第十八章 隐函数定理及其应用
§1 隐函数
1. 方程xy
e y x =+sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数()x
f y =或()y
g x =?
分析:隐函数是否存在只须验证题目是否满足隐函数存在定理的条件.
解 令()xy
e y x y x F -+=sin cos ,,则有
(1) ()y x F ,在原点的某邻域内连续; (2) ()00,0=F ;
(3) xy y xy x xe y F ye x F -=--=cos ,sin 均在原点的上述邻域内连续; (4) ()()00,0,010,0=≠=x y F F .
故由隐函数存在定理知,方程xy
e y x =+sin cos 在原点的某邻域内能确定隐函数()x
f y =.
2. 方程1ln =++xz
e
y z xy 在点()1,1,0的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变
量的函数?
分析: 本题的解题思路与1题一样.
解 令()1ln ,,-++=xz
e
y z xy z y x F ,则
(1) ()z y x F ,,在点()1,1,0的某邻域内连续; (2) ()01,1,0=F ; (3) xz z y xz
x xe y F y
z
x F ze y F +=+
=+=ln ,,均在原点的上述邻域内连续; (4) ()()()01,1,0,011,1,0,021,1,0=≠=≠=z y x F F F . 故由隐函数存在定理知,方程1ln =++xz
e
y z xy 在点()1,1,0的某邻域内能确定隐函数
()z y f x ,=和()z x g y ,=.
3. 求出下列方程所确定的隐函数的导数: (1) 0433
4
2
=-+y x y x ,求
dx dy ; (2) x y y x arctan ln 2
2=+,求dx
dy ; (3)
,02=+--z
xy
e z e
求y x z z ,; (4) ()0,2
22
2
>-+==-+a a
y a x u ye y a a u
,
求
22,dx
y
d dx dy ; (5) 05422222=--+-++z y x z y x ,求y x z z ,; (6) ()xyz z y x f z ,++=,求
z
y y x x z ∂∂∂∂∂∂,. 分析: 求隐函数的导数(偏导数)通常有三种方法:①用隐函数求导公式;②对所给方程(组) 两边直接求导(偏导数);③用全微分.另一种方法是将隐函数显化(如果可能而且又方便的话),但一般来说这种方法是不行的,只有在特殊条件下才可能使用.
解 (1) 解法1 令()43,3
4
2
-+=y x y x y x F ,则
3
3
122y x xy F x +=,2
429y x x F y +=,所以.91222
33
2y x x y x y F F dx dy y x ++-=-=
解法2 方程两边对x 求导,得0912224332
=+++dx
dy y x y x dx dy x
xy , 解得2
33
29122y
x x y x y dx dy ++-=. (2) 解法1令()x
y
y x y x F arctan ln
,22-+=,则2
22222
y x y x y x y y x x F x ++=+++=, 222222y x x y y x x y x y F y +-=+-+=
,所以()y x y
x y x F F dx dy
y x ≠-+=
-=.
解法2 方程两边对x 求导,得
2
2
2
22211
2221x y dx dy x
x y y x dx dy
y
x y x -⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+++,整理得
2
222y x y
dx dy
x y x dx dy y
x +-=++,所以
()y x y x y x dx dy ≠-+=.
解法3 方程两边分别微分,得2
222y
x ydx xdy y x ydy xdx +-=++,解得()y x y x y
x dx dy ≠-+=.
(3) 解法1设()z xy
e z e
z y x F +-=-2,,,则z z xy y xy x e F xe F ye F +-=-=-=--2,,,
所以2
;2-=-=-=-=--z
xy
z y y z xy z x x e xe F F z e ye F F z . 解法2 方程两边分别对y x ,求偏导,得:
02,02=+--=+----y z
y xy
x z x xy
z e z xe
z e z ye
,所以2
;2-=-=--z xy
y z
xy x e xe z e ye z . 解法3 方程两边微分,得
()02=+----dz e dz xdy ydx e z xy ,即()
dy xe dx ye dz e xy xy z --+=-2,所以
dy e xe dx e ye dz z xy z xy 22-+-=--,由全微分公式得2
;2-=-=--z xy
y z xy x e xe z e ye z .
(4) 令()a
y a x ye
y a a y x F 2
22
2
,-+--+=,则
()2
222,y a a y ye e y a y F e a y F u
u y u x ------=-=,于是 (
)
(
)()
2
2
2
22
22
2
2
22
2y
a y y a y
a a y y
y
a a a y a ay y a a F F dx dy
y
x --
=--+
+-+-
--
-+-=-=,
()
2
22
22
2222
222y
a
y
a y a dx dy y a y y dx dy y a dx dy dx d dx y d -=
-----=⎪⎭
⎫
⎝⎛=.
