江苏省淮安市淮阴中学2021届高三数学期中数学模拟测试

2021届江苏省淮安市淮阴中学高三上学期8月测试数学试题一、单选题1．设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】【详解】由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈， 则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B. 【考点定位】 集合的概念2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使20x ≤ C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B【解析】先确定命题中是否含有特称量词，然后利用判断特称命题的真假． 【详解】对于A ，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A 为假命题； 对于B ，为特称命题，当0x =时，20x =成立，所以B 正确；对于C ，(0=，所以C 为假命题； 对于D ，对于任何一个负数x ，都有10x<，所以D 错误． 故选B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题的定义，难度不大，属于基础题．3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A ． 【考点】函数图像的特征．4．对任意R x ∈，函数()327f x ax ax x =++不存在极值点的充要条件是（ ）A ．021a ≤≤B ． 021a <<C ． 0a ≤或21a ≥D ．0a <或21a > 【答案】A【解析】求出导函数()'f x ，由方程()0f x '=没有变号的实数解即可得．【详解】由题意()2327f x ax ax '=++，()f x 不存在极值点，0a =时，()70f x '=>，()f x 单调递增，无极值点；0a ≠时，则24840a a ∆=-≤，解得021a <≤，综上021a ≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数与函数的极值的关系，对于可导函数，如果导函数存在变号的零点，则原函数有极值．如果没有变号的零点，则原函数无极值．5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有8a，则m 的值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】D【解析】由题意，函数y=f （t ）=ae nt ,满足f （5）=2a ，f （m+5）=8a , 可解出m 的值. 【详解】根据题意得2a＝a e 5n ， 令8a ＝a e nt ，即18＝e nt ， 因为12 ＝e 5n ，故18＝e 15n ，故t ＝15，m ＝15－5＝10. 故选D 【点睛】对实际情景，根据已知或建立的相应函数模型，将实际问题转换为函数的求解.，最后解决实际问题.6．函数()()log 6a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()0,1C ．(] 1,3D ．[)3+∞，【答案】A【解析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】首先6t ax =-是减函数，∴log a y t =应是增函数，()f x 才可能是减函数， ∴1a >，函数()f x 在[0,2]上减函数，由对数函数性质知620a ->，3a <， 综上13a <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．7．如果已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关【答案】A【解析】设,0(),()log ,0x xa xa x f x a g x x a x -⎧≥===⎨≤⎩分别作出它们的图象如图所示： 由图可知有两个交点，故选A.8．已知函数()()2ln15f x x x x =++-[]()2020,2020x ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．5- B ．10-C ．5D ．10【答案】B【解析】构造新函数()()5g x f x =+，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值． 【详解】设2()()5ln(1)g x f x x x x =+=++， 则2222()()ln(1)ln(1)ln (1)(1)0g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-=++-++=++=⎣⎦，∴()()g x g x -=，()g x 是奇函数，又min min ()()55g x f x m =+=+，max max ()()55g x f x M =+=+， ∴min max ()()550g x g x M m +=+++=，10M m +=-． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是构造新函数是奇函数，然后利用奇函数的性质求得结论．二、多选题9．下列说法中，正确的命题是（ ）． A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 【答案】CD【解析】利用正态分布的对称型可以求得()24P X <<的值，进而判定A 错误;根据相关系数的意义可以判定B 错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C 正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据1x ，2x ，…，16x 的方差，进而判定D 正确.【详解】A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()410.80.2P X ≥=-=，所以()00.2P X ≤=，所以()04120.20.6P X <<=-⨯=, ∴()0.6240.32P X <<==，故A 错误； B. 线性相关系数r 的范围在1-到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B 错误；C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则y 1a bx =-=，故C 正确；D. 设数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2S ,样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为222S =8，则22S =，即数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2，故D 正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般. 10．下列不等式，其中正确的是（ ） A ．2 32x x +>（R x ∈） B ．3322 a b a b ab +≥+（a ，R b ∈）C ．22 2a b +≥（1a b --）D ．()22211f x x x =+≥- 【答案】AC【解析】,,A B C 三个选项用作差法比较，D 选项通过举例判断． 【详解】2232(1)20x x x +-=-+>，所以232x x +>，A 正确；332222222()()()()()()a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+，当0a b +<时，33220a b a b ab +--≤，B 错误；22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，即222(1)a b a b +≥+-，C 正确；222()1f x x x =+-中(0)21f =-<+，D 错误． 故选：AC ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查两实数比较大小，作差法是解题的基本方法． 11．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD【解析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n 是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >，综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确， 设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题． 12．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>；又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ． 【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x=，并借助导数分析其单调性，属于中档题．三、填空题13．若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|的取值范围是_______ 【答案】(－3,3)【解析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围． 【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）. 【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点． 14．已知0a >，0b >，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为______ 【答案】16【解析】不等式变形后用基本不等式求最小值后可得结论． 【详解】∵0a >，0b >，3103m a b a b--≤+恒成立， ∴3133(3)()10a b m a b a b b a≤++=++， ∵0,0a b >>，33101016b a a b ++≥+=， 当且仅当33b aa b=，即a b =时，等号成立， ∴16m ≤，即m 的最大值为16．故答案为：16 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查用基本不等式求最小值．解题方法是分离参数法．15．定义运算“⊗”22x y x y xy-⊗=，（,R x y ∈，0xy ≠）.当0x >，0y >时，()2x y y x ⊗+⊗的最小值为______【解析】根据新定义，把()2x y y x ⊗+⊗用通常的运算表示，然后用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意()222222422222x y y x x y x y x y y x xy xy xy y x --+⊗+⊗=+==+≥=当且仅当2x yy x=，即x =时等号成立．．． 【点睛】本题考查新定义运算，求新定义运算下的最值，解题方法是利用新定义把新定义表达式转化为通常的运算，然后由基本不等式求得最小值．四、双空题16．设1,3a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，R b ∈，()3g x ax x =-，[]1,1x ∈-，则()g x 的值域是______，函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，则22a b +的值是______ 【答案】[1,1]a a --19【解析】求出导数()'g x ，由已知条件得()0g x '≤，从而确定()g x 的单调性，得函数()g x 值域，由最大值得2()3f x ≤恒成立，从而2(1)32(1)3f f ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，由此化简变形后求得,a b ，得22a b +， 【详解】由题意2()31g x ax '=-，∵13a ≤，[1,1]x ∈-，∴2()310g x ax '=-≤，()g x 在[1,1]-上单调递减，max ()(1)1g x g a =-=-，min ()(1)1g x g a ==-，∴()g x 值域为[1,1]a a --；函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，即2()3f x ≤在[1,1]-上恒成立， ∴()()21132113f a b f a b ⎧-=-+-≤⎪⎪⎨⎪=--≤⎪⎩，两式相加得4113a b a b -+-++-≤，又1122a b a b a -+-++-≥-，∴4223a -≤，解得1533a ≤≤， 又∵13a ≤，∴13a =，可得1213312133b b ⎧-+-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，即22332233b b ⎧-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，解得403403b b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，∴0b =，∴2219a b +=． 故答案为：[1,1]a a --；19． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与最值，研究函数恒成立问题，着重考查了逻辑推理能力，运算求解能力，难度中等．五、解答题17．已知函数y =R ．()1求a 的取值范围；()2解关于x 的不等式220x x a a --+<．【答案】()[]1?0,1；(2)见解析.【解析】()1由函数的定义域是R ，得出2210ax ax ++≥恒成立，求出a 的取值范围；()2分类讨论，即可求出不等式的解集．【详解】()1函数y =R ，2210ax ax ∴++≥恒成立．①当0a =时，10≥，不等式恒成立；②当0a ≠时，则02440a a a >⎧=-≤⎨⎩解得01a <≤．综上可知，a 的取值范围是[]0,1．()2由220x x a a --+<，得()()10x a x a ⎡⎤---<⎣⎦．01a ≤≤，∴①当1a a ->，即102a ≤<时，1a x a <<-； ②当1a a -=，即12a =时，)21(02x -<，不等式无解；③当1a a -<，即112a <≤时，1a x a -<<． 综上，当102a ≤<时，原不等式的解集为(),1a a -； 当12a =时，原不等式的解集为；当112a <≤时，原不等式的解集为()1,a a - 【点睛】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．18．（1）已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围.（2）已知()2log f t t =，t ∈⎤⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.【答案】（1）1423m -≤<；（2）()(),12,-∞-+∞.【解析】（1）先求得不等式1x m -<解集，结合题意，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为()()2220x m x -+->对任任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，不等式1x m -<，解得11m x m -<<+，因为1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①，或113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩②， 由①得：1423m -<≤；由②得：1423m -≤<， 综合①②得：1423m -≤<.（2）因为()2log f t t =，t ∈⎤⎦，所以()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为2424x mx m x ++>+对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，因为()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，可得()()()()()()()22112202233220g x x g x x ⎧⎛⎫=-+->---* ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-+->---**⎩，由()* 可得：()()2230x x -->，则2x >或23x <； 由()**可得：()()120x x +->，则2x >或1x <-， 综上所述：x 的范围()(),12,-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，二次函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．美国2018年3月挑起“中美贸易争端”，剑指“中国制造2025”，中国有“缺芯”之痛.今有三个研究机构A ，B ，C 对某“AI 芯片”做技术攻关，A 能攻克的概率34为，B 能攻克的概率为23，C 能攻克的概率为12，（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）先假设一年后该技术难题已被攻克，上级会奖励m 万元.奖励规则如下：若只有1个机构攻克，则此机构获得全部奖金m 万元；若只有两个机构攻克，则奖金奖给此两个机构，每个机构各得2m万元；若三个机构均攻克，则奖金奖给三个机构，每个机构各得3m万元.设A ，B 得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）2324；（2）分布列见解析，()3548E X m =. 【解析】（1）对立事件是这一技术难题没有被攻克即每个队都没有攻克技术难题，由对立事件的概率公式求解；（2）根据规则X 的可能取值为：0，2m ，23m，m ，X 0=表示,A B 均未攻克技术难题，C 可能攻克也可以未攻克，2mX =表示A 未攻克，,B C 同时攻克或B 未攻克，,A C 同时 攻克，23mX =表示,,A B C 同时攻克，X m =表示C 未攻克，,A B 中至少1个机构攻克这个技术难题，由此可计算出概率，得分布列，从而可计算出期望． 【详解】（1）记这一技术难题被攻克的事件为A ；()111123114322424P A =-⨯⨯=-=.（2）X 的可能取值为：0，2m ，23m ，m 2321134324m P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；3111215243243224m P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭； ()3111213211143243243224P X m ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；()1111111043243212P X ==⨯⨯+⨯⨯=X 的分布列：()15211135012224342448m m E X m m =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式和对立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定变量X 的可能取值．20．设二次函数()2f x ax bx c =++，函数()()F x f x x =-的两个零点为m ，n（m n <）.（1）若1m =-，2n =，求不等式()0F x >的解集. （2）若0a >，且10x m n a<<<<，比较()f x 与m 的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）()f x m <.【解析】（1）由二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系直接得出结论； （2）设()()()F x a x m x n =--，得()()()f x a x m x n x =--+，作差()f x m -可得它与0的大小，从而得出()f x 与m 的大小． 【详解】（1）()0F x =的两个根分别为1-和2 当0a >时，()0F x >的解集为()(),12,-∞-+∞；当0a <时，()0F x >的解集为()1,2-；（2）()()()F x a x m x n =--，()()()f x a x m x n x =--+()()()()()1f x m a x m x n x m x m ax an -=--+-=--+∵10x m n a<<<<，∴0x m -<，10an -+>，0ax > ∴10ax an -+>，()0f x m -< ∴()f x m <. 【点睛】本题考查二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系，考查二次函数的解析式，掌握三个二次的关系是解题关键． 21．已知函数()1ln x f x x a-=-（1）当1a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间()2,e 上存在零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）1,1ln 2e ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】（1）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性求最大值；（2）先变量分离转化求对应函数()1ln x g x x-=值域，利用导数求其单调性，再根据单调性求其值域，即得结果. 【详解】（1）()()ln 1f x x x =--，()111x f x x x-=-='， 令0fx，得1x =所以()f x 在0,1上单调递增，1,上单调递减∴()()max 10f x f ==.（2）()f x 在区间()2,e 上存在零点，∴1ln 0x x a--=在()2,e 上有解，1ln x a x -=令()1ln x g x x-=（()2x e ∈,），()()21ln 1ln ,x x x x g +='-设2211111ln 1,(2,)0ln 2102x y x x e y y x x x x -'=-+∈∴=-=>∴>-+=> 因此0g x,∴()g x 在()2,e 上单调递增，即()()12ln 2g x g >=，()()1g x g e e <=- ∴1,1ln 2a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．设函数()32f x x ax bx =++（a ，R b ∈）的导函数为()f x .已知1x ，2x 是()f x 的两个不同的零点. （1）证明：23a b >；（2）当0b =时，若对任意0x >，不等式()ln f x x x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程()()()1211()2x f x f x f x x x '=-++的实根的个数. 【答案】（1）证明见解析；（2）1a ≥-；（3）1.【解析】（1）先求导数，再根据导函数必有两个不同零点列不等式，解得结果；（2）先分离变量，转化为求对应函数()2ln x x F x x-=最值，利用导数确定其单调性，根据单调性确定最值，即得结果；（3）先求122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭，再构造差函数()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++--- ⎪⎝⎭，再利用导数确定其单调性，最后根据单调性以及()10G x =确定零点个数，即得结果. 【详解】（1）证明：()232f x x ax b '=++，令()2320f x x ax b '=++=∵0f x有两个不等的实根，∴2241203a b a b ∆=->⇒>.（2）0b =时，()32f x x ax =+，由()ln f x x x ≥得32ln x ax x x +≥∴22ln ln x x x ax x x a x-+≥⇒≥令()2ln x x F x x-=，()222212ln 1ln x x x x x x x F x x x ⎛⎫--+ ⎪--⎝⎭'== 令()21ln g x x x =--，()120g x x x'=--< ∴()g x 在0,上单调递减，注意到10g∴当01x <<时，()0gx >，()0F x '>，()F x '单调递增；当1x >时，()0g x <，()0F x '<，()F x 单调递减： ∴()()max 11F x F ==-，∴1a ≥-. （3）()()3212112x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'++=-+⎪⎝⎭()()32121102x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'⇒++---= ⎪⎝⎭212233x x a a f f b +⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++---⎪⎝⎭()()2222221211323296(3)02333x x a G x x ax b f x ax b b x ax a x a +⎛⎫''=++-=++-+=++=+≥ ⎪⎝⎭∴()G x 在R 上单调递增，故()G x 在R 上至多只有一个零点，注意到()10G x = ∴()G x 在R 上只有1个零点，即()()1211()2x x f x f x x f x '+⎛⎫=-+⎪⎝⎭的实根个数为1. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.。

淮阴中学2020/2021学年度高三第一学期期中考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１.已知集合M ={x||2x +1|>3},N ={x|x 2+x −6≤0}，则M ∩N 等于（ ） A ．(−3,−2]∪[1,2]B ．(−3,−2)∪(1,+∞)C ．[−3,−2)∪(1,2]D ．(−∞,−3)∪(1,2]2．已知向量a →=(1,2),a →⋅b →=5,|a →−b →|=2√5，则|b →|等于 （ ） A ．√5 B ．2√5C ．25D ．5３．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，则从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A ．1+√3B ．2+√10C ．3√2D ．2√3４.已知函数f(x)={x 2+2x −1,x ≥0x 2−2x −1,x <0，则对任意x 1,x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是 （ ）A. f(x 1)+f(x 2)<0B. f(x 1)+f(x 2)>0C. f(x 1)−f(x 2)>0D. f(x 1)−f(x 2)<0５．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则|a +b +c | 等于 （ ）A ．√3B ．6C ．√3或6D ．3或6６．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =1，BF =12，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P −DEF 的体积是A ．13 B ．√56C ．2√39D ．√23 ７.函数−2+i 的零点所在的区间为 ( )A ．2+iB ．(1+2iC ．1−2iD ．(12,34)８.设点P 是椭圆x 29+y 25=1上的一点，点M 、N 分别是两圆：(x +2)2+y 2=1和(x −2)2+y 2=1上的点，则的最小值、最大值分别为 ( )A. 4，8B.2，6 C) 6，8 D.8，12二、多项选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得５分，部分选对的得３分，有选错的得０分） ９.若函数f(x)具有性质:,则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数: 其中,满足“倒负”变换的所有函数的选项是 ( )A.(a>0且a ≠1); B.(a>0且a ≠1);C.;D..10.定义在R 上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断: 其中正确的选项是 ( )A ．关于直线对称； B ．是[0，1]上是增函数；Ｃ．在[1，2]上是减函数； Ｄ．．11．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：A ．B ．C ．D ．，其中正确的选项是 ( )（A ）（1）（2） （B ）（1）（3） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）12.如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，若AB =BC ，E ，F 分别是AB 1，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为45°D. EF//平面A 1B 1C 1D 1三、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共２0分，请将答案填在题中横线上1３．已知{x ≥1x −y +1≤02x −y −2≤0则x 2+y 2的最小值是______．14．已知F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .15．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有16．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 cm 2.四、解答题：本大题共６个小题 共70分17． 设条件：实数满x 2—4ax+3a 2<0(a>0)条件：实数满足;已知q 是p 的必要不充分条件，求实数的取值范围。

淮阴中学2021届高三数学测试卷2020年8月29日一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈，b∈B}，则M中元素的个数为( )A. 3B. 4C.5D.62.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x0，使x02≤0>2C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0，使1x03.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这-过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )4.对任意x∈R，函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a≤21B. 0<a<21C. a≤0或a≥21D. a<0或a> 215.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线升，则y=ae m，假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有a8m的值为( )A.7B. 8C.9D.10(6-ax)(a>0且a≠1)在[0，2] 上为减函数，则实数a的取值范围是6.函数f(x)=loga( )A. (1,3)B. (0,1)C. (1，3]D. [3，+∞)7. 如果已知0<a<1,则方程a|x|=|logx|的实根个数为( )aA.2B.3C.4D.与a的值有关8.已知函数f(x)=x+ln(√x2+1-x)-5(x∈[-2020，2020]) 的最大值为M ,最小值为m,则M+m=( )A.-5B.-10C.5D.10二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列说法中，正确的命题是( )A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，则P(2<X<4)=0.2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强;反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=â+ b̂x，若b̂=2x⃗, x⃗=1，y⃗=3，则a=1D.若样本数据2x 1+1，2x 2+1， ... 2x 16+1的方差为8，则数据x 1,x 2，.，. x 16 的方差为210.下列不等式，其中正确的是( )A. x 2+3>2x(x∈R)B. a 3 +b 3≥a 2b + ab 2 (a,b∈R)C. a 2 +b 2≥2(a -b-1)D.f(x)=x 2+2x 2−1≥2√2+111.若f(x)满足对任意的实数a ，b 都有f(a+b)= f(a)*f(b)且f(1)=2，则下列判断正确的有( )A. f(x)是奇函数B. f(x) 在定义域上单调递增C.当x∈(0,+∞)时， 函数f(x)>1D.f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+…f(2016)f(2015)+f(2018)f(2017)+f(2020)f(2019)=2020 12.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f , " (x) 是它的导函数，且恒有cosx.f"(x)+ sinx*f(x)<0成立，则有( )A.f(π6)> √2f(π4)B. √3f(π6)> f(π4)C. f(π6)> √3f(π3)D. √2f(π6)> √3f(π4) 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

∴ 푥|푥−2| ≤ 1，
{ { ∴
푥2−2푥 푥 ≥2
≤ 1或
2푥−푥2 푥 <2
≤
1，解得푥
≤
2 +1，
∴ 푓(2푥) ≤ 푓(2)的解集为{푥|푥 ≤ 2 +1}．
故答案为：{푥|푥 ≤ 2 +1}
{ { 可由푓(2푥)
． ≤ 푓(2)得出푥|푥−2|
≤
1，从而得到
푥2−2푥 푥 ≥2
≤ 1或
21. 已知矩阵퐴 = [0 13]，퐵 = [2 08]，求퐴−1퐵
2
1
22. 已知矩阵퐴 = [ 1
−1
24]，向量푎 = [53]，计算퐴5푎．
23. 已知四棱锥푃−퐴퐵퐶퐷的底面为直角梯形，퐴퐵//퐷퐶，∠퐷퐴퐵 = 90°，푃퐴 ⊥ 底面
ABCD，且푃퐴 = 퐴퐷 = 퐷퐶 = 1，퐴퐵 = 2，M 是 PB 的中点． (Ⅰ)求 AC 与 PB 所成角的余弦值； (Ⅱ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值的大小．
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19. 已知函数푓(푥) = 푥3 +3|푥−푎|，푎 ∈ 푅
(1)当푎 = 1时，求曲线푦 = 푓(푥)在푥 = 2处的切线方程；
(2)当푥 ∈ [−1,1]时，求函数푓(푥)的最小值； (3)已知푎 > 0，且任意푥 ≥ 1有푓(푥 + 푎)−푓(1 + 푎) ≥ 15푎2푙푛푥，求实数 a 的取值范
3.【答案】(−1,2)
{푥 + 1 > 0
【解析】解：依题意，
2−푥 2−푥
≠0 ≥0
，解得−1 < 푥
< 2，
所以푦 = ln(푥 + 1) + 22−푥的定义域为(−1,2)，

江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校2021届高三数学上学期期中联考试题文（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1.已知R为实数集，集合A={-1，0，1}，集合B={x|x≤0}，则A∩∁R B=______．2.“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是______．3.已知向量，若，则=______．4.已知函数，则函数的最小正周期为______．5.已知函数，则f（f（0）-3）=______．6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cos C=-，3sin A=2sin B，则c=______．7.已知，，则tanα=______．8.将函数f（x）=cos（x+φ）（|φ|＜）的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则φ=______．9.若等比数列{a n}的前n项和S n=2n+1+c，则c=______．10.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．11.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=______．12.已知函数f（x）=x lnx-x2-x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是______．13.已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切，则+的最小值为______．14.已知关于x的不等式（x-3）ln x≤2λ有解，则整数λ的最小值为______．二、解答题（本大题共6小题）15.已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α-）的值．16.在△ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量=（cos A，sin A），=（cos A，-sin A），且•=（I）求角A的大小及向量与的夹角；（II）若a=，求△ABC面积的最大值．17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18.函数f（x）=log a（2-ax）（a＞0，a≠1）．（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）-log a（2+ax），判断g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20.已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[-2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）-f（x2）|＜|g（x1）-g （x2）|均成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】{1}【解析】解：∵A={-1，0，1}，B={x|x≤0}，∴∁R B={x|x＞0}，A∩∁R B={1}．故答案为：{1}．进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】∃x0∈R，x02+2x0+1≤0【解析】解：命题为全称命题，则“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】【解析】解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．4.【答案】π【解析】解：函数的最小正周期为：=π．故答案为：π．直接利用三角函数的周期公式求解即可．本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题．5.【答案】-1【解析】解：∵函数，∴f（0）=e0=1，f（0）-3=1-3=-2＜0，∴f（-2）=-2+1=-1，所以f（f（0）-3）=f（-2）=-1，故答案为-1；已知f（x）是分段函数，代入分段函数求出f（0），再把f（0）-3看为一个整体，再进行代入进行求解；此题主要考查分段函数的性质，注意分段函数的定义域，此题是一道基础题；6.【答案】4【解析】解：∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cos C=-，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab cos C=4+9-2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．由3sin A=2sin B即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵，∴∈（，），又，∴sin（）==．∴sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin==，则cosα=，∴tan．故答案为：．由已知求得sin（），再由sinα=sin[（）-]，运用两角差的正弦展开求得sinα，然后利用同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与两角差的三角函数，是基础题．8.【答案】【解析】解：将函数f（x）=cos（x+φ）（|φ|＜）的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=cos（2x+φ），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=cos[2（x+）+φ]=cos（2x++φ），∵所得函数图象关于原点对称，∴+φ=+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，故答案为：．根据函数平移变换关系求出函数解析式，结合函数奇偶性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键．9.【答案】-2【解析】【解答】解：依题意，该等比数列的公比不为1，所以S n==-·q n=c+2×2n，所以q=2，=-2，∴c==-2，故填：-2．【分析】显然该等比数列的公比不为1，所以S n==-·q n=c+2×2n，所以q=2，=-2，c=-2，本题考查了等比数列的前n项和，主要考查公式的运用和处理能力，属于基础题．10.【答案】6【解析】【分析】本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键．设肉价是每两x文，根据题意列出方程可解得答案【解答】解：设肉价是每两x文，由题意得16x-30=8x+18，解得x=6，即肉价是每两6文．故答案为：6．11.【答案】-16【解析】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π-θ．又=-，=-，∴=（-）•（-）=•-•-•+，=-25-5×3cosθ-3×5cos（π-θ）+9=-16，故答案为-16．设∠AMB=θ，则∠AMC=π-θ，再由=（-）•（-）以及两个向量的数量积的定义求出结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．12.【答案】（0，）【解析】解：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程ln x-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，ln x0），故k=y′=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．故答案为：（0，）．由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=ln x-ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，通过函数的导数利用曲线的斜率，从而求解a的范围；本题考查了导数的综合应用，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题．13.【答案】5+2【解析】解：y=ln（x+b）的导数为y′=，由切线的方程y=x-a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1-b，切点为（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，∵a、b为正实数，则+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2．当且仅当a=b，即a=，b=3-时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．14.【答案】0【解析】h（x）=（x-3）ln x，h′（x）=ln x-+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即ln x0=-1，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=-（x0+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（，2），∴h（x0）∈（-，-），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解；故答案为：0令函数h（x）=（x-3）ln x，求出h（x）的最小值，根据函数的单调性判断即可；本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）sin（α+）=，即sinαcos+cosαsin=，化简：sinα+cosα=…①sin2α+cos2α=1…②．由①②解得cosα=-或cosα=∵α∈（，π）．∴cosα=-（2）∵α∈（，π）．cosα=-∴sinα=，那么：cos2α=1-2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=∴sin（2α-）=sin2αcos-cos2αsin=．【解析】（1）利用两角和差公式打开，根据同角三角函数关系式可求cosα的值；（2）根据二倍角公式求出cos2α，sin2α，利用两角和差公式打开，可得sin（2α-）的值．本题主要考查了两角和差公式，同角三角函数关系式以及二倍角公式的运用和计算能力．16.【答案】解：（I）在△ABC中，由•=求得cos2A=，可得．再根据=cos＜，＞，求得cos＜，＞=，可得向量与的夹角＜，＞=．（II）∵a=，A=，由余弦定理可得a2=5=b2+c2-2bc•cos A≥2bc-bc，求得bc≤10+5，当且仅当b=c时取等号，故△ABC面积bc•sin A=的最大值为．【解析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．（I）在△ABC中，由•=求得cos2A=，可得A的值．再根据两个向量的数量积的定义求得向量与的夹角．（II）由条件利用余弦定理以及基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sin A 的最大值.17.【答案】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30-x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800，答：当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（-x3+30x2），V′=6x（20-x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；答：当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．【解析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18.【答案】解：（1）由题意得：f（x）=log3（2-3x），∴2-3x＞0，即x＜，所以函数f（x）的定义域为（-∞，）；（2）易知g（x）=log a（2-ax）-log a（2+ax），∵2-ax＞0且2+ax＞0，∴关于原点对称，又∵，∴，∴g（x）为奇函数．（3）令μ=2-ax，∵a＞0，a≠1，∴μ=2-ax在[2，3]上单调递减，又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，∴f（3）=1，即f（3）=log a（2-3a）=1，∴，∵0＜a＜1，∴符合题意．即存在实数，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1．【解析】本题考查了对数函数的性质，考查复合函数的单调性、最值问题，是一道中档题．（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）令μ=2-ax，根据复合函数的单调性求出函数的最大值，从而求出对应的a的值即可．19.【答案】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【解析】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（Ⅰ）先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．20.【答案】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）e x，y′=（x+1）（x+2）e x，令y′＞0，解得：x＞-1或x＜-2，令y′＜0，解得：-2＜x＜-1，∴函数y=f（x）•g（x）在[-2，-1]递减，在[-1，0]递增，而x=-2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[-2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→-∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）-g（x2）＜f（x1）-f（x2）＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥-（e x+2x）恒成立时，因为-（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以-（e x+2x）的最大值为-1，所以a≥-1；当a≤e x-2x恒成立时，因为e x-2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x-2x的最小值为2-2ln2，所以a≤2-2ln2，综上：-1≤a≤2-2ln2．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥-（e x+2x）恒成立时，a≥-1；当a≤e x-2x恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．。

江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校联考2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1.已知R 为实数集，集合{}1,0,1A =-，集合{}0B x x =≤，则RA B =______．【答案】{}1 【解析】 【分析】利用补集的定义求出集合B R，然后利用交集的定义求出集合RAB .【详解】{}0B x x =≤，{}0R B x x ∴=>，因此，{}1RAB =.故答案为{}1.【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算，考查计算能力，属于基础题.2.“R x ∀∈，2210x x ++>”的否定是____________．【答案】0R x ∃∈，使得200210x x ++≤【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定得解.【详解】“R x ∀∈，2210x x ++>”的否定是：“0R x ∃∈，使得200210x x ++≤”【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题． 3.已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________． 【答案】25 【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以，所以解得，b ＝考点：向量模的运算． 4.函数()sin(2)6f x x π=+最小正周期为___________ .【答案】π 【解析】函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π2π=， 故答案为π.5.已知函数10(){0xx x f x e x +<=≥，则((0)3)f f -= ； 【答案】.【解析】试题分析：由0(0)1f e ==得(0)3132f -=-=-，进而求出((0)3)(2)211f f f -=-=-+=-.考点：分段函数的求值.6.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12,cos ,3sin 2sin 4a C A B ==-=，则c =________．【答案】4 【解析】试题分析：由3sin 2sin A B =及正弦定理，得32a b =．又因为2a =，所以3b =．由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =． 考点：正余弦定理．7.已知5cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 【答案】13【解析】 【分析】本题首先可根据5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果．【详解】因为cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 45πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题．8.将函数()()cos 2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6π个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则ϕ=___． 【答案】6π 【解析】 【分析】根据函数平移变换关系求出函数解析式，然后将原点坐标代入解析式得出关于ϕ的表达式，结合条件2πϕ<可得出ϕ的值.【详解】将函数()()cos 2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()cos 2y x ϕ=+，再把得到的图象向左平移6π个单位长度，得到cos 2cos 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所得函数图象关于原点对称，()32k k Z ππϕπ∴+=+∈，则()6k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，∴当0k =时，6π=ϕ.故答案为6π． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则c =______．【答案】2- 【解析】 【分析】先求出1a 的值，然后由1n n n a S S -=-得出n a 在2n ≥时的表达式，然后由1a 满足()2n a n ≥，可求出c 的值. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则114a S c ==+.当2n ≥且n *∈N ，()()11122222n n n n n n n n a S S c c ++-=-=+-+=-=.14a c =+适合2n n a =，则42c +=，解得2c =-.故答案2-.【点睛】本题考查了利用等比数列的前n 项和表达式求参数，主要考查公式的运用和处理能力，考查计算能力，属于中等题．10.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文． 【答案】6 【解析】 【分析】设肉价是每两x 文，根据题意列出方程可解得答案.【详解】设肉价是每两x 文，由题意得1630818x x -=+，解得6x =，即肉价是每两6文. 【点睛】本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键. 11.在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝______________． 【答案】16-【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC 34cos∠BAC＝3434100823417+-=-⨯．AB AC ⋅＝cos 16AB AC BAC ⋅∠=-12.已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是______．【答案】10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域和导数()ln f x x ax '=-，令()0f x '=，得出ln xa x=，将问题转化为直线y a =与函数()ln xg x x=在()0,∞+上有两个交点，然后利用导数分析函数()ln xg x x=的单调性和极值，作出图象，利用数形结合思想可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，且()ln f x x ax '=-， 令()0f x '=，得ln ax x =，即ln xa x =，构造函数()ln x g x x=， 则直线y a =与函数()ln xg x x=在()0,∞+上有两个交点. ()21ln xg x x-'=，令()0g x '=，得x e =，列表如下： x()0,ee(),e +∞()g x ' +-()g x极大值1e所以，函数()ln xg x x=的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞，极大值为()1g e e=，如下图所示：当10a e <<时，直线y a =与函数()ln x g x x=在()0,∞+上有两个交点， 因此，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点，可将极值点问题转化为导数的零点问题，并借助参变量分离法与数形结合思想求解，属于中等题.13.已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23a b+的最小值为__________. 【答案】526+【解析】 【分析】设切点的坐标为00(,)x y ，利用导数的几何意义，求得1a b +=，再利用基本不等式，即可求解23a b+的最小值，得到答案. 【详解】由题意，设切点的坐标为00(,)x y ， 又由函数ln()y x b =+，则1y x b'=+， 又由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，则011x b=+，解得01x b =-， 即切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入直线方程y x a =-，得1a b +=， 又因为a 、b 为正实数，则232323()2355b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当a =，即2,3a b ==-5+故答案为5+【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中利用导数的几何意义，求得1a b +=，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14.已知关于x 的不等式()3ln 2x x λ-≤有解，则整数λ的最小值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】令函数()()3ln f x x x =-，利用导数求出函数()y f x =的最小值，即可得出整数λ的最小值.【详解】构造函数()()3ln f x x x =-，则()33ln ln 1x f x x x x x-'=+=-+， ()2130f x x x ''=+>对任意的0x >恒成立，所以，函数()y f x '=在()0,∞+上单调递增. 33ln 1022f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()12ln 202f '=->.由零点存在定理知，存在3,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()3ln 10f t t t '=-+=.当0x t <<时，()0f x '<；当x t >时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在x t =处取得最小值， 即()()()()()2min3393ln 316t f x f t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫==-=--=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由双勾函数的单调性可知，函数96y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以，当322t <<时，391622t t ⎛⎫-<-+<- ⎪⎝⎭，0x ∃>，使得()3ln 2x x λ-≤，926t tλ⎛⎫∴≥-+ ⎪⎝⎭，因此，整数λ的最小值为0. 故答案为0.【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键就是利用极值点所满足的等式来进行代换计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 二、解答题（本大题共6小题）15.已知sin()410απ+=(,)2παπ∈. （Ⅰ）求cos α的值； （Ⅱ）求sin(2)4πα-的值.【答案】(Ⅰ)35；(Ⅱ). 【解析】试题分析：（1）根据同角满足的不同命的三角公式列出方程组，求解即可．（2）根据两角和差公式得到πππsin 2sin2cos cos2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由二倍角公式得到sin2α，cos2α，代入公式即可． 解析：（Ⅰ）由π2sin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭得，12，即1sin cos 5αα+=. ①22sin cos 1αα+= ② 由①②解得3cos 5α=-或cos α= 45. 因为ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos 5α=-. （Ⅱ）因为ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5α=-,2234sin 1cos 155αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭4324sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 2237cos22cos 12525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. πππsin 2sin2cos cos2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 24272252252⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17250=-. 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三．16.在∆ABC 中，记角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，角A 为锐角，设向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n A A =-，且12m n ⋅=． （1）求角A 的大小及向量m 与n 的夹角； （2）若5a =，求∆ABC 面积的最大值．【答案】（1）6A π=，,3m n π=；（2）5(23)4+ 【解析】 分析】（1）由数量积的坐标表示得221cos sin cos 22m n A A A ⋅=-==，根据02A π<<，求；（2）三角形ABC 中，知道一边5a =和对角6A π=，利用余弦定理得关于,b c 的等式，利用基本不等式和三角形面积公式1sin 2S bc A =得ABC ∆面积的最大值． 【详解】（1）221cos sin cos 22m n A A A ⋅=-==因为角为锐角，所以23A π=，6A π=根据1||cos ,2m n m n m n ⋅=⋅⋅<>=，,3m n π=（2）因为5a =，6A π=22252cos6b c bc π=+-得：5(23)bc ≤+15(23)sin 24S bc A +=≤即ABC ∆面积的最大值为5(23)4+ 17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm 2（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm ）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm ）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【答案】（1）x=15cm （2）12【解析】【详解】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出a ，h 与x 的关系式，并注明x 的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S 关于x 的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V 关于x 的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可． 设包装盒的高为，底面边长为由已知得6022,2(30),0302xa x h x x -===-<< （1）∵∴当15x =时，S 取得最大值 （2）根据题意有222(2)(602)22(30)(030)V x x x x x =-=-<< ∴()6220V x x '=-． 由得，(舍)或．∴当()0,?20x ∈时；当()20,?30x ∈时∴当20x时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为26021222x h a x==（－） 即包装盒的高与底面边长的比值为12． 考点：1．函数的应用问题；2．函数的最值与导数；3．二次函数的图像与性质．18.函数()log (2)a f x ax =-.（1）当3a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若()()log (2)a g x f x ax =-+判断()g x 的奇偶性；（3）是否存在实数a 使函数()f x 在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a 值；若不存在，说明理由.【答案】（1）23-∞（，）（2）奇函数(3)12【解析】试题分析：（1）当3a =时，根据230x ->解得32x <；（2）化简()()log (2)log 2a a g x ax ax =--+，先判断定义域关于原点对称，然后利用奇偶性的定义，判断()()g x g x -=-，故函数为奇函数；（3）利用复合函数的单调性可知01a <<，由()31f =解得12a =，经验证符合题意. 试题解析：（1）由题意：()()log 23a f x x =-，∴230x ->，即32x <，所以函数()f x 的定义域为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）易知()()()log 2log 2a a g x ax ax =--+，∵20ax ->且20ax +>，∴22x a a-<<关于原点对称，又∵()()()2log 2log 2log 2a a a axg x ax ax ax-=--+=+， ∴()()22log log 22aa ax axg x g x ax ax+--==-=--+，∴()g x 奇函数.（3）令2ax μ=-，∵0,1a a >≠，，∴2ax μ=-在[]2,3上单调递减，又∵函数()f x 在[]2,3递增，∴01a <<，又∵函数()f x 在[]2,3的最大值为1，∴()31f =，即()()3log 231a f a =-=，∴12a =，∵01a <<，∴12a =符合题意.即存在实数12a =，使函数()f x 在[]2,3递增，并且最大值为1 .点睛：本题主要考查函数的基本性质，考查奇偶性的判断，考查复合函数的单调性等知识.第一问考查函数的定义域，需要对数的真数大于零.第二问考查函数的奇偶性，判断的时候先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断()g x -和()g x 的关系，由此判断()g x 的单调性.复合函数单调性判断主要是根据同增异减. 19.已知数列n a 和n b 满足123(2)().n b n a a a a n N +⋅⋅=∈若n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+（1）求n a 和n b ； （2）设11n n nc a b =-，记数列n c 的前n 项和为n S ①求n S ；②求正整数 k ，使得对任意n N +∈均有k n S S ≥.【答案】（1）a n ＝2n(n ∈N *)．b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．（2）(i) S n ＝1112n n -+ (n ∈N *)．(ii)k ＝4. 【解析】【详解】解：(1)由题意123(2)().n b n a a a a n N +⋅⋅=∈，b 3－b 2＝6，知a 3＝(32(2)b b -)8.设数列{an}的公比为q,又由12a =，得231a q 4a == ，q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{}n a 的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，(1)(1)2123(2)2.n n n n n a a aa ++⋅⋅==故数列{}n b 的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)(i)由(1)知11n n n c a b =-n 1112n n 1⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭(n∈N*)．所以Sn ＝n 11n 12-+ (n∈N*)． (ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n≥5时，cn ＝()()nn n 111n n 12⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦而()()()()()nn 1n 1n n 1n 2n 1n 2n 10222+++++-+-=>得()n5n n 156122+⨯≤<所以，当n≥5时，c n <0.综上，若对任意n∈N*恒有S k ≥S n ，则k ＝4.20.已知函数()()21,xf x x axg x e =++=（其中e 为自然对数的底数）.（1）若1a =,求函数()()·y f x g x =在区间[]2,0-上的最大值； （2）若1a =-,关于x 的方程()()·f x kg x =有且仅有一个根, 求实数k 的取值范围； （3）若对任意[]1212,0,2,x x x x ∈≠,不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-均成立, 求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）2130,,e e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）[]1,22ln 2a ∈--. 【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）若a=-1，关于x 的方程f （x ）=k•g （x ）有且仅有一个根，即()()21xf x x x kg x e -+==，有且只有一个根，令()21xx x h x e-+=，可得h （x ）极大=h （2）=23e ，h （x ）极小=h （1）=1e ，进而可得当k ＞23e或0＜k ＜1e 时，k=h （x ）有且只有一个根；（3）设12x x <，因为()xg x e =在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f （x 1）-f （x 2）|＜g （x 2）-g （x 1）在x 1、x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2恒成立，当a≥-（e x+2x ）恒成立时，a≥-1；当a≤e x-2x 恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a 的取值范围试题解析：（1）当1a =时,()()()()221,'3221xxxy x x e y x x e x x e =++=++=++, 故()()·y f x g x =在[]2,1--上单调递减,[]1,0-上单调递增, 当2x =-时,23y e=, 当0x =时,1y =, 故在区间[]2,0-上max 1y =．（2）当1a =-时, 关于x 的方程为21xx x ke -+=有且仅有一个实根, 则21xx x k e-+=有且仅有一个实根, 设()21xx x h x e-+=,则()()()()()()2222111232'x xx xxx e x x e x x x x h x e e e ---+---+-===-,因此()h x 在(],1-∞和[)2,+∞上单调递减, 在[]1,2上单调递增,()()2131,2h h e e==, 如图所示, 实数k 的取值范围是2130,,e e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（3）不妨设12x x <,则()()122112xx x x f x f x e ee e -<-=-恒成立．因此()()122112xxxxe ef x f x e e -<-<-恒成立, 即()()1212xxe f x e f x -<-恒成立,且()()1212x x e f x e f x +<+恒成立, 因此()xe f x -和()xe f x +均在[]0,2上单调递增,设()()()()221,1xxxxu x e f x e x ax v x e f x e x ax =+=+++=-=---,则()'20x u x e x a =++≥在上[]0,2上恒成立, 因此2x a e x ≥--在[]0,2上恒成立因此()max2x a e x≥--,而2x e x --在[]0,2上单调递减, 因此0x =时,()max21,1xe xa --=-∴≥-．由()'20x v x e x a =--≥在[]0,2上恒成立, 因此2x a e x ≤-在[]0,2上恒成立, 因此()min2xa e x≤-,设()()202xx e x x ϕ=-≤≤,则'2x e ϕ=-．当()'0x ϕ=时,ln 2x =, 因此()x ϕ在()0,ln 2内单调递减, 在()ln 2,2内单调递增,因此()()min ln 222ln 2,22ln 2x a ϕϕ==-∴≤-．综上述,[]1,22ln 2a ∈--． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性。

2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√234．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π35．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．27．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a +b ＞2bB ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）211．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝ ．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ． 15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 ． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 ． 四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值；（2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝（2﹣x ）e x +（1﹣2a ）x ，g （x ）＝ax 2﹣lnx ． （1）讨论函数g （x ）＝ax 2﹣lnx 的单调性；（2）函数h （x ）＝|f （x ）|+g （x ）在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，A ∪B ＝{1，2，3}，∴实数a ＝3．故选：C ．2．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i【解答】解：∵z （1+2i ）＝﹣3+4i ， ∴z =−3+4i 1+2i =(−3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1+2i ， ∴复数z 的实部为1． 故选：A ．3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√23【解答】解：由题可得C ＝45°，再由正弦定理asinA =csinC可得c =asinC sinA =2×√2232=2√63，故选：B ．4．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【解答】解：根据题意，设向量a →，b →的夹角为θ， 若a →⊥（a →−2b →），则有a →•（a →−2b →）=a →2﹣2a →•b →=0， 又由|a →|＝|b →|，则cos θ=12， 又由0≤θ≤π，则θ=π3，故选：C ．5．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，f （﹣x ）＝e ﹣x ﹣e x +2sin x ， ∴f （x ）＝﹣f （﹣x ），故函数f （x ）为奇函数． f ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2cos x ≥2﹣2cos x ≥0，则f （x ）在R 上为增函数．则f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0，化简得f （x 2﹣3）＜﹣f （2x ）， 即f （x 2﹣3）＜f （﹣2x ）， 又∵f （x ）为增函数， ∴x 2﹣3＜﹣2x ， 解得﹣3＜x ＜1． 故选：A ． 6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：原式=2sin(60°+20°)−sin20°cos20°=√3cos20°+sin20°−sin20°cos20°=√3．故选：C ．7．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]【解答】解：x ＞0时，f （x ）＝log 2x ﹣2x ，∴f '（x ）=1xln2−2=1−xln4xln2， 令f '（x ）＝0，x =1ln4， ∴f '（x ）在（0，1ln4）递增，在（1ln4，+∞）递减．∵1ln4∈（0，1），而x ∈（0，1）时，f （x ）＜0，∴f （x ）的最大值为f （1ln4）＜0，∴x ＞0时，f （x ）无零点．∴x ≤0，f （x ）有两个零点，﹣2π＜﹣ωπ+π3≤−π，43≤ω＜73． 故选：B ．8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解答】解：∵cos x 在（0，π2）上单调递减，∴cos1≈cos57°＜cos53°＝0.6，∴cos1＜35，即b ＜a ； c =1−(log 52)21+(log 52)2=−1+21+(log 52)2；∵0＜log 52＜log 5√5=12，∴35＜−1+21+(log 52)2＜1，∴b ＜a ＜c ． 故选：B ．二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ） A ．a +b ＞2b B ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b【解答】解：对于A ，∵a ＞b ，b ＝b ， ∴a +b ＞b +b ＝2b ，故A 正确，对于B ，令a ＝1，b ＝﹣1，满足a ＞b ，1a＞1b，故B 错误，对于C ，当c ＝0时，ac ＝bc ，故C 错误， 对于D ，∵a ﹣c ＞b ﹣c ， ∴e a ﹣c ＞e b ﹣c ，又∵a ＞b ，∴由不等式的可加性可得，e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b ，故D 正确．故选：AD ．10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）2【解答】解：A ：∵F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，∴EF →=12AB →，∴A 正确，B ：∵F 是靠近C 的四等分点，∴AF →=AD →+DF →=AD →+34DC →=34AB →+AD →，∴B 错误，C ：∵E 是靠近D 的四等分点，∴BE →=BC →+CE →=AD →+34CD →=−34AB →+AD →，∴C 正确，D ：∵BE →•AF →=（−34AB →+AD →）•（34AB →+AD →）=AD →2−916AB →2，∴D 错误， 故选：AC ．11．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称【解答】解：显然f （﹣x ）=tan(|−x|+π4)=tan(|x|+π4)=f （x ），故f （x ）是偶函数，故A 正确；因为f(−π4)=tan π2不存在，而f(−π4+π)=f(3π4)=tan π＝0，显然f （−π4）≠f(3π4)，故B 错误；x ∈(0，π4)时，f(x)=tan(x +π4)满足π4＜x +π4＜π2，因为y ＝tan x 在（π4，π2）上单调递增，故原函数f （x ）在区间（0，π4）上单调递增，故C 正确；因为f （−π3）=√3+11−3=−2−√3，f （3π2+π3）=tan π12，结合tan π6=2tan π121−tan 2(π12)=√33解得tanπ12=2−√3，因为f(−π3)+f(3π2+π3)≠0，故f （x ）的图像不关于点（3π4，0）对称，故D 错误． 故选：AC ．12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列 B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 【解答】解：由正五边形的性质得∠ACE =α=π5，所以∠D 1AC 1＝α， 作∠AD 1C 1＝α的角平分线D 1M ，取D 1C 1中点N ，连接AN ，则AN ⊥D 1C 1， 所以∠AD 1M ＝∠C 1D 1M ＝α，所以MD 1＝MA ＝D 1C 1． 令MD 1＝MA ＝D 1C 1＝1，MC 1＝x ， 则C 1M C 1D 1=C 1D 1AC 1，所以1＝x （x +1），解得x =√5−12，所以cosC 1=cos2α=C 1N C 1A =√5−14， 所以cos 2α=12(1+cos2α)=12⋅√5+34=√5+38=2√5+616=(√5+14)2， 所以cosα=√5+14，故C 选项正确；因为a 2＝1，△ABE △C 1AE ，所以AB BE=AC 1AE，即12⋅√5+12+a 2=√5+12a 1，所以a 12=(√5+2)(√5+1)2=7+3√52，所以(a2a 1)2=27+3√5=2(7−3√5)4=(3−√52)2，即q =3−√52，故A 选项正确，B 选项错误； 由于5α＝π，则10α＝2π，所以cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos[（θ﹣4α）+10α]+cos[（θ﹣2α）+10α] ＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ﹣4α）+cos （θ﹣2α） ＝cos θ+2cos θcos4α+2cos θcos2α＝cos θ（1+2cos4α+2cos2α） ＝cos θ[1+2⋅（2cos 22α﹣1）+2cos2α]＝cos θ（4cos 22α+2cos2α﹣1） =cosθ[4×(√5−14)2+√5−12−1]=0，故D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝12．【解答】解：定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0， 则f （f （2021））＝f （f （505×4+1））＝f （f （1））＝f （﹣tan π4）＝f （﹣1）＝|﹣1+12|=12，故答案为：12．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ﹣e ． 【解答】解：设切点为（m ，n ）， 由f （x ）＝x ﹣alnx ，得f ′（x ）＝1−ax ， 则{1−am=22m =m −alnm，解得：m ＝e ，a ＝﹣e ．故答案为：﹣e ．15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 34+√22． 【解答】解：∵a x＝2，b 2y＝2，∴a =21x （a ＞1，x ＞0），b =212y （b ＞1，y ＞0）；∵ab ＝4，∴21x×212y =4，1x+12y=2，∴x +y =12×（1x +12y ）（x +y ）=12×（32+y x +x 2y）， ∵x ＞0，y ＞0，∴y x＞0，x 2y＞0，∴yx +x2y ≥2√yx ×x2y =√2，x +y ≥12×（32+√2）=34+√22，当且仅当y x =x 2y ，1x +12y=2时取等号，∴x +y 的最小值为34+√22． 故答案为：34+√22． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 8 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 3 ． 【解答】解：f （4﹣x ）=13−x +12−x +11−x =−f （x ），f （x ）关于（2，0）对称， f '（x ）=−1(x−1)2−1(x−2)2−1(x−3)2＜0，∴f （x ）在（﹣∞，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）递减， x →1+时，x →+∞，x →2﹣时，x →﹣∞，x →2+时，x →+∞，x →3﹣时，x →﹣∞，x →3+时，x →+∞，作出f （x ）图像，作出g （x ）图像，则f （x ）与g （x ）有四个交点，四个实根设为t 1，t 2，t 3，t 4，则t 1+t 2+t 3+t 4＝4+4＝8， 令f （x ）＝1，则x 3﹣9x 2+23x ﹣17＝0，由韦达定理可知x 1+x 2+x 3＝9， ∴x 1﹣1+x 2﹣2+x 3﹣3＝9﹣6＝3． 故答案为：8；3．四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【解答】解：（1）设公差d 不为0的等差数列{a n }中，首项为a 1，满足S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52，所以{4a 1+4×32d =2×(a 1+3d)+2(a 1+d)2+(a 1+5d)2=(a 1+3d)2+(a 1+4d)2，解得{a 1=1d =2；故a n ＝2n ﹣1；（2）由（1）得：b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)；所以T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．【解答】解：（1）根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象，可得A ＝1，可得：f （0）＝sin φ=√22，可得：φ=π4，可得f （x ）＝sin （ωx +π4）， 又f （−π4）＝sin （−π4ω+π4）＝0， 可得：−π4ω+π4=k π，k ∈Z ，解得ω＝1﹣4k ，k ∈Z ， 当k ＝0时，可得ω＝1，可得函数f （x ）的解析式为f （x ）＝sin （x +π4）． （2）因为f （θ）＝sin （θ+π4）=√22×（sin θ+cos θ）=513， 所以sin θ+cos θ=5√213，两边平方，可得1+sin2θ=50169， 可得sin2θ=−119169．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值； （2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．【解答】解：（1）∵AC →=λAD →，∴AP →=25AB →+15AC →=25AB →+15λAD →， ∵B ，D ，P 三点共线， ∴25+15λ＝1，∴λ＝3．（2）证明：∵AP →=25AB →+15AC →，∴AP →•BC →=（25AB →+15AC →）•（AC →−AB →）=15AC →2−25AB →2+15AB →⋅AC →=0， 即b 2﹣2c 2+ab cos A ＝0，∴b 2﹣2c 2+ab ×b 2+c 2−a 22bc=0，∴a 2﹣3b 2+3c 2＝0，即2（a 2+c 2﹣b 2）＝a 2+b 2﹣c 2，∴2c cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得2sin C cos B ＝sin B cos C ，∴tan B ＝2tan C ． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ，对任意实数x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣ax 2+x ＜0恒成立，当a ≤0时，则f （1）＝1﹣a ＞0，这与f （x ）＜0在x ∈（0，+∞）上恒成立矛盾，故舍去；当a ＞0时，f '（x ）=1x−2ax +1， 因为f '（x ）在（0，+∞）上单调递减， 又f ′(12a )=2a ＞0，f′(1+1a )=a a+1−2a −1＜0， 故存在唯一的x 0∈(12a ，1+1a )，使得f '（x 0）＝0，即1x 0−2ax 0+1=0，且当x ∈（0，x 0）时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 当x ∈（x 0，+∞）时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减，故当x ＝x 0时，f （x ）取得最大值f （x 0）=lnx 0−ax 02+x 0=lnx 0−x 0+12+x 0=lnx 0+x 02−12＜0， 解得0＜x 0＜1， 故a =12(1x 0+1x 02)＞1， 所以实数a 的取值范围为（1，+∞）；（2）当a =12时，f(x)=lnx −12x 2+x ，若f （x 1）+f （x 2）＝1，则lnx 1−12x 12+x 1+lnx 2−12x 22+x 2=1， 故ln(x 1x 2)−12(x 1+x 2)2+x 1x 2+x 1+x 2=1， 所以12(x 1+x 2)2−(x 1+x 2)+1=ln （x 1x 2）+x 1x 2≤ln(x 1+x 22)2+(x 1+x 22)2， 令t =x 1+x 22，则2t 2﹣2t +1≤lnt 2+t 2，即t 2﹣2t +1﹣2lnt ≤0， 令h （t ）＝t 2﹣2t +1﹣2lnt ，则h '（t ）=2t −2−2t =2(t 2−t−1)t，令h '（t ）＝0，解得t =1+√52， 所以当0＜t ＜1+√52时，h '（t ）＜0，则h （t ）单调递减， 当t ＞1+√52时，h '（t ）＞0，则h （t ）单调递增， 又h （1）＝0，h （3）＝4﹣2ln 3＞0， 故h （t ）在(1+√52，3)上有唯一的零点t 0， 又当1≤t ≤t 0时，h （t ）≤0， 故2≤x 1+x 2≤2x 0，所以x 1+x 2的最小值为2，当且仅当x 1＝x 2＝1取等号．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）设DC ＝m ，则BD ＝8m ， 所以在△ABD 和△ABC 中，分别利用余弦定理得：cos ∠ABC =a 8m =a 2+8lm 2−a 22⋅9m⋅a =9m 2a，所以a 2＝36m 2⇒a ＝6m ， 所以cos ∠ABC =34，（2）根据题意，观景点B 与与摩天轮上任意一点P 之间距离不超过√239， 即(PB)max ≤√239，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，连接BQ ，PB ，要使PB 尽可能的大，则点P 摩天轮同一竖直线上，且在直线m 的上方部分，且Q 在点A 的右侧，如图，设PQ ＝h ，AQ ＝x ，a ≤h ≤a +6， 则（h −a ）2+x 2＝36⇒h 2+a 2+x 2−2ah ＝36， 所以PB =√BQ 2+PQ 2=√AB 2+AQ 2−2AB ⋅AQ(−34)+PQ 2=√a 2+x 2+32ax +ℎ2=√36+2a ℎ+32ax =√36+a(2ℎ+32x)， 令{ℎ=a +6cosθx =6sinθ，则2ℎ+32x =2a +12cosθ+9sinθ=2a +15sin(θ+φ)≤2a +15，（其中tanφ=34)， 所以(PB)max =√36+2a 2+15a ≤√239， 2a 2+15a −203≤0， 解得a ≤7，所以实数a的取值范围是（6，7]．22．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x，g（x）＝ax2﹣lnx．（1）讨论函数g（x）＝ax2﹣lnx的单调性；（2）函数h（x）＝|f（x）|+g（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣lnx的定义域为（0，+∞），则g'（x）=2ax−1x=2ax2−1x，所以当a≤0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，令g'（x）＝0，解得x=√12a，当x∈（0，√12a）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，当x∈（√12a，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，所以f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．（2）因为f（1）＝e+1﹣2a，①当f（1）＝e+1﹣2a＜0，即a＞e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＜0，此时h（x）＝（x﹣2）e x﹣（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（x﹣4）e x﹣（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝4a﹣2＞0，这与x＝1处取得极小值矛盾；②当f（1）＝e+1﹣2a＞0，即a＜e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＞0，此时h（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x+（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝0，又h''（x）＝﹣xe x+2a+12，所以h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，则h''（x）在（0，+∞）上单调递减，（i）若h''（x）≤0，即﹣e+2a+1≤0，a≤e−12时，此时当x＞1时，h''（x）＜0，则h'（x）单调递减，则h'（x）＜h'（1）＝0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，h（x）不可能在x＝1处取得极小值，故舍去；（ii）若h''（x）＞0，即﹣e+2a+1＞0，a＞e−12时，h''（2a）=−2ae2a+2a+14a2＜14a2−4a2＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2a），使得h''（x0）＝0，且当0＜x＜x0时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，则当1﹣σ0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x0，1+σ0}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，所以此时满足函数h（x）在x＝1处取得极小值，故实数a的取值范围为(e−12，e+12)；③当f（1）＝e+1﹣2a＝0，即a=e+12时，存在x∈（1﹣σ1，1+σ1）（σ1为足够小的正数），使得f（x）≥0，此时h（x）＝（2﹣x）e x﹣ex+e+12x2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x﹣e+（e+1）x−1 x，又h'（1）＝0，则h''（x）＝﹣xe x﹣e+1+1x2，h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，故h''（x）在（0，+∞）上单调递减，由于h''（1）＝2＞0，h''（2）=−2e2+e+1+14＜0所以存在唯一的x1∈（1，2），使得h''（x1）＝0，则当0＜x＜x1时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，故当0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x1，1+σ1}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，此时满足h（x）在x＝1处取得极小值．综上所述，实数a的取值范围为(e−12，e+12]．。

2021年江苏省淮安市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知M，N均为R的子集，且（∁R N）∩M＝∅，则M∪N＝（）A．N B．M C．∅D．R2．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（）A．B．C．D．3．已知a为实数，复数z＝（a﹣2）+ai（ i为虚数单位），复数z的共轭复数为，若z2＜0，则1﹣＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．2+i D．2﹣i4．设a＝sin246°，b＝cos235°﹣sin235°，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．比莎斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名，把地球看作一个球（球心记为O），地球上的一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，OA的方向即为A点处的竖直方向．已知斜塔处于北纬44°，经过测量，比莎斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为4°，则中轴线与赤道所在平面所成的角为（）A．50°B．48°C．42°D．40°6．函数f（x）＝e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．7．某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）A．4πB．C．D．8．已知a＞0，b＞0，且，则a，b的值不可能是（）A．B．C．D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若随机变量ξ～N（0，1），则下列结论正确的是（）A．该正态曲线关于直线x＝1对称B．若P（ξ≤1.52）＝0.9357，则P（ξ＞1.52）＝0.0643C．若P（ξ≤1.49）＝0.9319，则P（ξ≤﹣1.49）＝0.9319D．当x＞0时，若P（ξ≥x）＝φ（x），则P（|ξ|≥x）＝2φ（x）10．已知曲线，则下列结论正确的有（）A．曲线C关于原点对称B．曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2πC．曲线C不是封闭图形，且图形以x轴和y轴为渐近线D．曲线C与圆x2+y2＝4有4个公共点11．在三维空间中，定义向量的外积：×叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①⊥（×），⊥（×），且，和×构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②×的模|×|＝||||sin＜，＞（＜，＞表示向量，的夹角）．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（）A．B．C．与方向相同D．与正方体表面积的数值相等12．甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n（n∈N*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为．如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P（n），则（）A．B．C．D．P（n）的最大值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，且f（﹣1）＝2f（10）+3，则f（2021）＝．14．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a＝时，满足条件“b＝2，A＝30°”的△ABC有两个．（仅写出一个a的具体数值即可）15．在的二项展开式中，常数项为．16．已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，平面内有动点E，满足|ED|＝2|EC|，则•的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+c）（a﹣c）＝b（b+c）．（1）求角A的大小；（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且______．求线段AD的长．①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且a n+2﹣2a n+1+a n＝4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，n∈N*，求{b n}的最小值．19．机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5违章驾驶人次125 105 100 90 80（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y与月份x之间的关系，求y关于x的回归方程，并预测该路口月份不“礼让行人”违规驾驶人次；（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过2年24 16驾龄2年以上26 24能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会．附：＝＝＝﹣．，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2，PD⊥平面ABCD，且PD ＝2，平面PAB与平面PCD的交线为l．（1）求证：l∥AB；（2）试建立适当的空间直角坐标系，并求点A在平面PBC上的射影A'的坐标．21．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为．（1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．22．已知函数f（x）＝lnx﹣x+1，g（x）＝e x﹣1．（1）求f（x）的最大值；（2）当x∈[2，+∞）时，证明：g（x）＞2x（x﹣1）；（3）证明：．（参考数据：自然对数的底数e≈2.71828）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知M，N均为R的子集，且（∁R N）∩M＝∅，则M∪N＝（）A．N B．M C．∅D．R解：结合韦恩图可知，当M⊆N时，（∁R N）∩M＝∅，故M∪N＝N．故选：A．2．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（）A．B．C．D．解：甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n＝＝10，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m＝＝9，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率p＝．故选：D．3．已知a为实数，复数z＝（a﹣2）+ai（ i为虚数单位），复数z的共轭复数为，若z2＜0，则1﹣＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．2+i D．2﹣i解：z2＜0，则（a﹣2）2﹣a2+2a（a﹣2）i＜0，即4﹣4a+2a（a﹣2）i＜0，∴4﹣4a＜0，2a（a﹣2）＝0，解得a＝2．∴z＝2i，则1﹣＝1﹣（﹣2i）＝1+2i，故选：B．4．设a＝sin246°，b＝cos235°﹣sin235°，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c解：因为sin45°＜sin46°＜sin60°，所以＜sin46°＜，所以sin246°＜，可得；因为b＝cos235°﹣sin235°＝1﹣2sin235°，又sin30°＜sin35°＜sin45°，所以＜sin235°＜，所以﹣1＜﹣2sin235°＜﹣，所以1﹣2sin235°∈（0，），即0，所以a＞b，又＝•＝tan64°，因为tan64°＞tan60°，可得tan64°，可得c＝tan64°＞＞，所以c＞a，综上，可得c＞a＞b．故选：D．5．比莎斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名，把地球看作一个球（球心记为O），地球上的一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，OA的方向即为A点处的竖直方向．已知斜塔处于北纬44°，经过测量，比莎斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为4°，则中轴线与赤道所在平面所成的角为（）A．50°B．48°C．42°D．40°解：如图所示，AP为比莎斜塔的中轴线，∠AOD＝44°，∠BAP＝4°，则∠PAC＝40°，即中轴线与赤道所在平面所成的角为40°．故选：D．6．函数f（x）＝e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．解：由函数f（x）＝e sinx（﹣π≤x≤π），可知y＝e t是单调递增的函数，而函数y＝sinx在[）和单调递减；在（）单调递增，由此可得原函数函数f（x）＝e sinx在[）和单调递减；在（）单调递增，所以符合的只有B选项，故选：B．7．某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）A．4πB．C．D．解：设半球的半径为R，则R＝2，小圆锥的高为4，大圆锥的高为3，整个保鲜封闭装置的体积为＝，小圆锥的半径为r，则r2＝R2﹣（4﹣3）2＝22﹣1＝3，所以，故小圆锥的体积为，所以充氮区空间最小可以为．故选：B．8．已知a＞0，b＞0，且，则a，b的值不可能是（）A．B．C．D．解：∵，a＞0，b＞0，∴，y（a）＝在a∈（0，+∞）上为增函数，在b∈（0，+∞）上为减函数，当a＝2时，y（2）＝，∵b＝sin31°＞，y（b）＜＝，即左边大于右边，故选项A错误，＞2，则，，则，即左边大于右边，故选项B错误，当a＝1时，，b＝2＞1，，则左边小于右边，故选项D错误．故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若随机变量ξ～N（0，1），则下列结论正确的是（）A．该正态曲线关于直线x＝1对称B．若P（ξ≤1.52）＝0.9357，则P（ξ＞1.52）＝0.0643C．若P（ξ≤1.49）＝0.9319，则P（ξ≤﹣1.49）＝0.9319D．当x＞0时，若P（ξ≥x）＝φ（x），则P（|ξ|≥x）＝2φ（x）解：由已知得，该分布为标准正态分布曲线，且μ＝0，σ＝1．对称轴为x＝0，故A错；因为P（ξ≤1.52+P（ξ＞1.52）＝1，故B正确；因为对称轴为x＝0，故P（ξ≤1.49）＝0.9319＝P（ξ≥﹣1.49）＝0.9319，故C错误；由对称轴为x＝0可知，当x＞0时，若P（ξ≥x）＝φ（x），则P（ξ≤﹣x）＝P（ξ≥x）＝φ（x），故P（|ξ|≥x）＝2φ（x），D正确．故选：BD．10．已知曲线，则下列结论正确的有（）A．曲线C关于原点对称B．曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2πC．曲线C不是封闭图形，且图形以x轴和y轴为渐近线D．曲线C与圆x2+y2＝4有4个公共点解：由于（x，y）与（﹣x，﹣y）都满足方程，故曲线C关于原点对称，A正确；当x→+∞时，|y|→1，∴曲线C不是封闭曲线，且x轴不是图形的渐近线，故BC错误；联立，解得或或或．∴曲线C与圆x2+y2＝4有4个公共点，故D正确．故选：AD．11．在三维空间中，定义向量的外积：×叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①⊥（×），⊥（×），且，和×构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②×的模|×|＝||||sin＜，＞（＜，＞表示向量，的夹角）．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（）A．B．C．与方向相同D．与正方体表面积的数值相等解：对于A，由×模的定义知，|×|＝||||sin＜，＞＝||||sin＜，＞＝|×|，所以A对；对于B，由，和×构成右手系知，×与×方向相反，再由A知，×＝﹣×，所以B错；对于C，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1⇒A1C1⊥平面BB1D1D，BD1⊂平面BB1D1D⇒BD1⊥A1C1，BD1⊥A1D，再由右手系知，与同向，所以C对；对于D，正方体棱长为a，＝＝6a•a•＝6a2，正方体表面积为6a2，所以D对．故选：ACD．12．甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n（n∈N*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为．如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P（n），则（）A．B．C．D．P（n）的最大值为解：若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，∴P（2）＝＝，故A错误；若甲、乙比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局，∴P（3）＝＝，故B错误；在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n+1局，∴P（n）＝+•••+＝（）•（）2n＝＝，故C正确；∵P（n）＝，∴当n＝1时，P（n）取最大值，故D正确．故选：CD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，且f（﹣1）＝2f（10）+3，则f（2021）＝ 1 ．解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，∴f（10）＝f（1）＝﹣f（﹣1），∵f（﹣1）＝2f（10）+3，∴f（﹣1）＝﹣2f（﹣1）+3，∴f（﹣1）＝1，∴f（2021）＝f（﹣1）＝1，故答案为：1．14．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a＝ 1.5 时，满足条件“b＝2，A＝30°”的△ABC有两个．（仅写出一个a的具体数值即可）解：由正弦定理得，所以sinB＝，由△ABC有两个得B有两个，可能为锐角，也可能为钝角，所以B＞A，sinB＜1所以b＞a，＜1，即1＜a＜2，故答案为：1.5．（答案不唯一）．15．在的二项展开式中，常数项为10 ．解：的通项公式为T k+1＝x5﹣k＝（﹣1）k x5﹣2k，∴常数项为x•（﹣1）3x﹣1+••（﹣1）2•x＝2﹣＝10．故答案为：10．16．已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，平面内有动点E，满足|ED|＝2|EC|，则•的取值范围为[12，24] ．解：因为平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，建立如图所示坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（5，2），D（2，2），设E（x，y），∵平面内有动点E，满足|ED|＝2|EC|，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4[（x﹣5）2+（y﹣2）2]，即：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4，故（x﹣6）2≤4⇒4≤x≤8，∵•＝＝（3，0）•（x，y）＝3x∈[12，24]．故答案为：[12，24]．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+c）（a﹣c）＝b（b+c）．（1）求角A的大小；（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且______．求线段AD的长．①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线．解：（1）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且（a+c）（a﹣c）＝b（b+c），可得a2﹣c2＝b2+bc，由余弦定理可得cosA＝＝﹣．∵0＜A＜π，∴．（2）选②AD是△ABC的中线，∵AD是△ABC的中线，∴，∴，∵b＝3，c＝4，，∴＝，∴＝．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且a n+2﹣2a n+1+a n＝4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，n∈N*，求{b n}的最小值．解：（1）∵a n+2﹣2a n+1+a n＝4，n∈N*，∴a n+2﹣a n+1﹣（a n+1﹣a n）＝4，n∈N*．∴数列{a n+1﹣a n}为等差数列，首项为a2﹣a1＝3﹣1＝2，公差为4，∴a n+1﹣a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝4（n﹣1）﹣2+4（n﹣2）﹣2+……+4×1﹣2+1＝+1＝2（n﹣1）2+1．∴a n＝2（n﹣1）2+1．（2）＝+1＝2n+﹣3≥2×﹣3＝1，当且仅当n＝1时取等号，∴{b n}的最小值为1．19．机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5违章驾驶人次125 105 100 90 80（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y与月份x之间的关系，求y关于x的回归方程，并预测该路口月份不“礼让行人”违规驾驶人次；（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过2年24 16驾龄2年以上26 24能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会．附：＝＝＝﹣．，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635解：（1）由已知得：，．，，所以＝，．故．所以x＝9时，，即可预测该路口9月份不“礼让行人”的违章驾驶人次约为46．（2）由题意，得2×2列联表为：不礼让行人礼让行人合计驾龄不超过1年24 16 40驾龄1年以上16 14 30合计40 30 70≈0.311＜2.706．所以没有90%的把握认为礼让行人的行为与驾龄有关．文明驾驶、安全驾驶是行车驾车的基本要求．20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2，PD⊥平面ABCD，且PD ＝2，平面PAB与平面PCD的交线为l．（1）求证：l∥AB；（2）试建立适当的空间直角坐标系，并求点A在平面PBC上的射影A'的坐标．解：（1）证明：因为AB∥CD，AB⊂平面PAB，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，因为平面PAB∩平面PCD＝l，所以AB∥l．（2）以D为原点，以DA，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系，可得A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），＝（1，1，﹣2），＝（0，2，﹣2），可得设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），所以，即，令y＝1，则x＝1，z＝1，所以（1，1，1），设A′的坐标为（x0，y0，z0），AA′＝（x0﹣1，y0，z0），由AA′∥，可得＝＝，所以x0﹣1＝y0＝z0，可得＝（1﹣x0，1﹣y0，﹣z0），因为⊥，所以1﹣x0+1﹣y0﹣z0＝0，所以2＝x0+y0+z0，所以2＝x0+x0﹣1+x0﹣1，解得x0＝，y0＝，z0＝，所以点A在平面PBC的射影A′的坐标为（，，）．21．已知双曲线的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为．（1）求双曲线C的方程；（2）设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．解：（1）由题意可得，渐近线的方程为bx±ay＝0，设M（x，y），则•＝＝，又＝2，即c2＝4a2，所以b2＝3a2，所以a2＝1，b2＝3，所以双曲线的方程为x2﹣＝1．（2）由（1）知，F（2，0），设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立x2﹣＝1，得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，所以△＝16k4+4（4k2+3）（3﹣k2）＝36（k2+1）＞0，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，所以|PQ|＝|x1﹣x2|＝•＝||，所以y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，所以PQ的中点坐标为（，），所以线段PQ的垂直平分线的方程为y＝﹣（x﹣）+，整理得y＝﹣x+，所以B（，0），则|BF|＝|﹣2|＝||，所以＝1．22．已知函数f（x）＝lnx﹣x+1，g（x）＝e x﹣1．（1）求f（x）的最大值；（2）当x∈[2，+∞）时，证明：g（x）＞2x（x﹣1）；（3）证明：．（参考数据：自然对数的底数e≈2.71828）（1）解：∵f（x）＝lnx﹣x+1 （x＞0）∴f′（x）＝﹣1＝，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）≤f（1）＝0，∴f（x）的最大值为0；（2）证明：设h（x）＝e x﹣1﹣2x（x﹣1）＝e x﹣2x2+2x﹣1，故h′（x）＝e x﹣4x+2，h″（x）＝e x﹣4，x∈[2，+∞）时，h″（x）＞0，故h′（x）在[2，+∞）递增，故h′（x）≥h′（2）＝e2﹣6＞0，h（x）在[2，+∞）递增，故h（x）≥h（2）＝e2﹣5＞0恒成立，故当x∈[2，+∞）时：g（x）＞2x（x﹣1）；（3）证明：要证：．即证：ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜ln，由（1）可知：x＞0，lnx≤x﹣1，故ln（1+x）＜x对于x∈（0，+∞）恒成立，∵∀n∈N*，n≥2，0＜＜1，∴ln（1+）＜，而依据第（2）问当x∈[2，+∞）时，e x﹣1＞2x（x﹣1），故n≥2时，＜＝（﹣），故ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+＜（1﹣+﹣+…+﹣）＝﹣＜，又∵e＜＝，∴＜，即＜ln，故ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜ln，∴．。

2021年江苏省淮阴区高三上学期期中调研测试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合}|{},1|{a x x B x x A <=>=，若R B A =⋃，则实数a 的取值范围为2．复数i i z +-=2)21(的实部为3．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．4．从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为5．函数)62sin(2π-=x y 的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为7．等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ，则=3a8．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.9．在平面直角坐标系中，直线0323=+-y x 被圆422=+y x 截得的弦长为10．设函数1sin )1()(22+++=x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M 11．已知点),1(m P 是函数x ax y 2+=图像上的点，直线b y x =+是该函数图像在P 点处的切线，则=-+m b a12．设P 为ABC ∆中线AD 的中点，D 为边BC 中点，且2=AD ，若3PB PC ⋅=-，则AB AC ⋅=13．若存在正数x 使1)(<-a x e x 成立，则a 的取值范围是14．已知0,0,1≠>=+x y y x ，则1||||21++y x x 的最小值为二、解答题15．（本题满分14分）已知2tan ),,2(-=∈αππα（1）求)4sin(απ+的值； （2）求)232cos(απ-的值 16．（本题满分14分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，AD PD =，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD 交PD 于点E. （1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）若O BD AC =⋂，证明//FO 平面AED17．（本题满分15分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，短轴上端点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点A ，连接AO 并延长交椭圆于点D ，过O F 、、B 三点的圆的圆心为C（1）若C 的坐标为）（1,1-，求椭圆方程和圆C 的方程； （2）若AD 为圆C 的切线，求椭圆的离心率18．为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2米，内部划分为不同区域种植不同花草 如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB 的顶点O 为圆心，A在圆周上，B 在半径OQ 上，设计要求 120=∠ABO（1）请设置一个变量x ，写出该蝶形区域的面积S 关于x 的函数表达式；（2）x 为多少时，该蝶形区域面积S 最大？ P O B QA19．（本题满分16分）设数列}{n a 的前n 项和为n S（1）若数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，求常数t m ,的值，使t ma S n n +=对一切大于零的自然数n 都成立（2）若数列}{n a 是首项为1a ，公差0≠d 的等差数列，证明：存在常数b t m ,,使得b ta ma S n n n ++=2对一切大于零的自然数n 都成立，且21=t （3）若数列}{n a 满足b ta ma S n n n ++=2，+∈N n ，b t m 、、（0≠m ）为常数，且0≠n S ，证明：当21=t 时，数列}{n a 为等差数列 20．（本题满分16分）已知函数x e e x f x x 2)(--=-，R x ∈（1）证明)(x f 为奇函数，并在R 上为增函数；（2）若关于x 的不等式322)(-+-≤m x mex f x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围（3）设)(4)2()(x bf x f x g -=，当0>x 时，0)(>x g ，求b 的最大值参考答案1．1>a【解析】试题分析：当1a ≤时，{|1}AB x x x a R =><≠或，当1a >时，A B R =考点：集合运算2．3-【解析】试题分析：2(12)14433z i i i i i =-+=--+=--，所以实部为3- 考点：复数运算3．60【解析】 试题分析：应从一年级本科生中抽取4300604556⨯=+++名学生．考点：分层抽样 4．31【解析】试题分析：从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，6种取法，其中所取两个数的和为5的有(1,4),(2,3),2种取法，所以概率为21=63 考点：古典概型概率5．6x π=-【解析】试题分析：由2=+()62x k k Z πππ-∈得对称轴的方程为=+()32k x k Z ππ∈，其中离坐标原点最近的为6x π=-考点：三角函数对称轴6．9【解析】试题分析：第一次循环：1lg ,33S i ==；第二次循环：131lg +lg lg ,5355S i ===；第三次循环：151lg +lg lg ,7577S i ===；第四次循环：171lg +lg lg ,9799S i ===；第二次循环：191lg +lg lg 1,91111S ==<-输出9i =.考点：循环结构流程图7．4【解析】试题分析：由题意得：42511334215151512()146222a a q q q q a a a a q q q --+=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒=--或舍考点：等比数列8．【解析】试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rl r l r ππ==，h =，所以圆柱的侧面积22S rl r π==，其底面积为2r π，所以圆柱的侧面积是底面积的.考点：旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.9．2【解析】试题分析：圆心到直线距离为d ==2.= 考点：直线与圆位置关系10．2【解析】 试题分析：22sin ()11x x x f x x +=++，所以22sin ()()11x x x g x f x x +=-=+为奇函数，其取值范围为[1,1]m M --，因此(1)12m M M m --=-⇒+=考点：奇函数性质11．2【解析】试题分析：因为22y a x '=-，所以21,1a a -=-=，从而23,14m a b m =+==+=，2.a b m +-= 考点：导数几何意义12．0【解析】试题分析：因为+2,,PB PC PD PB PC CB =-=所以2244,PB PC PD CB ⋅=-同理2244,AB AC AD CB ⋅=-从而222244443410.AB AC PB PC AD PD AB AC PB PC AD PD ⋅-⋅=-⇒⋅=⋅+-=-+-=考点：向量数量积13．1->a【解析】试题分析：由题意得：min (),(0)x a x e x ->->，由于函数x y x e -=-单调递增，所以011x x e -->-=-，因此1a >-考点：不等式恒成立14．43【解析】试题分析：1||||2||1312||12||24||24||444x x y x x y x x x x y x y x x y x x x +++=+=++≥=-=+++-，当且仅当0,22,1x x y x x y <+=-+=即2,3x y =-=时取等号考点：基本不等式求最值15．（12）【解析】试题分析：（1）给值求值问题，首先要分析角之间关系，本题可化为同角，即απαπαπsin 4cos cos 4sin )4sin(+=+，因此只需由2tan ),,2(-=∈αππα根据同角三角函数关系求出：552sin =α，55cos -=α，代入即得)4sin(απ+10101=（2）本题为二倍角关系，可利用二倍角的正余弦公式进行求解：==αααcos sin 22sin 54-，53sin cos 2cos 22-=-=ααα 103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ试题解析：解：（1）由2tan ),,2(-=∈αππα 得552sin =α，55cos -=α 4分，每个数据2分 απαπαπsin 4cos cos 4sin )4sin(+=+ 公式2分 10101= 结论2分（2）==αααcos sin 22sin 54- 2分，公式和结论各1分 53sin cos 2cos 22-=-=ααα 2分，也可以用平方关系方法得到103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ考点：给值求值16．（1）详见解析，（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用其判定定理，即证线线垂直：由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥由,,AD PD AD DC PD DC C ⊥⊥=,PD DC PDC ⊂面⊥⇒AD 平面PDC ，CF PDC ⊂面CF AD ⊥⇒由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥ ,,,AF CF ADF ⊂面⊥⇒CF 平面ADF （2）证明线面平行一般利用其判定定理，即证线线平行：因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点，从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED试题解析：（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥（1分）由C DC AD DC AD PD AD =⊥⊥ ,,⊥⇒AD 平面PDC（3分，少一个条件扣一分）CF AD ⊥⇒（1分）由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥ ,,⊥⇒CF 平面ADF （2分）（2）因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点 从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED ，本小题方法较多，关键采分点是证明线面平行的相关要素 考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理17．（1）椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆方程及圆方程，一般利用待定系数法求解：因为三角形BFO 为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF 中点C ，由C 点坐标为)1,1(-得，2,2==c b ，所以222c b a +=8=，圆半径2==CO r ，所以椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x（2）圆的切线问题一般转化为圆心到切线距离等于半径，本题由于切点为O ，所以转化为AO CO ⊥，先由直线BF 方程与椭圆方程求出A 点坐标),)(2(2232222c a b c a c c a A +-+-，再代入AO CO ⊥得：2242c a b =22221b a c e e ⇒=⇒-=⇒-=⇒=试题解析：（1）因为三角形BFO 为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF 中点C ，由C 点坐标为)1,1(-得，2,2==c b ，所以222c b a +=8=， 圆半径2==CO r ，所以 椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x （4分，每个方程2分） （2）由AD 与圆C 相切，得 CO AD ⊥BF 方程为b x c b y +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12222b y a x b x c b y 得),)(2(2232222c a b c a c c a A +-+- （6分，每个坐标3分）0OA OC ⋅=得2242c a b =，222222)(c a c a =- 044224=+-c c a a，e = （5分）考点：椭圆方程，圆方程，椭圆离心率18．（1）)sin S x x=-（2） 30=x【解析】 试题分析：（1）由于蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，所以其面积为一个三角形AOB 面积的四倍，表示三角形AOB 面积应设角为自变量，即设x AOB =∠，在三角形AOB 中，由正弦定理得231120sin )60sin(sin ==-= AO x OB x AB ，xx x OB OA S S AOB sin )60sin(34sin 24-=•==∆ ，其定义域为(0,)3x π∈（2）求三角函数最值，先将其化为基本三角函数,这要利用两角差的正弦公式，二倍角公式及配角公式：211cos 211)sin cos sin )2)(sin(2))24264x S x x x x x x x π-=-=-=-=+-，从而30=x 时，蝶形区域面积最大试题解析：（1）设x AOB =∠，在三角形AOB 中，由正弦定理得231120sin )60sin(sin ==-= AO x OB x AB42sin )sinAOB S S OA OB x x x ∆==⋅=-（7分） （2）211cos 211)sin cos sin )2)(sin(2))24264x S x x x x x x x π-=-=-=-=+-整理得+)6S x π（整理过程和结论共6分，过程4分，结论2分）所以30=x 时，蝶形区域面积最大（2分）注：本题也可以用余弦定理和基本不等式解答，参照得分 考点：函数解析式，正弦定理，三角函数最值 19．（1）1,2-==t m （2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）恒等式问题，可列方程组求解，也可用对应项系数相等求解：由等比数列和项公式12212111-=--=--=n nn n a a q qa a S 所以 1,2-==t m （2）同上，利用列方程组求解，也可用对应项系数相等求解：在等差数列}{n a 中，d n a a n )1(1-+=，所以11+-=d a a n n1111111(1)(1)(1)()22n n n n a a a a a a S na n n d a d d d d ---=+-=+++2211112222n n a a a a d d =++- 所以存在d m 21=，21=d ，d a a b 22211-=使得命题成立（3）先由和项与通项关系求数列递推关系，进而利用定义证明数列为等差数列：由题知)2()(21)(1212≥=-+-=----n a a a a a m S S n n n n n i n n0)(21)(1212=+----n n n n a a a a m ，0]21)()[(11=--+--n n n n a a m a a若,01=+-n n a a 则02=S ，与题设矛盾，所以21)(1=--n n a a m ，0≠m ，得m a a n n 211=--所以 数列}{n a 为等差数列试题解析：（1）12212111-=--=--=n nn n a a q qa a S所以 1,2-==t m （4分）（2）在等差数列}{n a 中，d n a a n )1(1-+=，所以11+-=d a a n nd a a a a dd da a d a a a d a a d n n na S n n n n n n 222121))(1(21)1()1(21211211111-++=-+-++-=-+=所以存在d m 21=，21=d ，d a a b 22211-=使得命题成立（6分） （3）由题知 )2()(21)(1212≥=-+-=----n a a a a a m S S n n n n n i n n 0)(21)(1212=+----n n n n a a a a m]21)()[(11=--+--n n n n a a m a a若,01=+-n n a a 则02=S ，与题设矛盾所以21)(1=--n n a a m ，0≠m ，得m a a n n 211=--所以 数列}{n a 为等差数列（6分） 考点：恒等式问题，等差数列定义20．（1）详见解析（2）43211++≥m （3）2【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-进行证明：R x ∈，()2()x x f x e e x f x --=-+=-，所以)(x f 为奇函数，利用导数证明其单调性：因为/1()20x x f x e e =+-≥在R 上恒成立，所以)(x f 在R 上为增函数（2）解决不等式恒成立问题，先化简不等式：由322)(-+-≤m x me x f x变形得x xx e e e m 2112+-+≥，再求对应函数最值：2112xxx e y e e -=++，令10xt e =-> 得21113434t y t t t t =+=+++++1≤当且仅当t =43211++≥m （3）本题若用变量分离，则研究的函数较复杂，不易求出其最值，因此从原函数出发为宜：g （x ）＝f （2x ）－4bf （x ）＝e 2x－e－2x－4b （e x －e －x ）＋（8b －4）x ，g ′（x ）＝2[e 2x ＋e－2x－2b （e x ＋e －x）＋（4b －2）]＝2（e x＋e －x－2）（e x＋e －x－2b ＋2）．当b≤2时，g′（x ）≥0，g （x ）在（－∞，＋∞）上单调递增．而g （0）＝0，所以对任意x>0，g （x ）>0. 当b>2时，存在函数值小于g （0）＝0，不满足，所以b 的最大值为2.试题解析：（1）R x ∈，()2()x xf x e e x f x --=-+=-，所以)(x f 为奇函数（2分）不写定义域扣1分 /1()20x x f x e e =+-≥在R 上恒成立，所以)(x f 在R 上增（2分）（2）由322)(-+-≤m x me x f x 变形得x xx e e e m 2112+-+≥令1-=xe t 得43113412+++=+++≥t t t t tm得43211++≥m （本小题共6分）（3）g （x ）＝f （2x ）－4bf （x ）＝e 2x－e －2x－4b （e x －e －x）＋（8b －4）x ，g ′（x ）＝2[e 2x＋e－2x－2b （e x＋e －x）＋（4b －2）]＝2（e x＋e －x－2）（e x＋e －x－2b ＋2）．（i ）当b≤2时，g′（x ）≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g （x ）在（－∞，＋∞）上单调递增．而g （0）＝0，所以对任意x>0，g （x ）>0.（ii ）当b>2时，若x 满足2<e x＋e －x<2b －2，即0<x<ln （b －1）时，g′（x ）<0.而g （0）＝0，因此当0<x<ln （b －1）时，g （x ）<0. 综上，b 的最大值为2.考点：函数奇偶性，利用导数求函数单调性，利用导数求函数最值。

2021届江苏省淮安市淮阴中学高三上学期8月测试数学试题一、单选题1．设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】【详解】由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈， 则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B. 【考点定位】 集合的概念2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使20x ≤ C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B【解析】先确定命题中是否含有特称量词，然后利用判断特称命题的真假． 【详解】对于A ，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A 为假命题； 对于B ，为特称命题，当0x =时，20x =成立，所以B 正确；对于C ，(0=，所以C 为假命题； 对于D ，对于任何一个负数x ，都有10x<，所以D 错误． 故选B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题的定义，难度不大，属于基础题．3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A ． 【考点】函数图像的特征．4．对任意R x ∈，函数()327f x ax ax x =++不存在极值点的充要条件是（ ）A ．021a ≤≤B ． 021a <<C ． 0a ≤或21a ≥D ．0a <或21a > 【答案】A【解析】求出导函数()'f x ，由方程()0f x '=没有变号的实数解即可得．【详解】由题意()2327f x ax ax '=++，()f x 不存在极值点，0a =时，()70f x '=>，()f x 单调递增，无极值点；0a ≠时，则24840a a ∆=-≤，解得021a <≤，综上021a ≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数与函数的极值的关系，对于可导函数，如果导函数存在变号的零点，则原函数有极值．如果没有变号的零点，则原函数无极值．5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有8a，则m 的值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】D【解析】由题意，函数y=f （t ）=ae nt ,满足f （5）=2a ，f （m+5）=8a , 可解出m 的值. 【详解】根据题意得2a＝a e 5n ， 令8a ＝a e nt ，即18＝e nt ， 因为12 ＝e 5n ，故18＝e 15n ，故t ＝15，m ＝15－5＝10. 故选D 【点睛】对实际情景，根据已知或建立的相应函数模型，将实际问题转换为函数的求解.，最后解决实际问题.6．函数()()log 6a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()0,1C ．(] 1,3D ．[)3+∞，【答案】A【解析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】首先6t ax =-是减函数，∴log a y t =应是增函数，()f x 才可能是减函数， ∴1a >，函数()f x 在[0,2]上减函数，由对数函数性质知620a ->，3a <， 综上13a <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．7．如果已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关【答案】A【解析】设,0(),()log ,0x xa xa x f x a g x x a x -⎧≥===⎨≤⎩分别作出它们的图象如图所示： 由图可知有两个交点，故选A.8．已知函数()()2ln15f x x x x =++-[]()2020,2020x ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．5- B ．10-C ．5D ．10【答案】B【解析】构造新函数()()5g x f x =+，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值． 【详解】设2()()5ln(1)g x f x x x x =+=++， 则2222()()ln(1)ln(1)ln (1)(1)0g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-=++-++=++=⎣⎦，∴()()g x g x -=，()g x 是奇函数，又min min ()()55g x f x m =+=+，max max ()()55g x f x M =+=+， ∴min max ()()550g x g x M m +=+++=，10M m +=-． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是构造新函数是奇函数，然后利用奇函数的性质求得结论．二、多选题9．下列说法中，正确的命题是（ ）． A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 【答案】CD【解析】利用正态分布的对称型可以求得()24P X <<的值，进而判定A 错误;根据相关系数的意义可以判定B 错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C 正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据1x ，2x ，…，16x 的方差，进而判定D 正确.【详解】A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()410.80.2P X ≥=-=，所以()00.2P X ≤=，所以()04120.20.6P X <<=-⨯=, ∴()0.6240.32P X <<==，故A 错误； B. 线性相关系数r 的范围在1-到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B 错误；C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则y 1a bx =-=，故C 正确；D. 设数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2S ,样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为222S =8，则22S =，即数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2，故D 正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般. 10．下列不等式，其中正确的是（ ） A ．2 32x x +>（R x ∈） B ．3322 a b a b ab +≥+（a ，R b ∈）C ．22 2a b +≥（1a b --）D ．()22211f x x x =+≥- 【答案】AC【解析】,,A B C 三个选项用作差法比较，D 选项通过举例判断． 【详解】2232(1)20x x x +-=-+>，所以232x x +>，A 正确；332222222()()()()()()a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+，当0a b +<时，33220a b a b ab +--≤，B 错误；22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，即222(1)a b a b +≥+-，C 正确；222()1f x x x =+-中(0)21f =-<+，D 错误． 故选：AC ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查两实数比较大小，作差法是解题的基本方法． 11．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD【解析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n 是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >，综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确， 设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题． 12．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>；又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ． 【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x=，并借助导数分析其单调性，属于中档题．三、填空题13．若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|的取值范围是_______ 【答案】(－3,3)【解析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围． 【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）. 【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点． 14．已知0a >，0b >，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为______ 【答案】16【解析】不等式变形后用基本不等式求最小值后可得结论． 【详解】∵0a >，0b >，3103m a b a b--≤+恒成立， ∴3133(3)()10a b m a b a b b a≤++=++， ∵0,0a b >>，33101016b a a b ++≥+=， 当且仅当33b aa b=，即a b =时，等号成立， ∴16m ≤，即m 的最大值为16．故答案为：16 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查用基本不等式求最小值．解题方法是分离参数法．15．定义运算“⊗”22x y x y xy-⊗=，（,R x y ∈，0xy ≠）.当0x >，0y >时，()2x y y x ⊗+⊗的最小值为______【解析】根据新定义，把()2x y y x ⊗+⊗用通常的运算表示，然后用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意()222222422222x y y x x y x y x y y x xy xy xy y x --+⊗+⊗=+==+≥=当且仅当2x yy x=，即x =时等号成立．．． 【点睛】本题考查新定义运算，求新定义运算下的最值，解题方法是利用新定义把新定义表达式转化为通常的运算，然后由基本不等式求得最小值．四、双空题16．设1,3a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，R b ∈，()3g x ax x =-，[]1,1x ∈-，则()g x 的值域是______，函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，则22a b +的值是______ 【答案】[1,1]a a --19【解析】求出导数()'g x ，由已知条件得()0g x '≤，从而确定()g x 的单调性，得函数()g x 值域，由最大值得2()3f x ≤恒成立，从而2(1)32(1)3f f ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，由此化简变形后求得,a b ，得22a b +， 【详解】由题意2()31g x ax '=-，∵13a ≤，[1,1]x ∈-，∴2()310g x ax '=-≤，()g x 在[1,1]-上单调递减，max ()(1)1g x g a =-=-，min ()(1)1g x g a ==-，∴()g x 值域为[1,1]a a --；函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，即2()3f x ≤在[1,1]-上恒成立， ∴()()21132113f a b f a b ⎧-=-+-≤⎪⎪⎨⎪=--≤⎪⎩，两式相加得4113a b a b -+-++-≤，又1122a b a b a -+-++-≥-，∴4223a -≤，解得1533a ≤≤， 又∵13a ≤，∴13a =，可得1213312133b b ⎧-+-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，即22332233b b ⎧-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，解得403403b b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，∴0b =，∴2219a b +=． 故答案为：[1,1]a a --；19． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与最值，研究函数恒成立问题，着重考查了逻辑推理能力，运算求解能力，难度中等．五、解答题17．已知函数y =R ．()1求a 的取值范围；()2解关于x 的不等式220x x a a --+<．【答案】()[]1?0,1；(2)见解析.【解析】()1由函数的定义域是R ，得出2210ax ax ++≥恒成立，求出a 的取值范围；()2分类讨论，即可求出不等式的解集．【详解】()1函数y =R ，2210ax ax ∴++≥恒成立．①当0a =时，10≥，不等式恒成立；②当0a ≠时，则02440a a a >⎧=-≤⎨⎩解得01a <≤．综上可知，a 的取值范围是[]0,1．()2由220x x a a --+<，得()()10x a x a ⎡⎤---<⎣⎦．01a ≤≤，∴①当1a a ->，即102a ≤<时，1a x a <<-； ②当1a a -=，即12a =时，)21(02x -<，不等式无解；③当1a a -<，即112a <≤时，1a x a -<<． 综上，当102a ≤<时，原不等式的解集为(),1a a -； 当12a =时，原不等式的解集为；当112a <≤时，原不等式的解集为()1,a a - 【点睛】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．18．（1）已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围.（2）已知()2log f t t =，t ∈⎤⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.【答案】（1）1423m -≤<；（2）()(),12,-∞-+∞.【解析】（1）先求得不等式1x m -<解集，结合题意，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为()()2220x m x -+->对任任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，不等式1x m -<，解得11m x m -<<+，因为1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①，或113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩②， 由①得：1423m -<≤；由②得：1423m -≤<， 综合①②得：1423m -≤<.（2）因为()2log f t t =，t ∈⎤⎦，所以()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为2424x mx m x ++>+对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，因为()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，可得()()()()()()()22112202233220g x x g x x ⎧⎛⎫=-+->---* ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-+->---**⎩，由()* 可得：()()2230x x -->，则2x >或23x <； 由()**可得：()()120x x +->，则2x >或1x <-， 综上所述：x 的范围()(),12,-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，二次函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．美国2018年3月挑起“中美贸易争端”，剑指“中国制造2025”，中国有“缺芯”之痛.今有三个研究机构A ，B ，C 对某“AI 芯片”做技术攻关，A 能攻克的概率34为，B 能攻克的概率为23，C 能攻克的概率为12，（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）先假设一年后该技术难题已被攻克，上级会奖励m 万元.奖励规则如下：若只有1个机构攻克，则此机构获得全部奖金m 万元；若只有两个机构攻克，则奖金奖给此两个机构，每个机构各得2m万元；若三个机构均攻克，则奖金奖给三个机构，每个机构各得3m万元.设A ，B 得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）2324；（2）分布列见解析，()3548E X m =. 【解析】（1）对立事件是这一技术难题没有被攻克即每个队都没有攻克技术难题，由对立事件的概率公式求解；（2）根据规则X 的可能取值为：0，2m ，23m，m ，X 0=表示,A B 均未攻克技术难题，C 可能攻克也可以未攻克，2mX =表示A 未攻克，,B C 同时攻克或B 未攻克，,A C 同时 攻克，23mX =表示,,A B C 同时攻克，X m =表示C 未攻克，,A B 中至少1个机构攻克这个技术难题，由此可计算出概率，得分布列，从而可计算出期望． 【详解】（1）记这一技术难题被攻克的事件为A ；()111123114322424P A =-⨯⨯=-=.（2）X 的可能取值为：0，2m ，23m ，m 2321134324m P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；3111215243243224m P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭； ()3111213211143243243224P X m ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；()1111111043243212P X ==⨯⨯+⨯⨯=X 的分布列：()15211135012224342448m m E X m m =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式和对立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定变量X 的可能取值．20．设二次函数()2f x ax bx c =++，函数()()F x f x x =-的两个零点为m ，n（m n <）.（1）若1m =-，2n =，求不等式()0F x >的解集. （2）若0a >，且10x m n a<<<<，比较()f x 与m 的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）()f x m <.【解析】（1）由二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系直接得出结论； （2）设()()()F x a x m x n =--，得()()()f x a x m x n x =--+，作差()f x m -可得它与0的大小，从而得出()f x 与m 的大小． 【详解】（1）()0F x =的两个根分别为1-和2 当0a >时，()0F x >的解集为()(),12,-∞-+∞；当0a <时，()0F x >的解集为()1,2-；（2）()()()F x a x m x n =--，()()()f x a x m x n x =--+()()()()()1f x m a x m x n x m x m ax an -=--+-=--+∵10x m n a<<<<，∴0x m -<，10an -+>，0ax > ∴10ax an -+>，()0f x m -< ∴()f x m <. 【点睛】本题考查二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系，考查二次函数的解析式，掌握三个二次的关系是解题关键． 21．已知函数()1ln x f x x a-=-（1）当1a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间()2,e 上存在零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）1,1ln 2e ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】（1）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性求最大值；（2）先变量分离转化求对应函数()1ln x g x x-=值域，利用导数求其单调性，再根据单调性求其值域，即得结果. 【详解】（1）()()ln 1f x x x =--，()111x f x x x-=-='， 令0fx，得1x =所以()f x 在0,1上单调递增，1,上单调递减∴()()max 10f x f ==.（2）()f x 在区间()2,e 上存在零点，∴1ln 0x x a--=在()2,e 上有解，1ln x a x -=令()1ln x g x x-=（()2x e ∈,），()()21ln 1ln ,x x x x g +='-设2211111ln 1,(2,)0ln 2102x y x x e y y x x x x -'=-+∈∴=-=>∴>-+=> 因此0g x,∴()g x 在()2,e 上单调递增，即()()12ln 2g x g >=，()()1g x g e e <=- ∴1,1ln 2a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．设函数()32f x x ax bx =++（a ，R b ∈）的导函数为()f x .已知1x ，2x 是()f x 的两个不同的零点. （1）证明：23a b >；（2）当0b =时，若对任意0x >，不等式()ln f x x x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程()()()1211()2x f x f x f x x x '=-++的实根的个数. 【答案】（1）证明见解析；（2）1a ≥-；（3）1.【解析】（1）先求导数，再根据导函数必有两个不同零点列不等式，解得结果；（2）先分离变量，转化为求对应函数()2ln x x F x x-=最值，利用导数确定其单调性，根据单调性确定最值，即得结果；（3）先求122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭，再构造差函数()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++--- ⎪⎝⎭，再利用导数确定其单调性，最后根据单调性以及()10G x =确定零点个数，即得结果. 【详解】（1）证明：()232f x x ax b '=++，令()2320f x x ax b '=++=∵0f x有两个不等的实根，∴2241203a b a b ∆=->⇒>.（2）0b =时，()32f x x ax =+，由()ln f x x x ≥得32ln x ax x x +≥∴22ln ln x x x ax x x a x-+≥⇒≥令()2ln x x F x x-=，()222212ln 1ln x x x x x x x F x x x ⎛⎫--+ ⎪--⎝⎭'== 令()21ln g x x x =--，()120g x x x'=--< ∴()g x 在0,上单调递减，注意到10g∴当01x <<时，()0gx >，()0F x '>，()F x '单调递增；当1x >时，()0g x <，()0F x '<，()F x 单调递减： ∴()()max 11F x F ==-，∴1a ≥-. （3）()()3212112x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'++=-+⎪⎝⎭()()32121102x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'⇒++---= ⎪⎝⎭212233x x a a f f b +⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++---⎪⎝⎭()()2222221211323296(3)02333x x a G x x ax b f x ax b b x ax a x a +⎛⎫''=++-=++-+=++=+≥ ⎪⎝⎭∴()G x 在R 上单调递增，故()G x 在R 上至多只有一个零点，注意到()10G x = ∴()G x 在R 上只有1个零点，即()()1211()2x x f x f x x f x '+⎛⎫=-+⎪⎝⎭的实根个数为1. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.。

为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价 元，并投入 万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每只售价每提高 元，月销售量将相应减少 万只.则当每只售价 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
已知函数 ， .
求函数 的值域；
设 ， ， ，求函数 的最小值 ；
对 中的 ，若不等式 对于任意的 时恒成立，求实数 的取值范围．
若点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，求 的值；
若 ，求 的取值范围．
因疫情影响，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为 元．售价为 元，月销售 万只．
据市场调查，若售价每提高 元，月销售量将相应减少 万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润 月销售总收入 月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？
5.函数 的部分图象如图所示，则 的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
7.若 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， ，若 ， ，则
A. B. C. D.
向明的月响分其几何意义
【解析】
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【解答】
此题暂无解答
二、多选题
【答案】
此题暂无答案
【考点】
复合命题常育真假判断
必要条水表综分条近与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
命题的真三判断州应用
基来雨等式
基本常等式簧最母问赤中的应用
【解析】
此题暂无解析