数学必修四人教A版 1.1.2弧度制(教、学案)

１．２弧度制一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生明确弧度制的概念，弧度与角度的换算，弧长公式及扇形公式． 教学目的：引导学生认识弧度制，并确立１弧度的含义。

教学意义：培养学生用转化的思想对同一事物进行不同方式描述。

二、教学过程１．１弧度的角定义：我们规定，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。

这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

２．弧长公式：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０。

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl =||α。

３．弧度与角度的换算：π2360=︒弧度1801()5718'1180rad rad ππ⎧=︒≈︒⎪⇒⎨⎪︒=⎩例 若)(4Z k k ∈+=ππα，则在第几象限？一、三 例 填写特殊角的换算对应表：度０° ３０° ４５° ６０° ９０° 弧度０ 6π 4π 3π 2π １２０° １３５° １５０°１８０° ２７０° ３６０° 23π 34π 56π π 32π 2π４．弧度制下的弧长公式及扇形公式：R l ||α=，22121R lR S α==。

例 已知半径为10的圆中，弦AB 的长为10。

（1） 求弦AB 所对的圆心角α的大小；3π （2） 求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形面积。

π310，)233(50-π 例 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2,10==αr三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．若α是第三象限角，则απ+所在的象限是（ Ａ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．若βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是 )0,(π- ．３．若三角形的三个内角之比为3:2:1，则此三角形的最小内角的弧度数为 6π ．４．如图所示，已知单位圆上一点)0,1(A 按逆时针方向做匀速圆周运动，s 1时间转过的弧度数是(0)θθπ<≤，经过s 2到达第三象限，经过s 14又转到最初位置，则θ的弧度数是 75,74ππ ．五、课后作业 同步练习1. 半径为2的圆中，弧长为4的弧所对圆心角大小是多少？ ２２．已知扇形周长为10，为4，求扇形的圆心角。

1.1.2弧度制一、教材分析1、本节内容在教材中的地位和作用：2、教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教A版必修4第一章第一单元第二节..本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度” 并且上节课学了任意角的概念;学生已掌握了一些基本单位转换方法;并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时;该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备;因此本节课还起着启下的作用..通过本节弧度制的学习;我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式..另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便..2、教学目标3、教学中的重点和难点教学重点：理解弧度的意义;能正确地进行角度制与弧度制的换算..教学难点：弧度制的概念与角度的换算..二、教学设计思想教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手;体会不同的单位制能给解决问题带来方便;引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角..通过类比引出弧度制;关键弄清1弧度的定义;然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法..在此基础上;通过具体的例子;巩固所学概念和公式;进一步认识引入弧度制的必要性..这样可以尽量自然的引入弧度制;并让学生在探索的过程中;更好的形成弧度的概念;建立角的集合与实数集的一一对应;为学习任意角的三角函数奠定基础..三、教法分析本节课我采用引导发现式的教学方法..通过教师在教学过程中的点拨;启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受..四、教学过程五、教学流程六、教学反思本节课;学生能够在老师的引导下主动学习;基本掌握了弧度制与角度制之间的转换;完成了课堂教学..课堂气氛比较活跃..。

长来定义角度，而产生新的角度单位呢？那么我们就先通过简单的计算来看看能不能发现什么规律？【学生活动】分组讨论，探索研究探究1：角度为30，60的圆心角，当半径1,2,3,4r =时，分别计算对应的弧长l ，计算后你们能发现什么规律？有没有什么比值或者量是不变的？30θ=， 1r =时，3011801806n r l πππ⨯⨯===，6π=r l 2r =时，3021801803n r l πππ⨯⨯===，6π=r l3r =时，3031801802n r l πππ⨯⨯===，6π=r l4r =时，30421801803n r l πππ⨯⨯===，6π=r l 60θ=，1r =时，6011801803n r l πππ⨯⨯===，3π=r l2r =时，60221801803n r l πππ⨯⨯===，3π=r l 3r =时，603180180n r l πππ⨯⨯===，3π=r l4r =时，60441801803n r l πππ⨯⨯===，3π=r l 发现结论：圆心角不变则比值不变，这个比值与弧长和半径的大小无关，只和角度大小有关。

（抽取两个小组分享他们的发现）因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制——弧度制（客观性，有理可循）。

环节三：归纳概括（新概念和新公式），初步巩固及总结（一收）【教师活动】弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad 表示，读作1弧度。

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

如图， 角在形成过程中，射线上的任意一点在旋转过程中，走过的弧长以及圆弧所在圆的半径虽然不同，但是走过的角度是相同的（几何画板展示）【学生活动】即时回答：弧长分别为r,2r,半圆，一个圆所对的圆心角的弧度数，可以发现圆心角弧度数等于弧长和半径的比值，得出结论rl=α 【教师活动】几何画板展示问题，并顺便说明正角的弧度数为正，负角弧度数为负，零角的弧度数为0.【教师活动】提问：弧度制与角度制相比，不同之处在哪里？ （教师引导学生进行小结） 【学生活动】在教师的引导下，整理得：1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”教师提供的素材，通过小组探究讨论，让学生有充足的时间空间自主完成知识建构让学生体会数学中下定义本质上是抓住事物的本质，而事物的本质则是变化过程中的不变性.通过具体图象，以形助数，直观定义新概念。

1.1.2 弧度制一、教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，能熟练地进行弧度与角度的换算，进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.理解弧度的意义，掌握弧长公式，掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式二、三维目标：1.通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制；2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。

三、重难点：教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算教学难点：弧度的概念及其与角度的关系。

学法指导：学生在已经学习了角的概念的基础上，进一步去研究角的其它方面，今天首先介绍角的度量单位，本节课在初中角度制的基础上，进行学习，采用对照方式，让学生掌握弧度制下角的应用以及掌握弧长和面积公式。

四、教学过程：导入新课：以到黄山游玩时拍摄的照片为例，导入新课，同样的事物，站在不同的位置，不同的心情观赏的结果是不一样的，前面我们研究了角，知道角推广到任意角，今天我们进一步去研究角的知识，初中我们学习了用角度制来测量角，今天来回顾一下，角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？1.弧度制我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角思考1:若半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为2r,那么,角α的弧度数是多少?根据弧度制的定义：=2α思考2：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?结论1：角α的弧度数的绝对值是=l rα.r为半径, l为角α所对弧的长，α的正负由角α的终边旋转方向决定结论2：正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是0.思考1,2设置意图：由一般到特殊，应用弧度制的定义，得到弧度的推导公式，让学生思维得到发散，由弧度制的定义，得到度量角的另外一种运算方式，新旧知识对照，对比角度制与弧度制的比较。

1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要•现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单1位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1 °.360°通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法•在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性•这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的- 对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的•通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性•通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的•进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1•通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2•通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣• 重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算•教学难点：弧度的概念及其与角度的关系• 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日晷，或者利用普遍使用的钟表•实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角,相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数. 圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里我们学习过角的度量,1。

1.1.2 弧度制一、教学目标：1．理解1弧度的角的意义，了解弧度制的概念，领会定义的合理性；了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；2．在亲历知识的建构过程中，渗透数形结合、特殊到一般等思想方法；3．体验角度制与弧度制的区别、联系与转化，能进行角度与弧度的换算，牢记特殊角的弧度数。

二、教学重点与难点：1、教学重点：弧度制的概念；弧度与角度的换算2、教学难点：弧度制的概念 三、教学策略与手段：采用探究式教学，以问题串的形式引导学生得到弧度制的概念、深入理解概念并应用概念。

利用PPT 和几何画板课件静态动态相结合，展示1弧度的角，帮助学生深入理解概念。

六、教学基本流程：四、教学过程： （一）复习引入1、上节课我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。

这些角都是用“度”来度量的，这种用“度”作单位来度量角的制度称为角度制。

回忆一下，在角度制中，1度的角是如何定义的？弧长公式与扇形面积公式是什么？2、在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量重量时，可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制外，是否也能用不同的单位制呢？ （二）新课讲授问题一：圆心角︒=30n ，当半径r 为1，2，3，4时，计算圆心角n 所对弧长l 与半径r 的比值rl 。

（1）当圆心角不变，半径变化时，rl是定值；（比值是一个实数，因此是10进制，比角度的60进制用起来更习惯）（2）若半径不变，圆心角变化时，rl随圆心角的变化而变化。

因此，弧长与半径的比rl只与圆心角的大小有关，与半径大小无关，我们可以用这个比值来度量角，这就是度量角的另一种单位制——弧度制。

与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。

几何画板演示： （1）1弧度的角rl=1，此时l r =（是一个比︒60的角略小的角）。

1.1.2弧度制【课标要求】1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能进行弧度与角度的互化．3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【核心扫描】1．对弧度制概念的理解．(难点)2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)新知导学1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值lr与半径的大小无关，仅与角的大小有关．2．角度制与弧度制的换算(1)温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π3＋k ·180°或60°＋2k π等这类错误的写法．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 温馨提示：扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．互动探究探究点1 角α＝2这种表达方式正确吗？探究点2 弧度制与角度制有何区别与联系？探究点3 如何用弧度制表示直角坐标系中的角？题型探究类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．【活学活用1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角； (2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．[规律方法] 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【活学活用2】 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用【例3】 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[规律方法] (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 【活学活用3】 已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．易错辨析 角的度量单位不统一及角的大小不清楚【示例】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．[错解] (1)330°＋2k π<θ<75°＋2k π(k ∈Z )，(2)225°＋2k π<θ<135°＋2k π(k ∈Z )．[错因分析] 在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式．[正解] (1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z . (2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z . [防范措施] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式.课堂达标1．下列说法中，错误的说法是( )． A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．α＝－2，则α的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．－2312π rad 化为角度应为________．4．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．5．已知集合A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，求A ∩B .课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单 位取弧度.参考答案新知导学1．(2)①半径长②正数负数2．角度制与弧度制的换算(1) 2π 360° π 180°(2) 90° 180°3．α·R互动探究探究点1提示正确．用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角α＝2就表示α是2 rad的角．探究点2提示(1)区别：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指等于周角的1360的角，二者大小显然不同．③用弧度制表示角时，单位“弧度”两个字可以省略不写，但用角度制表示角时，单位“°”不能省略．(2)联系：无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．探究点3提示(1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.(2)类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】 【解】(1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.【活学活用1】 【解】(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 【解】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°.【活学活用2】 【解】(1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用【例3】 【解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，为a 216.【活学活用3】【解】设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9， ∴扇形的弧长为4π9r ，由已知，得4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2， ∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.课堂达标1．D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 2．C【解析】1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限． 3．－345°【解析】－2312π＝－2312×180°＝－345°.4．34【解析】由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .5．【解】∵A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }， 令k ＝1，有2π<α<3π，而2π>4；令k＝0，有0<α<π；令k＝－1，有－2π<α<－π.而－2π<－4<－π，故A∩B＝{α|－4≤α<－π或0<α<π}．。

1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣. 重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算. 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然. 推进新课 新知探究 提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即rl=1. 讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关. ②能,用弧度制. 提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制. 讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角. ②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180rad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=(πa 180)°,n°=n180π(rad).提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?的长对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3π或者2k π+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2k π(k∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2k π(k∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=21lR. 的长 例1 下列诸命题中,真命题是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题. 答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念. 变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案:D例2 将下列用弧度制表示的角化为2k π+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-32. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=k π,k∈Z },{β｜β2π=k π,k∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为: {β｜2k π<β<2k π+2π,k∈Z }, {β｜2k π+2π<β<2k π+π,k∈Z },{β｜2k π+π<β<2k π+23π,k∈Z }, {β｜2k π+23π<β<2k π+2π,k∈Z }. 解:①415π-=-4π+4π,是第一象限角. ②432π=10π+32π,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2k π+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限. 变式训练(1)把-1 480°写成2k π+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式; (2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π<2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π.(2)∵β与α终边相同,∴β=2k π+916π,k∈Z .又∵β∈［-4π,0),∴β1=92π-,β2=920π-.例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2k π+θ,k∈Z ,即6θ=2k π.∴θ=3kπ. 又∵0<θ<2π,∴0<3kπ<2π. ∵k∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π.点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2k π+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角.例 4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S. 由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=21l·r=21(a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a )2+162a . ∵r>0,l=a -2r>0,∴0<r<2a. ∴当r=4a 时,S max =162a .此时,l=a-2·4a =2a ,∴α=r1=2. 故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值162a .点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练已知一个扇形的周长为98π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=94π,∴扇形的弧长为94πr,由已知,94πr+2r=98π+4,∴r=2. ∴S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练课本本节练习. 解答:1.(1)8π;(2)67m -;(3)320m .点评:能进行角度与弧度的换算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°. 点评:能进行弧度与角度的换算.3.(1){α|α=k π,k∈Z };(2){α|α=2π+k π,k∈Z }.点评:用弧度制表示终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合. 4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.注意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角模式设置为DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制). 5.3m. 点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性. 6.弧度数为1.2.点评:进一步认识弧度数的绝对值公式. 课堂小结由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=π rad 这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类. 作业①课本习题1.1 A 组6、8、10.②课后探究训练:课本习题1.1 B 组题.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度. 本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.。

《弧度制》教学设计教学内容：《普通高中课程标准试验教科书·数学》必修四第一章：三角函数§1.1任意角和弧度制§1.1.2弧度制课题：弧度制三维目标：1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制。

2．理解弧度制的意义，以及任意角的弧度数与弧长半径的关系。

3．能进行角度制与弧度制的互化。

4．通过探究使学生认识到角度制与弧度都是度量角的制度，从而使学生体会到事物之间总是相互联系的。

5．通过总结引入弧度制的好处，使学生学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。

6．通过探究任意角的弧度数与弧长半径的关系，培养学生的合作意识和创新能力。

教学重点：理解弧度制的意义，能进行角度制与弧度制的互化教学难点：弧度制的概念及其与角度的换算课时安排：一课时教学过程一、课前布置任务完成导学案中的自主学习部分,并尝试解决其它部分内容。

二、类比引入1．由姚明的身高引入同一对象有不同的单位表示。

（设计意图是问题来源于实际生活，可以激发学生的兴趣，使得新知识的学习自然亲切）2．在初中几何里，我们学过角的度量，1度的角是怎样定义的呢?角还有没有新的度量方法？（教师顺势引导点明我们这节课要学习的内容，从而引出概念，这样以旧引新，符合学生的认知规律） 三、新知探究1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用符号rad 表示。

弧度制的定义:用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制 说明:(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的 所对的圆心角的大小；1弧度≠1º；（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制； （4）今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad 可以略去不写。