人教新课标版数学高一- 人教A版必修4学案 弧度制(教师版)

〔三〕给出一般规律ɑ所对弧的长为L ，那么，角ɑ的弧度数的绝对值是|a|=rl 教师引导：继续观察上述表格，看一看∠AOB 的弧度数与∠AOB 的度数的符号有什么关系？〔建立角的集合与实数集之间的一一对应关系，而这种关系在表中很容易发现。

〕 （四）角度制与弧度制的换算360º = 2π rad 180º = π rad 学生回答公式，老师再次强调：必须熟记住180º = π rad ，这是知识的本源.只要记住方法弧度制与角度制的换算就会迎刃而解. 三、应用举例及课 堂练习约15分钟 课本第7页例题1：把67°30′化成弧度；补充：把〔1〕300 ，〔2〕-450化成弧度。

引导学生通过利用换算方法把度换算为弧度，在黑板上写出解题过程.〔强化弧度的表示.〕补充例题2：把(1)54π,(2) 2 化成角度。

引导学生解题，掌握弧度换算为角度的方法〔板书〕.并填写完下表.〔强化互化公式的应用〕再次阐述一一对应关系引入了弧度制之后，角和实数就存在了一一对应的关系〔阐明引入弧度制的优点之一.〕课堂练习：度 00300600 1200 1350 2700弧度4π2π65ππ2π2.将分针拨快15分钟，那么分针转过的弧度数是〔 〕 A -3π B 3π C -2π D 2π 3.5弧度的角所在的象限为〔 〕A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限〔对本节课的重点进行针对性的训练。

〕1，2，3题学生口答，教师多媒体展示，并再次强调互化的两种方法。

rad 01745.01801≈=︒π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；〖板书设计〗。

长来定义角度，而产生新的角度单位呢？那么我们就先通过简单的计算来看看能不能发现什么规律？【学生活动】分组讨论，探索研究探究1：角度为30，60的圆心角，当半径1,2,3,4r =时，分别计算对应的弧长l ，计算后你们能发现什么规律？有没有什么比值或者量是不变的？30θ=， 1r =时，3011801806n r l πππ⨯⨯===，6π=r l 2r =时，3021801803n r l πππ⨯⨯===，6π=r l3r =时，3031801802n r l πππ⨯⨯===，6π=r l4r =时，30421801803n r l πππ⨯⨯===，6π=r l 60θ=，1r =时，6011801803n r l πππ⨯⨯===，3π=r l2r =时，60221801803n r l πππ⨯⨯===，3π=r l 3r =时，603180180n r l πππ⨯⨯===，3π=r l4r =时，60441801803n r l πππ⨯⨯===，3π=r l 发现结论：圆心角不变则比值不变，这个比值与弧长和半径的大小无关，只和角度大小有关。

（抽取两个小组分享他们的发现）因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制——弧度制（客观性，有理可循）。

环节三：归纳概括（新概念和新公式），初步巩固及总结（一收）【教师活动】弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad 表示，读作1弧度。

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

如图， 角在形成过程中，射线上的任意一点在旋转过程中，走过的弧长以及圆弧所在圆的半径虽然不同，但是走过的角度是相同的（几何画板展示）【学生活动】即时回答：弧长分别为r,2r,半圆，一个圆所对的圆心角的弧度数，可以发现圆心角弧度数等于弧长和半径的比值，得出结论rl=α 【教师活动】几何画板展示问题，并顺便说明正角的弧度数为正，负角弧度数为负，零角的弧度数为0.【教师活动】提问：弧度制与角度制相比，不同之处在哪里？ （教师引导学生进行小结） 【学生活动】在教师的引导下，整理得：1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”教师提供的素材，通过小组探究讨论，让学生有充足的时间空间自主完成知识建构让学生体会数学中下定义本质上是抓住事物的本质，而事物的本质则是变化过程中的不变性.通过具体图象，以形助数，直观定义新概念。

1.1.2 弧度制 整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣. 重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算. 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推进新课 新知探究 提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果: ①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关. ②能,用弧度制. 提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角. ②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=(πa180)°,n°=n180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?的长一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3π或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=21lR. ②的长 应用示例例1 下列诸命题中,真命题是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题. 答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念. 变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案:D例 2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-32. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k ∈Z },{β｜β2π=kπ,k ∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为: {β｜2kπ<β<2kπ+2π,k ∈Z }, {β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k ∈Z }, {β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k ∈Z },{β｜2kπ+23π<β<2kπ+2π,k ∈Z }.解:①415π-=-4π+4π,是第一象限角. ②432π=10π+32π,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角. ④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k ∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式; (2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π<2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π.(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k ∈Z .又∵β∈［-4π,0),∴β1=92π-,β2=920π-.例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k ∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3k π. 又∵0<θ<2π,∴0<3kπ<2π. ∵k ∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π.点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角. 例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. 活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=21l·r=21(a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a )2+162a .∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<2a. ∴当r=4a时,S max =162a .此时,l=a-2·4a =2a,∴α=r 1=2.故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值162a .点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练已知一个扇形的周长为98π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=94π, ∴扇形的弧长为94πr,由已知,94πr+2r=98π+4,∴r=2.∴S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练课本本节练习. 解答:1.(1)8π;(2)67m -;(3)320m .点评:能进行角度与弧度的换算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.点评:能进行弧度与角度的换算. 3.(1){α|α=kπ,k ∈Z };(2){α|α=2π+kπ,k ∈Z }. 点评:用弧度制表示终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合. 4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.注意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角模式设置为DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制). 5.3πm.点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性.6.弧度数为1.2.点评:进一步认识弧度数的绝对值公式.课堂小结由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=π rad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.作业①课本习题1.1 A组6、8、10.②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.。

课堂导学 三点剖析 1.理解弧度的意义，角度与弧度的换算 【例1】设角α1=-570°，2α=750°，β1=35π弧度，β2=π37-弧度. （1）将α1，2α用弧度表示出来，并指出它们各自所在的象限； （2）将β1、β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出与它们有相同终边的所有角. 思路分析：涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念，其基本公式360°=2π弧度在解题中起关键作用.解：(1)∵180°=π弧度,∴-570°=-ππ619180570-=. ∴α1=-2×2π+65π, 同理2α=2×2π+6π, ∴α1在第二象限，2α在第一象限. （2）∵5353=π×180°=108°, 设θ=k·360°+β1(k ∈Z ),由-720°≤θ＜0°,∴-720°≤k·360°+108°＜0°,∴k=-2或k=-1，∴在-720°—0°之间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.同理 β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.温馨提示迅速进行角度与弧度的互化，准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k 值.2.弧度制的概念及与角度的关系【例2】一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：由已知可知圆心角的大小为3π，然后用公式求解. 解：（1）如下图所示，半径为r 的⊙O 中弦AB=r,则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB=3π，则弦AB 所对的劣弧长为3πr.(2)∵S △AOB =21×|AB|×|OD|=21×r×43232r r = S 扇形OAB =21lr=21×3r π×r=62r π ∴S 弓形=S 扇形OAB -S △AOB =6πr 2-243r =(6π-43)r 2. 3.弧度制表示角及终边相同的角【例3】 集合M={x|x=2πk +4π,k ∈Z },N={x|x=4πk +2π,k ∈Z },则有（ ） A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=∅思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M 、N 所表示的角的终边的位置.解：对集合M 中的整数k 依次取0,1,2,3,得角4π,43π,45π,47π.于是集合M 中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N 中的角与0,4π,2π,43π,π,45π,23π,47π,2π角的终边相同，如下图（2）所示.故M N.∴选C.答案：C温馨提示在今后表示角时，常常使用弧度制.但要注意，弧度制与角度制不能混用，例如α=2kπ+30°(k ∈Z),β=k·360°+π23（k ∈Z ）都不正确. 各个击破类题演练1（1）把112°30′化成弧度（精确到0.001）；（2）把112°30′化成弧度（用π表示）；（3）把-125π化成度. 解：(1)①n=112°30′,π=3.141 6; ②n=6030112=112.5 ③α=180π≈0.017 5④α=na=1.968 75α≈1.969 rad (2)112°30′=(2252)°=2252×180π=85π (3)-125π=-(125π×π180)°=-75° 变式提升1判断下列各角所在的象限:（1）9；（2）-4；（3）51999π-. 解：（1）因为9=2π+(9-2π),而2π＜9-2π＜π，所以9为第二象限角. (2)因为-4=-2π+（2π-4），而2π＜2π-4＜π,所以-4为第二象限角. (3) 51999π-=-200×2π+π5,所以51999π-为第一象限角. 温馨提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.(3)判断α所在的象限时，一般是把α表示成α=2kπ+α′,k ∈Z ,α′∈［0,2π)的形式，根据α和α′角终边相同作出判断.类题演练2一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是rθ，扇形的周长是2r+rθ.由题意可知2r+rθ=πr.∴θ=π-2（弧度）.扇形的面积为S=21r 2θ=21r 2(π-2). 变式提升2一扇形周长为20 cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 解：设扇形中心角为θ，半径为r ，则 2r+θr=20,θ=r r 220-. S 扇形=21θr 2 =12·rr 220-·r 2 =(10-r)r=10r-r 2.当r=)1(210-⨯- =5时，S 扇形最大=25，此时θ=2.答：扇形的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.类题演练3已知α角的终边与3π的终边相同，在［0，2π）内哪些角的终边与3α角的终边相同？ 解：∵α角的终边与3π的终边相同， ∴α=2kπ+3π(k ∈Z ). ∴3α=2k 3π+π9(k ∈Z ). 又0≤3α＜2π, ∴0≤32πk +9π＜2π(k ∈Z ). 当k=0、1、2时，有3α=9π、97π、913π，它们满足条件. ∴9π、97π、913π为所求. 变式提升3若α是第四象限角，则π-α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解法1：∵α为第四象限角.∴2kπ-2π＜α＜2kπ,k ∈Z . ∴-2kπ＜-α＜-2kπ+2π,k ∈Z . ∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+23π,k ∈Z . ∴π-α是第三象限角.解法2：∵角α与角-α的终边关于x 轴对称，又∵角α的终边在第四象限， ∴角-α终边在第一象限，又角-α与π-α的终边关于原点对称，∴角π-α的终边在第三象限.答案：C。

1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要•现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单1位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1 °.360°通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法•在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性•这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的- 对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的•通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性•通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的•进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1•通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2•通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣• 重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算•教学难点：弧度的概念及其与角度的关系• 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日晷，或者利用普遍使用的钟表•实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角,相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数. 圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里我们学习过角的度量,1。

学习活动1第二课弧度制——帮工人师傅计算水桶的侧面积【学习目标】1.研读教材借助单位圆说明什么是弧度制，能进行角度和弧度的互化；2.用弧度制下的扇形面积公式，帮工人师傅计算水桶的侧面积；3.交流为什么要把角度换成弧度，分享你理解的角度弧度互化的原理.---弧度制度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、磅等不同的位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢?1.度量长度用米、英尺，度量重量用千克、磅，那度量角用什么单位制？2.在半径为r的圆中，圆心角 n所对的弧长l如何计算？3.根据角的动态定义：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧 .关不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径之比有什么关系？迁移提升11. 通过以上探究请你写出1弧度的定义.2. 若半径依然为r ，圆弧长l 分别为,3,2,r r r 所对的圆心角α的弧度数是多少？总结出弧度的定义，写出计算公式。

3.正角、负角、零角对应的弧度数的正负是怎样的？由什么决定？一个钟表的分针长5cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是多少cm?---弧度与角度的转化既然角度制 、弧度制都是角的度量制，那它们之间如何换算？1.圆心角θ为平角时，对应多少角度，对应多少弧度？迁移提升2 2.由π=180 rad 请你填空.︒180=________ rad ； ︒360=______ rad ；︒1=________ rad ； 1 rad=_______︒n =_________ rad ； αrad=_________.1.下列特殊角的弧度数要求熟记学习活动32.把下列角度和弧度进行互化(1)0322'(2)210- (3) 718π- (4) 103π2.用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角、终边在x 、y 轴上的角的集合.角度制下和弧度制下扇形面积公式和弧长公式：学习评价工人在制作圆台形状的水桶时，需要将半径为10，圆心角为π3的扇形铁皮DAE 上截去一个半径为4的小扇形BAC ，如图所示，请你帮工人师傅计算该水桶的侧面积．水平划分 水平标准 星级评价自我评价 水平一理解弧度制水平二能进行角度和弧度的互化水平三能在弧度制下求出弧长和扇形面积。

学习目标：1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．象限角的概念2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．学习重点：角度制与弧度制的概念，弧度和角度的转换；弧长公式和扇形面积公式。

学习难点：区间角与象限角【学法指导】1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键． 3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.一．知识导学1．1弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 ．2．弧度制：用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． 3．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 . 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 . 这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．4．角度与弧度的互化： (1)角度转化为弧度：360°＝ rad ； 180°＝ rad ； 1°＝ rad≈0.017 45 rad.(2)弧度转化为角度：2π rad ＝ ； π rad ＝ ； 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°＝57°18′.二．探究与发现【探究点一】弧度制问题11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？问题2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么_______________，即_________. 问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.【探究点二】弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则【探究点三】利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z)，其中α的单位必须是弧度． 问题1 利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.问题2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.【典型例题】例1．(1)把112°30′化成弧度； (2)把－7π12化成角度．小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可． 跟踪训练1。

4-1.1.2弧度制（1）教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。

教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad周角=2πrad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算抓住：360︒=2πrad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例一 把'3067化成弧度解：⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例二 把rad π53化成度 解： 1081805353=⨯=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3o r C 2rad 1ra dr l=2r o A A B表示3rad sin π表示πrad 角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1 2）例三 用弧度制表示：1︒终边在x 轴上的角的集合 2︒终边在y 轴上的角的集合 3︒终边在坐标轴上的角的集合解：1︒终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2︒终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3︒终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 六、作业：。

人教版高中必修四《弧度制》教学设计《人教版高中必修四《弧度制》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教材地位：本节课是人教新课标A版必修四第一章第一节第二课时的内容。

在教材的结构上，本节课为后面内容学习做好了铺垫，之前的学习已经让学生了解了任意角和角度制，然而在后面研究三角函数的时候大多都用弧度制，因此本节内容起着承上启下的重要作用。

只有学生学好这一节才能更好的学习后面的三角函数，解三角形等知识。

在教学内容上弧度制是一个全新的研究角的单位，利用类比的思想方法让学生理解数学研究的互通性。

教学目标：1.知识与技能目标(1)理解1弧度角、弧度制的定义(2)掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的互化。

2.过程与方法目标通过创设情境感知，设置问题启发、培养学生观察分析、类比发现、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观使学生领悟角度制、弧度制都是度量角的单位制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的。

进一步加强学生对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美，从而激发学生的学习兴趣。

重点：(1)弧度制的概念，1弧度角的概念。

(2)弧长，半径，圆心角的联系(3)角度制与弧度制互化难点：弧度制定义的理解和探索弧长，半径，圆心角的联系策略(1)通过学生亲自进行数学实验，发现弧长与半径的比值为同一常数.(2)通过例题分析、进行小组挑战赛游戏、当堂练习，让学生真正掌握两种单位制的互化。

学情分析：1.学生已经学过角度制的有关知识2.学生基础一般3.尊重个体差异，循序渐进，因材施教学法指导：1.观察—归纳—检验—应用2.小组讨论3.学生发言4.当堂训练教学方法：引导发现法：举出实例，由多个标量的不同度量方法来引导学生思考，可能角也有其他的度量方法。

探索发现法：介绍弧度制后，学生分组讨论，共同思考,探讨出弧度制与角度制的互化。

教学过程：创设情景，引入新课说法一说法二身高()m 身高（）尺体重（）kg 体重（）斤鞋子（）cm 鞋子（)码我校占地（）平方米我校占地（）亩(启发式类比探究)通过这四组简单的问题，学生可以很容易的发现实际生活中对于同一个量，我们可以用不同的方法来度量它，请同学再举出一些我们身边的实例。

1.1.2弧度制（一） 教学目标知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课： 1．引 入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=.r l4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒．②将弧度化为角度：2360p =?；180p =?；1801()57.305718rad p¢=盎??；180()nn p =?．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．7．弧长公式l l r ra a=??弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度．例2．把rad53π化成度．例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-．解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,193p \是第三象限角. (2)315316,666p p pp -=-+\-是第二象限角.ORl.,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R, ∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lRR R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴Rl R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．8．课后作业：①阅读教材P6 –P8；②教材P9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．。

1.1.2弧度制一、教學目標：1、知識與技能（1）理解並掌握弧度制的定義；（2）領會弧度制定義的合理性；（3）掌握並運用弧度製錶示的弧長公式、扇形面積公式；（4）熟練地進行角度制與弧度制的換算；（5）角的集合與實數集R 之間建立的一一對應關係.(6) 使學生通過弧度制的學習，理解並認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統一的，而不是孤立、割裂的關係.2、過程與方法創設情境,引入弧度制度量角的大小,通過探究理解並掌握弧度制的定義,領會定義的合理性.根據弧度制的定義推導並運用弧長公式和扇形面積公式.以具體的實例學習角度制與弧度制的互化,能正確使用計算器.3、情態與價值通過本節的學習，使同學們掌握另一種度量角的單位制---弧度制，理解並認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統一的，而不是孤立、割裂的關係.角的概念推廣以後,在弧度制下,角的集合與實數集R 之間建立了一一對應關係:即每一個角都有唯一的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角（即弧度數等於這個實數的角）與它對應，為下一節學習三角函數做好準備.二、教學重、難點重點: 理解並掌握弧度制定義；熟練地進行角度制與弧度制地互化換算；弧度制的運用. 難點: 理解弧度制定義，弧度制的運用.三、學法與教學用具在我們所掌握的知識中，知道角的度量是用角度制，但是為了以後的學習，我們引入了弧度制的概念，我們一定要準確理解弧度制的定義，在理解定義的基礎上熟練掌握角度制與弧度制的互化.教學用具:計算器、投影機、三角板四、教學設想【創設情境】有人問：海口到三亞有多遠時，有人回答約250公里，但也有人回答約160英里，請問那一種回答是正確的？（已知1英里=1.6公里）顯然，兩種回答都是正確的，但為什麼會有不同的數值呢？那是因為所採用的度量制不同，一個是公里制，一個是英里制.他們的長度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里.在角度的度量裏面，也有類似的情況，一個是角度制，我們已經不再陌生,另外一個就是我們這節課要研究的角的另外一種度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制規定：將一個圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等於360度，平角等於180度，直角等於90度等等.弧度制是什麼呢？1弧度是什麼意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等於多少弧度？弧度制與角度制之間如何換算？請看課本67P P ~，自行解決上述問題.2.弧度制的定義[展示投影]長度等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad ，yxAαOB或1弧度，或1(單位可以省略不寫).3.探究:如圖,半徑為r 的圓的圓心與原點重合,角α的終邊與x 軸的正半軸重合,交圓於點A ,終邊與圓交於點B .請完成表格.-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定.4.思考:如果一個半徑為r 的圓的圓心角α所對的弧長是,那麼a 的弧度數是多少?角α的弧度數的絕對值是：rl=α，其中，l 是圓心角所對的弧長，r 是半徑. 5.根據探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度顯然,我們可以由此角度與弧度的換算了. 6.例題講解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度: (1) 精確值；(2) 精確到0.001的近似值.例2.將3.14rad 換算成角度(用度數表示,精確到0.001).注意:角度制與弧度制的換算主要抓住180rad π︒=,另外注意計算器計算非特殊角的方法.7. 填寫特殊角的度數與弧度數的對應表:角的概念推廣以後,在弧度制下,角的集合與實數集之間建立了一一對應關係:即每一個角都有唯一的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角（即弧度數等於這個實數的角）與它對應.8.例題講評例3.利用弧度制證明下列關於扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半徑,是弧長,(02)ααπ<<為圓心角,S 是扇形的面積. 例4.利用計算器比較sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定義的理解與應用,以及角度與弧度的區別.9.練習 教材10P .9.學習小結(1)你知道角弧度制是怎樣規定的嗎?(2)弧度制與角度制有何不同,你能熟練做到它們相互間的轉化嗎?五、評價設計1．作業：習題1.1 A 組第7,8,9題． 2．要熟練掌握弧度制與角度制間的換算,以及異同．能夠使用計算器求某角的各三角函數值．。

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

1、1、2弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.一、【学习目标】1、理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；2、能用弧度表示终边相同角的角；3、熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第6页内容，回答问题（弧度制）度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？<1>什么叫角度制，请简要复述之.结论：角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.<2>什么叫做弧度制，请简要复述之.结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).如图所示：<3>半径为r的圆的圆心与圆点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B.请在下列表格中结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.<4>如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?结论：角α的弧度数的绝对值是：r l /=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定注意：①在应用公式r l /=α求圆心角时，其结果是圆心角与弧度的绝对值.在物理学中计算角速度经常用到它，它的正负主要由角的旋转方向来决定；②这个公式可变形为)0(||/||≠==αααl r r l 、，在应用这两个公式时，如果已知的角以“度”为单位，应先把它们化成弧度数后再计算.可以看出，这些公式各有各的用处.2、阅读教材第7页内容，回答问题（弧度制与角度制的转换）用角度制和弧度制来 度量零角，单位不同，但量数相同（都是零）；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同.<5>角度制和弧度制应该怎样转换？结论：因为圆周的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以：3600=2πrad ，1800=πrad ，10=（π/180）rad≈0.01745rad.反过来有1rad=（180/π）0≈57.300=57018‘. 一般地，我们可以根据如图所示的公式进行角度与弧度的换算.<6>请你设计一个算法，把角度换算为弧度.<7>熟记下列特殊角的弧度数：00，300，450，600，900，1200，1350，1500，1800，2100，2250，2400，2700，3000，3150，3300，3600 结论：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.3、阅读教材例3，回答问题.（扇形弧长、面积公式）<8>利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)20.5S R α=; (3)0.5S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.三、【综合练习与思考探索】 练习一：（教材例1、2、4）例1、按照下列要求,把'6730︒化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值. 例2、将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).例4、利用计算器比较sin1.5和sin850的大小. 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法. 练习二：教材第9页练习1、2、3、4、5. 注意：弧度制和角度制不能混用.四、【作业】1、必做题：习题1.1A 组6、7、8、9、10；2、选做题：习题1.1B 组1、2、3.五、【小结】理解弧度制，能熟练的进行弧度制与角度值的转换.六、【教学反思】本节知识比较碎，但是要抓住一个重点，就是角度与弧度的转换.要让学生能熟练的运用公式进行转换.七、【课后小练】1、已知扇形面积为S ，扇形的周长是否有最小值？若有，求此最小值及取最小值时扇形的中心角是多少，否则说明理由.（有，中心角为2，周长最小值为2、在直径为10cm 的轮子上有一长为6cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5s 后，点P 转过的弧长.（100cm ）3、在扇形AOB 中，扇形所对的中心角为直角，弧AB 的长为l ，求此扇形的内切圆面积.4、角1和角2的终边关于y=x 对称，若角1为π/6，则在0—4π间，满足要求的角2等于 （π/3，7π/3）5、已知扇形的内切圆半径与扇形的半径之比为1：3，则内切圆的面积与扇形的面积之比为多少?(2:3)6、圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，则这段弧所对的圆心角是多少弧度？7、已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的中心角是多少？（2或4）8、一圆内切于中心角为π/3，半径为R的扇形，则该圆的周长与该扇形的周长之比为多少？9、2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积.10、已知一扇形的周长是40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形面积最大？最大面积是多少？11、若角1的终边与8π/5的终边相同，则在[0,2π]内终边与角1的四分之一的终边相同的角是多少？（全部列举出来.）12、已知圆中的一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为多少？13、已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.14、已知扇形的圆心角为72，半径等于200，求扇形的面积.15、与-15600终边相同的角的集合中，最小正角是多少？最大负角是多少？绝对值最小的角是多少？。

课题：弧度制（一）教学目的：理解1弧度的角、弧度制的定义、换算.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.学法指导：角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.教学过程：一、复习引入：1．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180rn l 2．探究30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比结论：圆心角不变，则比值。

二、讲解新课：1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ，2rad ，3rad ，αradrr r 1rad 2r r 2rad 3r r 3radlrrad探究：⑴平角、周角的弧度数。

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶角的弧度数的绝对值r l（l 为弧长，r 为半径）2. 角度制与弧度制的换算：∵360= rad ∴180= rad∴ 1=radrad 01745.0180'185730.571801rad 三、讲解范例：例1把'3067化成弧度例2 把rad 53化成度角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度例3用弧度制表示：终边在分别在x 轴、y 轴、坐标上的角的集合例4．用弧度制表示：第二象限角的集合作业；班级姓名成绩1.下列各对角中终边相同的角是( )A.k 222和（ｋ∈Ｚ）B.－3和322πC.－97和911D. 9122320和2.若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为，第一或第三象限角的集合为.5.7弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为.6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为.7.求值：2cos 4tan 6cos 6tan 3tan 3sin .8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B.9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.。

1.1.2 弧度制一、教学目标①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.二、教学重点、难点重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.三、学习方法：自学完成学案四、学习过程（1）复习引入.1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系. 提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？③角的范围是什么？如何分类的？二）概念形成(1)初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：①角的弧度制是如何引入的？②为什么要引入弧度制？好处是什么？③弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联系?2．学生动手画图来探究：①平角、周角的弧度数②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？3．角度制与弧度制如何换算？4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系三、应用举例例1：（1）把'3067 化成弧度（精确到0.001）（2）把'3067 化成弧度（用π表示）例2：把radπ53化成度例3：填写下表：度0°30°45°60°90°120°135°150°弧度度180°210°225°240°270°300°315°360°弧度例4：直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴3⑵165例5：已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．归纳小结：我的收获：我的疑问:我还想知道:1．布置作业:练习2.3.2．习题A的4、7正角零角负角正实数零负实数1 / 1。

数学必修4学案第一章 1.1.2 弧度制
一、学习目标：
1、知识与技能：从明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义.
2、过程与方法：学生经历熟练掌握角度制与弧度制的换算.
3、情感态度与价值观：学生经历数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.
二、重点与难点：
重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化。

难点：用弧度制定义的理解。

三、课前学习：
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？从中能发现什么？
四、课中学习：
对课前的学习，进一步分析：
1、复习角度制的定义：
2、正确理解弧度制定义的含义。

3、掌握角度制与弧度制的互换方法。

4、分析例题1，总结方法
5、总结弧度制的作用：
8、第9页，练习1-6,
五、课后反思
对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？
六、作业设计：
P10习题A组4-10。