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数学分析（Ⅰ）
一、 函数（
实数概述，绝对值与不等式。 区间与邻域，确界原理。 函数概念，函数的几种表示法，函数的四则运算，复合函数，反函数，基本初等函数，初等函数。
具有某些特性的函数。
内容处理建议：
1． 简要介绍实数性质及绝对值与不等式；
2． 重点阐述上、下确界概念及确界原理，这一部分是重点，也有一定的难度，可通过例题和习题让学生加强理解；
3． 在介绍一般函数概念的同时，强调基本初等函数和初等函数的重要性。强化学生对一般性与特殊性之间辩证关系的认识。
二、 数列极限（
数列，数列极限的ε-N 定义。 收敛数列的性质：唯一性、有界性、保序（号）性、迫敛性、四则运算法则。 数列极限存在的条件。
内容处理建议：
1．简单介绍数列极限概念产生的历史过程，从中看到严格的ε-N 定义产生的必然性和重要性，使学生真正接受高度抽象、形式化的ε-N 定义。其次，通过对ε-N 定义的剖析和一些典型例题的深入分析，使学生正确理解数列极限的ε-N 定义，并学会运用它来验证数列极限。
2．在介绍收敛数列的各种性质时，突出强调迫敛性定理是求极限的一种重要方法，并指出用迫敛性求极限时的一些原则和方法。
4． 要求学生熟练掌握重要极限：e
n n n =+∞→)11(lim ，并注意将一些数列极限转化为上述重要极限形式。
三、 函数极限（
函数极限的ε-M 定义和ε-δ定义，单侧极限。
华东师范大学2004数学分析试题
华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求 2 1 20)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)), sin(arctan 2ln x x e y x +=-求' y . 3、求 ?--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞ =1 n n nx 的和函数)(x f . 5、 L 为过 ) 0,0(O 和 )0,2 (π A 的曲线 ) 0(sin >=a x a y ,求 ?+++L dy y dx y x . )2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中) 10(,22 ≤≤+=z y x z , 取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则} {n x 至少存在一个聚点). ,(0 +∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连 续. 3、若 ) (x f , ) (x g 在] 1,0[上可积，则 ∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim .
4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =1 2n n a 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 ) ,(y x f 存在偏导数 ),(y x f x ,) ,(y x f y 且),(y x f x , ) ,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在 (0,0)上可微. 6、),(y x f 在2 R 上连续,} ) ()(|),{(),(22 2 r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0 0 则.),(,0),(2 R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。 四、（15分）求证不等式:]. 1,0[,122∈+≥x x x 五、设) (x f n , ,2,1=n 在],[b a 上连续,且) (x f n 在],[b a 上一致 收敛于 ) (x f .若 ] ,[b a x ∈?, )(>x f .求证: , 0,>?δN 使 ],[b a x ∈?, N n >,. )(δ>x f n 六、（15分）设}{n a 满足（1）; ,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数∑∞ =1 n n a 收敛. 求证:0 lim =∞ →n n na . 七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证： x x f )(在),1[+∞上有界. 八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3 R 有连续偏导数，而且对以任意点) ,(00, 0z y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半球面, ,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+-
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为 又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：
三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；
第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71
数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 华东师大2019年数学分析试题 一、（24分）计算题： （1） 求011lim()ln(1)x x x →-+； （2） 求32cos sin 1cos x x dx x +?g （3） 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数， 试求grad z 。 二、（14分）证明： （1）11(1)n n +??+???? 为递减数列： （2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+???? 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之 一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导， '()f x K ≤ （K 为正常数） ，(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。 四、（14分）设1 20(1)n n I x dx =-?，证明： 五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段 绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为： 2(b a A f x π=? 六、（24分）级数问题： （1） 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， “死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设 sin ,01,0()x x x x f x ≠=?=??{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈? ?，求 ()(0),1,2,k f k =L （2） 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教 谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有 数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ， 1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O 2019年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲 科目代码：F0501科目名称：电子技术基础 一.考试要求 根据高等院校对学生培养目标的要求，以培养工程应用型人才为主，“电子技术基础”科目考试力求做到保证考生掌握电子技术必要的基本理论、基本知识、基本分析方法和技能，贯彻理论与实践相结合的原则，强化应用。考核学生综合应用所学知识分析和解决相关问题的能力。考试范围包括模拟电子技术和数字电子技术。重点考核基本单元电路的基本知识（重点在电路工作原理的了解、电路功能的理解和外部特性及基本应用的掌握，对于电路的内部结构不作考核要求）、由基本单元电路组成的基本功能电路（如基本运算电路、有源滤波电路、功率放大电路、译码器、数据选择器、寄存器、计数器等，重点在电路的功能特点和应用）。 本课程之前，必须具备电路的基本概念、理解电路的基本定律和和掌握电路的基本分析方法，以及电路的暂态分析，这些内容在相关课程《电工与电路基础》中学习；同时必须先修大学物理、高等数学，这些内容安不在考核范围。 二、考试内容 1．模拟电子技术 常用半导体器件的功能与特性、基本放大电路、集成运算放大器（理想运算放大器、放大电路的频率响应、放大电路中的反馈（类型判别）、信号的运算和处理、波形的发生和信号的转换、功率放大电路、直流电源。 重点考核：基本放大电路的特性、理想集成运算放大器及其典型应用、能正确分析由运算放大器构成的电路的功能、能用运算放大器设计基本的运算电路、由集成稳压器构成的直流电源电路的分析与设计。 2．数字电子技术 数制和编码，逻辑代数基础，逻辑门电路，组合逻辑电路，触发器，时序逻辑电路，存储器，脉冲单元电路，数/模、模/数转换电路等。 重点考核：逻辑代数基础（逻辑函数的卡诺图化简法）；SSI数字电子器件（门电路的外部特性与正确使用、触发器的逻辑功能及波形的画法）；MSI常用逻辑功能部件（编码器、译码器、数据选择器、加法器、寄存器、计数器等，）的逻辑功能与正确使用，不要求背记功能表和管脚图。特别是应用MSI逻辑功能部件分析和设计逻辑电路的方法，重点考核利用MSI综合设计数字系统电路的能力。 三、考试形式 考试形式为闭卷、笔试，考试时间为2小时，满分100分。 题型包括：填空题、选择题、判断题、简答题、分析题、设计题、综合分析设计题等。 四、参考书目 1．《模拟电子技术基础》．华成英童诗白主编．高等教育出版社，2006。第四版 2．《数字电子技术基础》．阎石主编．高等教育出版社，2006。第五版 今天跟大家说一下自己备考的考研经验。 我是从8月20左右才开始政治的复习工作，第一轮复习我用的是李凡老师的《政治新时器》全套书，因为我计划是国庆开始第二轮政治复习，所以当时我就按8月剩下的日子加上整个9月共40天计算了一下每天大约要看多少页做到心里有个谱，第一轮复习我就按照这个计算出来的量每天按部就班的看了李凡老师的视频课，一遍下来对考研政治也有了一个大概了解。总之，关于考研政治的复习我认为大家前期主要还是清知识点攻选择题，后期主要就是背熟大题，如果这两块你都能按质按量完成不说最后能有多高的政治成绩但跟我一样拿个60+大众分肯定没问题。 单词我推荐《一本单词》，里面把重难点词汇都给罗列出来了，而且单词分类很有规律，方便大家记忆，真题的话我推荐《木糖英语真题手译版》，里面的真题讲解的详细透彻，而且对于各个题型都有自己的做题方法，会告诉你答题技巧之类的，大家可以看一下，翻译和作文我自己报了蛋核英语的课程，老师经验丰富，把重点都会给我们说出来，当然平时还需要我们自己多去做题，多去总结，及时发现自己的知识漏洞，及时查漏补缺。 其实我是不主张别人效仿我的学习方法的，太佛系，风险很大。可能是四年的底子还可以吧。还是建议大家在考试前尽可能多的搜集资料信息，做充分准备，推荐的有蛋核英语公众号还有木糖英语公众号，干货多多。 政治：七月份开始比较好，时间充裕。可以快乐从容的看基础知识，制定好自己的复习计划，然后好好准备，政治的复习没有大家想象的那么困难，当然也没有那么容易，总结下来就是知识点的复习加上真题的练习，参考书的话强烈推荐李凡老师的视频课还有他的李凡《政治新时器》全套参考书，课程很有特色，参考书的知识点也很详尽。 专业课一定要记笔记！一定要记笔记！一定要记笔记！在暑假之前，看熟课本上的内容。暑假期间，形成自己的笔记，或者参考你买的笔记形成自己的笔记。9月份之后，就是不停的翻看，背诵你的笔记。 “笔记”是什么？我刚开始想要考研的时候也不太明白，是应该自己总结呢，还是应该参考别人的呢？其实我觉得，笔记就是一个把书进行整合归纳，把书变薄的过程。应该在脑子里形成一个框架，这很重要。好比你的脑子是一个书架， 习 题 十 1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y = ===1 14，，，0=； (2) 轴； y x y y ==3 8，， (3) ； y e y e x x x ==?，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2 380，，=1； (6) y x y y x y =+===14，，，；3 (7) ； y x x y 2 24=?=， (8) ． x y y x =?=2 10()， 2. 求抛物线以及在点y x x =?+?2 4(,)03?和处的切线所围图形的面积． (,)30 3. 设曲线与直线y x x =?2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为 a 92 ． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2 g x cx c ()=>3 0（）(,)11 2 c c ，求的值，使位于区间c [,01 c 上，两曲线所围图形的面积等于 23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a t y a t t ==?????≤≤cos sin 3 3 02 （）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积． (1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =?31(sin )θ； (3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ． 7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为： h V h R = ?13 32 π()h 8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积． x y a 22+=2 2 x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积． x y a 2 2 +=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为． h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积． (1) ； y x x =≤sin () 0π≤；(2) y x x y ===2 20，，(3) y x y x == 2，； (4) ； y x x e =≤ln () 1≤3 (5) ． y x y x ==2 2 ， 12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体 积． 13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =?3 2y x =2 y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长． (1) ； y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38； (3) x y y y = ?≤≤141 2 12ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ ，()003； (5) r a =≤sin ()3 3 03≤θ θπ，； (6) ． x a t t t y a t t t t =+=?≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2 2 20+=≥ ()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密 度x a y a ==cos sin 3 θ，3 θρ为常数） ． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ； y ay x a ==>2 2 0， () (2) x a y b x a y b 222 2100+=≤≤≤≤，，()； (3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ； 18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3 （c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功． 20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米， 今天跟大家分享一下我自己在备考时的一些心得体会。 政治我的教训是开始太晚，我应该是十月底接近十一月才开始复习政治。我以为以一个文科生的素养政治上七十不是难事，事实上我有些低估了考研政治，高估了自己，因为内容太多了，还好最后在李凡老师的视频课还有他的《政治新时器》的帮助下，搞定了政治的复习，李凡老师的参考资料强烈建议大家去看一下，干货多多。 英语复习的话，前期做真题，个人属于英语偏好的一类吧，没太用心，以为做真题就可以了，但是！！强烈不建议这么做，除非，你六级近550+，平常爱看外文书，考试就是考试，不要太自信。开始看的蛋核英语的课程，里面的老师讲解的知识点很到位，还会把考研的重难点知识点给我们罗列出来，对于巩固基础，把握大方向非常好。我自己背单词用的是《一本单词》，这本书很好，重点在于延伸，你时间多，你就看《一本单词》，每天早上背一个单元，自己背。如果你英语基础不是很好，背单词很困难，那就每天多背几次，加深我们的记忆。至于真题，我自己使用的是《木糖英语真题手译版》，里面的知识点讲解的很全面，翻译，完型，新题型，都有涉及到。没过六级不表示考研考不好，过了六级也不表示你英语有多优秀。别太骄傲，别太不自信。以上的参考资料大家可以搜索相关公众号去了解。 专业课一定要记笔记！一定要记笔记！一定要记笔记！在暑假之前，看熟课本上的内容。暑假期间，形成自己的笔记，或者参考你买的笔记形成自己的笔记。9月份之后，就是不停的翻看，背诵你的笔记。 “笔记”是什么？我刚开始想要考研的时候也不太明白，是应该自己总结呢，还是应该参考别人的呢？其实我觉得，笔记就是一个把书进行整合归纳，把书变薄的过程。应该在脑子里形成一个框架，这很重要。好比你的脑子是一个书架，重点不在于你往里装了多少书，书是装了很多，但是非常凌乱，没有体系，到最后考场上想用的时候写不出来，找不到，那相当于辛苦记得东西没有转化成分数，这是很可惜的。所以我觉的框架真的很重要，相信大家都有这样的感受，背了半天，合上书一想，脑子一片空白，什么也想不起来，这就是因为你没有框架，脑子里一团糟，那肯定是想不起来的。 笔记应该是你总结出来的最后应该记在脑子里的东西，把书变薄，只留下你 §6 重积分的应用 (一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． (二) 教学内容： 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式 和引力的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． ________________________________________ 一 曲面的大面积 设D 为可求面积的平面有界区域函数在D 上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 D y x y x f z ∈=),(,),( 所确定的曲面S 的面积i σ? ==i i i i 1 1当 0||||→T 时，可用和式∑=?n i i A 1的极限作为S 的面积 首先计算i A ?的面积，由于切平面的法线向量就是曲面S 在),,(i i i i M ζηξ处的法线向量，记它与z 轴的夹角为i γ，则 ),(),(11 cos 22 i i y i i x i f f ηξηξγ++= i i i y i i x i i i f f A σηξηξγσ?++=?= ?),(),(1cos 22 ∑∑==?++=?n i i i i y i i x n i i f f A 1 221),(),(1σηξηξ 是连续函数),(),(122i i y i i x f f ηξηξ++在有界闭域上的积分和，所以当0||||→T 时，就得 到 ∑=→?++=?n i i i i y i i x T f f S 1220||||),(),(1lim σηξηξ dxdy y x f y x f D i i y i i x ??++=),(),(122 或 ∑??=→=?=?n i D i i T z n dxdy S 10|||||),cos(||)cos |lim γσ 例 1 求圆锥 22y x z += 在圆柱体 x y x ≤+22内那一部分的面积 解 dxdy y x z y x z S D i i y i i x ??++= ?),(),(122 x y x D ≤+22: 所求曲面方程为 ?+= 22y x z 2222,y x y z y x x z y x +=+= 今天很荣幸跟大家分享一下我自己的考研经历，下面给大家说一下我在备考时遇到的问题。 英语的复习我自己感觉还是比较吃力的，我的基础是过了四级，然后就基本忘掉了这项技能。9到10月中旬我一直在背单词，我推荐的参考书是《一本单词》，里面的单词分类非常好，真题的话《木糖英语真题手译版》，里面的知识点讲解的非常细致，我每天都会做英语的阅读练习，对于我这种基础差的学生来说，必须要先夯实单词和语法这两项基本技能，才能在英语的逻辑分析中看懂题意。一开始连学习带复习确实很吃力，但是习惯成自然，到后来每天不背完根本睡不着觉，满满的负罪感。然后每天中午利用二十分钟做一篇英语一的阅读，不会的单词就查然后记在全本子上，做完了对每一句话进行翻译，尤其是句中句，不需要翻译的多好，只要能翻译成人话，就证明理解了文章中的含义，半个月后，有一次我做英语的阅读竟然全对，就停止了这项训练。后来做英语的题确实有些不太适应，毕竟侧重的是逻辑，然后我又开始翻译英语，发现了题目一样是有规律的，要么是全文主旨，要么是对一句话的转换，要么就是态度，都是大同小异。新题型以前每次做题全都是全对，就没有复习了。至于剩下的写作翻译和完型我也没有针对性的训练，就是裸考了。我自己还报了蛋核英语的课程，老师带着复习，这样效果还是很不错的。以上的参考资料大家可以搜索相关公众号多多去了解。 政治复习资料：李凡老师的教学视频还有李凡《政治新时器》的一整套参考书。 考研四门科目，政治算是最低投入高产出，时间少见效快的一门科目。我政治的复习可能算是早一点的，但总的来说用的时间不是很多。我从暑假开始看李凡老师的视频然后做真题，在暑假把看了一遍，题做了两遍。因为视频上都是别人总结好的知识精化，很多东西还能通过讲解帮助你理解，可以说是一种捷径。大家一定要注意知识点的掌握，在做真题的时候注意正确选项，把错题自己好好总结。 专业课一定要记笔记！一定要记笔记！一定要记笔记！在暑假之前，看熟课本上的内容。暑假期间，形成自己的笔记，或者参考你买的笔记形成自己的笔记。9月份之后，就是不停的翻看，背诵你的笔记。 华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求12 0)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y . 3、求?--dx x xe x 2) 1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数)(x f . 5、L 为过)0,0(O 和)0,2(π A 的曲线)0(sin >=a x a y ,求?+++L dy y dx y x .)2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =12n n a 收敛. 5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微. 6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上 2020年数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版 第五章导数和微分 教学目的： 1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分； 2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算； 3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 § 1 导数的概念（4学时） 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。 教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数 的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。 教学重点：导数的概念。 教学难点：导数的概念。 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。 一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度. 二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求 例2 设函数在点可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3考查在点的可导情况. 3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.华东师大数学分析试题
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