江苏省淮阴中学2021届高三第一学期数学测试卷

2021届江苏省淮安市淮阴中学高三上学期8月测试数学试题一、单选题1．设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】【详解】由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈， 则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B. 【考点定位】 集合的概念2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使20x ≤ C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B【解析】先确定命题中是否含有特称量词，然后利用判断特称命题的真假． 【详解】对于A ，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A 为假命题； 对于B ，为特称命题，当0x =时，20x =成立，所以B 正确；对于C ，(0=，所以C 为假命题； 对于D ，对于任何一个负数x ，都有10x<，所以D 错误． 故选B ． 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题的定义，难度不大，属于基础题．3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A ． 【考点】函数图像的特征．4．对任意R x ∈，函数()327f x ax ax x =++不存在极值点的充要条件是（ ）A ．021a ≤≤B ． 021a <<C ． 0a ≤或21a ≥D ．0a <或21a > 【答案】A【解析】求出导函数()'f x ，由方程()0f x '=没有变号的实数解即可得．【详解】由题意()2327f x ax ax '=++，()f x 不存在极值点，0a =时，()70f x '=>，()f x 单调递增，无极值点；0a ≠时，则24840a a ∆=-≤，解得021a <≤，综上021a ≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数与函数的极值的关系，对于可导函数，如果导函数存在变号的零点，则原函数有极值．如果没有变号的零点，则原函数无极值．5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有8a，则m 的值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】D【解析】由题意，函数y=f （t ）=ae nt ,满足f （5）=2a ，f （m+5）=8a , 可解出m 的值. 【详解】根据题意得2a＝a e 5n ， 令8a ＝a e nt ，即18＝e nt ， 因为12 ＝e 5n ，故18＝e 15n ，故t ＝15，m ＝15－5＝10. 故选D 【点睛】对实际情景，根据已知或建立的相应函数模型，将实际问题转换为函数的求解.，最后解决实际问题.6．函数()()log 6a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()0,1C ．(] 1,3D ．[)3+∞，【答案】A【解析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】首先6t ax =-是减函数，∴log a y t =应是增函数，()f x 才可能是减函数， ∴1a >，函数()f x 在[0,2]上减函数，由对数函数性质知620a ->，3a <， 综上13a <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．7．如果已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关【答案】A【解析】设,0(),()log ,0x xa xa x f x a g x x a x -⎧≥===⎨≤⎩分别作出它们的图象如图所示： 由图可知有两个交点，故选A.8．已知函数()()2ln15f x x x x =++-[]()2020,2020x ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．5- B ．10-C ．5D ．10【答案】B【解析】构造新函数()()5g x f x =+，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值． 【详解】设2()()5ln(1)g x f x x x x =+=++， 则2222()()ln(1)ln(1)ln (1)(1)0g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-=++-++=++=⎣⎦，∴()()g x g x -=，()g x 是奇函数，又min min ()()55g x f x m =+=+，max max ()()55g x f x M =+=+， ∴min max ()()550g x g x M m +=+++=，10M m +=-． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是构造新函数是奇函数，然后利用奇函数的性质求得结论．二、多选题9．下列说法中，正确的命题是（ ）． A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 【答案】CD【解析】利用正态分布的对称型可以求得()24P X <<的值，进而判定A 错误;根据相关系数的意义可以判定B 错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C 正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据1x ，2x ，…，16x 的方差，进而判定D 正确.【详解】A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()410.80.2P X ≥=-=，所以()00.2P X ≤=，所以()04120.20.6P X <<=-⨯=, ∴()0.6240.32P X <<==，故A 错误； B. 线性相关系数r 的范围在1-到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B 错误；C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则y 1a bx =-=，故C 正确；D. 设数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2S ,样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为222S =8，则22S =，即数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2，故D 正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般. 10．下列不等式，其中正确的是（ ） A ．2 32x x +>（R x ∈） B ．3322 a b a b ab +≥+（a ，R b ∈）C ．22 2a b +≥（1a b --）D ．()22211f x x x =+≥- 【答案】AC【解析】,,A B C 三个选项用作差法比较，D 选项通过举例判断． 【详解】2232(1)20x x x +-=-+>，所以232x x +>，A 正确；332222222()()()()()()a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +--=---=--=-+，当0a b +<时，33220a b a b ab +--≤，B 错误；22222(1)(1)(1)0a b a b a b +-+-=-+-≥，即222(1)a b a b +≥+-，C 正确；222()1f x x x =+-中(0)21f =-<+，D 错误． 故选：AC ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查两实数比较大小，作差法是解题的基本方法． 11．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD【解析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n 是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >，综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确， 设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题． 12．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>；又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ． 【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x=，并借助导数分析其单调性，属于中档题．三、填空题13．若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|的取值范围是_______ 【答案】(－3,3)【解析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围． 【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）. 【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点． 14．已知0a >，0b >，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为______ 【答案】16【解析】不等式变形后用基本不等式求最小值后可得结论． 【详解】∵0a >，0b >，3103m a b a b--≤+恒成立， ∴3133(3)()10a b m a b a b b a≤++=++， ∵0,0a b >>，33101016b a a b ++≥+=， 当且仅当33b aa b=，即a b =时，等号成立， ∴16m ≤，即m 的最大值为16．故答案为：16 【点睛】本题考查不等式恒成立，考查用基本不等式求最小值．解题方法是分离参数法．15．定义运算“⊗”22x y x y xy-⊗=，（,R x y ∈，0xy ≠）.当0x >，0y >时，()2x y y x ⊗+⊗的最小值为______【解析】根据新定义，把()2x y y x ⊗+⊗用通常的运算表示，然后用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意()222222422222x y y x x y x y x y y x xy xy xy y x --+⊗+⊗=+==+≥=当且仅当2x yy x=，即x =时等号成立．．． 【点睛】本题考查新定义运算，求新定义运算下的最值，解题方法是利用新定义把新定义表达式转化为通常的运算，然后由基本不等式求得最小值．四、双空题16．设1,3a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，R b ∈，()3g x ax x =-，[]1,1x ∈-，则()g x 的值域是______，函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，则22a b +的值是______ 【答案】[1,1]a a --19【解析】求出导数()'g x ，由已知条件得()0g x '≤，从而确定()g x 的单调性，得函数()g x 值域，由最大值得2()3f x ≤恒成立，从而2(1)32(1)3f f ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，由此化简变形后求得,a b ，得22a b +， 【详解】由题意2()31g x ax '=-，∵13a ≤，[1,1]x ∈-，∴2()310g x ax '=-≤，()g x 在[1,1]-上单调递减，max ()(1)1g x g a =-=-，min ()(1)1g x g a ==-，∴()g x 值域为[1,1]a a --；函数()()f x g x b =-在[]1,1-的最大值是23，即2()3f x ≤在[1,1]-上恒成立， ∴()()21132113f a b f a b ⎧-=-+-≤⎪⎪⎨⎪=--≤⎪⎩，两式相加得4113a b a b -+-++-≤，又1122a b a b a -+-++-≥-，∴4223a -≤，解得1533a ≤≤， 又∵13a ≤，∴13a =，可得1213312133b b ⎧-+-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，即22332233b b ⎧-≤⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩，解得403403b b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，∴0b =，∴2219a b +=． 故答案为：[1,1]a a --；19． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与最值，研究函数恒成立问题，着重考查了逻辑推理能力，运算求解能力，难度中等．五、解答题17．已知函数y =R ．()1求a 的取值范围；()2解关于x 的不等式220x x a a --+<．【答案】()[]1?0,1；(2)见解析.【解析】()1由函数的定义域是R ，得出2210ax ax ++≥恒成立，求出a 的取值范围；()2分类讨论，即可求出不等式的解集．【详解】()1函数y =R ，2210ax ax ∴++≥恒成立．①当0a =时，10≥，不等式恒成立；②当0a ≠时，则02440a a a >⎧=-≤⎨⎩解得01a <≤．综上可知，a 的取值范围是[]0,1．()2由220x x a a --+<，得()()10x a x a ⎡⎤---<⎣⎦．01a ≤≤，∴①当1a a ->，即102a ≤<时，1a x a <<-； ②当1a a -=，即12a =时，)21(02x -<，不等式无解；③当1a a -<，即112a <≤时，1a x a -<<． 综上，当102a ≤<时，原不等式的解集为(),1a a -； 当12a =时，原不等式的解集为；当112a <≤时，原不等式的解集为()1,a a - 【点睛】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．18．（1）已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，求实数m 的取值范围.（2）已知()2log f t t =，t ∈⎤⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.【答案】（1）1423m -≤<；（2）()(),12,-∞-+∞.【解析】（1）先求得不等式1x m -<解集，结合题意，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为()()2220x m x -+->对任任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，不等式1x m -<，解得11m x m -<<+，因为1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①，或113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩②， 由①得：1423m -<≤；由②得：1423m -≤<， 综合①②得：1423m -≤<.（2）因为()2log f t t =，t ∈⎤⎦，所以()1,32f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为2424x mx m x ++>+对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()()222g x m m x =-+-，因为()()2220x m x -+->对任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，可得()()()()()()()22112202233220g x x g x x ⎧⎛⎫=-+->---* ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-+->---**⎩，由()* 可得：()()2230x x -->，则2x >或23x <； 由()**可得：()()120x x +->，则2x >或1x <-， 综上所述：x 的范围()(),12,-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，二次函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．美国2018年3月挑起“中美贸易争端”，剑指“中国制造2025”，中国有“缺芯”之痛.今有三个研究机构A ，B ，C 对某“AI 芯片”做技术攻关，A 能攻克的概率34为，B 能攻克的概率为23，C 能攻克的概率为12，（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）先假设一年后该技术难题已被攻克，上级会奖励m 万元.奖励规则如下：若只有1个机构攻克，则此机构获得全部奖金m 万元；若只有两个机构攻克，则奖金奖给此两个机构，每个机构各得2m万元；若三个机构均攻克，则奖金奖给三个机构，每个机构各得3m万元.设A ，B 得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）2324；（2）分布列见解析，()3548E X m =. 【解析】（1）对立事件是这一技术难题没有被攻克即每个队都没有攻克技术难题，由对立事件的概率公式求解；（2）根据规则X 的可能取值为：0，2m ，23m，m ，X 0=表示,A B 均未攻克技术难题，C 可能攻克也可以未攻克，2mX =表示A 未攻克，,B C 同时攻克或B 未攻克，,A C 同时 攻克，23mX =表示,,A B C 同时攻克，X m =表示C 未攻克，,A B 中至少1个机构攻克这个技术难题，由此可计算出概率，得分布列，从而可计算出期望． 【详解】（1）记这一技术难题被攻克的事件为A ；()111123114322424P A =-⨯⨯=-=.（2）X 的可能取值为：0，2m ，23m ，m 2321134324m P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；3111215243243224m P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭； ()3111213211143243243224P X m ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；()1111111043243212P X ==⨯⨯+⨯⨯=X 的分布列：()15211135012224342448m m E X m m =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式和对立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定变量X 的可能取值．20．设二次函数()2f x ax bx c =++，函数()()F x f x x =-的两个零点为m ，n（m n <）.（1）若1m =-，2n =，求不等式()0F x >的解集. （2）若0a >，且10x m n a<<<<，比较()f x 与m 的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）()f x m <.【解析】（1）由二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系直接得出结论； （2）设()()()F x a x m x n =--，得()()()f x a x m x n x =--+，作差()f x m -可得它与0的大小，从而得出()f x 与m 的大小． 【详解】（1）()0F x =的两个根分别为1-和2 当0a >时，()0F x >的解集为()(),12,-∞-+∞；当0a <时，()0F x >的解集为()1,2-；（2）()()()F x a x m x n =--，()()()f x a x m x n x =--+()()()()()1f x m a x m x n x m x m ax an -=--+-=--+∵10x m n a<<<<，∴0x m -<，10an -+>，0ax > ∴10ax an -+>，()0f x m -< ∴()f x m <. 【点睛】本题考查二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系，考查二次函数的解析式，掌握三个二次的关系是解题关键． 21．已知函数()1ln x f x x a-=-（1）当1a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间()2,e 上存在零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）1,1ln 2e ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】（1）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性求最大值；（2）先变量分离转化求对应函数()1ln x g x x-=值域，利用导数求其单调性，再根据单调性求其值域，即得结果. 【详解】（1）()()ln 1f x x x =--，()111x f x x x-=-='， 令0fx，得1x =所以()f x 在0,1上单调递增，1,上单调递减∴()()max 10f x f ==.（2）()f x 在区间()2,e 上存在零点，∴1ln 0x x a--=在()2,e 上有解，1ln x a x -=令()1ln x g x x-=（()2x e ∈,），()()21ln 1ln ,x x x x g +='-设2211111ln 1,(2,)0ln 2102x y x x e y y x x x x -'=-+∈∴=-=>∴>-+=> 因此0g x,∴()g x 在()2,e 上单调递增，即()()12ln 2g x g >=，()()1g x g e e <=- ∴1,1ln 2a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．设函数()32f x x ax bx =++（a ，R b ∈）的导函数为()f x .已知1x ，2x 是()f x 的两个不同的零点. （1）证明：23a b >；（2）当0b =时，若对任意0x >，不等式()ln f x x x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程()()()1211()2x f x f x f x x x '=-++的实根的个数. 【答案】（1）证明见解析；（2）1a ≥-；（3）1.【解析】（1）先求导数，再根据导函数必有两个不同零点列不等式，解得结果；（2）先分离变量，转化为求对应函数()2ln x x F x x-=最值，利用导数确定其单调性，根据单调性确定最值，即得结果；（3）先求122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭，再构造差函数()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++--- ⎪⎝⎭，再利用导数确定其单调性，最后根据单调性以及()10G x =确定零点个数，即得结果. 【详解】（1）证明：()232f x x ax b '=++，令()2320f x x ax b '=++=∵0f x有两个不等的实根，∴2241203a b a b ∆=->⇒>.（2）0b =时，()32f x x ax =+，由()ln f x x x ≥得32ln x ax x x +≥∴22ln ln x x x ax x x a x-+≥⇒≥令()2ln x x F x x-=，()222212ln 1ln x x x x x x x F x x x ⎛⎫--+ ⎪--⎝⎭'== 令()21ln g x x x =--，()120g x x x'=--< ∴()g x 在0,上单调递减，注意到10g∴当01x <<时，()0gx >，()0F x '>，()F x '单调递增；当1x >时，()0g x <，()0F x '<，()F x 单调递减： ∴()()max 11F x F ==-，∴1a ≥-. （3）()()3212112x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'++=-+⎪⎝⎭()()32121102x x x ax bx f x x f x +⎛⎫'⇒++---= ⎪⎝⎭212233x x a a f f b +⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()()321211()2x x G x x ax bx f x x f x +⎛⎫'=++---⎪⎝⎭()()2222221211323296(3)02333x x a G x x ax b f x ax b b x ax a x a +⎛⎫''=++-=++-+=++=+≥ ⎪⎝⎭∴()G x 在R 上单调递增，故()G x 在R 上至多只有一个零点，注意到()10G x = ∴()G x 在R 上只有1个零点，即()()1211()2x x f x f x x f x '+⎛⎫=-+⎪⎝⎭的实根个数为1. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.。

2021届高三数学半月考卷一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，总分值50分〕 1、假设02x π<<，那么“1sin x x <〞是“1sin x x>〞的 A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2、定义在R 上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x ≠0时, 1'()()0f x x f x -+>,那么函数1()()g x f x x -=+的零点的个数为 A.1 B.2 C.0 D.0或2【答案】C【解析】由1'()()0f x x f x -+>，得'()()0xf x f x x+>，当0x >时，'()()0xf x f x +>，即(())'0xf x >，函数()xf x 此时单调递增。

当0x <时，'()()0xf x f x +<，即(())'0xf x <，函数()xf x 此时单调递减。

又1()1()()xf x g x f x x x-+=+=，函数()1()xf x g x x+=的零点个数等价为函数()1y xf x =+的零点个数。

当0x >时，()11y xf x =+>，当0x <时，()11y xf x =+>，所以函数()1y xf x =+无零点，所以函数1()()g x f x x -=+的零点个数为0个。

选C. 3、数列满足：11a =，12n n n a a a +=+，〔*n N ∈〕，假设11()(1)n nb n a λ+=-+，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，那么实数λ的取值范围为〔 〕 A ．2λ> B ．3λ> C ．2λ< D ．3λ<4、变量x,y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，那么目标函数3|||3|z x y =+-的取值范围是〔 〕 A ．3[,9]2 B ．3[,6]2-C ．[2,3]-D ．[1,6]5、设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，，那么导数()1-'f 的取值范围是〔 〕A.]6,3[B.]34,3[+C.]6,34[-D.]34,34[+-6、在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且72=+B A ,那么展开式中常数项的值为 〔 〕A ．6B ．9C ．12D ．187、正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积最大值时，其高的值为〔 〕A ．333．26．23【答案】D【解析】设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，那么可得2294h a +=，即2294h a =-，那么正六棱柱的体积23233333(6))9)44h h V h h h =⨯=-=-+，令394h y h =-+，那么2'394h y =-+，由'0y =，解得23h =23h =六棱柱的体积最大。

淮阴中学2020/2021学年度高三第一学期期中考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１.已知集合M ={x||2x +1|>3},N ={x|x 2+x −6≤0}，则M ∩N 等于（ ） A ．(−3,−2]∪[1,2]B ．(−3,−2)∪(1,+∞)C ．[−3,−2)∪(1,2]D ．(−∞,−3)∪(1,2]2．已知向量a →=(1,2),a →⋅b →=5,|a →−b →|=2√5，则|b →|等于 （ ） A ．√5 B ．2√5C ．25D ．5３．长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，则从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A ．1+√3B ．2+√10C ．3√2D ．2√3４.已知函数f(x)={x 2+2x −1,x ≥0x 2−2x −1,x <0，则对任意x 1,x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是 （ ）A. f(x 1)+f(x 2)<0B. f(x 1)+f(x 2)>0C. f(x 1)−f(x 2)>0D. f(x 1)−f(x 2)<0５．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则|a +b +c | 等于 （ ）A ．√3B ．6C ．√3或6D ．3或6６．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =1，BF =12，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P −DEF 的体积是A ．13 B ．√56C ．2√39D ．√23 ７.函数−2+i 的零点所在的区间为 ( )A ．2+iB ．(1+2iC ．1−2iD ．(12,34)８.设点P 是椭圆x 29+y 25=1上的一点，点M 、N 分别是两圆：(x +2)2+y 2=1和(x −2)2+y 2=1上的点，则的最小值、最大值分别为 ( )A. 4，8B.2，6 C) 6，8 D.8，12二、多项选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得５分，部分选对的得３分，有选错的得０分） ９.若函数f(x)具有性质:,则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数: 其中,满足“倒负”变换的所有函数的选项是 ( )A.(a>0且a ≠1); B.(a>0且a ≠1);C.;D..10.定义在R 上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断: 其中正确的选项是 ( )A ．关于直线对称； B ．是[0，1]上是增函数；Ｃ．在[1，2]上是减函数； Ｄ．．11．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：A ．B ．C ．D ．，其中正确的选项是 ( )（A ）（1）（2） （B ）（1）（3） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）12.如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，若AB =BC ，E ，F 分别是AB 1，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A. EF 与1BB 垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为45°D. EF//平面A 1B 1C 1D 1三、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共２0分，请将答案填在题中横线上1３．已知{x ≥1x −y +1≤02x −y −2≤0则x 2+y 2的最小值是______．14．已知F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .15．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有16．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 cm 2.四、解答题：本大题共６个小题 共70分17． 设条件：实数满x 2—4ax+3a 2<0(a>0)条件：实数满足;已知q 是p 的必要不充分条件，求实数的取值范围。

淮阴中学2021届高三数学开学练习命题人: 审题人: 2020.8注意事项1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.答题前，请务必将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上。

3.请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效。

一、单项选择题: (每题5分，共40分)1.函数y=xcosx+sinx在区间[-π, π]的图象大致为()2.若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为( )A.17B.18C.19D. 203.(x+xy 2)(x+ y)2的展开式中x 2y 2的系数为 ( ) A.5 B.10 C.15 D.204.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位: °C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,y)(i =1,2,.,.20)得到下面的散点图:由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A y=a+bx B. y=a+bx 2C. y=a+be 2D. y=a+blnx5.设函数f(x)为R 上的增函数，d 、 b ∈R .则a+b ≥ 0是f(a)+ f(b)≥f(-a)+ f(-b)的( )A.充分条件B. 必要条件C.充要条件D.充分不必要条件6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不完全相同”，事件B 为“小赵独自去-一个景点”，则P(B|A)=( ) A.3/7 B.4/7 C.75 D.6/7 7.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且fx+4)=-f(x),当x ∈[一2, 0)时，f(x)=e x ,则f(2018)+(2021)+f(2 022)等于( ) A.e 1 B.一e1 C. 一e D. e 8.已知定义在R 上的函数y= f(x)的导函数为f'(x)，满足f(x)> f '(x),且f(0)=2,则不等式f(x)> 2e x的解集为( )A.(- ∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,2)D.(2, +∞)二、多选题: (选错不得分， 漏选得3分，每题5分，共20分)9.对于函数f(x)=x x +1(x ∈R) ，下列判断正确的是( ) A.f(-x+1)+f(x-l)=0B.当m ∈(0， 1)时， 方程f(x)=m 有唯一实数解C.函数f(x)的值域为(一∞，+∞)D. Vx ≠2x ,()()2121x x x f x f -+>0 10.设f(x)=2x +ax+b,a,b ∈R 若f(x)=x 无实根，则下列结论成立的有A.当x>0,时f(x)>0B.Vx ∈R,f(x)>xC.Vx ∈R,f(f(x))>xD.3∃x ∈R 使得f(f(x))=x 成立11.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f（x ）-kx 有( )A.1个极大值点，2个极小值点B.2个零点C.0个零点D.2个极小值点，无极大值点12.已知函数f(x)=xlnx ，若0<1x <2x ，则下列结论正确的是A. 2x f(1x )<1x f(2x )B. 1x +f(1x )< 2x +f(2x )C. 0x )f(x -)f(x 2121<-x D.当x>e1时，1x f(1x )+2x f(2x )>22x f(1x ) 三、填空题: (每题5分，共20分)13.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ___14.已知A 为抛物线C ：2y =2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p= __15.某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,520)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 _ _ 16.一个盒子里有2个红1 个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量ξ，则P(ξ=0)=_ _ _ _E(ξ5)= _ .四、解答题:本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分10分)记函数f(x)=lg(1- a 2x )的定义域、值域分别为集合A,B.(1)当a=1时，求A ∩B;(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18.(本题满分12分) 设椭圆C:12222=+by b x (a>b>0)的左、右焦点分别为1F ，2F ,下项点为A, 0为坐标原点，点O 到直线A 2F 的距离为22，△M 1F 2F 为等腰直角三角形. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若倾斜角为405的直线经过椭圆C 的右焦点2F ，且与椭圆C 交于M ，N 两点(M 点在N 点的上方)，求线段M 2F 与N 2F 的长度之比，19. (本题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18 名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本? (写出算式即可， 不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位:分)对应如下表:(1)若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望.②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分?附:线性回归方程y=bx+a,20.(本题满分12分)已知函数y= f(x),若在定义域内存在0x ，使得f(-0x )=-f(0x )成立，则称0x 为函数f(x)的局部对称点(1)证明:函数f(x)= x 2-1在区间[-1,2]内必有局部对称点:(2)若函数f(x)=x 4-m*12+x +2m -3在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围21. (本题满分12分) 己知函数k x e2k)-(x f(x)= (1)求f(x)的单调区间:(2)若对Vx ∈(0，+∞)， 都有f(x) ≤e1求k 的取值范围。

淮阴中学2021届高三数学测试卷2020年8月29日一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈，b∈B}，则M中元素的个数为( )A. 3B. 4C.5D.62.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x0，使x02≤0>2C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0，使1x03.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这-过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )4.对任意x∈R，函数f(x)=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a≤21B. 0<a<21C. a≤0或a≥21D. a<0或a> 215.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线升，则y=ae m，假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有a8m的值为( )A.7B. 8C.9D.10(6-ax)(a>0且a≠1)在[0，2] 上为减函数，则实数a的取值范围是6.函数f(x)=loga( )A. (1,3)B. (0,1)C. (1，3]D. [3，+∞)7. 如果已知0<a<1,则方程a|x|=|logx|的实根个数为( )aA.2B.3C.4D.与a的值有关8.已知函数f(x)=x+ln(√x2+1-x)-5(x∈[-2020，2020]) 的最大值为M ,最小值为m,则M+m=( )A.-5B.-10C.5D.10二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列说法中，正确的命题是( )A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，则P(2<X<4)=0.2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强;反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=â+ b̂x，若b̂=2x⃗, x⃗=1，y⃗=3，则a=1D.若样本数据2x 1+1，2x 2+1， ... 2x 16+1的方差为8，则数据x 1,x 2，.，. x 16 的方差为210.下列不等式，其中正确的是( )A. x 2+3>2x(x∈R)B. a 3 +b 3≥a 2b + ab 2 (a,b∈R)C. a 2 +b 2≥2(a -b-1)D.f(x)=x 2+2x 2−1≥2√2+111.若f(x)满足对任意的实数a ，b 都有f(a+b)= f(a)*f(b)且f(1)=2，则下列判断正确的有( )A. f(x)是奇函数B. f(x) 在定义域上单调递增C.当x∈(0,+∞)时， 函数f(x)>1D.f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+…f(2016)f(2015)+f(2018)f(2017)+f(2020)f(2019)=2020 12.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f , " (x) 是它的导函数，且恒有cosx.f"(x)+ sinx*f(x)<0成立，则有( )A.f(π6)> √2f(π4)B. √3f(π6)> f(π4)C. f(π6)> √3f(π3)D. √2f(π6)> √3f(π4) 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√234．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π35．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．27．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a +b ＞2bB ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）211．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝ ．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ． 15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 ． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 ． 四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值；（2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝（2﹣x ）e x +（1﹣2a ）x ，g （x ）＝ax 2﹣lnx ． （1）讨论函数g （x ）＝ax 2﹣lnx 的单调性；（2）函数h （x ）＝|f （x ）|+g （x ）在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．2021-2022学年江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，若A ∪B ＝{1，2，3}，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，1}，A ∪B ＝{1，2，3}，∴实数a ＝3．故选：C ．2．（5分）若复数z 的满足z （1+2i ）＝﹣3+4i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是（ ） A ．1B ．2C ．iD ．﹣2i【解答】解：∵z （1+2i ）＝﹣3+4i ， ∴z =−3+4i 1+2i =(−3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1+2i ， ∴复数z 的实部为1． 故选：A ．3．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝75°，a ＝2，则边长c 的值为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．3√22D ．2√23【解答】解：由题可得C ＝45°，再由正弦定理asinA =csinC可得c =asinC sinA =2×√2232=2√63，故选：B ．4．（5分）已知非零向量a →，b →满足a →⊥（a →−2b →），且|a →|＝|b →|，则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【解答】解：根据题意，设向量a →，b →的夹角为θ， 若a →⊥（a →−2b →），则有a →•（a →−2b →）=a →2﹣2a →•b →=0， 又由|a →|＝|b →|，则cos θ=12， 又由0≤θ≤π，则θ=π3，故选：C ．5．（5分）已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，则关于x 的不等式f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．[﹣1，3]【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2sin x ，f （﹣x ）＝e ﹣x ﹣e x +2sin x ， ∴f （x ）＝﹣f （﹣x ），故函数f （x ）为奇函数． f ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2cos x ≥2﹣2cos x ≥0，则f （x ）在R 上为增函数．则f （x 2﹣3）+f （2x ）＜0，化简得f （x 2﹣3）＜﹣f （2x ）， 即f （x 2﹣3）＜f （﹣2x ）， 又∵f （x ）为增函数， ∴x 2﹣3＜﹣2x ， 解得﹣3＜x ＜1． 故选：A ． 6．（5分）2sin80°−sin20°cos20°的值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：原式=2sin(60°+20°)−sin20°cos20°=√3cos20°+sin20°−sin20°cos20°=√3．故选：C ．7．（5分）函数f （x ）={log 2x −2x ，x ＞0sin(ωx +π3)，−π≤x ≤0有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．(43，73]B ．[43，73)C ．(43，73)D ．[43，73]【解答】解：x ＞0时，f （x ）＝log 2x ﹣2x ，∴f '（x ）=1xln2−2=1−xln4xln2， 令f '（x ）＝0，x =1ln4， ∴f '（x ）在（0，1ln4）递增，在（1ln4，+∞）递减．∵1ln4∈（0，1），而x ∈（0，1）时，f （x ）＜0，∴f （x ）的最大值为f （1ln4）＜0，∴x ＞0时，f （x ）无零点．∴x ≤0，f （x ）有两个零点，﹣2π＜﹣ωπ+π3≤−π，43≤ω＜73． 故选：B ．8．（5分）已知实数a =35，b ＝cos1，c =1−(log 52)21+(log 52)2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解答】解：∵cos x 在（0，π2）上单调递减，∴cos1≈cos57°＜cos53°＝0.6，∴cos1＜35，即b ＜a ； c =1−(log 52)21+(log 52)2=−1+21+(log 52)2；∵0＜log 52＜log 5√5=12，∴35＜−1+21+(log 52)2＜1，∴b ＜a ＜c ． 故选：B ．二、多选题：（选错不得分，漏选得2分，每题5分，共20分） 9．（5分）已知a ＞b ，则下列结论正确的是（ ） A ．a +b ＞2b B ．1a＜1bC ．ac ＞bcD ．e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b【解答】解：对于A ，∵a ＞b ，b ＝b ， ∴a +b ＞b +b ＝2b ，故A 正确，对于B ，令a ＝1，b ＝﹣1，满足a ＞b ，1a＞1b，故B 错误，对于C ，当c ＝0时，ac ＝bc ，故C 错误， 对于D ，∵a ﹣c ＞b ﹣c ， ∴e a ﹣c ＞e b ﹣c ，又∵a ＞b ，∴由不等式的可加性可得，e a ﹣c +a ＞e b ﹣c +b ，故D 正确．故选：AD ．10．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．EF →=12AB →B ．AF →=−34AB →+AD →C ．BE →=−34AB →+AD →D ．BE →•AF →=（AD →）2−910（AB →）2【解答】解：A ：∵F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，∴EF →=12AB →，∴A 正确，B ：∵F 是靠近C 的四等分点，∴AF →=AD →+DF →=AD →+34DC →=34AB →+AD →，∴B 错误，C ：∵E 是靠近D 的四等分点，∴BE →=BC →+CE →=AD →+34CD →=−34AB →+AD →，∴C 正确，D ：∵BE →•AF →=（−34AB →+AD →）•（34AB →+AD →）=AD →2−916AB →2，∴D 错误， 故选：AC ．11．（5分）关于函数f （x ）＝tan （|x |+π4），则下列判断正确的有（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称B ．f （x ）的最小正周期为πC ．f （x ）在区间（0，π4）上单调递增D ．f （x ）的图像关于点（3π4，0）对称【解答】解：显然f （﹣x ）=tan(|−x|+π4)=tan(|x|+π4)=f （x ），故f （x ）是偶函数，故A 正确；因为f(−π4)=tan π2不存在，而f(−π4+π)=f(3π4)=tan π＝0，显然f （−π4）≠f(3π4)，故B 错误；x ∈(0，π4)时，f(x)=tan(x +π4)满足π4＜x +π4＜π2，因为y ＝tan x 在（π4，π2）上单调递增，故原函数f （x ）在区间（0，π4）上单调递增，故C 正确；因为f （−π3）=√3+11−3=−2−√3，f （3π2+π3）=tan π12，结合tan π6=2tan π121−tan 2(π12)=√33解得tanπ12=2−√3，因为f(−π3)+f(3π2+π3)≠0，故f （x ）的图像不关于点（3π4，0）对称，故D 错误． 故选：AC ．12．（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化．如图所示，正五边形ABCDE 的边长a 1，正五边形A 1B 1C 1D 1E 1边长为a 2，正五边形A 2B 2C 2D 2E 2边长为a 3，……，依次下去，正五边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n ﹣1E n ﹣1边长为a n ，记∠ACE ＝α，则下列结论中正确的是（ ）A ．{a n }是公长对3−√52的等比数列 B ．{a n }是公比为√5−12的等比数列C ．cos α=√5+14D ．对任意θ∈R ，cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝0 【解答】解：由正五边形的性质得∠ACE =α=π5，所以∠D 1AC 1＝α， 作∠AD 1C 1＝α的角平分线D 1M ，取D 1C 1中点N ，连接AN ，则AN ⊥D 1C 1， 所以∠AD 1M ＝∠C 1D 1M ＝α，所以MD 1＝MA ＝D 1C 1． 令MD 1＝MA ＝D 1C 1＝1，MC 1＝x ， 则C 1M C 1D 1=C 1D 1AC 1，所以1＝x （x +1），解得x =√5−12，所以cosC 1=cos2α=C 1N C 1A =√5−14， 所以cos 2α=12(1+cos2α)=12⋅√5+34=√5+38=2√5+616=(√5+14)2， 所以cosα=√5+14，故C 选项正确；因为a 2＝1，△ABE △C 1AE ，所以AB BE=AC 1AE，即12⋅√5+12+a 2=√5+12a 1，所以a 12=(√5+2)(√5+1)2=7+3√52，所以(a2a 1)2=27+3√5=2(7−3√5)4=(3−√52)2，即q =3−√52，故A 选项正确，B 选项错误； 由于5α＝π，则10α＝2π，所以cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ+6α）+cos （θ+8α）＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos[（θ﹣4α）+10α]+cos[（θ﹣2α）+10α] ＝cos θ+cos （θ+2α）+cos （θ+4α）+cos （θ﹣4α）+cos （θ﹣2α） ＝cos θ+2cos θcos4α+2cos θcos2α＝cos θ（1+2cos4α+2cos2α） ＝cos θ[1+2⋅（2cos 22α﹣1）+2cos2α]＝cos θ（4cos 22α+2cos2α﹣1） =cosθ[4×(√5−14)2+√5−12−1]=0，故D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0，则f （f （2021））＝12．【解答】解：定义R 上的函数f （x ）的周期为4，且x ∈[﹣2，2）时，f （x ）={−tan πx4，0＜x ＜2|x +12|，−2≤x ≤0， 则f （f （2021））＝f （f （505×4+1））＝f （f （1））＝f （﹣tan π4）＝f （﹣1）＝|﹣1+12|=12，故答案为：12．14．（5分）函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ≠0）与直线y ＝2x 相切，则实数a 的值为 ﹣e ． 【解答】解：设切点为（m ，n ）， 由f （x ）＝x ﹣alnx ，得f ′（x ）＝1−ax ， 则{1−am=22m =m −alnm，解得：m ＝e ，a ＝﹣e ．故答案为：﹣e ．15．（5分）已知a x ＝b 2y ＝2，ab ＝4，a ＞1，b ＞1，则x +y 的最小值为 34+√22． 【解答】解：∵a x＝2，b 2y＝2，∴a =21x （a ＞1，x ＞0），b =212y （b ＞1，y ＞0）；∵ab ＝4，∴21x×212y =4，1x+12y=2，∴x +y =12×（1x +12y ）（x +y ）=12×（32+y x +x 2y）， ∵x ＞0，y ＞0，∴y x＞0，x 2y＞0，∴yx +x2y ≥2√yx ×x2y =√2，x +y ≥12×（32+√2）=34+√22，当且仅当y x =x 2y ，1x +12y=2时取等号，∴x +y 的最小值为34+√22． 故答案为：34+√22． 16．（5分）已知函数f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3，g （x ）＝x ﹣2，则关于x 的方程f （x ）＝g （x ）的实数根之和为 8 ；定义区间（a ，b ），[a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ]的长度均为b ﹣a ，则f （x ）=1x−1+1x−2+1x−3≥1的解集全部区间长度之和为 3 ． 【解答】解：f （4﹣x ）=13−x +12−x +11−x =−f （x ），f （x ）关于（2，0）对称， f '（x ）=−1(x−1)2−1(x−2)2−1(x−3)2＜0，∴f （x ）在（﹣∞，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）递减， x →1+时，x →+∞，x →2﹣时，x →﹣∞，x →2+时，x →+∞，x →3﹣时，x →﹣∞，x →3+时，x →+∞，作出f （x ）图像，作出g （x ）图像，则f （x ）与g （x ）有四个交点，四个实根设为t 1，t 2，t 3，t 4，则t 1+t 2+t 3+t 4＝4+4＝8， 令f （x ）＝1，则x 3﹣9x 2+23x ﹣17＝0，由韦达定理可知x 1+x 2+x 3＝9， ∴x 1﹣1+x 2﹣2+x 3﹣3＝9﹣6＝3． 故答案为：8；3．四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【解答】解：（1）设公差d 不为0的等差数列{a n }中，首项为a 1，满足S 4＝2（a 4+1），a 22+a 62＝a 42+a 52，所以{4a 1+4×32d =2×(a 1+3d)+2(a 1+d)2+(a 1+5d)2=(a 1+3d)2+(a 1+4d)2，解得{a 1=1d =2；故a n ＝2n ﹣1；（2）由（1）得：b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)；所以T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若f （θ）=513，求sin2θ的值．【解答】解：（1）根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象，可得A ＝1，可得：f （0）＝sin φ=√22，可得：φ=π4，可得f （x ）＝sin （ωx +π4）， 又f （−π4）＝sin （−π4ω+π4）＝0， 可得：−π4ω+π4=k π，k ∈Z ，解得ω＝1﹣4k ，k ∈Z ， 当k ＝0时，可得ω＝1，可得函数f （x ）的解析式为f （x ）＝sin （x +π4）． （2）因为f （θ）＝sin （θ+π4）=√22×（sin θ+cos θ）=513， 所以sin θ+cos θ=5√213，两边平方，可得1+sin2θ=50169， 可得sin2θ=−119169．19．（12分）如图，在△ABC 中，AE →=12AB →，点D 是AC 上一点，BD 与CE 交于点P ，且AP →=25AB →+15AC →．（1）若AC →=λAD →，求实数λ的值； （2）若AP →•BC →=0，求证：tan B ＝2tan C ．【解答】解：（1）∵AC →=λAD →，∴AP →=25AB →+15AC →=25AB →+15λAD →， ∵B ，D ，P 三点共线， ∴25+15λ＝1，∴λ＝3．（2）证明：∵AP →=25AB →+15AC →，∴AP →•BC →=（25AB →+15AC →）•（AC →−AB →）=15AC →2−25AB →2+15AB →⋅AC →=0， 即b 2﹣2c 2+ab cos A ＝0，∴b 2﹣2c 2+ab ×b 2+c 2−a 22bc=0，∴a 2﹣3b 2+3c 2＝0，即2（a 2+c 2﹣b 2）＝a 2+b 2﹣c 2，∴2c cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得2sin C cos B ＝sin B cos C ，∴tan B ＝2tan C ． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ．（1）若对任意实数x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，若f （x 1）+f （x 2）＝1，求x 1+x 2的最小值． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+x ，对任意实数x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣ax 2+x ＜0恒成立，当a ≤0时，则f （1）＝1﹣a ＞0，这与f （x ）＜0在x ∈（0，+∞）上恒成立矛盾，故舍去；当a ＞0时，f '（x ）=1x−2ax +1， 因为f '（x ）在（0，+∞）上单调递减， 又f ′(12a )=2a ＞0，f′(1+1a )=a a+1−2a −1＜0， 故存在唯一的x 0∈(12a ，1+1a )，使得f '（x 0）＝0，即1x 0−2ax 0+1=0，且当x ∈（0，x 0）时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 当x ∈（x 0，+∞）时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减，故当x ＝x 0时，f （x ）取得最大值f （x 0）=lnx 0−ax 02+x 0=lnx 0−x 0+12+x 0=lnx 0+x 02−12＜0， 解得0＜x 0＜1， 故a =12(1x 0+1x 02)＞1， 所以实数a 的取值范围为（1，+∞）；（2）当a =12时，f(x)=lnx −12x 2+x ，若f （x 1）+f （x 2）＝1，则lnx 1−12x 12+x 1+lnx 2−12x 22+x 2=1， 故ln(x 1x 2)−12(x 1+x 2)2+x 1x 2+x 1+x 2=1， 所以12(x 1+x 2)2−(x 1+x 2)+1=ln （x 1x 2）+x 1x 2≤ln(x 1+x 22)2+(x 1+x 22)2， 令t =x 1+x 22，则2t 2﹣2t +1≤lnt 2+t 2，即t 2﹣2t +1﹣2lnt ≤0， 令h （t ）＝t 2﹣2t +1﹣2lnt ，则h '（t ）=2t −2−2t =2(t 2−t−1)t，令h '（t ）＝0，解得t =1+√52， 所以当0＜t ＜1+√52时，h '（t ）＜0，则h （t ）单调递减， 当t ＞1+√52时，h '（t ）＞0，则h （t ）单调递增， 又h （1）＝0，h （3）＝4﹣2ln 3＞0， 故h （t ）在(1+√52，3)上有唯一的零点t 0， 又当1≤t ≤t 0时，h （t ）≤0， 故2≤x 1+x 2≤2x 0，所以x 1+x 2的最小值为2，当且仅当x 1＝x 2＝1取等号．21．（12分）深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图Ⅰ，代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信，摩天轮的半径为6（单位：10m ），圆心O 在水平地面上的射影点为A ，摩天轮上任意一点P 在水平地面上的射影点都在直线l 上，水平地面上有三个观景点B 、C 、D ，如图Ⅱ所示，其中在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝8DC ，∠BAD ＝90°，BC ∥l ，∠OBA ＝45°，记OA ＝a （单位：10m ）． （1）求cos ∠ABC 的值；（2）因安全因素考虑，观景点B 与摩天轮上任意一点P 的之间距离不超过√239（单位：10m ），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）设DC ＝m ，则BD ＝8m ， 所以在△ABD 和△ABC 中，分别利用余弦定理得：cos ∠ABC =a 8m =a 2+8lm 2−a 22⋅9m⋅a =9m 2a，所以a 2＝36m 2⇒a ＝6m ， 所以cos ∠ABC =34，（2）根据题意，观景点B 与与摩天轮上任意一点P 之间距离不超过√239， 即(PB)max ≤√239，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，连接BQ ，PB ，要使PB 尽可能的大，则点P 摩天轮同一竖直线上，且在直线m 的上方部分，且Q 在点A 的右侧，如图，设PQ ＝h ，AQ ＝x ，a ≤h ≤a +6， 则（h −a ）2+x 2＝36⇒h 2+a 2+x 2−2ah ＝36， 所以PB =√BQ 2+PQ 2=√AB 2+AQ 2−2AB ⋅AQ(−34)+PQ 2=√a 2+x 2+32ax +ℎ2=√36+2a ℎ+32ax =√36+a(2ℎ+32x)， 令{ℎ=a +6cosθx =6sinθ，则2ℎ+32x =2a +12cosθ+9sinθ=2a +15sin(θ+φ)≤2a +15，（其中tanφ=34)， 所以(PB)max =√36+2a 2+15a ≤√239， 2a 2+15a −203≤0， 解得a ≤7，所以实数a的取值范围是（6，7]．22．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x，g（x）＝ax2﹣lnx．（1）讨论函数g（x）＝ax2﹣lnx的单调性；（2）函数h（x）＝|f（x）|+g（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣lnx的定义域为（0，+∞），则g'（x）=2ax−1x=2ax2−1x，所以当a≤0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，令g'（x）＝0，解得x=√12a，当x∈（0，√12a）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，当x∈（√12a，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，所以f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增．（2）因为f（1）＝e+1﹣2a，①当f（1）＝e+1﹣2a＜0，即a＞e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＜0，此时h（x）＝（x﹣2）e x﹣（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（x﹣4）e x﹣（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝4a﹣2＞0，这与x＝1处取得极小值矛盾；②当f（1）＝e+1﹣2a＞0，即a＜e+12时，存在x∈（1﹣σ，1+σ）（σ为足够小的正数），使得f（x）＞0，此时h（x）＝（2﹣x）e x+（1﹣2a）x+ax2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x+（1﹣2a）+2ax−1 x，故h'（1）＝0，又h''（x）＝﹣xe x+2a+12，所以h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，则h''（x）在（0，+∞）上单调递减，（i）若h''（x）≤0，即﹣e+2a+1≤0，a≤e−12时，此时当x＞1时，h''（x）＜0，则h'（x）单调递减，则h'（x）＜h'（1）＝0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，h（x）不可能在x＝1处取得极小值，故舍去；（ii）若h''（x）＞0，即﹣e+2a+1＞0，a＞e−12时，h''（2a）=−2ae2a+2a+14a2＜14a2−4a2＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2a），使得h''（x0）＝0，且当0＜x＜x0时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，则当1﹣σ0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x0，1+σ0}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，所以此时满足函数h（x）在x＝1处取得极小值，故实数a的取值范围为(e−12，e+12)；③当f（1）＝e+1﹣2a＝0，即a=e+12时，存在x∈（1﹣σ1，1+σ1）（σ1为足够小的正数），使得f（x）≥0，此时h（x）＝（2﹣x）e x﹣ex+e+12x2﹣lnx，则h'（x）＝（1﹣x）e x﹣e+（e+1）x−1 x，又h'（1）＝0，则h''（x）＝﹣xe x﹣e+1+1x2，h'''（x）＝﹣（x+1）e x−2x3＜0恒成立，故h''（x）在（0，+∞）上单调递减，由于h''（1）＝2＞0，h''（2）=−2e2+e+1+14＜0所以存在唯一的x1∈（1，2），使得h''（x1）＝0，则当0＜x＜x1时，h''（x）＞0，则h'（x）单调递增，注意到h'（1）＝0，故当0＜x＜1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当1＜x＜min{x1，1+σ1}时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，此时满足h（x）在x＝1处取得极小值．综上所述，实数a的取值范围为(e−12，e+12]．。

2021年江苏省淮阴区高三上学期期中调研测试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合}|{},1|{a x x B x x A <=>=，若R B A =⋃，则实数a 的取值范围为2．复数i i z +-=2)21(的实部为3．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．4．从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为5．函数)62sin(2π-=x y 的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为7．等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ，则=3a8．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.9．在平面直角坐标系中，直线0323=+-y x 被圆422=+y x 截得的弦长为10．设函数1sin )1()(22+++=x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M 11．已知点),1(m P 是函数x ax y 2+=图像上的点，直线b y x =+是该函数图像在P 点处的切线，则=-+m b a12．设P 为ABC ∆中线AD 的中点，D 为边BC 中点，且2=AD ，若3PB PC ⋅=-，则AB AC ⋅=13．若存在正数x 使1)(<-a x e x 成立，则a 的取值范围是14．已知0,0,1≠>=+x y y x ，则1||||21++y x x 的最小值为二、解答题15．（本题满分14分）已知2tan ),,2(-=∈αππα（1）求)4sin(απ+的值； （2）求)232cos(απ-的值 16．（本题满分14分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，AD PD =，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD 交PD 于点E. （1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）若O BD AC =⋂，证明//FO 平面AED17．（本题满分15分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，短轴上端点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点A ，连接AO 并延长交椭圆于点D ，过O F 、、B 三点的圆的圆心为C（1）若C 的坐标为）（1,1-，求椭圆方程和圆C 的方程； （2）若AD 为圆C 的切线，求椭圆的离心率18．为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2米，内部划分为不同区域种植不同花草 如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB 的顶点O 为圆心，A在圆周上，B 在半径OQ 上，设计要求 120=∠ABO（1）请设置一个变量x ，写出该蝶形区域的面积S 关于x 的函数表达式；（2）x 为多少时，该蝶形区域面积S 最大？ P O B QA19．（本题满分16分）设数列}{n a 的前n 项和为n S（1）若数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，求常数t m ,的值，使t ma S n n +=对一切大于零的自然数n 都成立（2）若数列}{n a 是首项为1a ，公差0≠d 的等差数列，证明：存在常数b t m ,,使得b ta ma S n n n ++=2对一切大于零的自然数n 都成立，且21=t （3）若数列}{n a 满足b ta ma S n n n ++=2，+∈N n ，b t m 、、（0≠m ）为常数，且0≠n S ，证明：当21=t 时，数列}{n a 为等差数列 20．（本题满分16分）已知函数x e e x f x x 2)(--=-，R x ∈（1）证明)(x f 为奇函数，并在R 上为增函数；（2）若关于x 的不等式322)(-+-≤m x mex f x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围（3）设)(4)2()(x bf x f x g -=，当0>x 时，0)(>x g ，求b 的最大值参考答案1．1>a【解析】试题分析：当1a ≤时，{|1}AB x x x a R =><≠或，当1a >时，A B R =考点：集合运算2．3-【解析】试题分析：2(12)14433z i i i i i =-+=--+=--，所以实部为3- 考点：复数运算3．60【解析】 试题分析：应从一年级本科生中抽取4300604556⨯=+++名学生．考点：分层抽样 4．31【解析】试题分析：从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，6种取法，其中所取两个数的和为5的有(1,4),(2,3),2种取法，所以概率为21=63 考点：古典概型概率5．6x π=-【解析】试题分析：由2=+()62x k k Z πππ-∈得对称轴的方程为=+()32k x k Z ππ∈，其中离坐标原点最近的为6x π=-考点：三角函数对称轴6．9【解析】试题分析：第一次循环：1lg ,33S i ==；第二次循环：131lg +lg lg ,5355S i ===；第三次循环：151lg +lg lg ,7577S i ===；第四次循环：171lg +lg lg ,9799S i ===；第二次循环：191lg +lg lg 1,91111S ==<-输出9i =.考点：循环结构流程图7．4【解析】试题分析：由题意得：42511334215151512()146222a a q q q q a a a a q q q --+=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒=--或舍考点：等比数列8．【解析】试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rl r l r ππ==，h =，所以圆柱的侧面积22S rl r π==，其底面积为2r π，所以圆柱的侧面积是底面积的.考点：旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.9．2【解析】试题分析：圆心到直线距离为d ==2.= 考点：直线与圆位置关系10．2【解析】 试题分析：22sin ()11x x x f x x +=++，所以22sin ()()11x x x g x f x x +=-=+为奇函数，其取值范围为[1,1]m M --，因此(1)12m M M m --=-⇒+=考点：奇函数性质11．2【解析】试题分析：因为22y a x '=-，所以21,1a a -=-=，从而23,14m a b m =+==+=，2.a b m +-= 考点：导数几何意义12．0【解析】试题分析：因为+2,,PB PC PD PB PC CB =-=所以2244,PB PC PD CB ⋅=-同理2244,AB AC AD CB ⋅=-从而222244443410.AB AC PB PC AD PD AB AC PB PC AD PD ⋅-⋅=-⇒⋅=⋅+-=-+-=考点：向量数量积13．1->a【解析】试题分析：由题意得：min (),(0)x a x e x ->->，由于函数x y x e -=-单调递增，所以011x x e -->-=-，因此1a >-考点：不等式恒成立14．43【解析】试题分析：1||||2||1312||12||24||24||444x x y x x y x x x x y x y x x y x x x +++=+=++≥=-=+++-，当且仅当0,22,1x x y x x y <+=-+=即2,3x y =-=时取等号考点：基本不等式求最值15．（12）【解析】试题分析：（1）给值求值问题，首先要分析角之间关系，本题可化为同角，即απαπαπsin 4cos cos 4sin )4sin(+=+，因此只需由2tan ),,2(-=∈αππα根据同角三角函数关系求出：552sin =α，55cos -=α，代入即得)4sin(απ+10101=（2）本题为二倍角关系，可利用二倍角的正余弦公式进行求解：==αααcos sin 22sin 54-，53sin cos 2cos 22-=-=ααα 103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ试题解析：解：（1）由2tan ),,2(-=∈αππα 得552sin =α，55cos -=α 4分，每个数据2分 απαπαπsin 4cos cos 4sin )4sin(+=+ 公式2分 10101= 结论2分（2）==αααcos sin 22sin 54- 2分，公式和结论各1分 53sin cos 2cos 22-=-=ααα 2分，也可以用平方关系方法得到103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ考点：给值求值16．（1）详见解析，（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用其判定定理，即证线线垂直：由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥由,,AD PD AD DC PD DC C ⊥⊥=,PD DC PDC ⊂面⊥⇒AD 平面PDC ，CF PDC ⊂面CF AD ⊥⇒由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥ ,,,AF CF ADF ⊂面⊥⇒CF 平面ADF （2）证明线面平行一般利用其判定定理，即证线线平行：因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点，从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED试题解析：（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥（1分）由C DC AD DC AD PD AD =⊥⊥ ,,⊥⇒AD 平面PDC（3分，少一个条件扣一分）CF AD ⊥⇒（1分）由C CF AF CF AF CF AD =⊥⊥ ,,⊥⇒CF 平面ADF （2分）（2）因为AD=PD ，由（1）知，F 为PC 中点 从而//AP FO ,因此由,AP ADE ⊂面FO ADE ⊄面得//FO 平面AED ，本小题方法较多，关键采分点是证明线面平行的相关要素 考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理17．（1）椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆方程及圆方程，一般利用待定系数法求解：因为三角形BFO 为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF 中点C ，由C 点坐标为)1,1(-得，2,2==c b ，所以222c b a +=8=，圆半径2==CO r ，所以椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x（2）圆的切线问题一般转化为圆心到切线距离等于半径，本题由于切点为O ，所以转化为AO CO ⊥，先由直线BF 方程与椭圆方程求出A 点坐标),)(2(2232222c a b c a c c a A +-+-，再代入AO CO ⊥得：2242c a b =22221b a c e e ⇒=⇒-=⇒-=⇒=试题解析：（1）因为三角形BFO 为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF 中点C ，由C 点坐标为)1,1(-得，2,2==c b ，所以222c b a +=8=， 圆半径2==CO r ，所以 椭圆方程为14822=+y x ，圆方程为2)1()1(22=-++y x （4分，每个方程2分） （2）由AD 与圆C 相切，得 CO AD ⊥BF 方程为b x c b y +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12222b y a x b x c b y 得),)(2(2232222c a b c a c c a A +-+- （6分，每个坐标3分）0OA OC ⋅=得2242c a b =，222222)(c a c a =- 044224=+-c c a a，e = （5分）考点：椭圆方程，圆方程，椭圆离心率18．（1）)sin S x x=-（2） 30=x【解析】 试题分析：（1）由于蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，所以其面积为一个三角形AOB 面积的四倍，表示三角形AOB 面积应设角为自变量，即设x AOB =∠，在三角形AOB 中，由正弦定理得231120sin )60sin(sin ==-= AO x OB x AB ，xx x OB OA S S AOB sin )60sin(34sin 24-=•==∆ ，其定义域为(0,)3x π∈（2）求三角函数最值，先将其化为基本三角函数,这要利用两角差的正弦公式，二倍角公式及配角公式：211cos 211)sin cos sin )2)(sin(2))24264x S x x x x x x x π-=-=-=-=+-，从而30=x 时，蝶形区域面积最大试题解析：（1）设x AOB =∠，在三角形AOB 中，由正弦定理得231120sin )60sin(sin ==-= AO x OB x AB42sin )sinAOB S S OA OB x x x ∆==⋅=-（7分） （2）211cos 211)sin cos sin )2)(sin(2))24264x S x x x x x x x π-=-=-=-=+-整理得+)6S x π（整理过程和结论共6分，过程4分，结论2分）所以30=x 时，蝶形区域面积最大（2分）注：本题也可以用余弦定理和基本不等式解答，参照得分 考点：函数解析式，正弦定理，三角函数最值 19．（1）1,2-==t m （2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）恒等式问题，可列方程组求解，也可用对应项系数相等求解：由等比数列和项公式12212111-=--=--=n nn n a a q qa a S 所以 1,2-==t m （2）同上，利用列方程组求解，也可用对应项系数相等求解：在等差数列}{n a 中，d n a a n )1(1-+=，所以11+-=d a a n n1111111(1)(1)(1)()22n n n n a a a a a a S na n n d a d d d d ---=+-=+++2211112222n n a a a a d d =++- 所以存在d m 21=，21=d ，d a a b 22211-=使得命题成立（3）先由和项与通项关系求数列递推关系，进而利用定义证明数列为等差数列：由题知)2()(21)(1212≥=-+-=----n a a a a a m S S n n n n n i n n0)(21)(1212=+----n n n n a a a a m ，0]21)()[(11=--+--n n n n a a m a a若,01=+-n n a a 则02=S ，与题设矛盾，所以21)(1=--n n a a m ，0≠m ，得m a a n n 211=--所以 数列}{n a 为等差数列试题解析：（1）12212111-=--=--=n nn n a a q qa a S所以 1,2-==t m （4分）（2）在等差数列}{n a 中，d n a a n )1(1-+=，所以11+-=d a a n nd a a a a dd da a d a a a d a a d n n na S n n n n n n 222121))(1(21)1()1(21211211111-++=-+-++-=-+=所以存在d m 21=，21=d ，d a a b 22211-=使得命题成立（6分） （3）由题知 )2()(21)(1212≥=-+-=----n a a a a a m S S n n n n n i n n 0)(21)(1212=+----n n n n a a a a m]21)()[(11=--+--n n n n a a m a a若,01=+-n n a a 则02=S ，与题设矛盾所以21)(1=--n n a a m ，0≠m ，得m a a n n 211=--所以 数列}{n a 为等差数列（6分） 考点：恒等式问题，等差数列定义20．（1）详见解析（2）43211++≥m （3）2【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义：定义域关于原点对称，且()()f x f x -=-进行证明：R x ∈，()2()x x f x e e x f x --=-+=-，所以)(x f 为奇函数，利用导数证明其单调性：因为/1()20x x f x e e =+-≥在R 上恒成立，所以)(x f 在R 上为增函数（2）解决不等式恒成立问题，先化简不等式：由322)(-+-≤m x me x f x变形得x xx e e e m 2112+-+≥，再求对应函数最值：2112xxx e y e e -=++，令10xt e =-> 得21113434t y t t t t =+=+++++1≤当且仅当t =43211++≥m （3）本题若用变量分离，则研究的函数较复杂，不易求出其最值，因此从原函数出发为宜：g （x ）＝f （2x ）－4bf （x ）＝e 2x－e－2x－4b （e x －e －x ）＋（8b －4）x ，g ′（x ）＝2[e 2x ＋e－2x－2b （e x ＋e －x）＋（4b －2）]＝2（e x＋e －x－2）（e x＋e －x－2b ＋2）．当b≤2时，g′（x ）≥0，g （x ）在（－∞，＋∞）上单调递增．而g （0）＝0，所以对任意x>0，g （x ）>0. 当b>2时，存在函数值小于g （0）＝0，不满足，所以b 的最大值为2.试题解析：（1）R x ∈，()2()x xf x e e x f x --=-+=-，所以)(x f 为奇函数（2分）不写定义域扣1分 /1()20x x f x e e =+-≥在R 上恒成立，所以)(x f 在R 上增（2分）（2）由322)(-+-≤m x me x f x 变形得x xx e e e m 2112+-+≥令1-=xe t 得43113412+++=+++≥t t t t tm得43211++≥m （本小题共6分）（3）g （x ）＝f （2x ）－4bf （x ）＝e 2x－e －2x－4b （e x －e －x）＋（8b －4）x ，g ′（x ）＝2[e 2x＋e－2x－2b （e x＋e －x）＋（4b －2）]＝2（e x＋e －x－2）（e x＋e －x－2b ＋2）．（i ）当b≤2时，g′（x ）≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g （x ）在（－∞，＋∞）上单调递增．而g （0）＝0，所以对任意x>0，g （x ）>0.（ii ）当b>2时，若x 满足2<e x＋e －x<2b －2，即0<x<ln （b －1）时，g′（x ）<0.而g （0）＝0，因此当0<x<ln （b －1）时，g （x ）<0. 综上，b 的最大值为2.考点：函数奇偶性，利用导数求函数单调性，利用导数求函数最值。

2020～2021学年度第一学期第一次学情检测高三年级数学学科（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，，且，则A. B. C. 2 D. 42.已知集合，，则集合B中元素的个数为A. 6B. 7C. 8D. 93.函数的图像大致是A. B. C. D.4.设函数则A. 3B. 6C. 9D. 125.已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.6.已知函数是偶函数，且，则A. 2B. 3C. 4D. 57.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式解集是A. B.C. D.8.若函数，则函数的零点个数是A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数若，且，则下列结论正确的是A. B.C. D.10.黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：奇函数；值域是；在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有A. B. C. D.11.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则下列正确的是A. 函数为周期是4的函数B. 是一条对称轴C.D. 若方程在区间上有四个不同的根，，，，则12.如图，在等边三角形ABC中，动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为，则下列结论正确的是A. 函数的最大值为12；B. 函数的图象的对称轴方程为；C. 函数无零点；D. 关于x的方程最多有5个实数根．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的最大值为______ ．14.已知函数，则的值为．15.已知函数，则______．16.已知，函数，当时，不等式的解集是______若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，．若，求实数m的值；若，求实数m的取值范围．18.求下列各式的值；．19.已知函数．若在区间上是单调减函数，求m的取值范围；若方程在区间上有解，求m的取值范围；20.设的定义域为，且是奇函数，当时，．求当时，的解析式；解不等式．21.某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金元只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用元表示出租自行车的日净收入即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得．求函数的解析式及其定义域；试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？22.已知函数是定义在R上的奇函数．求a的值；判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．2020～2021学年度第一学期第一次学情检测高三年级数学学科【答案】1. B2. C3. A4. C5. A6. D7. B8. D9. BCD10. CD11. BC12. ABC13. 214. 1215. 1916. ，17. 解：，；；；；，或；；或；或；的取值范围为．18. 解：原式；原式．19. 解：当时，，满足在区间上是单调递减函数，符合；当时，要使在区间上是单调减函数，则需，即；当时，要使在区间上是单调减函数，则需，即，综上，；由，在区间上有解，则在区间上有解，令，设，则题意即为方程在上有解，由于，所以20. 解：因为是奇函数，所以当时，，，又因为当时，，所以当时，．，当时，即，所以，所以，所以，解得，所以．当时，即，所以，所以，所以，所以解集是．21. 解：当时，，令，解得．，，，，当时，．令，有，上述不等式的整数解为，故，定义域为对于显然当时，元，对于当时，元．，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．22. 解：是定义在R上的奇函数，，从而得出，检验：满足，，；是R上的增函数，证明如下：设任意且，，，是在上单调增函数．，又是定义在R上的奇函数且是在上单调增函数，，，；假设存在实数k，使之满足题意由可得函数在上单调递增，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令，即方程有两个不等的正根，．存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是．【解析】1. 解：集合，，由，可得，则．故选：B．由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可得a．本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．2. 解：因为集合，所以1，，因为，所以B中的元素为A的子集个数，即B有个，故选：C．先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出．本题考查集合，集合子集个数，属于基础题．3. 【分析】本题考查了指数函数的图象和性质；结合指数函数的性质，从而恒成立，求得结果．【解答】解：因为，所以，即，故选A．4. 【分析】本题考查了分段函数与指数和对数运算，属于基础题．解题的关键在于将不同的自变量代入不同的表达式进行计算．【解答】解：函数即有，，则有．故选C．5. 解：，则在R上单调递增，，，，，，．故选：A．可得出，从而可根据指数函数的单调性判断在R上单调递增，然后可得出，从而根据的单调性即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．6. 【分析】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．由函数是偶函数，得，得．【解答】解：函数是偶函数，，．故选：D．7. 【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．可得偶函数在上单调递减，原不等式等价于，由此可解．【解答】解：对任意的，，有，函数在上单调递减，是偶函数，当时，函数为增函数，则不等式等价为，即，，作出函数的草图：则等价为或即或，故不等式的解集为．故选B．8. 解：作出与的函数图象如图所示：由图象可知两图象有2个交点，函数有两个零点．故选：D．作出与的函数图象，根据图象交点个数得出答案．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．9. 【分析】本题考查分段函数的应用，体现出数形结合的重要思想，属于中档题．可将函数的图象画出，利用二次函数、对数函数的性质以及基本不等式的相关知识，即可逐项判断正误．【解答】解：作出函数的图象，如图所示．由图可知，，所以，选项A错误．根据题意可知，，且有，所以，即，所以选项B，C正确．而，当且仅当时，等号成立，由题可知，，所以，所以，所以选项D正确．故答案选BCD．10. 【分析】本题考查函数的性质，属于基础题．分别依据四个函数的奇偶性值域及单调性即可．【解答】解：A，是偶函数，排除A；B.的定义域为R，值域为R，排除B；C.是奇函数；值域是；在上是减函数符合；D.是奇函数；值域是；在上是减函数也符合．故选CD．11. 【分析】本题主要考查方程的根，函数图象的应用，函数的奇偶性，周期性和单调性，属于中档题．【解答】解：由题意，定义在R上的奇函数满足，所以函数的周期为8，所以A不对；由知是一条对称轴，故B正确；代入数值，，，，由图可知：，所以，故C也正确；且在上为增函数，因和是对称轴，四个交点中两个交点的横坐标之和为，另两个交点的横坐标之和为，所以所以D不对；故选BC．12. 【分析】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．由题意，画出函数图象，列出P在三条边分别对应的函数解析式，逐一判断各个选项即可．【解答】解：由题可得函数，作出图象如图：则当点P与顶点重合时，即，6，12，18时，取得最大值12，故A正确；又，所以函数的对称轴为，故B正确；由图象可得，函数与x轴无交点，函数图象与的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故C正确，D错误．故选ABC．13. 【分析】本题考查了分段函数，函数的最值和数形结合思想．利用分段函数和函数的最值，结合数形结合计算得结论【解答】解：由函数的图象知：当时，；由函数的图象知：当时，，因此函数的最大值为2．故答案为2．14. 【分析】本题考查了分段函数求值及对数函数的计算，属于基础题．根据题意，因为，由函数解析式计算即可得解．【解答】解：由函数，故．故答案为12．15. 解：因为，所以，所以则．故答案为：19．推导出，再两两结合后加即可求解结论．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16. 【分析】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力，属于中档题．利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．【解答】解：当时函数显然时，不等式的解集：；时，不等式，化为：，解得，综上，不等式的解集为：．函数恰有2个零点，函数的草图如图：函数恰有2个零点，则或．故答案为：；，．17. 可求出，，根据即可得出，解出m即可；可求出，或，根据即可得出或，解出m的范围即可．考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义．18. 本题考查指数与指数幂的运算，对数与对数的运算，本题考查指数与指数幂的运算，利用指数与指数幂的运算的法则计算此题；本题考查对数与对数的运算，利用对数与对数的运算的法则计算此题．19. 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．通过讨论m的范围，根据函数的单调性求出m的范围即可；通过转化，得出在区间上有解，令，设，由二次函数的性质，即可求出m的范围．20. 本题考查了不等式求解、函数的解析式、函数的奇偶性和指数函数及其性质，是中档题．由是奇函数，所以当时，，即可得出的解析式；分和两种情况，由指数函数性质即可得出结果．21. 利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用．将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决．22. 本题考查了函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数及其性质和函数的零点与方程根的关系，是难题．由奇函数得，得出a的值，再检验即可；设任意且，由单调性的定义证明单调性，由是定义在R上的奇函数且是在上单调增函数，则，得解出即可；假设存在实数k，由函数在上单调递增，得，所以mn为方程的两个根，令，即方程有两个不等的正根，由根的分布得出关系式解出即可。

江苏省淮安市高中校协作体2021届第一学期高三年级期中考试数学试卷一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)1. 若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为( )A. 5B.52C. 52-D. -52. 命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是( )A. 0(0,1),x ∃∉2000x x -≥ B. 0(0,1),x ∃∈2000x x -≥ C. 0(0,1),x ∀∉2000x x -<D. 0(0,1),x ∀∈2000x x -≥3. 设x ∈R ，则“38x >”是“2x ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<5. 已知角α的终边经过点(1,3)，则222cos sin cos 2ααα-=( ).A. 178-B.78C. 78±D. 36. 已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则AB 等于( )．A. ()2,12B. ()1,3-C. ()1,12-D. ()2,37. 若幂函数()f x的图象过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()e x f x g x =的递减区间为( ) A. ()0,2 B. (),0-∞和()2,+∞ C. ()2,0-D. ()(),02,-∞+∞8. 已知函数24,?0()7,?0x f x xx x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是( ) A. (﹣4，0] B. (-∞，﹣9) C. (-∞，﹣9)(﹣4，0]D. (﹣9，0]二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)9. 若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是( ) A. ()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B. ()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C. ()f x 区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D. ()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 10. 设正实数a ，b 满足1a b +=，则( ) A.11a b+有最小值4有最小值12D. 22a b +有最小值1211.已知函数())3f x x π=+，则下列结论正确的是( )A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在[0,π]上有2个零点C. 当x =56π时，函数()f x 取得最大值 D. 为了得到函数()f x的图象，只要把函数())3g x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)12. 下列说法中正确的是( )A. 数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B. 数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C. 若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D. 若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13. 已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 14. 已知向量AB 与AC 的夹角为60°，AB ＝3，AC ＝2.若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为________．15. 已知x >0，y >0，且x +3y =xy ，若t 2﹣t ≤x +3y 恒成立，则实数t 的取值范围是___________.16. 已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n n n S a a +=，N n *∈，则4a =___________；若12a =，则10S =___________.四､解答题(本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17. 已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求{}n a ，{}n b ； (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .18. 在①2222b ac a c =+，②cosB sin A a b =，③sin B +cos B 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，A =3π，b 2. (1)求角B ； (2)求△ABC 的面积.19. 中国“一带一路”战略构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x 台,需另投入成本()C x (万元),当年产量不足80台时,()21402C x x x =+ (万元); 当年产量不小于80台时()81001012180C x x x=+- (万元),若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润y (万元)关于年产量x (台)的函数关系式；(2)年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 20.平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，132c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，．(1)若a b c +=，求sin ()αβ-的值； (2)设5π6α=，0πβ<<，且()//a b c +，求β的值． 21. 已知m =(b sin x ，a cos x )，n =(cos x ，﹣cos x )，()f x m n a =⋅+，其中a ，b ，x ∈R .且满足()26f π=，(0)f '=.(1)求a 和b 的值；(2)若关于x 的方程3()log 0f x k +=在区间[0，23π]上总有实数解，求实数k 的取值范围. 22. 已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R .(1)当a =2时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在x =1处取得极值，对x ∀∈(0，+∞)，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围； (3)当1x y e >>-时，求证：ln(1)eln(1)x yx y -+>+.。

2021届高三第一学期模拟考试理科数学试题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. 为虚数单位，则（）A. B.C. D.3. 设,,,则( )A. B.C. D.4. (2020江苏省淮阴中学高三期中)已知等差数列中,,,则( )A. B.C. D.5. 若向量，，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.6. 函数的图像在点处的切线方程为( )A. B.C. D.7. （2019江苏高一期末）若,,三点共线,则( )A. B.C. D.8. 函数的大致图象为（）A.B.C.D.9. 设且,则“函数在上是减函数”,是“函数在上是增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知函数(,)的单调递减区间为,A.B.C.D.11. 经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，与双曲线的右支交于点，若以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.12. 已知函数,.若存在2个零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. （2019全国Ⅱ卷文）若变量满足约束条件则的最大值是__________.14. 二项式的展开始中含的项的系数是__________.(用数字作答)15. 等比数列前项的和为,则数列前项的和为__________.16. 设为一个圆柱上底面的中心,为该圆柱下底面圆周上一点,这两个底面圆周上的每个点都在球的表面上,若两个底面的面积之和为,与底面所成角为,则球的表面积为__________.三、解答题（第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题10分，共6小题70分）17. 在中,内角,,的对边分别是,,,且.(2)设,为的面积,求的最大值,并指出此时的值.18.在平面四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.19.设为各项均为正数的数列的前项和,且满足.(1)求的通项公式;(2)令,,若恒成立,求的取值范围.20.某大型住宅小区业主委员会为了评估本小区物业公司的服务情况,根据有关协议制作了服务评分表(满分分),从中随机抽取户调查评分,数据汇总如下表:(Ⅰ)求这份问卷评分的平均成绩;(Ⅱ)从小区住户中随机抽取一户的评分记为随机变量,依据以下不等式条件(表示对应事件的概率)①;②.若两个条件都满足则续聘;若只满足其中一个条件,业委会将和物业商谈改进服务措施;若两个条件都不满足,更换物业.问业委会将采取何种措施?其中,的取值分别等于,,为住户评分的标准差,且;(Ⅲ)业委会从评分在,,这三组抽样住户中,按比例随机抽取人组成工作组,这人中将有人发言,记这人来自的人数为,求的随机分布列和期望.21. 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)直线过椭圆的左焦点,且与椭圆交于,两点,若的面积为,求直线的方程.21.已知函数。