 32的项的系数为30，则实数a ＝________． 7. 不等式|ax 11x +1|<0对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 8. 等比数列{a n }的首项a 1>0，公比为q(|q|<1)，满足a 2+a 3+...+a n +...≤a 12，则公比q的取值范围是________．9. 设双曲线x 2−y 2=6的左右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线PA 1、PA 2的斜率分别为k 1、k 2，则k 1⋅k 2的值为________．10. 从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为________．11. 数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n =2n −1，则{a n }的前60项和为________．12. 在三棱锥P −ABC 中，∠APC =∠CPB =∠BPA =π2，并且PA =PB =3，PC =4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是________．13. 已知f(x)=m(x −2m)(x +m +3)，g(x)=2x −2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，②∃x ∈(−∞, −4)，f(x)g(x)<0，则m 的取值范围为________．14. 如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆⊙Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 为⊙Q 上及内部的动点，设向量AP →=mAB →+nAF →(m, n ∈R)，则m +n 的取值范围是________．二、选择题：15. 下列命题是真命题的是（ ）A 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B 正四面体是四棱锥C 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥D 正四棱柱是平行六面体16. 若a ∈R ，则“关于x 的方程x 2+ax +1=0无实根”是“z =(2a −1)+(a −1)i （其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 17. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n ∈N ∗)个整点，则称函数f(x)为n 阶整点函数．有下列函数： ①f(x)=sin2x ； ②g(x)=x 3； ③ℎ(x)=(13)x ；④φ(x)=lnx ．其中是一阶整点函数有（ ） 个． A 1 B 2 C 3 D 418. 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆(x −5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A (1, 3) B (1, 4) C (2, 3) D (2, 4)三、解答题：19.已知在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90∘，AB =BB 1=1，直线B 1C与平面ABC 成30∘的角．（1）求点C 1到平面AB 1C 的距离；（2）求二面角B −B 1C −A 的余弦值．20. 已知函数f(x)=4√3sinxcosx −4sin 2x +1． （1）求函数f(x)的最大值及此时x 的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且对f(x)定义域中的任意的x 都有f(x)≤f(A)，若a =2，求AB →⋅AC →的最大值．21. 我国加入WTO 时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t 、市场价格x （单位：元）与市场供应量P 之间满足关系式：P =2(l−kt)(x−b)2，其中b ，k 为正常数，当t =0.75时，P 关于x 的函数的图象如图所示： （1）试求b ，k 的值；（2）记市场需求量为Q ，它近似满足Q(x)=2−x ，当时P =Q ，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值．22. 给定椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为√a 2+b 2的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F(√2,0)，其短轴上的一个端点到F 的距离为√3． (Ⅰ)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程．(Ⅱ)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，且l 1，l 2分别交其“准圆”于点M ，N ．①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l 1，l 2的方程； ②求证：|MN|为定值．23. 已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和S n 满足S n +S n−2=2S n−1+2n−1(n ≥3)．令b n =1a n ⋅a n+1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若f(x)=2x−1，求证：T n =b 1f(1)+b 2f(2)+⋯+b n f(n)<16(n ≥1)；（3）令T n =12(b 1a +b 2a 2+b 3a 3+⋯+b n a n )(a >0)，求同时满足下列两个条件的所有a 的值：①对于任意正整数n ，都有T n <16；②对于任意的m ∈(0,16)，均存在n 0∈N ∗，使得n ≥n 0时，T n >m ．2015-2016学年上海市某校高三（下）开学数学试卷答案1. −322. (0, 12)∪(12, 4] 3. 295 4. 1 5. 23 6. −6 7. (−4, 0] 8. (−1, 0)∪(0, 13]9. 1 10. 418111. 1830 12.1444113. (−4, −2) 14. [2, 5] 15. D 16. B 17. B 18. D 19. 解：（1）∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90∘，AB =BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30∘的角，∴ ∠BCB 1=30∘，∴ B 1C =2，BC =√4−1=√3，AC =√3−1=√2， 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，C(0, √2, 0)，B 1(1, 0, 1)，C 1(0, √2, 1)， AB 1→=(1, 0, 1)，AC →=(0, √2, 0)，AC 1→=(0, √2,1)， 设平面AB 1C 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=√2y =0˙，取x =1，得n →=(1, 0, −1)，∴ 点C 1到平面AB 1C 的距离d =|n →|˙=1√2=√22． （2）平面AB 1C 的法向量n →=(1, 0, −1)， B(1, 0, 0)，BB 1→=(0, 0, 1)，BC →=(−1, √2,0)， 设平面BB 1的法向量为m →=(a, b, c)， 则{m →⋅BC →=−a +√2b =0˙，取b =1，得m →=(√2,1,0)， 设二面角B −B 1C −A 的平面角为θ， 则cosθ=|m →|⋅|n →|˙=√2⋅=√33， ∴ 二面角B −B 1C −A 的余弦值为√33．20. 解：f(x)=4√3sinxcosx −4sin 2x +1=2√3sin2x −4×1−cos2x2+1=2√3sin2x +2cos2x −1=4(√32sin2x +12cos2x)−1 =4sin(2x +π6)−1；当2x +π6=2kπ+π2，即x =π6+kπ，k ∈Z 时，f(x)max =3； （2）由f(A)是f(x)的最大值及A ∈(0, π)得到，A =π6，将a =2，A =π6代入b 2+c 2−a 2=2bccosA ，可得b 2+c 2−4=√3bc ， 又∵ b 2+c 2≥2bc ，∴ √3bc ≥2bc −4，则bc ≤2−√3=4(2+√3)，∴ AB →⋅AC →=bccosA =√32bc ≤6+4√3，当且仅当b =c 时，AB →⋅AC →最大，最大值为6+4√3．21. 解：（1）由图可知，t =0.75时有{2(1−0.75t)(5−b)2=12(1−0.75t)(7−b)2=7，解得{k =1b =5；（2）当P =Q 时，得2(1−t)(x−5)2=2−x ， 解得：t =1+x (x−5)2=1+1x+25x−10，而f(x)=x +25x在(0, 4]上单调递减，∴ 当x =4时，f(x)有最小值414， 此时t =1+1x+25x−10，取得最大值5；故当x =4时，关税税率的最大值为500%． 22. （I ）因为c =√2,a =√3，所以b ＝1 所以椭圆的方程为x 23+y 2=1，准圆的方程为x 2+y 2＝4．(II)(1)因为准圆x 2+y 2＝4与y 轴正半轴的交点为P(0, 2)， 设过点P(0, 2)，且与椭圆有一个公共点的直线为y ＝kx +2， 所以{y =kx +2x 23+y 2=1，消去y ，得到(1+3k 2)x 2+12kx +9＝0，因为椭圆与y ＝kx +2只有一个公共点， 所以△＝144k 2−4×9(1+3k 2)＝0， 解得k ＝±1．所以l 1，l 2方程为y ＝x +2，y ＝−x +2．（2）①当l 1，l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率，因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =√3或x =−√3， 当l 1方程为x =√3时，此时l 1与准圆交于点(√3,1),(√3,−1)，此时经过点(√3,1)（或(√3,−1)）且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1（或y ＝−1），即l 2为y ＝1（或y ＝−1），显然直线l 1，l 2垂直； 同理可证l 1方程为x =−√3时，直线l 1，l 2垂直．②当l 1，l 2都有斜率时，设点P(x 0, y 0)，其中x 02+y 02＝4，设经过点P(x 0, y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝t(x −x 0)+y 0，则{y =tx +(y 0−tx 0)x 23+y 2=1，消去y 得到x 2+3（tx +(y 0−tx 0)）2−3＝0， 即(1+3t 2)x 2+6t(y 0−tx 0)x +3(y 0−tx 0)2−3＝0，△＝[6t(y 0−tx 0)]2−4⋅(1+3t 2)[3(y 0−tx 0)2−3]＝0，经过化简得到：(3−x 02)t 2+2x 0y 0t +1−y 02＝0，因为x 02+y 02＝4，所以有(3−x 02)t 2+2x 0y 0t +(x 02−3)＝0，设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，因为l 1，l 2与椭圆都只有一个公共点，所以t 1，t 2满足上述方程(3−x 02)t 2+2x 0y 0t +(x 02−3)＝0， 所以t 1⋅t 2＝−1，即l 1，l 2垂直．综合①②知：因为l 1，l 2经过点P(x 0, y 0)，又分别交其准圆于点M ，N ，且l 1，l 2垂直， 所以线段MN 为准圆x 2+y 2＝4的直径，所以|MN|＝4． 23. 解：（1）由题意知S n −S n−1=S n−1−S n−2+2n−1(n ≥3) 即a n =a n−1+2n−1(n ≥3)∴ a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)++(a 3−a 2)+a 2=2n−1+2n−2++22+5 =2n−1+2n−2++22+2+1+2 =2n +1(n ≥3)检验知n =1、2时，结论也成立，故a n =2n +1． （2）由于b n f(n)=1(2n +1)(2n+1+1)⋅2n−1=12⋅(2n+1+1)−(2n +1)(2n +1)(2n+1+1)=12(12n +1−12n+1+1)故T n =b 1f(1)+b 2f(2)++b n f(n)=12[(11+2−11+22)+(11+22−11+23)++(12n +1−12n+1+1)] =12(11+2−12n+1+1)<12⋅11+2=16．(3)(I)当a =2时，由（2）知：T n <16，即条件①满足；又0<m <16，∴ T n >m ⇔12(11+2−12n+1+1)>m ⇔2n+1>31−6m−1⇔n >log 2(31−6m−1)−1>0．取n 0等于不超过log 2(31−6m−1)的最大整数，则当n ≥n 0时，T n >m ．（2）当a >2时，∵ n ≥1，a n 2n=(a 2)n ≥a 2，∴ a n ≥a2⋅2n ，∴ b n ⋅a n ≥b n ⋅a2⋅2n =a2⋅b n ⋅2n ．∴ T n =∑(n i=112b i a i )≥a2∑(n i=1b i ⋅2i−1)=a2⋅12(11+2−12n+1+1)． 由（1）知存在n 0∈N ∗，当n ≥n 0时，12(11+2−12n+1+1)>13a ，故存在n 0∈N ∗，当n ≥n 0时，T n =a2⋅12(11+2−12n+1+1)>a2⋅13a =16，不满足条件． （3）当0<a <2时，∵ n ≥1，a n2n =(a2)n ≤a2，∴ a n ≤a2⋅2n ， ∴ b n ⋅a n ≤b n ⋅a2⋅2n =a2⋅b n ⋅2n ．∴ T n =∑12n i=1(b i a i )≤∑a 2n i=1(b i 2i−1)=a 2⋅12(11+2−12n+1+1)．取m =a 12∈(0,16)，若存在n 0∈N ∗，当n ≥n 0时，T n >m ，则a2⋅12(11+2−12n+1+1)>a12． ∴11+2−12n+1+1>13矛盾．故不存在n 0∈N ∗，当n ≥n 0时，T n >m ．不满足条件．综上所述：只有a =2时满足条件，故a =2．。

……外…………○…………装…………○……学校:___________姓名：___________班级：_……内…………○…………装…………○……绝密★启用前上海市向明中学2018-2019学年下学期高一5月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．函数 的部分图像是（ ）A ．B ．…线…………○………线…………○……C．D．2．下列三角方程的解集错误的是（）ABC．方程tan2x=的解集是{|arctan2,}x x k kπ=-+∈ZD（x是锐角）的解集是{15,27,87}︒︒︒3．已知函数()cos(sin)f x x=，()sin(cos)g x x=，则下列说法正确的是（）A．()f x与()g x的定义域都是[1,1]-B．()f x为奇函数，()g x为偶函数C．()f x的值域为[cos1,1]，()g x的值域为[sin1,sin1]-D．()f x与()g x都不是周期函数4．若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”.甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．函数 的最小正周期是______．6．若数列 满足 ， ， ，则该数列的通项公式 ______．7．半径为2，圆心角为的扇形的面积为______． 8．若，则 ______．9．实数2和8的等比中项是__________．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若5a =，6b =，8c =，则最大内角等于________（用反三角函数值表示） 11．设3cos 20x +=，且，则x =________ 12．将函数sin y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把________ 13________14．当[0,3]x π∈时，设关于x 的方程sin 2|sin |x x m +=（m ∈R ）根的个数为n ，那么n 的取值构成的集合为________（用列举法表示）15．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，且115a b +=，n b +∈Z ，设n n b c a =，则数列{}n c 的前n 项和n S =________16．将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足 的 、 ，有 的最小值为，则 ______．三、解答题17．已知数列{}n a 满足12a =，（*n ∈N ）（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.………订…………○…………线…订※※线※※内※※答※※题※※………订…………○…………线…18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，（1）求角B 的大小； （2，求△ABC 的面积S 最大值及取得最大值时角A 的大小. 19．已知海岛在海岛北偏东，，相距20海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向； （2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．202ππ，0>ω. （1（2）对于(,]x a a π∈+，a 为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；（3）在（2）的条件下，若不等式|()|1f x t +<在恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．D 【解析】试题分析：由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．解：设y=f （x ），则f （﹣x ）=xcosx=﹣f （x ），f （x ）为奇函数； 又时f （x ）＜0，此时图象应在x 轴的下方故应选D ．考点：函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象． 2．B 【解析】 【分析】利用三角函数的图像和性质逐一分析得解. 【详解】对于A ，，可得x 在(0,2)π的解为}k Z ∈则A 正确；对于B ，方程，方程无解，则B 错误；对于C ，方程tan 2x =的解集为{|arctan 2x x k π=+，}{|arctan 2k Z x x k π∈==-+，}k Z ∈，则C 正确；对于D ，方程 可得51536060x k -︒=︒+︒或515360120x k -︒=︒+︒，k Z ∈， 可得锐角15x =︒，27︒，87︒，即有解集是{15︒，27︒，87}︒，则D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角方程的解法，注意运用诱导公式和三角函数的图象和性质，考查运算能力，属 于基础题．3．C 【解析】 【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】A ．()f x 与()g x 的定义域都是R ，故A 错误，B ．()cos(sin())cos(sin )cos(sin )()f x x x x f x -=-=-==，则()f x 是偶函数，故B 错误，C ．1sin 1x -剟，1cos 1x -剟，()f x ∴的值域为[cos1，1]，()g x 的值域[sin1-，sin1]，故C 正确，D ．(2)cos(sin(2))cos(sin )()f x x x f x ππ+=+==则()f x 是周期函数，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键． 4．B 【解析】试题分析：显然是等比数列一定是等方比数列，是等方比数列不一定是等比数列，故甲是乙的必要不充分条件，选B. 考点：充要条件. 5． 【解析】 【分析】由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得 ，根据三角函数的周期性及其求法即可得解． 【详解】． 由周期公式可得：．故答案为： 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．6．【解析】【分析】判断数列是等比数列，然后求出通项公式．【详解】数列中，，，可得数列是等比数列，等比为3，．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力．7．【解析】【分析】设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则扇形的面积为，由此得解．【详解】，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．8．1【解析】【详解】解：，可得，所以．故答案为：1．9．4±【解析】所求的等比中项为：10【解析】【分析】先利用余弦定理求出cosC,再利用反三角函数求出C.【详解】由题得C是最大角，由题得所以【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11【解析】【分析】.【详解】3π≤≤x所以cos(x所以【点睛】本题主要考查解三角方程和反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12【解析】 【分析】直接利用三角函数的图像的变换解答得解. 【详解】将函数sin y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的定义域求解即可． 【详解】的定义域是[1-，1]，函数是增函数，【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的值域的求法，考查计算能力． 14．{0,2,4,5,6} 【解析】 【分析】方程sin 2|sin |m x x =+，[0x ∈，3]π的实数根个数，即直线y m =与sin 2|sin |y x x =+，[0x ∈，3]π的交点个数，画出图象，数形结合得答案．【详解】方程的根的个数等价于直线y m =与sin 2|sin |y x x =+的交点个数，[0x ∈，3]π，函数的图像如图所示，可以看到交点的个数可能为0,2,4,5,6. 故答案为：{0,2,4,5,6} 【点睛】本题主要考查方程的根的个数问题，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 15【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式把n b a 转化到1(1)n a b +-，再把n b 转化11b n +-，然后由已知和等差数列的前n 项和可求结果． 【详解】123n n b b b b S a a a a =+++⋯+1112131[(1)][(1)][(1)][(1)]n a b a b a b a b =+-++-++-+⋯++-11111111[(1)][(1)1][(2)1][(1)1]a b a b a b a b n =+-+++-+++-+⋯+++--111112(1)(na nb n n n a b =+-+++⋯+-=+【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和的应用，利用分组求和法是解决本题的关键． 16．或【解析】 【分析】先求解 的解析式，根据 可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设 取得最大值， 取得最小值，结合三角函数的性质 的最小值为，即可求解 的值； 【详解】由函数 的图象向右平移 ，可得 不妨设 取得最大值， 取得最小值，，， ．可得的最小值为，即．得或故答案为：或．【点睛】本题主要考查由函数的解析式，函数的图象变换规律，属于中档题．17．（1）证明略；（2（*n∈N）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义证明数列{}n b是等差数列；（2）先求出数列{}n b的通项，再求数列{}n a的通项公式.【详解】（1所以数列{}n b是等差数列.（2，数列{}n b是公差为1的等差数列，【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18．（1（2时，△ABC的面积S 最大值【解析】【分析】（1，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求得：1ac …，当且仅当1a c ==时等号成立，进而根据三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1(2)6B π=， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：∴可得：，可得：1ac …，当且仅当1a c ==时等号成立，，即ABC ∆的面积S 的最大值为，取得最大值时角A 的【点睛】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．（1）20-（2海里． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设经过t 小时，物体甲在物体乙的正东方向，因为2054=小时，所以05t <<．则物体甲与海岛A 的距离为102AE t =-海里，物体乙与海岛A 距离为4AF t =海里．在AEF ∆中由正弦定理可求得t 的值．（2）在AEF ∆中用余弦定理求EF ，再根据二次函数求EF 的最小值． 试题解析：解：（1）设经过t (05)t <<小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛A 的距离为102AE t =-海里，物体乙与海岛A 距离为4AF t =海里，60,75,45EAF AFE AEF ∠=︒∠=︒∠=︒，AEF ∆中，由正弦定理得：sin sin AE AF AFE AEF =∠∠，即2024sin 75sin 45t t-=︒︒，则20t =-（2）由（1）题设，202AE t =-，4AF t =， 由余弦定理得：2222cos EF AE AF AE AF EAF =+-⋅∠221(202)(4)2(202)42t t t t -+-⨯-⨯⨯228160400,t t =-+∵05t <<，∴当207t =时，min EF =海里． 考点：1正弦定理；2余弦定理；3二次函数求最值． 20．（1，k ∈Z ；（2）1ω=；（3）(0,1)t ∈. 【解析】 【分析】（1）利用和与差公式化简，结合正弦函数的图象及性质即可求解函数()f x 的单调递增区间； （2）根据(x a ∈，]a π+，求解内层函数的范围，结合()1f x =-恰好有两个不等实根，即可求解实数ω的值；（3）根据（2）中ω的值；可得()f x 解析式，[0x ∈，上，求解()f x 的值域，不等式|()|1f x t +<成立，即可求解实数t 的取值范围． 【详解】∴函数()f x 的单调递增区间为，k Z ∈．（2）当(x a ∈，]a π+时，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，即()0f x =恰好有两个不等实根，可得1ω=；（3）根据（2）中1ω=；可得[0x ∈，23x π∴+，]π，那么()f x 的值域为[1-，0] 不等式|()|1f x t +<成立， 即1()1t f x t --<<-∴1110t t --<-⎧⎨->⎩此时(0,1)t ∈ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，三角函数的化简以及转化思想的应用，函数闭区间上的最值应用．。

上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设集合M={1，2}，N={a 2}，则“a=1”是“N ⊆M ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2． 设集合,,则( )A BCD3． 已知集合{| lg 0}A x x =≤，1={|3}2B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 4． 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－12）C ．（－12，＋∞）D ．（－12，0）6． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。

A3 B4 C5 D67． 已知平面向量与的夹角为3π，且32|2|=+b a ，1||=b ，则=||a （ ） A ． B ．3 C ． D ． 8． 若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为， 则a =（ ）A ． 1±B ． 4±C ．D ．9． 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）A ．B ．C ．D ．10．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④ 11．已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．20x y ++= 12．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值为 .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.14．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．15．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

1.在△ ABC 中,Q , b, c 所对的角分别为A, A. V3 B. V2 C. 1 人=乌8=三，则8等于（ 4 6D.笠 2 数列…的一个通项公式a,是 B. — C. 2〃 + 1 2〃一3 函数 f (x) = sin(x + 45°) + sin(45° D . D.2V2 4. 已知｛□〃｝为等差数列，且= 2% -1,。

2 =。

，则公差d = C. -1 2 A.1 C.2 A. 1 B. -1 5. 等比数列｛q ｝中，公比q 是整数，％+% = 18,角+% = 12 , A.514 B. 513C. 512 6,在 ZiABC 中，内角 A, £ 2 此数列的前8项和为（ D . D. 510的对边分别是a, b, A. 30°B.60° C. 120° D. 150° A. -[(1 + P )，-(1 + p)]B.P2弓， 10.数列｛勺｝满足o…+1 = <2% -1,。

(10<a n < —n 2 — <a n <\2c.为顷- (5若。

1 ='，则 a 20ll =D. Q (l+A. §7B.AC .D .一、选择题（每题5分，共50分）sinC = 2jisinB ,贝I] A=()7. 若 0 且 cos （a +月, 那么 cos 2a 的值是（）63 63 33 56 免 13 A,— B,——c.— D,— 或 --- 65656565 658. 在Z\ABC 中，A = 60',AB = 2,且其面积S MBC =^~ ,则边BC 的长为 （）A. V3B. 3C. V7D. 79, 某人从2005年起，每年1月1日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保 持不变，并约定每年到期均进行自动转存（即本金和利息一起计入下一年的本金）, 到2011年12月31日将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数（元）为（）a ] + 8d— —2, 8a 】+ 28d — 2解：（1） Va 9=-2,二、填空题(每题5分，共25分) 11.在数列｛%｝中，已知且叫=1,贝 >]心=「12. sin 4 22.5°-cos 4 22.5° =13. 已知 tan| — + a\ = 2, 则 ----------- - ----- - - 的值为—<4 ) 2sinizcos« + cos _a 314. 某海上缉私小分队驾驶缉私船以40km/h 的速度山A 处出发，沿北偏东60°方向 航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45。

2015学年第二学期向明中学3月质量监控考高一年级数学试卷一. 填空题1. 与1920°终边相同的角中，最大负角是2. 若sec tan 0αα⋅>，csc cot 0αα⋅<，则α是第 象限角3. 设点(,2)P x 是角α终边上一点，且满足2sin 3α=， 则x =4. 把3cos αα-化成cos()A αϕ+（0A >， (,]ϕππ∈-）形式为5. 如图，写出所有终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合6. 若21k n =-，n Z ∈，则sin()cos()sin[(1)]cos[(1)]k k k k παπαπαπα-+=++++ 7. 设13log 2θ=，2log 3b =，0.31()2c =，则把它们从大到小排列为8. 若α是锐角，则2sin log (1cot )αα+= 9. 函数1lg(1)y x =+-（1x >）的反函数是10. 若α，3(,)4πβπ∈，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+= 11. 2011级高一东方绿洲活动中，某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC 所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外 接圆，若A α∠=，(0,)2πα∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为12. 下列各式中化简正确的是 （写出所有正确的序号）① 若(,2)αππ∈2sin α=；② 若3(,2)2παπ∈sin cos αα=+；③ 若3(,2)2παπ∈sin 2α=；④ 若3(,)22παπ∈tan sin αα=-； ⑤ 若4k πα≠，k Z ∈，则tan cot sin cos sec csc αααααα-=+-；二. 选择题13. 记cos(80)k -︒=，那么tan100︒=（ ）A. kB. k -C.D.14. 在直角坐标系中，角α、β终边与单位圆的交点分别为A 、B （如下图），将AOB ∠绕原点O 顺时针旋转角β，得到A OB ''∠，则点A '的坐标为（ ）A. (sin(),cos())αβαβ++B. (sin(),cos())αβαβ--C. (cos(),sin())αβαβ++D. (cos(),sin())αβαβ--15.2)cos()12123x x ππ+++=，且02x π-<<，则sin cos x x -的值为（ ）A. B. C. 43- D. 4316. 设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件条件D. 既不充分也不必要条件三. 解答题17. 已知α，(02πβ∈-，），且tan tan tan αβαβ+=αβ+；18. 已知tan a θ=（1a >），求sin()4tan 2sin()2πθθπθ+⋅-的值；19. 已知函数31sin ()log 1sin x f x x+=-； （1）判断()y f x =的奇偶性；（2）若()1f x =，求cos2x 的值；20. 校园准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，点A 在半圆圆弧上，△ABC 外的地方种 草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池（P ，Q 在BC 边上），其余地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设△ABC 的面积为1S ，正方形面积为2S ；（1）用a 和θ表示1S 和2S ；（2）当a 固定，θ变化时，求12S S 最小值及此时的角θ；21. 已知函数2()2sin sin f x x x θθ=-⋅+，R θ∈； （1）若53πθ=，求函数()f x 在[1,0]x ∈-上的最大值和最小值； （2）若函数()f x 在1(,1)2x ∈上既无最大值又无最小值，求角θ的范围； （3）若函数()f x 在[0,1]x ∈上有最小值12-，求sin θ的值；参考答案一. 填空题1. 240︒-2. 二3. 4. 6cos()3πα+ 5. 3[2,2]43k k ππππ-++()k Z ∈ 6. 1- 7. b c a>> 8. 2- 9. 1101x y -=+()x R ∈ 10. 5665- 11. sin αα+12. ③④⑤二. 选择题13. B 14. D 15. C 16. B三. 解答题 17. 23αβπ+=-；18.原式1a =-；19.（1）奇函数；（2）1cos 22x =；20.（1）21sin cos 2a S θθ=，22sin cos()1sin cos a S θθθθ=+，(0,)2πθ∈；（2）12S S 最小值为94，此时4πθ=；21.（1）min 3()42f x =--，max ()2f x =-；（2）7[2,2]{2}662k k k πππθπππ∈-+++U ()k Z ∈；（3）1sin 2θ=-。

22015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷3. 若数列｛a n ｝为等差数列•且满足 a 2+a 4+a 7+a ii =44,贝U a 3+a 5+a io = _____1l+a n 4. --------------------------------------------------------- 设数列｛a n ｝满足：a i =77, a n+i = ( n 》1),贝U a 20i6= ----------------------------------------------------------- .2L_an —n *5. 已知数列｛a n ｝满足：3n =n?3 ( n € N ),则此数列前n 项和为S n=_6. _________________________________________________________ 已知数列｛ a n ｝满足：a i =3,a n +i =9?哥彳(n > 1),则芒™ a n = ____________________________________ .8等比数列｛a n ｝, a i =3—5,前8项的几何平均为9,则a 3=1 2n -1S n =f ( —) +f ( )+••+() , n=2 , 3 ,…，贝U S n = n nn '10 设x 1, X 2是方程 x 2 — xsin 色殳+cos 里匸=0的两个根，则 arctanx 1+arctanx 2的值为.5 511.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a n = 厂_.「一―「，则S 2016= __ .12. 设正数数列｛a n ｝的前n 项和为b n ,数列｛b n ｝的前n 项之积为5,且b n +5=1,则数列｛的前n 项和S n 中大于2016的最小项为第 ________ 项.、选择题.“(n+1) (n+2) ?…？( n+n ) =2n ?1?3?…？(2n - 1) ”，当 n 从 k 到 k+1)2.' =缶―3)&+1)7•等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为 S n ,4却 9.定义在R 上的函数f （x ）=4z +213.用数学归纳法证明 左端需增乘的代数式为一、填空题+arctan (— ：~) = __T n , 若2V5 - 1V5+1v qv —:—2M2A . 2k+1B . 2 (2k+1)2k+l k+1 2k+3 k+114. 一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是（）D . q V 亠或q >苗卡］~215•等差数列｛a n ｝中，a s <0，且a 6>0，且a 6>| a s | , S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是 ( ) A • S i , S 2, S 3均小于 0, S 4, S 5, S 6,…均大于 0 B • S i , S 2,…，S 5均小于0, S s , S 7,…均大于0 C • S i , S 2,…S9均小于0, S io , S 11,…均大于0 D • S i , S 2,…，Sn 均小于0, S 12, S 13,…均大于016.若数列｛ a n ｝的通项公式是 即= ------ L -------- v- 一:一2 -------- 厶 ----- L , n=1, 2,…，贝y -:A . 24B 'C •'D •17.已知-2016 p |R-=，那么(sin 0+2)A . 9B8C . 12D .不确定 18已知 f (n) = (2n+7) ?3n +9，存在自然数 则最大的m 的值为( ) A .30B.26 C . 36 D . 6m ,使得对任意n € N *，都能使m 整除f ( n ),19. 20•式. 2 2 2 2 2 2 2+n + (n — 1) +・・+3 + 2 +1 = . n (2n +1)2已知数列｛a n ｝满足a i =i ，其前n 项和是S n 对任意正整数n , S n =n a n ,求此数列的通项公用数学归纳法证明: 2 2 21 +2 +3 +••+ ( n — 1)已知方程 cos2x+ . sin2x=k + 1.7T(1) k 为何值时，方程在区间［0,可］内有两个相异的解a, B2(a i +a 2+・・+a n )等于( )(cos 0+1)的值为()(2)当方程在区间［0，^—］内有两个相异的解 a, B 时，求a +B 的值.22.设数列｛a n ｝满足 a i =2, a 2=6, a n +2=2a n +i — a n +1 ( n € N* ).(1) 证明：数列｛a n +i — c h ｝是等差数列；11 1(2)求： ++••+二 .a l a2 ^OIS1 求 ｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项.24.已知数列｛a n ｝是等比数列，且 a 2=4, a 5=32，数列｛b n ｝满足：对于任意n € N* ,有 n +i a i b i +a 2b 2+・・+a n b n = (n — 1) ?2 + +2. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 若数列｛d n ｝满足：d i =6, d n ?d n +i =6a?(-号)b » (a > 0),设 T n =d i d 2d 3・・d n (n € N* ), 当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围.23 .数列｛ a n ｝ , ｛ bn ｝满足*an+l_bn +l-a - 2b n，且 a i =2, b i =4.2 lin.■— 5n 2-2(n- 3) Cn+1) 【考点】【分数列的极限.利用数列的极限的运算法则化简求解即可.【解答】c- 2 5七门~~3_1饰2 = lim(n-3)Cn+1) n ^n 2-2n-3i □ n 25-0==5l-o-o 5.故答案为：5.3 .若数列｛a n ｝为等差数列•且满足 a 2+a 4+a 7+a ii =44,贝a 3+a 5+a io = 33 .【考点】等差数列的性质.【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 【解答】解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,a 2+a 4+a 7+a ii =44=4a i +20d ,a 1+5d=11. 则 a 3+a 5+a io =3a i +15d=3 (a i +5d ) =33. 故答案为：33. 、卄 14.设数列｛a n ｝满足：a 1^, a n+1= [ _ &(n 》1),贝U a 2016=_22015-2016学年上海中学高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题1 . arcs in (— ) +arccos (2反三角函数的运用. 利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值.(— 一)+arccos (― 丄2) +arctan (― *) = — arcsin (一) + n — arccos — 2 2 2 2【考点】 【解答】解：arcsinarcta n 「 n=— + (故答案为: 71n — 一)6 7T+arctan (— :_)=—数列递推式.通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论.1+ai 1+4" 解：依题意，a 2=' = =3，I 一巧 丄，2i+ 14【考点】【分【解答】 1+引 1+3 a 3=1-3-2,1+a3 1-2 a4=幻1+2•••数列｛a n ｝是以4为周期的周期数列, 又••• 2016=504 X 4, 二 a 2016=a 4=2 , 故答案为：2.5.已知数列｛ a n ｝满足：a n =n?3n (n € N *),则此数列前n 项和为S n = ——:—?3n+1+—44【考点】数列的求和.【分析】利用错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出. 【解答】解：T a n =n?3n ,则此数列的前n 项和S n =3+2 X 32+3X 33+・・+ n?3n ,• 3S n =32+2X 33+・・+ (n - 1) ?3n +n?3n+1,•- 2S n =3+32+33+“3n - n ?3叫- n ?3叫(-n) F -；，6.已知数列｛ a n ｝满足：a 1=3, a n +1=9? (n > 1),则..,a n = 27 .【考点】数列的极限. 【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列 ｛a n ｝的通项公式,则极限可求.【解答】解：由a n +1=9?- (n 》1)，得 二:“二故答案为：-?3n +1+ .4 44Sn = ?3即.--..-令 b n =lga n ,则話呂F 曲，I ：• 一」 1 ''，则数列｛g - 3lg3｝是以S- 3lg3=lga 1 - 3lg3= - 2lg3为首项，以_为公比的等比数列,3••• \一 二］「一门「上：即学- • 工-厶一… ， 则 1饰 31S 3-21g3^|)'-1 3lg3 lg27 “则、-a n ==10 =10 =27 -故答案为：27.【考点】等差数列的性质.【分析】由｛a n ｝ ,｛b n ｝为等差数列，且其前n 项和满足若」=—，设S n =kn x 2n ,T n =k n( 3n +1) T n 3n+l (k 工0),则利用递推关系可得：当 n 》2时，a n =S n — S n -1；当n 》2时，b n =T n — T n - 1 •代入即可得出.【解答】解：••• ｛a n ｝ , ｛b n ｝为等差数列，且其前 n 项和满足若•=.牛1 ’ Jn+1•••设 S n =kn x 2n , T n =kn (3n+1) (k z 0),则 当 n > 2 时，a n =S n - S n -1=4kn — 2k ； 当 n > 2 时，b n =T n - T n - 1=6kn - 2k .且 5 20k _ 2k g 「=" ：l =. ”，故答案为:5 i8等比数列｛a n ｝, a 1=3-5,前8项的几何平均为9,则a 3=—【考点】等比数列的性质.【分析】设等比数列｛a n ｝的公比为q ，由题意列式求得 q ,代入等比数列的通项公式得答案. 【解答】解：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，由题意，… 二二；7 •等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为 S n , T n ,若二，则…9 tf5 ，口 3兀 3兀 可得 X 1+X 2 =sin --, x i ?X 2=cos故 x 1> x 2均大于零，故 arctanx [+arctanx 2€( 0, n),丄 蛰”w 匹9」(“％ 2(1+7) X7 1)兀9,得-5-a i =3,1■J •—「，则 q=9,3"5…二，疔]'■ ? 1'严9.定义在R 上的函数f ( x )= —— S n =f(□),n=2, 3,…，则 S n =2n - 2【考数列的求和.【分析】由已知得 f (x ) +f (1 - x ) =4, 由此能求出 S n =f (')n+f 「)+-+f (」)的值.nn【解答】解：••• f (x ),.f (1 - X )=：—…,4宀+2 4+2 X 4Z 4 +2/• f (x ) +f (1 - x ) =4,二 Sn =f (二)+f () n nn _1=4 X -------- =2n — 2. 2故答案为：2n — 2.+ ・・+fn- 1 ( ) n10 .设X 1, X 2是方程 x 23 "jx 3 丿 i 31 xsin 、_ +cos =0 的两个根，贝V arctanX [+arctanx 2 的值为 — 5 5【考点】 反三角函数的运用. 【分析】求得tan 【解答】3JT 3 Jt 由条件利用韦达定理求得 X 1+X 2 =sin 一 , X 1?X 2=cos ，再利用两角和的正切公式(arctanx^arctanx 2) 的值，可得 arctanx^arctanx 2 的值. 解：由 x 1> x 2是方程 X 2— xs in —二+cos “ =0的两根， 5 52故答案为:1+12购 一 ｛込 01T■ 3S1IT7-几o 1T 貸=cot ' n =ta n （—n ）, 宀一8再兀1。