福州格致中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

高三上学期期中模拟测试数学（理）试题（时间：120分，满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意，请把每小题正确答案的序号填在答题卡上）1.设全集为R ，集合A ={ x | x 2－9＜0 }，B ＝{ x | －1＜x ≤5 }，则A ( R B)＝（ ）A. (－3，0)B. (－3，－1]C. (－3，－1)D. (－3，3)2.以下说法错误的是 ·················································································· （ ） A. 命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B. “x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C. 若p ∧ q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. 若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 02＋x 0＋1＜0，则⌝ p ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≥0 3.cos 45︒cos 15︒＋sin 225︒sin 165︒的值为 ················································· （ ）A. 12B. －12C.32D. －324.设向量a →＝(1，0)，b →＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ······························· （ ）A. |a →|＝|b →|B. a →·b →＝22C. a →∥b →D. (a →－b →)⊥b →5.设各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1＝2a n （n ≥1），S n 是其前n 项和，若a 2a 4＝2a 5， 则S 4＝ ································································································ （ ）A. 4 2B. 8 2C. 3＋3 2D. 6＋6 26.函数y ＝e sin x （－π≤x ≤π）的大致图象为 ···················································· （ ）A B C D7.已知函数f (x)＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ＜1x 2＋ax ，x ≥1 ，若f [f (0)]＝4a ，则⎠⎜⎛12 a xdx ＝ ·················· （ ）A. 2ln 2B. 13ln 2 C. 3ln 2 D. 9ln 28.已知函数y ＝f (x)是偶函数，且函数y ＝f (x －2)在[0，2]上是单调减函数，则 ·· （ ）A. f (－1)＜f (2)＜f (0)B ．f (－1)＜f (0)＜f (2)C. f (2)＜f (－1)＜f (0)D ．f (0)＜f (－1)＜f (2)9.已知点O 在△ABC 内，且2OA →＋3OB →＋6OC →＝0→，那么△OBC 、△OCA 、△OAB 的面积之比为 ························································································ （ ）A. 1：2：3B. 2：3：6C. 3：2：1D. 6：3：210.已知a ，b ∈R ，且e x ＋1≥ax ＋b 对x ∈R 恒成立，则ab 的最大值是 ················· （ ）A. 12e 3B.22e 3 C.32e 3 D. e 3二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把正确答案填写在答题卡上） 11.已知cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝ .12.向量a →＝(－1，2)在b →＝(3，4)方向上的投影等于 . 13.曲线y ＝x 3－1在点P(1，0)处的切线方程为 .14.在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝150，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝200，则前99项的和S 99＝ . 15.给出下列四个命题：①函数y ＝sin(2x －π3)的图象可由函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到；②函数y ＝lg x －sin 2x 的零点个数为5；③在锐角△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C ； ④“等比数列{a n }是递增数列”的一个充分不必要条件是“公比q ＞1” 其中所有正确命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分13分）已知向量m →＝(sin ωx ，cos ωx)，n →＝(cos ωx ，cos ωx)，其中ω＞0，函数f (x)＝2m →·n →－1的最小正周期为π. （I ）求ω的值；（II ）求函数f (x)在[π4，3π4]上的取值范围.17.（本小题满分13分）记公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝9，a 3，a 5，a 8成等比数列．（I ）求数列{a n }的通项公式a n 及S n ； （II ）设b n ＝2n ·a n ，求T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .18.（本小题满分13分）如图，在△ABC 中，∠B ＝3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.（I ）求sin ∠BAD ； （II ）求BD ，AC 的长.19.（本小题满分13分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x ∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x500)万元（a ＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2 x%.（I ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（II ）在（I ）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？20.（本小题满分14分）已知函数f (x)＝ax －ln x （a ∈R ）.（I ）求f (x)的单调区间；（II ）当a ＞0时，求f (x)在区间(0，e]上的最小值.DC BA21.本题有⑴、⑵、⑶三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分． ⑴（选修4-2矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx 在矩阵⎝⎛⎭⎫2 13 2对应的变换下得到的直线过点P(4，1)，求实数k 的值.⑵（选修4-4坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 经过点P(6，7)，倾斜角为，且cos ＝45． ①化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；②求直线l 的参数方程，并判断直线l 与曲线C 的位置关系．⑶（选修4-5不等式选讲）已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1． ①求x ＋2y ＋2z 的最大值；②若不等式| a －3 |≥x ＋2y ＋2z 对一切正数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．数学参考答案17【解】（I ）由a 3，a 5，a 8成等比数列得a 52＝a 3a 8，又S 3＝9， ························· （1分）由此得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＝9(a 1＋4d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋7d)，解得，a 1＝2，d ＝1 ················ （5分） ∴a n ＝n ＋1，S n ＝n(2＋n ＋1)2＝12n 2＋32n ·············································· （7分）（II ）b n ＝2n ·a n ＝(n ＋1)·2n∴T n ＝2·2＋3·22＋4·23＋…＋(n ＋1)·2n2T n ＝ 2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1 ································ （9分） 两式相减得，－T n ＝2·2＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1＝2＋2(1－2n )1－2－(n ＋1)·2n ＋1 ····················································· （11分）＝－n ·2n ＋1 ············································································· （12分） ∴T n ＝n ·2n ＋1 ··············································································· （13分）18【解】（I ）在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，且∠ADC ∈(0，π)，∴所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝437 ········································· （2分）∴sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcos B －cos ∠ADCsin B＝437×12－17×32＝3314··················································· （6分） （II ）在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB ，且sin ∠ADB ＝sin ∠ADC＝437∴BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3 ···················································· （9分）在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·Bccos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49 ·············· （12分）∴AC ＝7 ····················································································· （13分）19【解】（I ）由题意得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000 ······························ （3分）即x 2－500x ≤0，又x ＞0，所以0＜x ≤500答：最多调整出500名员工从事第三产业 ············································ （5分） （II ）从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x 500)x 万元万元，从事原来产业的员工创造的年总利润为10(1000－x)(1＋0.2x%)万元，则10(a －3x500)x ≤10(1000－x)(1＋0.2x%) ·········································· （8分）∴a －3x 500≤1000x ＋1－x 500∴a ≤1000x ＋x 250＋1恒成立 ···························································· （10分）∵1000x ＋x250≥21000x ×x250＝4 当且仅当1000x ＝x250，即x ＝500时等号成立 ····································· （12分）∴a ≤5，又a ＞0，故a 的取值范围是(0，5] ······································· （13分）20【解】（I ）f (x)＝a －1x ＝ax －1x（x ＞0） ···················································· （1分）①当a ≤0时，由于x ＞0，故ax －1x＜0∴f (x) 的单调递减区间为(0，＋∞) ·················································· （3分）②当a ＞0时，由f '(x)＝0得x ＝1a当x ∈(0，1a)，f '(x)＜0，f (x)为减函数；当x ∈(1a ，＋∞)，f '(x)＞0，f (x)为增函数. ······································ （5分）综上，当a ≤0时，函数f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x)的单调递减区间为(0，1a )，单调递增区间为(1a ，＋∞). ····························· （7分）（II ）根据（I ）得到的结论，当1a ≥e ，即0＜a ≤1e 时，f (x)在(0，e]上为减函数，f (x)min ＝f (e)＝ae －1（9分） 当1a ＜e ，即a ＞1e 时，f (x)在(0，1a )上为减函数，在(1a，e]上为增函数 ∴f (x)min ＝f (1a )＝1＋ln a ···························································· （12分）综上，当0＜a ≤1e 时，f (x)在区间(0，e]上的最小值为ae －1，当a ＞1e ，f (x)在区间(0，e]上的最小值为1＋ln a ·························································· （14分）21.【解】⑴设直线y ＝kx 上任一点P(x ，y)在矩阵⎝⎛⎭⎫0 11 0对应的变换下得到点P '(x '，y ')则⎝⎛⎭⎫0 11 0⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫x 'y '，即⎩⎨⎧y ＝x 'x ＝y ' ，即⎩⎨⎧x '＝y y '＝x··············································· （3分）又点P(x ，y)在直线y ＝kx 上，所以x '＝ky '， 把点(4，1)代入上式，得到4＝k∴k ＝4 ································································································ （7分） ⑵①由ρ＝2，得ρ2＝4，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4 ···················· （2分） ②直线的倾斜角α∈(0，π)，又cos α＝45＞0，故sin α＝35∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋45t y ＝7＋35t （t 为参数） ·································· （4分）把直线l 的参数方程代入圆的方程得(6＋45t)2＋(7＋35t)2＝4整理得，t 2＋18t ＋81＝0 ∵∆＝182－4×81＝0∴直线l 与圆C 相切. ······································································ （7分）⑶①给出两组数：x y z1 2 2由柯西不等式(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z)2 又x 2＋y 2＋z 2＝1，所以(x ＋2y ＋2z)2≤9 ∴x ＋2y ＋2z ≤3，即x ＋2y ＋2z 的最大值为3当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 2＝z 2＞0x 2＋y 2＋z 2＝1，即x ＝13，y ＝z ＝23时取最大值. ··················· （4分）②由①得，不等式| a －3 |≥x ＋2y ＋2z 对一切正数x ，y ，z 恒成立，当且仅当| a －3 |≥3成立. ······························································ （5分） 则a －3≥3，或a －3≤－3，即a ≥6，或a ≤0∴实数a 的取值范围是a ≥6，或a ≤0 ················································ （7分）。

福州格致中学2018﹣2019学年第一学期期中考试高一数学试卷(考试时间120分钟；满分150分)一、选择题(共12题,每题5分，满分60分)1.设集合{}{}21,2,4,430A B x x x ==-+=，若A ∩B ＝{}1，则B ＝（ ）A .{}1,3-B .{}0,1C .{}3,1D .{}5,12.若21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则f (f (3))的值为（ ）A .2B .8C .13D .1393.如果幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)22mm x --的图象不过原点，则m 的值是（ ）A .1≤m≤2B .m ＝1或者m ＝2C .m ＝2D .m ＝1 4.已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A .a ＞b ＞cB . b ＞a ＞cC . c ＞b ＞aD . c ＞a ＞b 5.用二分法求函数2()ln f x x x=-的零点时，初始区间大致可选在（ ） A .（1，2）B .（2，3）C .（3，4）D .（e ，＋∞）6.函数31()log f x x=的定义域为（ ） A .{}1x x <B .{}01x x <<C .{}01x x <≤D .{}1x x >7.已知函数2(),()log x a f x a g x x -==（其中a ＞0且a ≠1），若f （4）g （－4）＜0，则f （x ）·g （x ）在同一坐标系内的大致图象是（ ）A .B .C .D .8.方程1log ()x a x a=有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A .（1，＋∞）B .（1，10）C .（0，1）D .（10，＋∞） 9.若函数f (x )在（0，＋∞）上为单调减函数，且f (2)＝0，则不等式3()2()05f x f x x--≤的解集为（ ）A .（－∞，－2] ∪（0，2]B . [－2，0]∪[2，＋∞）C .（－∞，－2] ∪ [2，＋∞）D . [－2，0）∪（0，2]10.已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a的取值范围是（ ）A .（0，3）B .（1，3）C .10,4⎛⎤⎥⎝⎦D .（－∞，3）11.定义域内D 的函数f （x ）同时满足条件：①常数a ，b 满足a ＜b ，区间[],a b D ⊆；②使f （x ）在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ]（k ∈N ＋），那么我们把f （x ）叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数，函数f （x ）＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对（a ，b ）共有（ ）A .1对 B .2对 C .3对D .4对12.已知定义在D ＝[－4,4]上的函数254,40()22,04x x x f x x x ⎧++-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，对于任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得12()()()f x f x f x ≤≤，则21x x -的最大值与最小值之和为（ ） A .6 B .7 C .8 D .9 二、填空题(共4小题，每题5分，满分20分)13.不等式354x x -+-≥的解集为 .14.若函数y ＝x 2－4x －2的定义域为[0，m ]，值域为[－6，－2]，则m 的取值范围为 .15.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足1(21)()2f x f -<的x 的取值范围是____________.16.已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f（x ）＝b 有三个不同的根，则实数m 的取值范围是____________.三．解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分） （1）已知13x x+=，求221x x +的值；（2）已知a 、b 、c 为正实数，且x y z a b c ==，1110x y z++=，求abc 的值.18.（本题满分12分）已知集合A ＝{}2450x x x --≥，集合B ＝{}22x a x a ≤≤+（1）若a ＝－1，求A ∩B 和()R C A B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16x ay -=（a 是常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.20.（本题满分12分）已知2()1x af x x bx +=++是定义在[－1,1]上的增函数. （1）求f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）在[－1,1]上的单调性； （3）求不等式f （x ）－f （1－x ）＜0的解集.21.（本题满分12分）小时)已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b为实数），x∈R，(),0 ()(),0f x xF xf x x>⎧=⎨-<⎩．（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[－2，2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于0.22.（本题满分12分）定义在D 上函数f （x ），如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有()f x M ≤成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界，已知函数11()1()()24x x f x a =+⋅÷，221()1mx g x mx -=+.（1）当a ＝1时，求函数f （x ）在（－∞，0）上的值域，并判断函数f （x ）在（－∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f （x ）在[0，＋∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）已知m ＞－1，函数g （x ）在[0，1]上的上界是T （m ），求T （m ）的取值范围.。

福州高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ）A ．{1}-B ．{1}C ．{-D ． 2． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．3003． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 4． 已知命题:()(0xp f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >. 则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧5． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ） A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 6． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）ABCD7． 函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b << 8． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.9． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）10．双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 23＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积为π，则E 的方程为（ ）A.x 23－y 23＝1B.x 24－y 22＝1C.x 25－y 2＝1 D.x 22－y 24＝1 11．sin 15°sin 5°－2sin 80°的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－212．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．14．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.15．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．16．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019届福建省高三上学期期中文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 集合，集合，则等于（）A、 ________B、 C 、 D 、2. 已知复数满足，则（）A 、 1________B 、 0_________C 、D 、 23. “ ”是“ ”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4. 已知，，与的夹角为，则等于（）A、12_________ B 、 3___________ C 、 D 、 65. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A ． 1B ． 2________C ． 7________D ． 156. 已知，则（）A、 ________ B 、 ________ C 、 _________ D 、7. 已知数列中，，且是等差数列，则（）________ B 、 ________ C 、 D 、8. 函数的大致图象是（）9. 平行四边形中，与交于点，M是的中点，若，则等于（）A 、 _________B 、 ________C 、 3________D 、10. 给出下列四个命题：① 的对称轴为；②若函数的最小正周期是，则；③函数的最小值为；④函数在上是增函数．其中正确命题的个数是（）A 、 1个_________B 、 2个___________C 、 3个______________D 、 4个11. 设点P是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（）A 、B 、 ________C 、D 、12. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A、B、C、D、二、填空题13. 已知实数满足，则的最大值为．三、选择题14. 已知等差数列中，，则．四、填空题15. 已知点在抛物线上，且抛物线的准线过双曲线的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线方程为________________________ ．16. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________________ ．五、解答题17. 已知等比数列的前项和为，成等差数列，且（Ⅰ ）求的通项公式；_________（Ⅱ）求，并求满足的值．18. 已知函数（Ⅰ ）求函数的最大值及此时的值；（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，若为的最大值，且，求的面积．19. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线（Ⅰ ）求的值；______________（Ⅱ）求函数的单调区间及极值．20. 设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（Ⅰ ）若直线的斜率为，求的离心率；（Ⅱ）若直线在轴上的截距为2，且，求21. 设，已知函数，（ 1 ）证明在区间内单调递减，在区间内单调递增；（ 2 ）设曲线在点处的切线相互平行，且，证明22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为（Ⅰ ）求的参数方程；（Ⅱ）记点D在上，在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．23. 设函数（Ⅰ）证明: ; （Ⅱ）若，求的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区格致中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分）1．若复数z满足2﹣z＝z•i，则|z|＝（）A．1B．√2C．2D．2√22．满足等式{0，1}∪X＝{x∈R|x3＝x}的集合X共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知m∈R，命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝（2x﹣2﹣x）sin x在区间[﹣π，π]的图像大致为（）A．B．C．D．5．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝⋯＝2，A1，A2，A3⋯为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{a n}，令b n=2a n−2，S n为数列{b n}的前n项和，则S120＝（）A ．8B ．9C ．10D ．116．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，D 为BC 的中点，点P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB →⋅PC →的取值范围为（ ） A ．[﹣5，0]B ．[﹣3，0]C ．[0，3]D ．[0，5]7．已知函数f(x)=13x 3−3x 2+8x −83，g （x ）＝x ﹣lnx ，若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2+ln 2，+∞）B ．[3，+∞）C ．[53，+∞)D ．[﹣3，+∞）8．△ABC 中，sin(π2−B)=cos2A ，则AC−BC AB 的取值范围是（ ）A ．(−1，12)B ．(13，12)C ．(12，23)D ．(13，23)二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分）9．已知定义域为I 的偶函数f （x ），∃x n ∈I ，使f （x 0）＜0，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A ．f （x ）＝x 2﹣3 B ．f （x ）＝2x +2﹣x C ．f （x ）＝log 2|x |D ．f （x ）＝cos x +110．若12a ＝3，12b ＝4，则（ ） A ．ba ＞1B ．ab ＞14C ．a 2+b 2＞12D ．2a−b ＞1211．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，B 1B 的中点，若点P 在线段EF 上运动，则下列结论正确的为（ ）A ．AC 1与EF 为共面直线B ．平面ACD 1∥平面EFGC ．三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值D ．AC 1与平面A 1BC 所成角的正切值为√312．将两圆方程C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，C 2：x 2+y 2﹣2x +（m ﹣2）y +（3﹣m ）＝0（m ＞2）作差，得到直线l 的方程，则（ ）A．直线l一定过点(−14，1)B．存在实数m＞2，使两圆心所在直线的斜率为﹣2C．对任意实数m＞2，两圆心所在直线与直线l垂直D．过直线l上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等三、填空题（每小题5分）13．已知函数f(x)=x−1e x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为．14．已知点A（﹣3，5）和B（2，4），P为直线x﹣y+1＝0上的动点，则|P A|+|PB|的最小值为．15．椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为．16．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，若f（x1）+f（x2）＝0，且f(x1)=√34，则x1+x2＝，cos（x2﹣x1）＝．四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（10分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．18．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q(1，32)的直线交曲线C于AB两点，使得Q为AB中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，na n+1＝（n+1）a n+1．（1）证明{a n+1n}为常数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b m为数列{a n}落在区间（3m，3m+1），m∈N+内的项的个数，求数列{b m}的前m项和．20．（12分）如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，VA ⊥平面ABC ，VA ＝AB ＝BC ＝1，AB ⊥BC ，M 是VB 的中点，N 为BC 上的动点．（1）证明：平面AMN ⊥平面VBC ；（2）VC ∥平面AMN 时，求平面AMN 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（2，2），P 2（0，2），P 3(−2，√2)，P 4(2，√2)中恰有三点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2＝2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=alnx −ex(a ∈R)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)+e xx在区间（1，+∞）上恰有一个零点，求a 的取值范围．2023-2024学年福建省福州市鼓楼区格致中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．若复数z满足2﹣z＝z•i，则|z|＝（）A．1B．√2C．2D．2√2解：2﹣z＝z•i，则（1+i）z＝2，故z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，|z|=√12+(−1)2=√2．故选：B．2．满足等式{0，1}∪X＝{x∈R|x3＝x}的集合X共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：{x∈R|x3＝x}＝{﹣1，0，1}，∴满足{0，1}∪X＝{﹣1，0，1}的X为：{﹣1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{﹣1，0，1}，共4个．故选：D．3．已知m∈R，命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0为真命题，则Δ＝16﹣8m≤0，故m≥2，由于{m|m≥3}⫋{m|m≥2}，所以p是q的必要不充分条件．故选：B．4．函数y＝（2x﹣2﹣x）sin x在区间[﹣π，π]的图像大致为（）A．B．C．D．解：f（x）＝（2x﹣2﹣x）sin x，f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）sin（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）sin x＝f（x），故f （x ）为偶函数，故排除AC ，当x =π2时，y =2π2−2−π2＞0，故排除D ．故选：B ．5．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME ﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5＝A 5A 6＝A 6A 7＝A 7A 8＝⋯＝2，A 1，A 2，A 3⋯为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{a n }，令b n =2a n −2，S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 120＝（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11解：由题意得OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5＝A 5A 6＝A 6A 7＝A 7A 8＝...＝2， 则OA 2=2√2，OA 3=2√3，…，OA n =2√n ， ∴a n =OA n +OA n+1+A n A n+1=2√n +2√n +1+2， ∴b n =2a n −2=1√n+√n+1=√n +1−√n ， ∴前n 项和S n =b 1+b 2+⋯+b n =√2−1+√3−√2+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， 故S 120=√120+1−1=10， 故选：C ．6．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，D 为BC 的中点，点P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB →⋅PC →的取值范围为（ ） A ．[﹣5，0]B ．[﹣3，0]C ．[0，3]D ．[0，5]解：以A 为坐标原点，AC ，AB 为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以A （0，0），B （0，2），C （4，0）， 因为D 为BC 的中点， 所以D （2，1）， 则AD →=(2，1)，设AP →=λAD →(0≤λ≤1)， 所以AP →=λ(2，1)=(2λ，λ)， 所以P （2λ，λ），可得PB →=(0，2)−(2λ，λ)=(−2λ，2−λ)，PC →=(4，0)−(2λ，λ)=(4−2λ，−λ)， 所以PB →⋅PC →=−10λ+5λ2=5(λ−1)2−5， 因为0≤λ≤1，所以PB →⋅PC →=5(λ−1)2−5∈[−5，0]． 故选：A ．7．已知函数f(x)=13x 3−3x 2+8x −83，g （x ）＝x ﹣lnx ，若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2+ln 2，+∞）B ．[3，+∞）C ．[53，+∞)D ．[﹣3，+∞）解：f ′（x ）＝x 2﹣6x +8＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 当x ∈（0，2）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（2，3）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以f （x ）在（0，3）上的最大值时f （2）＝4.g ′(x)=x−1x， 当x ∈（0，1）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减， 当x ∈（1，3）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）在（0，3）上的最小值是g （1）＝1． 若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立， 则[g （x ）+k ]min ≥f （x ）max ，即1+k ≥4，所以k ≥3， 所以实数k 的取值范围是[3，+∞）． 故选：B ．8．△ABC 中，sin(π2−B)=cos2A ，则AC−BC AB的取值范围是（ ）A．(−1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)解：由题意，sin(π2−B)=cosB=cos2A，在△ABC中，A，B∈（0，π），故2A＝B或2A+B＝2π，当2A+B＝2π时，A+B2=π，故A+B＞π，不合要求，舍去，所以2A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，因为A，B∈（0，π），所以2A∈（0，π），即A∈(0，π2 )，因为C＝π﹣3A∈（0，π），所以A∈(0，π3 )，由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，故AC−BCAB=sinB−sinAsinC=sin2A−sinAsin(π−3A)=2sinAcosA−sinAsin(2A+A)=2sinAcosA−sinAsin2AcosA+cos2AsinA，因为A∈（0，π），所以sin A≠0，故AC−BCAB=2cosA−12cos2A+cos2A=2cosA−14cos2A−1=2cosA−1(2cosA−1)(2cosA+1)，因为A∈(0，π3)，所以2cos A﹣1＞0，故AC−BCAB=12cosA+1，因为A∈(0，π3)，所以cosA∈(12，1)，2cos A∈（1，2），2cos A+1∈（2，3），故AC−BCAB=12cosA+1∈(13，12)．故选：B．二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分）9．已知定义域为I的偶函数f（x），∃x n∈I，使f（x0）＜0，则下列函数中符合上述条件的是（）A．f（x）＝x2﹣3B．f（x）＝2x+2﹣xC．f（x）＝log2|x|D．f（x）＝cos x+1解：对于A，f（x）＝x2﹣3，定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣3＝x2﹣3＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f（1）＝﹣2＜0，故A正确；对于B，f（x）＝2x+2﹣x＞0恒成立，故B错误；对于C，f（x）＝log2|x|，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）＝log2|﹣x|＝log2|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f(12)=−1＜0，故C正确；对于D ，因为﹣1≤cos x ≤1，所以f （x ）＝cos x +1≥0恒成立，故D 错误． 故选：AC ．10．若12a ＝3，12b ＝4，则（ ） A ．ba ＞1B ．ab ＞14C ．a 2+b 2＞12D ．2a−b ＞12解：若12a ＝3，12b ＝4，则a ＝log 123，b ＝log 124，a +b ＝1，a ≠b ， A ：b a =log 124log 123=log 34＞1，正确；B ：ab ＜(a+b)24=14，错误；C ：a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝1﹣2ab ＞1−2×14=12，正确； D ：a ﹣b ＝log 1234＞−1，则2a ﹣b ＞12，正确．故选：ACD ．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，B 1B 的中点，若点P 在线段EF 上运动，则下列结论正确的为（ ）A ．AC 1与EF 为共面直线B ．平面ACD 1∥平面EFGC ．三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值D ．AC 1与平面A 1BC 所成角的正切值为√3解：对于A ：连接A 1C 1，如图所示：∵E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，∴EF ∥A 1C 1，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∥AC ， ∴EF ∥AC ，∴AC 1∩EF ＝A ，故A 错误； 对于B ：连接BC 1，∵点F ，G 分别为B 1C 1，B 1B 的中点， ∴FG ∥BC 1， 由选项A 得EF ∥AC ，∵EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF ⊄平面ACD 1，FG ⊄平面ACD 1， ∴EF ∥平面ACD 1，FG ∥平面ACD 1， 又EF ∩FG ＝F ，∴平面ACD 1∥平面EFG ，故B 正确； 对于C ：由选项B 得EF ∥平面ACD 1， ∵点P 在线段EF 上运动，∴点P 到平面ACD 1的距离等于点E 到平面ACD 1的距离，且为定值， 又△AD 1C 的面积为定值，则三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值，故C 正确； 对于D ：建立以D 为原点的空间直角坐标系D ﹣xyz ，如图所示：则D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），A 1（2，0，2），C 1（0，2，2），C （0，2，0）， ∴AC 1→=（﹣2，2，2），CA 1→=（2，﹣2，2），BA 1→=（0，﹣2，2）， 设平面A 1BC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CA 1→=2x −2y +2z =0n →⋅BA 1→=−2y +2z =0，取y ＝1，则z ＝1，x ＝0， ∴平面A 1BC 的一个法向量为n →=（0，1，1），设AC 1与平面A 1BC 所成角为α， ∴sin α＝|cos ＜AC 1→，n →＞|=|n →⋅AC 1→||n →|⋅|AC 1→|=423×2=√63， ∴cos α=√1−sin 2α=√33，∴tan α=sinαcosα=√2，故D 错误． 故选：BC ．12．将两圆方程C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，C 2：x 2+y 2﹣2x +（m ﹣2）y +（3﹣m ）＝0（m ＞2）作差，得到直线l 的方程，则（ ） A ．直线l 一定过点(−14，1)B ．存在实数m ＞2，使两圆心所在直线的斜率为﹣2C ．对任意实数m ＞2，两圆心所在直线与直线l 垂直D ．过直线l 上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等 解：联立{x 2+y 2+2x −4y +4=0x 2+y 2−2x +(m −2)y +(3−m)=0，两式相减可得l ：4x ﹣（m +2）y +m +1＝0，对A ：由l ：4x ﹣（m +2）y +m +1＝0，得（1﹣y ）m +（4x ﹣2y +1）＝0， 则{1−y =04x −2y +1=0，解得x =14，y =1，所以直线l 恒过定点(14，1)，故A 错误；对B ：C 1(−1，2)，C 2(1，1−m 2)⇒k C 1C 2=−12−m4=−2⇒m =6＞2，故B 正确； 对C ：因为k l =4m+2，k C 1C 2=−m+24⇒k l k C 1C 2=−1⇒l ⊥C 1C 2，故C 正确； 对D ：C 1(−1，2)，C 2(1，1−m2)，r 1=1，r 2=√m 2−42，m ＞2，则圆心C 1到直线l 的距离为d 1=√16+(m+2)=√16+(m+2)，圆心C 2到直线l 的距离为d 2=|4−(1−m 2)(m+2)+m+1|√16+(m+2)2=m 2+2m+62√16+(m+2)2，又（m +7）2﹣[16+（m +2）2]＝10m +29＞0， 得d 1＞r 1，即直线l 与圆C 1相离， 由[2√16+(m+2)]2−(√m 2−4)2=40m+11616+(m+2)2＞0，得d 2＞r 2，即直线l 与圆C 2相离，∴过直线l上任一点可作两圆的切线．在直线l：4x﹣（m+2）y+m+1＝0上任取一点P(mn+2n−m−14，n)，设点P到圆C1的切线长为L1，到圆C2的切线长为L2，则L12=|PC1|2−r12=(mn+2n−m−14+1)2+(n−2)2−1=116(m2n2+4mn2−2m2n+2mn+20n2+m2−52n−6m+57)，L22=|PC2|2−r22=(mn+2n−m−14−1)2+(n−1+m2)2−m2−44=116(m2n2+4mn2−2m2n+2mn+20n2+m2−52n−6m+57)，∴L12=L22，即L1＝L2，故D正确．故选：BCD．三、填空题（每小题5分）13．已知函数f(x)=x−1e x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y﹣1＝0．解：因为f(x)=x−1e x，则f′(x)=2−xe x，可得f（0）＝﹣1，f′（0）＝2，即切点坐标为（0，﹣1），斜率k＝2，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x﹣1，即2x﹣y﹣1＝0．故答案为：2x﹣y﹣1＝0．14．已知点A（﹣3，5）和B（2，4），P为直线x﹣y+1＝0上的动点，则|P A|+|PB|的最小值为2√10．解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，4），动点P在直线x﹣y+1＝0上，∴点A（﹣3，5），B（2，4）在直线x﹣y+1＝0同侧，设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），则{a−32−b+52+1=0b−5a+3=−1，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），∴|P A|+|PB|的最小值为：|BC|=√(4−2)2+(−2−4)2=2√10．故答案为：2√10．15．椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为57．解：设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）因为|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|＝2c，则|MF1|＝2a﹣2c，|NF1|=3(a−c)2，|NF2|=a+3c2，过F2作NF2⊥MN交于Q，则Q为MF1的中点，则cos∠MF1F2=|QF1||F1F2|=a−c2c，cos∠NF1F2=|NF1|2+|F1F2|2−|NF2|22|NF1|⋅|F1F2|=[3(a−c)2]2+(2c)2−(a+3c2)22⋅3(a−c)2⋅2c=a−2c3c，因为∠NF1F2+∠MF1F2＝π，所以cos∠NF1F2+cos∠MF1F2＝0，即a−2c3c=−a−c2c，整理可得：ca=57，故答案为：5 7．16．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，若f（x1）+f（x2）＝0，且f(x1)=√34，则x1+x2＝4π3，cos（x2﹣x1）＝58．解：由题设f(0)=sinφ=√32，又0＜φ＜π2，则φ=π3，f(−π3)=sin(π3−ωπ3)=0，则π3−ωπ3=kπ，k∈Z，故ω＝1﹣3k，k∈Z，由ω＞0且−π3是y轴左侧第一个零点，故k＝0，即ω＝1，则f(x)=sin(x+π3)，由图知：x1，x2关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称，即x=2π3对称，所以x1+x2=4π3，由f(x1)=sin(x1+π3)=√34，且x1+π3∈(π2，π)，所以sin(x1−π6)=sin[(x1+π3)−π2]=−cos(x1+π3)=√134，而x2=4π3−x1，则cos(x2−x1)=cos(4π3−2x1)=−cos(π3−2x1)=−cos(2x1−π3)=2sin2(x1−π6)−1=5 8．故答案为：4π3，58．四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（10分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．解：（1）由题意得：f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3＝sin2ωx−√3cos2ωx＝2sin（2ωx−π3）由最小正周期为π=2π2ω，得ω＝1，得f（x）＝2sin（2x−π3）令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z．整理得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，所以函数f（x）的单调减区间是[kπ+5π12，kπ+11π12]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x+1的图象，∴g（x）＝2sin2x+1．令g（x）＝0，得x＝kπ+7π12或x＝kπ+11π12（k∈Z），∴y＝g（x）在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g（x）在[0，b]上至少有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π12=59π12．18．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可得{a −c =3e =c a =12，可得a ＝6，c ＝3，b 2＝a 2﹣c 2＝36﹣9＝27， 所以椭圆C 的方程为x 236+y 227=1；（2）假设存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 22=1，y 1+y 22=32，则{x 1236+y 1227=1x 2236+y 2227=1，两式相减得x 12−x 2236=−y 12−y 2227， 得y 1−y 2x 1−x 2=−2736⋅x 1+x 2y 1+y 2=−34⋅2×12×32=−12，即k AB =−12， 由点斜式得直线AB 方程为y −32=−12(x −1)，即x +2y ﹣4＝0． 因为，136+927×4＜1，所以Q （1，32）在椭圆内部，经检验存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点，且该直线方程为x +2y ﹣4＝0．19．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，na n +1＝（n +1）a n +1． （1）证明{a n +1n}为常数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b m 为数列{a n }落在区间（3m ，3m +1），m ∈N +内的项的个数，求数列{b m }的前m 项和． 解：（1）因为na n +1＝（n +1）a n +1， 两边同时除以n （n +1）得：a n+1n+1=a n n+1n(n+1)．所以a n+1n+1=a n n+1n−1n+1，即a n+1+1n+1=a n +1n． 所以{a n +1n}为常数列． 又a 1+11=3，所以a n +1n=3，即a n ＝3n ﹣1．（2）由题意，得3m＜3n ﹣1＜3m +1，所以3m +13＜n ＜3m+1+13，∴3m−1+13＜n ＜3m +13∵b m 为数列{a n }落在区间（3m ，3m +1），m ∈N +内的项的个数， ∴b m =3m +13−(3m−1+13)=3m ﹣3m ﹣1＝2×3m ﹣1．所以数列{b m}是首项为2，公比为3的等比数列．设数列{b m}的前m项和为S m，所以S m=2(1−3m)1−3=3m−1．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA⊥平面ABC，VA＝AB＝BC＝1，AB⊥BC，M是VB的中点，N为BC上的动点．（1）证明：平面AMN⊥平面VBC；（2）VC∥平面AMN时，求平面AMN与平面ABC夹角的余弦值．（1）证明：因为VA⊥平面ABC，VA⊂平面VAB，所以平面VAB⊥平面ABC，又AB⊥BC，平面VAB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面VAB，因为AM⊂平面VAB，所以BC⊥AM，因为VA＝AB，M是VB的中点，所以AM⊥VB，又VB∩BC＝B，VB，BC⊂平面VBC，所以AM⊥平面VBC，因为AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面VBC．（2）解：以A为坐标原点，AB，AV所在直线分别为y，z轴，过点A作与BC平行的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为VC∥平面AMN，VC⊂平面VBC，平面AMN∩平面VBC＝MN，所以VC∥MN．又M 是VB 的中点，所以N 是BC 的中点，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，V(0，0，1)，M(0，12，12)，N(12，1，0)，所以AM →=(0，12，12)，AN →=(12，1，0)，AV →=(0，0，1)，则平面ABC 的一个法向量为AV →=(0，0，1)． 设平面AMN 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{AM →⋅n →=0，AN →⋅n →=0， 即{12y +12z =0，12x +y =0. 令y ＝1，得x ＝﹣2，z ＝﹣1，所以平面AMN 的一个法向量为n →=(−2，1，−1)．设平面AMN 与平面ABC 的夹角为θ，所以cosθ=|AV →→⋅n →||AV →→||n →|=|−1|1×√(−2)2+1+(−1)2=√66，故平面AMN 与平面ABC 夹角的余弦值为√66． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（2，2），P 2（0，2），P 3(−2，√2)，P 4(2，√2)中恰有三点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2＝2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解：（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点． 又由22a 2+22b 2＞22a 2+(√2)2b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此{ 22b 2=1，22a 2+(√2)2b2=1，解得{a 2=8，b 2=4．故C 的方程为x 28+y 24=1．（2）在△ABP 2中，∠AMP 2＝2∠ABP 2，∠AMP 2＝∠ABP 2+∠BP 2M ， 所以∠ABP 2＝∠BP 2M ，从而|P 2M |＝|BM |，又M 为线段AB 的中点，即|BM|=12|AB|，所以|P 2M|=12|AB|，因此∠AP 2B ＝90°，从而P 2A →⋅P 2B →=0，根据题意可知直线l 的斜率一定存在，设它的方程为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +m x 28+y 24=1，消去y 得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0①，Δ＝（4km ）2﹣4（2m 2﹣8）（2k 2+1）＞0，根据韦达定理可得x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1， 所以P 2A →⋅P 2B →=(x 1，y 1−2)⋅(x 2，y 2−2)=(1+k 2)x 1x 2+k(m −2)(x 1+x 2)+(m −2)2=(1+k 2)2m 2−82k 2+1+k(m −2)(−4km2k 2+1)+(m −2)2，所以(1+k 2)2m 2−82k 2+1+k(m −2)(−4km 2k 2+1)+(m −2)2=0，整理得（m ﹣2）（3m +2）＝0，解得m ＝2或m =−23，又直线l 不经过点（0，2），所以m ＝2舍去， 于是直线l 的方程为y =kx −23，恒过定点(0，−23)，该点在椭圆C 内，满足关于x 的方程①有两个不相等的解， 所以直线l 恒过定点，定点坐标为(0，−23)．22．（12分）已知函数f(x)=alnx −ex(a ∈R)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)+e xx 在区间（1，+∞）上恰有一个零点，求a 的取值范围．解：（1）已知f(x)=alnx −ex(a ∈R)，函数定义域为（0，+∞），可得f ′(x)=a x +e x 2=ax+e x2， 当a ≥0，f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＜0，当0＜x ＜−ea 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞−ea时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上，当a ≥0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＜0时，函数f （x ）在(0，−e a )上单调递增，在(−ea，+∞)上单调递减；（2）易知g(x)=f(x)+e xx=alnx−ex+e xx，函数定义域为（0，+∞），若函数g（x）在区间（1，+∞）上恰有一个零点，此时g（x）＝0在区间（1，+∞）上有且仅有一个解，即axlnx﹣e+e x＝0在（1，+∞）上有且仅有一个解，不妨设h（x）＝axlnx﹣e+e x，函数定义域为（1，+∞），可得h′（x）＝a（lnx+1）+e x，当a≥0时，h′（x）＞0恒成立，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，此时h（x）＞h（1）＝0，则h（x）＝0在（1，+∞）上无解；当a＜0时，不妨设k（x）＝h′（x）＝alnx+e x+a，函数定义域为（1，+∞），可得k′（x）=ax+e x=a+xe xx，不妨设m（x）＝a+xe x，函数定义域为（1，+∞），可得m′（x）＝（x+1）e x＞0，所以函数m（x）在（1，+∞）上单调递增，此时m（x）＞m（1）＝a+e，当﹣e≤a＜0时，m（x）＞0，所以k′（x）＞0 恒成立，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，此时h（x）＞h（1）＝e+a＞0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）＝0在（1，+∞）上无解；当a＜﹣e时，m（1）＝a+e＜0，当x→+∞时，h（x）→+∞，所以∃x0∈（1，+∞），使得m（x0）＝0，当1＜x＜x0时，m（x）＜0，k′（x）＜0，k（x）单调递减；当x＞x0时，m（x）＞0，k′（x）＞0，k（x）单调递增，又k（1）＝e+a＜0，当x→+∞时，k（x）→+∞时，所以函数h（x）在（1，x0）上恒负，在（x0，+∞）上存在一个零点x1，当1＜x＜x1时，k（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞x1时，k（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，又h（1）＝0，当x→+∞时，h（x）→+∞时，所以函数h（x）在（1，x1）上恒负，在（x1，+∞）上仅有一个零点，符合题意，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣e）．。

2019届福建省高三上学期期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设全集，则（）A 、 _________B 、 ________C 、 ________D 、2. 在复平面内，复数，则其共轭复数对应的点位于（）A、第一象限_________B、第二象限_________ C 、第三象限________ D、第四象限3. 下列说法错误的是（）A、命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B、是的充分不必要条件C、若p且q为假命题，则p、q均为假命题D、命题p：“ ，使得” ，则均有4. 已知数列为等比数列，且，则的值为（）A 、B 、 _________ C、 ________ D 、5. 如果在地平面同一直线上，，从两地测得点的仰角分别为和，则点离地面的高等于（）A、 ___________ B 、 _________ C 、 ________ D 、6. 已知函数，且，则（）A 、 _________B 、 _________C 、 _________D 、7. 函数的部分图像如图所示，若，则等于（）A 、 ________B 、 ________C 、 ________D 、8. 变量满足约束条件，若的最大值为2 ，则实数等于（）A 、—2______________B 、—1___________C 、 1______________D 、 29. 已知记，则的大小关系是（）A 、 ________B 、 ________C 、 ________ D、10. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（）A、3______________________________ B 、 6______________ C 、 4______________ D 、 211. 设函数在R上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A 、 ___________B 、 ________C 、D 、12. 若数列满足：存在正整数T，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为T ．已知数列满足，则下列结论错误的是（）A、若，则可以取3个不同的数；B、若，则数列是周期为3的数列；C、存在，且，数列是周期数列；D、对任意且，存在，使得是周期为的数列．二、填空题13. 已知，且，则________________________ ．14. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．15. 平面上四点满足，则面积的最大值为．16. 已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且，给出以下结论：① ；② 当时，的最小值为；③当时，；④当时，记数列的前项和为，则．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．三、解答题17. 设函数（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，求证：18. 已知向量，函数，且当时，的最小值为2（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．19. 在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形， AE和CD都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2 ， CD=1 ， F为BE的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ABE;（Ⅱ）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20. 已知各项不为零的数列的前项和为，且满足，数列满足，数列的前项和（Ⅰ）求（Ⅱ）若，不等式恒成立，求使关于的不等式有解的充要条件．21. 如图，已知椭圆的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆上有一点，直线平行于且与椭圆交于两点，连（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当与轴所构成的三角形是以轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线在轴上截距的取值范围．22. 已知函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若函数存在两个相距大于2的极值点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数与函数的图象关于轴对称，且函数在单调递减，在单调递增，试证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

福建2018-2019学年高三上学期期中考试卷高三文科数学（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答卷。

第Ⅰ卷 共60分一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合{}{}22,,10,xA y y xB x x==∈=-<R 则A B =（）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,-+∞ D ．()0,+∞2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-3.已知i 是虚数单位，复数95i2+i在复平面上所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.已知双曲线2221y x b-=的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y = 5.已知函数1()sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ϕπ2⎛⎫< ⎪⎝⎭ϕ，π3x =为()f x 图象的对称轴，将()f x 图象向左平移3π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的解析式为（） A.1()cos 2g x x =- B.1()cos 2g x x = C.12π()sin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.1π()sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若5PF =，则PFK ∆的面积为（）A.4B.5C.8D.107.函数2(1)cosπ()=||x xf xx-的部分图象大致为（）ABC D8.直线1y kx=+与圆()()22214x y-+-=相交于P、Q两点.若PQ≥，则k的取值范围是（）A．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[]1,1-C.⎡⎢⎣⎦D．⎡⎣9.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为（）A．283π-B．24π-C．241)π+D．241)π+10.若四边形ABCD是边长为2的菱形，60BAD︒∠=，,E F分别为,BC CD的中点，则AE EF⋅=（）A．12-B．12C．32-D．3211.在ABC∆中，90BAC∠=，2BC AC==，点D在边BC上，且sin7BAD∠=，则CD=（）A．4B．3C．3D．312.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．2B．2-2- D第Ⅱ卷 共90分二、填空题（每小题5分，共20分）13. 直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则实数a 的值为． 14.已知向量()1,3=-a ，()1,b t =，若()2-⊥a b a ，则向量a 与向量b 的夹角为．15.设函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则函数()()F x f x x =+的零点的个数是．16.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为． 三、解答题（要求写出过程，共70分） 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差d 为1，且134,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列52n a n b n +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分） 已知函数1()sin cos()cos 262f x x x x π=-+. （1）求函数()f x 的最大值；（2）已知ABC ∆的面积为且角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1()2f A =，10b c +=，求a 的值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*3,22n n n S n N =-∈.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和为n T .20.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值. 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若5=4OM ON k k ⋅，求证：点(,)m k 在定圆上． 22.（本小题满分12分） 函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求证：()32f x a≥-.2018-2019学年下学期期中考试卷高三文科数学参考答案一、 选择题：1~6 BCACBA 7~12 CBDACD 二、 填空题： 13. -1 14.4π15. 2 16.三、 解答题：17.解析：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，因为134,,a a a 成等比数列，所以2314a a a =，即22111(2)3a d a a d +=+， 解得2140a d d +=. 因为1d =，所以14a =-，所以数列{}n a 的通项公式5n a n =-. ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知5n a n =-,所以522n a n n b n n +=+=+.123231(2222)(123)2(12)(1)(1)221222n nn n n S b b b b n n n n n +=++++=+++++++++-++=+=+--………………12分 18.解析：（Ⅰ）2211()sin sin )cos 22111111sin cos cos (2cos 2)sin(2)222224264f x x x x x x x x x x x π=++-=+=++=++∴函数)(x f 的最大值为34. （Ⅱ）由题意111()sin(2)2642f A A π=++=，化简得1sin(2)62A π+=.(0,)A π∈，132(,)666A πππ∴+∈，5266A ππ∴+=，3A π∴=.由1sin 2bc A =16bc =，又10b c +=， 2,8b c ∴==或8,2b c ==.在ABC 中，根据余弦定理得2222cos 52a b c bc A =+-=.a ∴=19.解析：（Ⅰ）当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,12n n n a S S n -=-=- 又11a =适合上式故数列{}n a 的通项公式为=2-.n a n （Ⅱ）由（Ⅰ）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111)+()++()]2-1113232112n nT n n n=---=---[(……………12分 20.解析：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . ……2分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ，∴直线l 的普通方程为03=--m y x .……5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ，整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+，……7分 又直线l 过点)0,(m P ，由上式及t 的几何意义得1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m 的值为1或21+或21-.10 分21.解析：（Ⅰ）设焦距为c 2，由已知23==a c e ，22=b ，222c b a +=． 2,1==∴a b ，∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ．……………4分(Ⅱ)证明：设),(),,(2211y x N y x M ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 依题意，222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+==++，………………………6分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ONk k ⋅=，则121254y y x x =，即121245y y x x =， ∴2212121244()45k x x km x x m x x +++=，∴222224(1)8(45)+4()404141m kmk km m k k ---⋅+=++， 即222222(45)(1)8(41)0k m k m m k ---++=， 化简得2254m k +=，②…9分由①②得226150,5204m k ≤<<≤．∴点(,)m k 在定圆2254x y +=上．（没求k 的范围不扣分）……12分22. 解：（Ⅰ）x x ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='…1分 ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减； …………………3分② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增；综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a．………5分(Ⅱ)由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a 上单调递增，则121ln )1()(min --==a a a f x f ．………………………6分要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --aa ≥a 23-， 即证a ln +11-a≥0．……8分 构造函数11ln )(-+=a a a μ，则22111)(aa a a a -=-='μ，由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ，即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+a a ≥0成立．从而)(x f ≥a23-成立．…………12分。

福州市高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·迁西月考) 集合的子集有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个2. （2分）(2019·湖北模拟) 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）定义域是R的函数，其图象是连续不断的，若存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数都成立，则称f（x）是R上的一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；②f（x）=x2是一个“λ的相关函数”；③“的相关函数”至少有一个零点；④若y=ex是“λ的相关函数”，则﹣1＜λ＜0．其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）已知为等差数列，若，则A . 24B . 27C . 15D . 546. （2分）已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A .B .C .D . 17. （2分） (2016高一上·哈尔滨期中) 下面四个函数：（1）y=1﹣x；（2）y=2x﹣1；（3）y=x2﹣1；（4）y= ，其中定义域与值域相同的函数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2017高一上·唐山期末) 关于x的方程4x﹣m•2x+1+4=0有实数根，则m的取值范围（）A . （1，+∞）B . [1，+∞）C . （2，+∞）D . [2，+∞）9. （2分）已知函数，则（）A . f（x）的最小正周期是πB . f（x）相邻对称中心相距π个单位C . f（x）相邻渐近线相距π个单位D . f（x）既是奇函数又是增函数10. （2分） (2017高一上·黑龙江月考) 已知函数，则的值域是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高二上·上海期中) 已知，，若在曲线上恰有4个不同的点，使，则的取值范围是________.12. （1分）若sin（+α）= ，则cos2α=________．13. （1分） (2016高一上·金华期中) 已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f（7）=________．14. （1分） (2016高一下·吉林期中) 在等差数列{an}中，若a1+a7+a13=6，则S13=________15. （1分） (2018高三上·沧州期末) 如图，在中，， . 分别是边上的点，且 .现将沿直线折起，形成四棱锥，则此四棱锥的体积的最大值是________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分） (2016高一下·南阳期末) 已知向量 =（cosx，sinx）， =（ sinx，sinx），x∈R设函数f（x）= ﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0， ]上的最大值和最小值．17. （10分） (2016高二下·玉溪期中) 已知函数f（x）=cos2x+2 sinxcosx﹣sin2x．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若且a2=bc，试判断△ABC的形状．18. （5分）(2016·枣庄模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a4+a7=20，对任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 ．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}定义如下：2mbm（m∈N*）是使不等式an≥m成立所有n中的最小值，求{bn}的通项公式及{（﹣1）m﹣1bm}的前2m项和T2m ．19. （10分）(2018·上饶模拟) 已知函数在处的切线方程为 .（1）求实数的值；（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.20. （10分） (2019高二上·城关期中) 设⊿ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=ac,cosB=（1）求的值；（2）设ac=2,求a+c的值．21. （10分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知函数f（x）=（1）求f（x）在[1，m]（m＞1）上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）﹣nf（x）＞0有且只有三个整数解，求实数n的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

2016届福建省福州格致中学校内高三第一学期期中考试数学试卷注意事项：1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）下列命题中，说法错误的是()A．“若p，则q”的否命题是：“若￢p，则￢q”B．“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是：“∃x≤2，x2﹣2x≤0”C．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件D．“若b=0，则函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题【考点】命题及其关系充分条件与必要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在性量词【试题解析】“，x2﹣2x＞0”的否定是：“，x2﹣2x≤0”，故B错。

【答案】B2.已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【考点】充分条件与必要条件【试题解析】点M 到抛物线焦点的距离所以若点M 到抛物线焦点的距离不少于3，则所以“p ≥1”是“p ≥2”的必要不充分条件。

【答案】B3．已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．0【考点】幂函数 【试题解析】若函数是幂函数，则或当m=-1时，，在上是增函数,符合题意；当m=2时，，在上不是增函数,不符合题意；故m=-1。

【答案】B4．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13【考点】周期性和对称性函数的单调性与最值 【试题解析】因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图像关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，又当x ≥1时，f(x)＝lnx ，所以f(x)在上单调递减，所以由得：，即。

2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学(理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ={x |2x ＜4}，则A ∪B ＝()A.RB.∅C.{x |x ≤1}D.{x |x ＞2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知命题p ：“0a ∀>，都有1ae ≥成立”，则命题p ⌝为（）A ．0a ∃≤，有1ae <成立B ．0a ∃≤，有1ae ≥成立C ．0a ∃>，有1a e ≥成立D ．0a ∃>，有1ae <成立4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是()A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋15.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.2log 4,3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a>> C.a c b>>D ．b a c>>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是()A ．0B ．1C ．2D ．48.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为()A. B. C.D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）11.已知函数()sin3cos (0),f x x x =->ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A.137(,]62B.725(,]26 C.2511(,62 D.1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe e a x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．1-或3D ．1或3-第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b的夹角为60︒，2a = ，1b = ，则2a b += ____.14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为____.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =,DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆的面积为33,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a =-+-（0a >）.（Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）函数()()cos 3cos 022x xf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e x f x x ax =--．（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况；（Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学(理科)一、选择题：ABDBB;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.3,14．715．7816．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）(Ⅰ)由已知得13sin 23BCD S BC BD B ∆==，又2BC =，3sin 2B =得23BD =……………3分在BCD ∆中，由余弦定理得2222221272cos 2223323CD BC BD BC BD B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以CD 的长为73CD =……………6分(Ⅱ)因为6sin 2sin DE CD AD A A===……………8分在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，又2BDC A ∠=∠,……………10分得26sin 22sin sin 60A A =，……………11分解得2cos 2A =,所以4A π=即为所求.……………12分18.(本小题满分12分）解:（Ⅰ）1n n a S = ，24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n b n =-⋅，231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n n n T +=-．…………………12分19.（本小题满分12分）解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|3x ＋4，x ＜1，，1≤x≤2，－4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f (83)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤83}.....................................6分（2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2..................................7分②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意....................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾..............11分综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞).…...................12分21.（本小题满分12分）由已知得:()cos 3cos 3cos 223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭………2分∵A 为图象的最高点，∴A的纵坐标为又∵ABC ∆为正三角形，所以4BC =…………3分∴42T =可得8T =,即28πω=得4πω=…………4分,∴()23sin()43f x x ππ=+…………5分,（Ⅱ）由题意可得()3g x x =,,232P π⎛ ⎝…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由OP OQ ⊥ 得0OP OQ = ，即3302πθθ+=，即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由OP OQ ⊥ 得0OP OQ = ，即3302πθθ+=，即()24sin 02πθθπθπ+=<<，问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。