江苏省淮阴中学2021届高三数学测试卷(PDF版无答案)

淮阴中学2021届高三数学测试卷2020年8月29日一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈，b∈B}，则M中元素的个数为( )A. 3B. 4C.5D.62.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x0，使x02≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0，使1x0>23.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这-过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )4.对任意x∈R，函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a≤21B. 0<a<21C. a≤0或a≥21D. a<0或a> 215.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=ae m，假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有a8升，则m 的值为( )A.7B. 8C.9D.106.函数f(x)=loga(6-ax)(a>0且a≠1)在[0，2] 上为减函数，则实数a的取值范围是( )A. (1,3)B. (0,1)C. (1，3]D. [3，+∞)7. 如果已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为( )A.2B.3C.4D.与a的值有关8.已知函数f(x)=x+ln(√x2+1-x)-5(x∈[-2020，2020]) 的最大值为M ,最小值为m,则M+m=( )A.-5B.-10C.5D.10二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列说法中，正确的命题是( )A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，则P(2<X<4)=0.2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强;反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=â+ b̂x，若b̂=2x⃗, x⃗=1，y⃗=3，则a=1D.若样本数据2x1+1，2x2+1， (2x)16+1的方差为8，则数据x1,x2，.，. x16的方差为2。

淮阴中学2020/2021学年度高三第一学期期中考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１.已知集合M ={x||2x +1|>3},N ={x|x 2+x −6≤0}，则M ∩N 等于（ ） A ．(−3,−2]∪[1,2]B ．(−3,−2)∪(1,+∞)C ．[−3,−2)∪(1,2]D ．(−∞,−3)∪(1,2]2．已知向量a →=(1,2),a →⋅b →=5,|a →−b →|=2√5，则|b →|等于 （ ） A ．√5 B ．2√5C ．25D ．5３．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，则从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A ．1+√3B ．2+√10C ．3√2D ．2√3４.已知函数f(x)={x 2+2x −1,x ≥0x 2−2x −1,x <0，则对任意x 1,x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是 （ ）A. f(x 1)+f(x 2)<0B. f(x 1)+f(x 2)>0C. f(x 1)−f(x 2)>0D. f(x 1)−f(x 2)<0５．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则|a +b +c | 等于 （ ）A ．√3B ．6C ．√3或6D ．3或6６．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =1，BF =12，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P −DEF 的体积是A ．13 B ．√56C ．2√39D ．√23 ７.函数−2+i 的零点所在的区间为 ( )A ．2+iB ．(1+2iC ．1−2iD ．(12,34)８.设点P 是椭圆x 29+y 25=1上的一点，点M 、N 分别是两圆：(x +2)2+y 2=1和(x −2)2+y 2=1上的点，则的最小值、最大值分别为 ( )A. 4，8B.2，6 C) 6，8 D.8，12二、多项选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得５分，部分选对的得３分，有选错的得０分） ９.若函数f(x)具有性质:,则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数: 其中,满足“倒负”变换的所有函数的选项是 ( )A.(a>0且a ≠1); B.(a>0且a ≠1);C.;D..10.定义在R 上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断: 其中正确的选项是 ( )A ．关于直线对称； B ．是[0，1]上是增函数；Ｃ．在[1，2]上是减函数； Ｄ．．11．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：A ．B ．C ．D ．，其中正确的选项是 ( )（A ）（1）（2） （B ）（1）（3） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）12.如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，若AB =BC ，E ，F 分别是AB 1，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为45°D. EF//平面A 1B 1C 1D 1三、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共２0分，请将答案填在题中横线上1３．已知{x ≥1x −y +1≤02x −y −2≤0则x 2+y 2的最小值是______．14．已知F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .15．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有16．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 cm 2.四、解答题：本大题共６个小题 共70分17． 设条件：实数满x 2—4ax+3a 2<0(a>0)条件：实数满足;已知q 是p 的必要不充分条件，求实数的取值范围。

淮阴中学2021届高三数学开学练习命题人: 审题人: 2020.8注意事项1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.答题前，请务必将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上。

3.请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效。

一、单项选择题: (每题5分，共40分)1.函数y=xcosx+sinx在区间[-π, π]的图象大致为()2.若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为( )A.17B.18C.19D. 203.(x+xy 2)(x+ y)2的展开式中x 2y 2的系数为 ( ) A.5 B.10 C.15 D.204.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位: °C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,y)(i =1,2,.,.20)得到下面的散点图:由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A y=a+bx B. y=a+bx 2C. y=a+be 2D. y=a+blnx5.设函数f(x)为R 上的增函数，d 、 b ∈R .则a+b ≥ 0是f(a)+ f(b)≥f(-a)+ f(-b)的( )A.充分条件B. 必要条件C.充要条件D.充分不必要条件6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不完全相同”，事件B 为“小赵独自去-一个景点”，则P(B|A)=( ) A.3/7 B.4/7 C.75 D.6/7 7.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且fx+4)=-f(x),当x ∈[一2, 0)时，f(x)=e x ,则f(2018)+(2021)+f(2 022)等于( ) A.e 1 B.一e1 C. 一e D. e 8.已知定义在R 上的函数y= f(x)的导函数为f'(x)，满足f(x)> f '(x),且f(0)=2,则不等式f(x)> 2e x的解集为( )A.(- ∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,2)D.(2, +∞)二、多选题: (选错不得分， 漏选得3分，每题5分，共20分)9.对于函数f(x)=x x +1(x ∈R) ，下列判断正确的是( ) A.f(-x+1)+f(x-l)=0B.当m ∈(0， 1)时， 方程f(x)=m 有唯一实数解C.函数f(x)的值域为(一∞，+∞)D. Vx ≠2x ,()()2121x x x f x f -+>0 10.设f(x)=2x +ax+b,a,b ∈R 若f(x)=x 无实根，则下列结论成立的有A.当x>0,时f(x)>0B.Vx ∈R,f(x)>xC.Vx ∈R,f(f(x))>xD.3∃x ∈R 使得f(f(x))=x 成立11.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f（x ）-kx 有( )A.1个极大值点，2个极小值点B.2个零点C.0个零点D.2个极小值点，无极大值点12.已知函数f(x)=xlnx ，若0<1x <2x ，则下列结论正确的是A. 2x f(1x )<1x f(2x )B. 1x +f(1x )< 2x +f(2x )C. 0x )f(x -)f(x 2121<-x D.当x>e1时，1x f(1x )+2x f(2x )>22x f(1x ) 三、填空题: (每题5分，共20分)13.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ___14.已知A 为抛物线C ：2y =2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p= __15.某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,520)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _ _ 16.一个盒子里有2个红1 个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量ξ，则P(ξ=0)=_ _ _ _E(ξ5)= _ .四、解答题:本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分10分)记函数f(x)=lg(1- a 2x )的定义域、值域分别为集合A,B.(1)当a=1时，求A ∩B;(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18.(本题满分12分) 设椭圆C:12222=+by b x (a>b>0)的左、右焦点分别为1F ，2F ,下项点为A, 0为坐标原点，点O 到直线A 2F 的距离为22，△M 1F 2F 为等腰直角三角形. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若倾斜角为405的直线经过椭圆C 的右焦点2F ，且与椭圆C 交于M ，N 两点(M 点在N 点的上方)，求线段M 2F 与N 2F 的长度之比，19. (本题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18 名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本? (写出算式即可， 不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位:分)对应如下表:(1)若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望.②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分?附:线性回归方程y=bx+a,20.(本题满分12分)已知函数y= f(x),若在定义域内存在0x ，使得f(-0x )=-f(0x )成立，则称0x 为函数f(x)的局部对称点(1)证明:函数f(x)= x 2-1在区间[-1,2]内必有局部对称点:(2)若函数f(x)=x 4-m*12+x +2m -3在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围21. (本题满分12分) 己知函数k x e2k)-(x f(x)= (1)求f(x)的单调区间:(2)若对Vx ∈(0，+∞)， 都有f(x) ≤e1求k 的取值范围。

淮阴中学2021届高三数学测试卷2020年8月29日一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈，b∈B}，则M中元素的个数为( )A. 3B. 4C.5D.62.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x0，使x02≤0>2C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0，使1x03.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这-过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )4.对任意x∈R，函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a≤21B. 0<a<21C. a≤0或a≥21D. a<0或a> 215.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线升，则y=ae m，假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有a8m的值为( )A.7B. 8C.9D.10(6-ax)(a>0且a≠1)在[0，2] 上为减函数，则实数a的取值范围是6.函数f(x)=loga( )A. (1,3)B. (0,1)C. (1，3]D. [3，+∞)7. 如果已知0<a<1,则方程a|x|=|logx|的实根个数为( )aA.2B.3C.4D.与a的值有关8.已知函数f(x)=x+ln(√x2+1-x)-5(x∈[-2020，2020]) 的最大值为M ,最小值为m,则M+m=( )A.-5B.-10C.5D.10二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列说法中，正确的命题是( )A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，则P(2<X<4)=0.2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强;反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=â+ b̂x，若b̂=2x⃗, x⃗=1，y⃗=3，则a=1D.若样本数据2x 1+1，2x 2+1， ... 2x 16+1的方差为8，则数据x 1,x 2，.，. x 16 的方差为210.下列不等式，其中正确的是( )A. x 2+3>2x(x∈R)B. a 3 +b 3≥a 2b + ab 2 (a,b∈R)C. a 2 +b 2≥2(a -b-1)D.f(x)=x 2+2x 2−1≥2√2+111.若f(x)满足对任意的实数a ，b 都有f(a+b)= f(a)*f(b)且f(1)=2，则下列判断正确的有( )A. f(x)是奇函数B. f(x) 在定义域上单调递增C.当x∈(0,+∞)时， 函数f(x)>1D.f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+…f(2016)f(2015)+f(2018)f(2017)+f(2020)f(2019)=2020 12.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f , " (x) 是它的导函数，且恒有cosx.f"(x)+ sinx*f(x)<0成立，则有( )A.f(π6)> √2f(π4)B. √3f(π6)> f(π4)C. f(π6)> √3f(π3)D. √2f(π6)> √3f(π4) 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省淮阴中学2021～2022学年度第二学期阶段检测高一数学试题2022.4一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1.求值sin110cos10sin 20sin10︒︒-︒︒=（）A.12B.12-C.2D.2.设1e 与2e是不共线的非零向量，且12ke e + 与12e ke + 共线，则k 的值是（）A.1B.1- C.±1D.任意不为零的实数3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos =c b A ，则ABC 为（）A.等腰非等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.函数2sin()241x x x y π+=-的图象大致为（）A. B.C.D.5.已知单位向量a ，b满足a b b -=+ ，则3a b += （）A.2B.C.D.36.求值1tan15tan15︒+︒（）A.4B.14C.4+D.4-7.已知1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，α，(0,2πβ∈，则αβ-=（）A.3π-B.6π-C.3π D.3π±8.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，D 是边b 上的点（异于点A ，C ），2BD =，30DBC ∠=︒，则ac 的最小值为（）A.83B.C.163D.323二、多项选择题（每题5分，共20分，给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A .若,a b b c ==，则a c= B.若//a b ，//b c ，则//a cC.若0xa yb +=，,x y R ∈，a ，b 不共线，则0x y == D.若2b = ，a 在b 上的投影向量为12b ，则a b ⋅的值为210.下列式子成立的是（）A.1cos30tan15sin 30+︒︒=︒B.tan17tan 43tan17tan 43︒+︒︒︒=C.1tan151tan15-︒=+︒D.221tan 151tan 152-︒=+︒11.在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A.sin 5A =，tan 3B =，则A B < B.tan tan 1A B ⋅<C.sin sin cos cos A B A B+>+ D.sin sin 1A B +>12.双曲函数是与三角函数一样，分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种.已知双曲正弦函数e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数e e cosh 2x xx -+=，下列正确的有（）A.sinh 22sinh cosh x x x= B.2cosh 22cosh 1x x =-C.sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y+=+ D.cosh()cosh cosh sinh sinh x y x y x y+=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一问2分，第二问3分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知tan 2α=，则2cos sin 2αα+=__________．14.若(1,2),(1,1)a b ==- ，且()b a a λ-⊥，则λ的值为__________．15.已知α是第二象限的角，cos 10α=-，则cos()52sin()sin()2παππαα-=+++__________．16.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，已知sin :sin :sin 3:5:7ABD ADB BCD ∠∠∠=，若97AD =，则圆的半径为__________；若2AC BC CD λ=⋅，则实数λ的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知,αβ为锐角，4sin 5α=，cos()5αβ+=-，求cos β和cos()αβ-的值．18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积为222()4b c a +-.（1）求A 的值；（2）若cos 7B =，6c =，求b .19.已知函数()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，且12x x <，①求m 的取值范围；②求12tan()x x +.20.如图ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，3AD AF = ，令AB a = ，AC b =.（1）试a 、b 表示EF；（2）延长EF 交AC 于P ，设AP x AC =，求x 的值.21.今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国.各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用.已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为23π的扇形区域AOB ，C 为弧AB 的中点，设QOC θ∠=.（1）用θ来表示矩形PQRS 的面积()f θ，并指出θ的取值范围；（2）θ为多少时，()f θ取得最大值，并求出此最大值.22.函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.（1）若1a =，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求函数()f x 的值域；（2）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，且()f x 有意义时，①若(){}0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围；②当12a <<时，求()f x 的最小值N .江苏省淮阴中学2021～2022学年度第二学期阶段检测高一数学试题2022.4一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.求值sin110cos10sin 20sin10︒︒-︒︒=（）A.12B.12-C.2D.【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.【详】sin110cos10sin 20sin10cos 20cos10sin 20sin10cos(2010)cos30,2︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=故选：C2.设1e 与2e是不共线的非零向量，且12ke e + 与12e ke + 共线，则k 的值是（）A.1B.1- C.±1D.任意不为零的实数【2题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据向量共线的关系，可写出两个向量共线的充要条件，整理出关于,k λ的关系式，解方程组即可.【详解】解：因为12ke e + 与12e ke +共线，则可设()1212ke e e ke λ+=+ ，由于1e ，2e是非零向量，即()121212ke e e ke e ke λλλ+=+=+ ，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，解得1k =±.故选：C.【点睛】本题考查了向量共线的充要条件.本题的关键是写出两共线向量的关系式.3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos =c b A ，则ABC 为（）A.等腰非等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【3题答案】【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得2B π=，从而判断出三角形形状．【详解】解：cos =c b A ，所以sin cos sin C A B =.在ABC 中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，故sin cos 0A B =，因为sin 0A ≠，所以cos 0B =，因为0πB <<，所以π2B =，故ABC 为直角三角形.故选：C ．4.函数2sin()241x x x y π+=-的图象大致为（）A. B.C.D.【4题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据解析式判断奇偶性，再结合零点个数以及特殊值法进行判断.【详解】解：由题意得：22sin()2cos cos 2()412122x xx x x x x x x y f x π-+====---由cos ()()22x x xf x f x --==--可判断函数为奇函数，可判断A 错误；又由三角函数的性质可知函数有无数个零点，故C 错误；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y >，由此排除B ；故选：D5.已知单位向量a ，b满足a b b-=+ ，则3a b += （）A.2B.C.D.3【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据模的运算先求出a b →→⋅，进而解出3a b→→+.【详解】由题意，||||1a b →→==，由a b b →→→-=+⇒=12a b →→⇒⋅=-，所以3a b →→+===.故选：C.6.求值1tan15tan15︒+︒（）A.4B.14C.4+D.4-【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】用两角差正切公式即可.【详解】()1tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 303︒︒︒︒︒︒︒--=-==-+，1tan1524tan15︒︒+=-；故选：A.7.已知1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，α，(0,2πβ∈，则αβ-=（）A.3π-B.6π-C.3π D.3π±【7题答案】【答案】C 【解析】【分析】对两个等式平方相加，根据同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.【详解】因为1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，所以2222cos cos 1(sin)sin )(()3(3αβαβ--+-=+，2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos 1αβαβαβαβ⇒+-++-=，112sin sin 2cos cos 2cos()1cos()2αβαβαβαβ⇒=+⇒-=⇒-=，因为α，(0,2πβ∈，所以22ππαβ-<-<，因为1sin sin 03αβ-=>，而α，(0,2πβ∈，所以αβ>，因此02παβ<-<，故αβ-=3π，故选：C 8.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，D 是边b 上的点（异于点A ，C ），2BD =，30DBC ∠=︒，则ac 的最小值为（）A.83B.C.163D.323【8题答案】【答案】D 【解析】【分析】运用三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为120ABC ∠=︒，30DBC ∠=︒，所以90DBA ∠=︒，因为ABCABD BCD S S S =+△△△，所以有111sin12022sin 30222ac c a ︒︒=⨯⋅+⨯⋅⋅，即22ac c a =+，因为2c a +≥，当且仅当2a c =时取等号，所以有3223ac ac ≥⇒≥，故选：D二、多项选择题（每题5分，共20分，给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A.若,ab bc ==，则a c= B.若//a b ，//b c，则//a cC.若0xa yb += ，,x y R ∈，a ，b 不共线，则0x y == D.若2b = ，a 在b 上的投影向量为12b，则a b ⋅ 的值为2【9题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】运用平面向量的基本定理和有关的运算规则逐项分析即可.【详解】对于A ，根据平面向量相等的定义，正确；对于B ，若0b=，则不能推出a c= ，错误；对于C ，根据平面向量基本定理，正确；对于D ，由投影向量的定义可知，a 在b上的投影向量1cos ,2b a a b b b==，()cos ,10b a a b -=，cos ,1a ab ∴= ，cos ,2a b a b a b ==，正确；故选：ACD.10.下列式子成立的是（）A.1cos30tan15sin 30+︒︒=︒B.tan17tan 43tan 43︒+︒+︒︒=C.1tan151tan15-︒=+︒D.221tan 151tan 152-︒=+︒【10题答案】【答案】BD 【解析】【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得；【详解】解：对于A ：()1tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 303-︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒而11cos30221sin 302++︒==+︒A 错误；对于B ：()tan17tan 43tan 60tan 17431tan17tan 43︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，所以tan17tan 43tan 43︒+︒+︒︒=B 正确；对于C ：()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan153-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒，故C 错误；对于D ：222222sin 1511tan 15cos 15sin 151tan 151cos 15︒--︒︒=︒+︒+︒222222cos 15sin 15cos 15sin 15cos30cos 15sin 152︒-︒==︒-︒=︒=︒+︒，故D 正确；故选：BD11.在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A.sin 5A =，tan 3B =，则A B < B.tan tan 1A B ⋅<C.sin sin cos cos A B A B+>+ D.sin sin 1A B +>【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角对于A，sin 5A =，得cos 5A =，tan2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以，cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误；对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+))44A B ππ->-，化简得sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44A B ππ->-，得2A B π+>，符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π+>，所以，2A B π>-，所以，sin sin sin()sin 2A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π=+≥1>，所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD12.双曲函数是与三角函数一样，分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种.已知双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数e e cosh 2x xx -+=，下列正确的有（）A.sinh 22sinh cosh x x x= B.2cosh 22cosh 1x x =-C.sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y+=+ D.cosh()cosh cosh sinh sinh x y x y x y+=-【12题答案】【答案】ABC 【解析】【分析】按照函数的定义，将sinh x和cosh x代入即可运算出结果.【详解】对于A ，()()22e e e e e e sinh 22sinh cosh 22x x x x x x x x x ---+--===，正确；对于B ，()2222e e2e ecosh 22cosh 122xx x xx x --+-+===-，正确；对于C ，()()e e e e e e e e e esinh cosh cosh sinh sinh 22222x y x x y y x x y y x y x y x y x y -+----+-++--+=+==+ ，正确；对于D ，e e e e e e e e cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y yx y x y ----++---=- ()()()e e cosh cosh 2x y x y x y x y ---+==-≠+，错误；故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一问2分，第二问3分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知tan2α=，则2cos sin 2αα+=__________．【13题答案】【答案】1【解析】【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值.【详解】tan 2α= ，∴原式22222cos 2sin cos 12tan 1221sin cos tan 121ααααααα+++⨯====+++.故答案为1.【点睛】(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.14.若(1,2),(1,1)a b ==- ，且()b a a λ-⊥，则λ的值为__________．【14题答案】【答案】5-【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算直接计算可得.【详解】因为(1,2),(1,1)a b ==-所以21,5a b a a a ⋅=-=⋅=由()b a aλ-⊥ 所以2()50b a a a b a λλλ-⋅=⋅-=--= ，得5λ=-故答案为：5-15.已知α是第二象限的角，cos10α=-，则cos()52sin()sin()2παππαα-=+++__________．【15题答案】【答案】17-【解析】【分析】由同角三角函数的平方关系先求sinα，然后用诱导公式化简目标式代入可得.【详解】因为α是第二象限的角，cos10α=-，所以sin10α==，所以cos()cos152sin cos72sin()sin()21010πααπααπαα--===--++++故答案为：17-16.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，已知sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BCD∠∠∠=，若97AD=，则圆的半径为__________；若2AC BC CDλ=⋅，则实数λ的最小值为__________．【16题答案】【答案】①.②.6049【解析】【分析】利用圆的内接四边形对角的关系结合已知可求得ABD△的边长，然后由余弦定理求角BAD∠，再由正弦定理可得圆的半径；再在BCD△由余弦定理结合已知表示出λ，使用基本不等式可得最小值.【详解】因为四边形ABCD内接于圆，所以BAD BCDπ∠=-∠，所以sin sin()sinBAD BCD BCDπ∠=-∠=∠因为sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BCD∠∠∠=所以sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BAD∠∠∠=，即::3:5:7AD AB BD=又97AD=，所以15,37AB BD==在ABD△中，由余弦定理可得81225914949cos9152277BAD+-∠==-⨯⨯所以23πBAD∠=，记四边形ABCD的外接圆半径为R，则322sin3Rπ==，所以R=由上可知，3BCDπ∠=，在BCD△中，记,BC m CD n==则由余弦定理得222cos93mn mn π+-=，即229m n mn +-=又由托勒密定理知，AC BD AB CD BC AD⋅=⋅+⋅，即159377AC n m =+，得222225812709494949n m mn AC =++又2AC BC CD mnλλ=⋅=所以22225812709494949n m mn mn λ=++，得2259302253030306024949494949494949n m m n λ=++≥+=+=当且仅当2225949499n m m nm n mn ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，即15191991919m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号所以λ的最小值为6049.故答案为：60349，四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知,αβ为锐角，4sin 5α=，5cos()5αβ+=-，求cos β和cos()αβ-的值．【17题答案】【答案】5cos 5β=，()115cos25αβ-=.【解析】【分析】利用()βαβα=+-和平方关系先求cos β，再由平方关系求sin β，然后再由余弦的两角差公式可得cos()αβ-.【详解】4(0,),sin 25παα∈=23cos 1sin 5αα∴=-=(0,(0,)2πβαβπ∈∴+∈ 225sin()1cos ()5αβαβ∴+=-+cos cos(())cos()cos sin()sin βαβααβααβα∴=+-=+++3455555 =-+=sin5β∴==cos()cos cos sin sinαβαβαβ+∴-=34555525=⨯+⨯=18.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC的面积为222()4b c a+-.（1）求A的值；（2）若cos7B=，6c=，求b.【18题答案】【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式得到1sin cos22bc A A=，即可得到tan A，从而求出A；（2）根据同角三角函数的基本关系求出sin B，再根据两角和的正弦公式、诱导公式求出sin C，最后利用正弦定理计算可得；【小问1详解】解：因为222()cos42ABCS b c a A=+-=，又1sin2ABCS bc A=，所以1sin cos22bc A bc A=，所以tan A=，又(0,)Aπ∈，3Aπ∴=；【小问2详解】解：因为cos7B=，sin7B∴==，sin sin()sin()sin cos cos sinC C A B A B A Bπ∴=-=+=+1272714=⨯+⨯=由正弦定理sin sinb cB C=，可得6sin4sin14c BbC⨯===；20.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x Aπωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，且12x x <，①求m 的取值范围；②求12tan()x x +.【20题答案】【答案】（1）()2sin()3f x x π=+（2）①)3,2②33【解析】【分析】（1）根据图像先求A ，再求T 得到ω，再代入点的坐标求出ϕ即可；（2）先求()2sin(23g x x π=+单调性，确定m 的取值范围，再根据()g x 的对称轴得到12x x +的值，求解计算即可.【小问1详解】根据函数图像得：2A =，373()4632T πππ=--=，所以2T π=，所以21Tπω==，所以()2sin()f x x ϕ=+，因为函数图像过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，所以()2sin()033f ππϕ-=-+=，所以3πϕ=，所以()2sin(3f x x π=+.【小问2详解】根据题意，所以()2sin(23g x x π=+，当[0,)12x π∈时，()f x 单调递增，当[122x ，ππ∈时，()f x 单调递减，因为(0)3g =，(32g π=(212g π=，所以若()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，则)3,2m ∈，因为函数()g x 关于直线12x π=对称，所以12212x x π+=，所以126x x π+=，所以12tan()tan63xx π+==.22.如图ABC中，D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，3AD AF = ，令AB a = ，AC b =.（1）试a 、b表示EF ；（2）延长EF交AC 于P ，设AP x AC =，求x 的值.【22题答案】【答案】（1）1136a b EF =-+（2）14x =【解析】【分析】（1）先用a 、b 表示出AF，再由EF AF AE =- 得出答案.（2）用AE 、AP表示出AF.再利用AF AP AE λμ=+ ，若E F P 、、三点共线，1λμ+=.即可列出等式，计算出答案【小问1详解】111()362AF AD AB AC AE AB==+=又11113636EF AF AE AB AC b ∴=-=-+=-+【小问2详解】1111()3636AF AD AB AC AE APx ==+=+ 又EF tEP= ()AF AE t AP AE ∴-=- (1)AF t AP t AE∴=+- 11136x ∴+=14x ∴=24.今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国.各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用.已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为23π的扇形区域AOB ，C 为弧AB 的中点，设QOC θ∠=.（1）用θ来表示矩形PQRS 的面积()f θ，并指出θ的取值范围；（2）θ为多少时，()f θ取得最大值，并求出此最大值.【24题答案】【答案】（1）()5000325003sin(2)363f πθθ=+-，πθ0,3骣琪Î琪桫（2）6πθ=时，()f θ取得最大值，最大值为250033【解析】【分析】（1）设QR ，PS 分别交OC 于D ，E ，根据题意得到()503100sin (50cos sin )3Sf QR ED θθθθ==⋅=-；（2）由（1）中函数知，当sin(2)=16πθ+时取最值.【小问1详解】设QR ，PS 分别交OC 于D ，E50sin QD PE θ==，100sin QR θ=，50cos OD θ=，503sin tan 3PE OE POE θ==∠()3100sin (50cos )3S f QR ED θθθθ==⋅=-2331cos 22500(sin 2)2500(sin 2)332θθθθ-=-=-⨯33332500(sin 22)2500sin(2)33363πθθθ⎡=+-=+-⎢⎥⎣⎦33sin(2)363πθ=+-，πθ0,3骣琪Î琪桫【小问2详解】由（1）可得，当sin(2)=16πθ+，即25003().63f πθθ=时，有最大值26.函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.（1）若1a =，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求函数()f x 的值域；（2）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，且()f x 有意义时，①若(){}0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围；②当12a <<时，求()f x 的最小值N .【26题答案】【答案】（1）(,2-∞-（2）①2a ≥；②)21N a=【解析】【分析】（1）当1a =时，求得()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-，令[)sin cos 1,1t x x =+∈-，令[)12,0m t =-∈-，()()22h m f x m m==++，利用双勾函数的单调性可得出函数()h m 在[)2,0-上的值域，即可得解；（2）①分析可知210a a --≤≤，可得出2a ≥，分1a=、1a≠化简函数()221at a p t at +-=-的函数解析式或求出函数()f x 的最小值，综合可得出正实数a 的取值范围；②令[]11,1n at a a =-∈---，则1n t a +=，可得出()()21122a a p t n n a n ϕ⎡⎤+-=++=⎢⎥⎣⎦，分析可得出101a a --<<<-<，利用双勾函数的基本性质结合比较法可求得N .【小问1详解】解：当1a=时，()sin cos 1f x x x =+-因为,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则,444x πππ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，令[)sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，则212sin cos 1sin 2t x x x =+=+，可得2sin 21x t =-，设()()211t g t f x t +==-，其中11t -≤<，令1m t =-，则()22111221m t m t m m+++==++-，令()22hm m m=++，其中20m -≤<，下面证明函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，任取1m 、[)22,0m ∈-且12m m <，则()()1212122222h m h m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121212121222m m m m m m m m m m m m ---=--=，当122m m -≤<<，则122m m >，此时()()12h m h m <，当120m m <<<，则1202m m <<，此时()()12h m h m >，所以，函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，则()(max 2hm h ==-，因此，函数()f x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域为(,2-∞-.【小问2详解】解：因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，令[]sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，设()()222211a a t at a a f x p t at at -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭===--，①若(){}0y y f x ∈=，必有210aa--≤≤，因为0a >，则2a ≥，当1a =时，即当1a =时，则()110p t t t a=+==，可得1t =，合乎题意；当1a≠时，即当2a ≥且1a ≠时，则()min 0p t =，合乎题意.综上所述，2a ≥；②令[]11,1nat a a =-∈---，则1n t a+=，则()()22121122n a a a a a a p t n n n a n ϕ⎡⎤+-⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦==++=⎢⎥⎣⎦，令()()20qs x x q x=++>，下面证明函数()s x在(上单调递减，在)+∞上为增函数，任取1x、(2x ∈且12x x <，则120x x -<，120x x q <<，所以，()()()()()()121212121212121212220q x x x x x x q q qsx s x x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=++-++=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()()12sx s x >，故函数()s x在(上单调递减，同理可证函数()s x在)+∞上为增函数，在(,-∞上为增函数，在()上为减函数，因为12a <<，则()()2212121,2a a a +-=--+∈，且()()22121220a a a a a +---=->，所以，10a >->，又()22212120a aa a +----=-<，1a ∴--<，101a a ∴--<<<-<，由双勾函数的单调性可知，函数()n ϕ在1,a ⎡--⎣上为增函数，在()上为减函数，在(]0,1a -上为减函数，当[)1,0x a ∈--时，()((max 120n aϕϕ==-<，()2101a a ϕ-=>- ，()((22111a a a ϕϕ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦-(())())()21142214210111a a a a a a a a a a +------=≥=>---，由双勾函数性质可得()()min 21f x aϕ=-=，综上所述())min 21f x N a==-.【点睛】关键点点睛：在求解本题第二问第2小问中，要通过不断地换元，将问题转化为双勾函数的最值，结合比较法可得出结果.。

江苏省淮安市淮阴中学2020-2021学年高三上学期8月测试数学试题一、单选题(★★) 1. 设集合，，，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6(★★★) 2. 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使(★) 3. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是( )A．B．C．D．(★★) 4. 对任意，函数不存在极值点的充要条件是（）A．B．C．或D．或(★★★) 5. 将甲桶中的 a升水缓慢注入空桶乙中， t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝ ae nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m分钟甲桶中的水只有，则 m的值为( )A．7B．8C．9D．10(★★) 6. 函数（且）在上为减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 如果已知0< a<1，则方程 a |＝|log a x|的实根个数为( )A．2B．3C．4D．与a的值有关(★★★) 8. 已知函数的最大值为，最小值为，则（）A．B．C．5D．10二、多选题(★★) 9. 下列说法中，正确的命题是（）．A．已知随机变量服从正态分布，，则B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则D．若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2(★★★) 10. 下列不等式，其中正确的是（）A．（）B．（，）C．（）D．(★★★★) 11. 若满足对任意的实数，都有且，则下列判断正确的有（）A．是奇函数B．在定义域上单调递增C．当时，函数D．(★★★) 12. 已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则A．B．C．D．三、填空题(★★) 13. 若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是_______(★★★) 14. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为______ (★★★) 15. 定义运算“ ” ，（，）.当，时，的最小值为______四、双空题(★★★) 16. 设，，，，则的值域是______，函数在的最大值是，则的值是______五、解答题(★★★) 17. 已知函数的定义域为 R．求 a的取值范围；解关于 x的不等式．(★★★) 18. （1）已知不等式成立的充分不必要条件是，求实数的取值范围.（2）已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围.(★★★) 19. 美国2018年3月挑起“中美贸易争端”，剑指“中国制造2025”，中国有“缺芯”之痛.今有三个研究机构，，对某“ AI芯片”做技术攻关，能攻克的概率为，能攻克的概率为，能攻克的概率为，（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）先假设一年后该技术难题已被攻克，上级会奖励万元.奖励规则如下：若只有1个机构攻克，则此机构获得全部奖金万元；若只有两个机构攻克，则奖金奖给此两个机构，每个机构各得万元；若三个机构均攻克，则奖金奖给三个机构，每个机构各得万元.设，得到的奖金数为，求的分布列和数学期望.(★★★) 20. 设二次函数，函数的两个零点为，（）.（1）若，，求不等式的解集.（2）若，且，比较与的大小.(★★★) 21. 已知函数（1）当时，求的最大值；（2）若在区间上存在零点，求实数的取值范围.(★★★) 22. 设函数（，）的导函数为.已知，是的两个不同的零点.（1）证明：；（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）求关于的方程的实根的个数.。

2024届江苏省淮阴中学淮阴中学数学高三第一学期期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为352．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．23．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强4．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．45．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 7．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ）A ．2B ．53 C ．43D ．328．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c c a b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜D ．11()()22ab<10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．2311．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n a c b =，当34c c +最小时，5c 的值为( )A ．2B ．145C ．3D ．412．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√234．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π35．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．27．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a +b ＞2bB ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）211．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝ ．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ． 15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 ． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 ． 四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值；（2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝（2﹣x ）e x +（1﹣2a ）x ，g （x ）＝ax 2﹣lnx ． （1）讨论函数g （x ）＝ax 2﹣lnx 的单调性；（2）函数h （x ）＝|f （x ）|+g （x ）在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，A ∪B ＝{1，2，3}，∴实数a ＝3．故选：C ．2．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i【解答】解：∵z （1+2i ）＝﹣3+4i ， ∴z =−3+4i 1+2i =(−3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1+2i ， ∴复数z 的实部为1． 故选：A ．3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√23【解答】解：由题可得C ＝45°，再由正弦定理asinA =csinC可得c =asinC sinA =2×√2232=2√63，故选：B ．4．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【解答】解：根据题意，设向量a →，b →的夹角为θ， 若a →⊥（a →−2b →），则有a →•（a →−2b →）=a →2﹣2a →•b →=0， 又由|a →|＝|b →|，则cos θ=12， 又由0≤θ≤π，则θ=π3，故选：C ．5．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，f （﹣x ）＝e ﹣x ﹣e x +2sin x ， ∴f （x ）＝﹣f （﹣x ），故函数f （x ）为奇函数． f ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2cos x ≥2﹣2cos x ≥0，则f （x ）在R 上为增函数．则f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0，化简得f （x 2﹣3）＜﹣f （2x ）， 即f （x 2﹣3）＜f （﹣2x ）， 又∵f （x ）为增函数， ∴x 2﹣3＜﹣2x ， 解得﹣3＜x ＜1． 故选：A ． 6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：原式=2sin(60°+20°)−sin20°cos20°=√3cos20°+sin20°−sin20°cos20°=√3．故选：C ．7．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]【解答】解：x ＞0时，f （x ）＝log 2x ﹣2x ，∴f '（x ）=1xln2−2=1−xln4xln2， 令f '（x ）＝0，x =1ln4， ∴f '（x ）在（0，1ln4）递增，在（1ln4，+∞）递减．∵1ln4∈（0，1），而x ∈（0，1）时，f （x ）＜0，∴f （x ）的最大值为f （1ln4）＜0，∴x ＞0时，f （x ）无零点．∴x ≤0，f （x ）有两个零点，﹣2π＜﹣ωπ+π3≤−π，43≤ω＜73． 故选：B ．8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解答】解：∵cos x 在（0，π2）上单调递减，∴cos1≈cos57°＜cos53°＝0.6，∴cos1＜35，即b ＜a ； c =1−(log 52)21+(log 52)2=−1+21+(log 52)2；∵0＜log 52＜log 5√5=12，∴35＜−1+21+(log 52)2＜1，∴b ＜a ＜c ． 故选：B ．二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ） A ．a +b ＞2b B ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b【解答】解：对于A ，∵a ＞b ，b ＝b ， ∴a +b ＞b +b ＝2b ，故A 正确，对于B ，令a ＝1，b ＝﹣1，满足a ＞b ，1a＞1b，故B 错误，对于C ，当c ＝0时，ac ＝bc ，故C 错误， 对于D ，∵a ﹣c ＞b ﹣c ， ∴e a ﹣c ＞e b ﹣c ，又∵a ＞b ，∴由不等式的可加性可得，e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b ，故D 正确．故选：AD ．10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）2【解答】解：A ：∵F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，∴EF →=12AB →，∴A 正确，B ：∵F 是靠近C 的四等分点，∴AF →=AD →+DF →=AD →+34DC →=34AB →+AD →，∴B 错误，C ：∵E 是靠近D 的四等分点，∴BE →=BC →+CE →=AD →+34CD →=−34AB →+AD →，∴C 正确，D ：∵BE →•AF →=（−34AB →+AD →）•（34AB →+AD →）=AD →2−916AB →2，∴D 错误， 故选：AC ．11．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称【解答】解：显然f （﹣x ）=tan(|−x|+π4)=tan(|x|+π4)=f （x ），故f （x ）是偶函数，故A 正确；因为f(−π4)=tan π2不存在，而f(−π4+π)=f(3π4)=tan π＝0，显然f （−π4）≠f(3π4)，故B 错误；x ∈(0，π4)时，f(x)=tan(x +π4)满足π4＜x +π4＜π2，因为y ＝tan x 在（π4，π2）上单调递增，故原函数f （x ）在区间（0，π4）上单调递增，故C 正确；因为f （−π3）=√3+11−3=−2−√3，f （3π2+π3）=tan π12，结合tan π6=2tan π121−tan 2(π12)=√33解得tanπ12=2−√3，因为f(−π3)+f(3π2+π3)≠0，故f （x ）的图像不关于点（3π4，0）对称，故D 错误． 故选：AC ．12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列 B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 【解答】解：由正五边形的性质得∠ACE =α=π5，所以∠D 1AC 1＝α， 作∠AD 1C 1＝α的角平分线D 1M ，取D 1C 1中点N ，连接AN ，则AN ⊥D 1C 1， 所以∠AD 1M ＝∠C 1D 1M ＝α，所以MD 1＝MA ＝D 1C 1． 令MD 1＝MA ＝D 1C 1＝1，MC 1＝x ， 则C 1M C 1D 1=C 1D 1AC 1，所以1＝x （x +1），解得x =√5−12，所以cosC 1=cos2α=C 1N C 1A =√5−14， 所以cos 2α=12(1+cos2α)=12⋅√5+34=√5+38=2√5+616=(√5+14)2， 所以cosα=√5+14，故C 选项正确；因为a 2＝1，△ABE △C 1AE ，所以AB BE=AC 1AE，即12⋅√5+12+a 2=√5+12a 1，所以a 12=(√5+2)(√5+1)2=7+3√52，所以(a2a 1)2=27+3√5=2(7−3√5)4=(3−√52)2，即q =3−√52，故A 选项正确，B 选项错误； 由于5α＝π，则10α＝2π，所以cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos[（θ﹣4α）+10α]+cos[（θ﹣2α）+10α] ＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ﹣4α）+cos （θ﹣2α） ＝cos θ+2cos θcos4α+2cos θcos2α＝cos θ（1+2cos4α+2cos2α） ＝cos θ[1+2⋅（2cos 22α﹣1）+2cos2α]＝cos θ（4cos 22α+2cos2α﹣1） =cosθ[4×(√5−14)2+√5−12−1]=0，故D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝12．【解答】解：定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0， 则f （f （2021））＝f （f （505×4+1））＝f （f （1））＝f （﹣tan π4）＝f （﹣1）＝|﹣1+12|=12，故答案为：12．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ﹣e ． 【解答】解：设切点为（m ，n ）， 由f （x ）＝x ﹣alnx ，得f ′（x ）＝1−ax ， 则{1−am=22m =m −alnm，解得：m ＝e ，a ＝﹣e ．故答案为：﹣e ．15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 34+√22． 【解答】解：∵a x＝2，b 2y＝2，∴a =21x （a ＞1，x ＞0），b =212y （b ＞1，y ＞0）；∵ab ＝4，∴21x×212y =4，1x+12y=2，∴x +y =12×（1x +12y ）（x +y ）=12×（32+y x +x 2y）， ∵x ＞0，y ＞0，∴y x＞0，x 2y＞0，∴yx +x2y ≥2√yx ×x2y =√2，x +y ≥12×（32+√2）=34+√22，当且仅当y x =x 2y ，1x +12y=2时取等号，∴x +y 的最小值为34+√22． 故答案为：34+√22． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 8 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 3 ． 【解答】解：f （4﹣x ）=13−x +12−x +11−x =−f （x ），f （x ）关于（2，0）对称， f '（x ）=−1(x−1)2−1(x−2)2−1(x−3)2＜0，∴f （x ）在（﹣∞，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）递减， x →1+时，x →+∞，x →2﹣时，x →﹣∞，x →2+时，x →+∞，x →3﹣时，x →﹣∞，x →3+时，x →+∞，作出f （x ）图像，作出g （x ）图像，则f （x ）与g （x ）有四个交点，四个实根设为t 1，t 2，t 3，t 4，则t 1+t 2+t 3+t 4＝4+4＝8， 令f （x ）＝1，则x 3﹣9x 2+23x ﹣17＝0，由韦达定理可知x 1+x 2+x 3＝9， ∴x 1﹣1+x 2﹣2+x 3﹣3＝9﹣6＝3． 故答案为：8；3．四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【解答】解：（1）设公差d 不为0的等差数列{a n }中，首项为a 1，满足S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52，所以{4a 1+4×32d =2×(a 1+3d)+2(a 1+d)2+(a 1+5d)2=(a 1+3d)2+(a 1+4d)2，解得{a 1=1d =2；故a n ＝2n ﹣1；（2）由（1）得：b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)；所以T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．【解答】解：（1）根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象，可得A ＝1，可得：f （0）＝sin φ=√22，可得：φ=π4，可得f （x ）＝sin （ωx +π4）， 又f （−π4）＝sin （−π4ω+π4）＝0， 可得：−π4ω+π4=k π，k ∈Z ，解得ω＝1﹣4k ，k ∈Z ， 当k ＝0时，可得ω＝1，可得函数f （x ）的解析式为f （x ）＝sin （x +π4）． （2）因为f （θ）＝sin （θ+π4）=√22×（sin θ+cos θ）=513， 所以sin θ+cos θ=5√213，两边平方，可得1+sin2θ=50169， 可得sin2θ=−119169．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值； （2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．【解答】解：（1）∵AC →=λAD →，∴AP →=25AB →+15AC →=25AB →+15λAD →， ∵B ，D ，P 三点共线， ∴25+15λ＝1，∴λ＝3．（2）证明：∵AP →=25AB →+15AC →，∴AP →•BC →=（25AB →+15AC →）•（AC →−AB →）=15AC →2−25AB →2+15AB →⋅AC →=0， 即b 2﹣2c 2+ab cos A ＝0，∴b 2﹣2c 2+ab ×b 2+c 2−a 22bc=0，∴a 2﹣3b 2+3c 2＝0，即2（a 2+c 2﹣b 2）＝a 2+b 2﹣c 2，∴2c cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得2sin C cos B ＝sin B cos C ，∴tan B ＝2tan C ． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ，对任意实数x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣ax 2+x ＜0恒成立，当a ≤0时，则f （1）＝1﹣a ＞0，这与f （x ）＜0在x ∈（0，+∞）上恒成立矛盾，故舍去；当a ＞0时，f '（x ）=1x−2ax +1， 因为f '（x ）在（0，+∞）上单调递减， 又f ′(12a )=2a ＞0，f′(1+1a )=a a+1−2a −1＜0， 故存在唯一的x 0∈(12a ，1+1a )，使得f '（x 0）＝0，即1x 0−2ax 0+1=0，且当x ∈（0，x 0）时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 当x ∈（x 0，+∞）时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减，故当x ＝x 0时，f （x ）取得最大值f （x 0）=lnx 0−ax 02+x 0=lnx 0−x 0+12+x 0=lnx 0+x 02−12＜0， 解得0＜x 0＜1， 故a =12(1x 0+1x 02)＞1， 所以实数a 的取值范围为（1，+∞）；（2）当a =12时，f(x)=lnx −12x 2+x ，若f （x 1）+f （x 2）＝1，则lnx 1−12x 12+x 1+lnx 2−12x 22+x 2=1， 故ln(x 1x 2)−12(x 1+x 2)2+x 1x 2+x 1+x 2=1， 所以12(x 1+x 2)2−(x 1+x 2)+1=ln （x 1x 2）+x 1x 2≤ln(x 1+x 22)2+(x 1+x 22)2， 令t =x 1+x 22，则2t 2﹣2t +1≤lnt 2+t 2，即t 2﹣2t +1﹣2lnt ≤0， 令h （t ）＝t 2﹣2t +1﹣2lnt ，则h '（t ）=2t −2−2t =2(t 2−t−1)t，令h '（t ）＝0，解得t =1+√52， 所以当0＜t ＜1+√52时，h '（t ）＜0，则h （t ）单调递减， 当t ＞1+√52时，h '（t ）＞0，则h （t ）单调递增， 又h （1）＝0，h （3）＝4﹣2ln 3＞0， 故h （t ）在(1+√52，3)上有唯一的零点t 0， 又当1≤t ≤t 0时，h （t ）≤0， 故2≤x 1+x 2≤2x 0，所以x 1+x 2的最小值为2，当且仅当x 1＝x 2＝1取等号．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）设DC ＝m ，则BD ＝8m ， 所以在△ABD 和△ABC 中，分别利用余弦定理得：cos ∠ABC =a 8m =a 2+8lm 2−a 22⋅9m⋅a =9m 2a，所以a 2＝36m 2⇒a ＝6m ， 所以cos ∠ABC =34，（2）根据题意，观景点B 与与摩天轮上任意一点P 之间距离不超过√239， 即(PB)max ≤√239，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，连接BQ ，PB ，要使PB 尽可能的大，则点P 摩天轮同一竖直线上，且在直线m 的上方部分，且Q 在点A 的右侧，如图，设PQ ＝h ，AQ ＝x ，a ≤h ≤a +6， 则（h −a ）2+x 2＝36⇒h 2+a 2+x 2−2ah ＝36， 所以PB =√BQ 2+PQ 2=√AB 2+AQ 2−2AB ⋅AQ(−34)+PQ 2=√a 2+x 2+32ax +ℎ2=√36+2a ℎ+32ax =√36+a(2ℎ+32x)， 令{ℎ=a +6cosθx =6sinθ，则2ℎ+32x =2a +12cosθ+9sinθ=2a +15sin(θ+φ)≤2a +15，（其中tanφ=34)， 所以(PB)max =√36+2a 2+15a ≤√239， 2a 2+15a −203≤0， 解得a ≤7，所以实数a的取值范围是（6，7]．22．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x，g（x）＝ax2﹣lnx．（1）讨论函数g（x）＝ax2﹣lnx的单调性；（2）函数h（x）＝|f（x）|+g（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣lnx的定义域为（0，+∞），则g'（x）=2ax−1x=2ax2−1x，所以当a≤0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，令g'（x）＝0，解得x=√12a，当x∈（0，√12a）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，当x∈（√12a，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，所以f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．（2）因为f（1）＝e+1﹣2a，①当f（1）＝e+1﹣2a＜0，即a＞e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＜0，此时h（x）＝（x﹣2）e x﹣（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（x﹣4）e x﹣（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝4a﹣2＞0，这与x＝1处取得极小值矛盾；②当f（1）＝e+1﹣2a＞0，即a＜e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＞0，此时h（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x+（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝0，又h''（x）＝﹣xe x+2a+12，所以h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，则h''（x）在（0，+∞）上单调递减，（i）若h''（x）≤0，即﹣e+2a+1≤0，a≤e−12时，此时当x＞1时，h''（x）＜0，则h'（x）单调递减，则h'（x）＜h'（1）＝0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，h（x）不可能在x＝1处取得极小值，故舍去；（ii）若h''（x）＞0，即﹣e+2a+1＞0，a＞e−12时，h''（2a）=−2ae2a+2a+14a2＜14a2−4a2＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2a），使得h''（x0）＝0，且当0＜x＜x0时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，则当1﹣σ0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x0，1+σ0}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，所以此时满足函数h（x）在x＝1处取得极小值，故实数a的取值范围为(e−12，e+12)；③当f（1）＝e+1﹣2a＝0，即a=e+12时，存在x∈（1﹣σ1，1+σ1）（σ1为足够小的正数），使得f（x）≥0，此时h（x）＝（2﹣x）e x﹣ex+e+12x2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x﹣e+（e+1）x−1 x，又h'（1）＝0，则h''（x）＝﹣xe x﹣e+1+1x2，h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，故h''（x）在（0，+∞）上单调递减，由于h''（1）＝2＞0，h''（2）=−2e2+e+1+14＜0所以存在唯一的x1∈（1，2），使得h''（x1）＝0，则当0＜x＜x1时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，故当0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x1，1+σ1}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，此时满足h（x）在x＝1处取得极小值．综上所述，实数a的取值范围为(e−12，e+12]．。

江苏省淮安市淮阴中学2020-2021学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题(★★) 1. 函数 y= xcos x+sin x在区间[–π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．(★★) 2. 若把单词“ error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）A．17B．18C．19D．20(★★) 3. 的展开式中 x 3 y 3的系数为（）A．5B．10C．15D．20(★★★) 4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 设函数为 R上的增函数， a、，则是的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．充分不必要条件(★★★) 6. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A为“4个人去的景点不完全相同”，事件 B为“小赵独自去一个景点”，则（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知函数是定义在 R上的奇函数，且，当时，，则等于（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 对于函数，下列判断正确的是（）A．B．当时，方程有唯一实数解C．函数的值域为D．，(★★) 10. 设， a，.若无实根，则下列结论成立的有（）A．当时，B．，C．，D．，使得成立(★★★) 11. 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（）A．1个极大值点，2个极小值点B．2个零点C．0个零点D．2个极小值点，无极大值点(★★★★) 12. 已知函数，若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．当时，三、填空题(★★★) 13. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.(★★) 14. 已知 A为抛物线上一点，点 A到 C的焦点的距离为12，到 y轴的距离为9，则 ______ .(★★) 15. 某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为四、双空题(★★) 16. 一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.五、解答题(★★) 17. 记函数的定义域、值域分别为集合 A， B.（1）当时，求；（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.(★★★) 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为 A， O为坐标原点，点 O到直线的距离为，为等腰直角三角形.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）若倾斜角为45°的直线经过椭圆 C的右焦点，且与椭圆 C交于 M， N两点（ M点在N点的上方），求线段与的长度之比.(★★★) 19. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：学生序号 1234567数学成绩60657075858790物理成绩 70778085908693①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩 关于数学成绩 的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程，其中 ， .7683812526(★★★★) 20. 已知函数，若在定义域内存在 ，使得 成立，则称为函数的局部对称点.（1）证明：函数 在区间 内必有局部对称点；（2）若函数在 R 上有局部对称点，求实数 m 的取值范围.(★★★) 21.已知函数 ．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有≤ ，求 的取值范围． (★★★★) 22. 设函数，其中.（1）证明：恰有两个零点；（2）设为的极值点，为的零点，且，证明.。