高中数学人教B版必修4 1.1.2弧度制(1) 学案 Word版缺答案

第一章 1.1 1.1.2一、选择题1．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] ∵1 rad ＝(180π)°，∴α＝－2 rad ＝－(360π)°≈－114.6°，故角α的终边所在的象限是第三象限角．2．与－13π3终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－π3B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5π3 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋5π3，k ∈Z[答案] D [解析] 与－13π3终边相同的角α＝2k π－13π3，k ∈Z ， ∴α＝(2k －6)π＋6π－13π3＝(2k －6)π＋5π3，(k ∈Z)． 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或5[答案] A[解析] 设扇形的半径为r ，圆心角为α，根据题意得⎩⎨⎧2r ＋r α＝612αr 2＝2，解得α＝1或4.4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B＝( )A ．∅B ．{α|0≤α≤π|C ．{α|－4≤α≤4|D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} [答案] D[解析] k ≤－2或k ≥1时A ∩B ＝∅；k ＝－1时A ∩B ＝[－4，－π]；k ＝0时，A ∩B ＝[0，π]；故A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D ．5．一条弧所对的圆心角是2 rad ，它所对的弦长为2，则这条弧的长是( ) A ．1sin1 B ．1sin2 C ．2sin1D ．2sin2[答案] C[解析] 所在圆的半径为r ＝1sin1，弧长为2×1sin1＝2sin1.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )A ．175π36B ．125π18C ．75π18D ．34π9[答案] A [解析] 40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6， ∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36.二、填空题7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________．[答案] π6[解析] 设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r＋2α，又∵r＝2，∴α＝π6.8．正n边形的一个内角的弧度数等于__________．[答案] (n－2)nπ[解析] ∵正n边形的内角和为(n－2)π，∴一个内角的弧度数是(n－2)πn.三、解答题9．如果角α与x＋π4终边相同，角β与x－π4终边相同，试求α－β的表达式．[解析] 由题意知α＝2nπ＋x＋π4(n∈Z)，β＝2mπ＋x－π4(m∈Z)，∴α－β＝2(n－m)π＋π2，即α－β＝2kπ＋π2(k∈Z)．10．设集合A＝{α|α＝32kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝53kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．[解析] 设α0∈A∩B，则α∈A且α∈B，所以α0＝32k1π，α＝53k2π，所以32k1π＝53k2π，即k1＝109k2.因为|k2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算一、教学目标1．知识目标：①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.2. 能力目标：①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.二、教学重点、难点重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.三、教学方法自学—讨论—讲授—练习先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.其中l是扇形弧长，R是圆的半径5．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例1：（1）把'3067 化成弧度（精确到0.001）（2）把'3067 化成弧度（用π表示）解：（1）n＝'3067 ，π＝3.1416；（2）n＝603067＝67.5；（3）a＝180π≈0.0175；（4）α＝na＝1.18125∴α≈1.18125 rad例2：把radπ53化成度解：1081805353=⨯=radπ例3：填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度1．例1的第（1）问由老师板书，并归纳出算法步骤。

把角度值n换算为弧度制的算法步骤如下：①给变量n和圆周率π的近似值赋值；②如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出的，先把n化为以“度”为单位的10进制表示；③计算180π（把1°换算为弧度值），得出的结果赋给变量a；④计算na，赋值给变量α.α就是这个角的弧度值.2．例1的第（2）问由一个学生板书，教师及时指出解题过程中出现的问题.3．例2由学生回答，老师板书。

预习课本P6～9，思考并完成以下问题(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？[新知初探]1．角的单位制(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝.[点睛](1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．2．角度与弧度的换算3．弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝nπr180S＝nπr2360弧度制l＝S＝＝[点睛](1)在应用扇形面积公式S＝12|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．(3)在弧度制下的扇形面积公式S＝12lr，与三角形面积公式S＝12ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆．(4)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度＝1°.()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(3)1弧度是长度等于半径的弧．()2．5弧度的角的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是()A.4π3B．π C.2π3D.π34．将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α＜2π，k∈Z的形式为.角度与弧度的换算[典例]设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．将下列角度与弧度进行互化：(1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.用弧度制表示终边相同的角[典例]已知角α＝－2018°.(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ－π2，π2扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是8cm，求扇形的半径和圆心角．题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形AOB的周长为10cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．1.1.2弧度制[新知初探]1．1360(2半径长圆心角弧度制弧度(3)正数负数0l r 2．2π_rad π_rad 180°3．|α|·r12lr ＝12|α|r 2[小试身手]1．答案：(1)×(2)√(3)×2．答案：D 3．答案：D 4．答案：－8π＋7π4角度与弧度的换算[典例][解](1)∵1°＝π180rad ，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，α2＝－750°＝－750×π180＝－256π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．(2)β1＝4π5＝4π5×180°π＝144°.设θ1＝k ·360°＋144°(k ∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k ·360°＋144°＜360°.∴k ＝－1或k ＝0.1β2＝－11π6＝－11π6×180°π＝－330°.设θ2＝k ·360°－330°(k ∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k ·360°－330°＜360°.∴k ＝0或k ＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.[活学活用]解：(1)5116π＝5116×180°＝15330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°.(3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.用弧度制表示终边相同的角[解](1)因为α＝－2018°＝－6×360°＋142°，且142°＝142×π180＝71π90，所以α＝－12π＋71π90，故α是第二象限角．(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ，又－2π≤θ＜4π，所以k ＝－1,0,1，将k 的值分别代入θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ，得θ＝－109π90，71π90，251π90.[活学活用]解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z.又γ－π2，，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．解：(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3，所以半径r ＝1sinπ3＝233，所以这个圆心角所对的弧长l ＝233×2π3＝43π9.(2)由(1)得扇形的面积S ＝12×233×43π9＝4π9.题点二：利用公式求半径和弧度数2．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ，2r ＝8，①·r ＝4，②由①②，得r ＝2，所以l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ，S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2＋254，0＜r ＜5.当r ＝52时，S 取得最大值254，这时l ＝10－2×52＝5，∴θ＝l r ＝552＝2.故该扇形的面积的最大值为254cm 2，及取得最大值时圆心角为2rad ，弧长为5cm.。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式=l rα（l 为以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。

学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定r 角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二） 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。

练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。

正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。

<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是44l r r rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602rad π= 180r a dπ=1rad 0.01745rad 180π=≈ 1801rad 5718'π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭1 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整例1、把下列各角从度化为弧度：(1)252 （2）1115' (3)30 (4)6730'变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）43π- （3）310π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：l r α=⋅扇形面积公式：12S lr =．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。

弧度制和弧度制与角度制的换算一、目标分析充分的小组探究、合作、展示以及对角度制、弧度制各有优点的诠释，培养学生直观想象、数学运算、数据分析的学科核心素养以及理性思维、批判质疑、勇于探究的文化基础的学生发展核心素养。

1、知识与技能（1）理解1弧度的角及弧度的定义。

（2）掌握角度与弧度的换算公式。

（3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。

（4）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。

2、过程与方法通过不同圆中相等圆心角对应的弧长与半径的比值的关系引入弧度的概念；比较两种度量角的制度探究角度制与弧度制之间的互化；小组内充分的开放式问题的讨论使学生掌握扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。

3、情感态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。

二、教材及内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版必修4第一章第一单元第二节内容。

学生在初中已经学过角的度量单位“度”，且在上节课学习了任意角的概念，已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决不同的问题带来方便；该课的知识还为之后学习任意角的三角函数等知识埋下了铺垫，因此本节课起着承上启下的作用。

通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数，且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。

同时，通过本节课的学习，学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。

三、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：1、理解并掌握弧度制的定义。

示范教案整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式，使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．有条件的学校可进行计算机练习，学习电子表格和Scilab中的公式计算功能．以后学生可使用这一功能检查自己的计算结果.三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．通过弧度制的学习，培养学生理性思维的良好习惯．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．推进新课新知探究提出问题(1)在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？(2)我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即lr＝1.图1讨论结果： (1)1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．(2)能，用弧度制． 提出问题 (1)作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？(2)如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调，为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．讨论结果：(1)完全重合，因为都是1弧度的角．(2)α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad ；将弧度化为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n°＝n π180(rad)．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．提出问题 (1)引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？(2)填写下列的表格，找出某种规律． 的长(3)你能写出把角度值n 换算为弧度值的一个算法吗？活动：设置这个表格的意图是让学生对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师指出，角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．在理解以上的对应关系时，应该注意角度制是60进位制，遇到35°6′这样的角，应该把它化为10进制的数值35.1°，但是弧度数不存在这个问题，因为弧度数是十进制的实数．这是角度制与弧度制的一个重要区别．值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两种单位不能混用，绝对不能出现k·360°＋π3或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k ∈Z )的形式．如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图2讨论结果：(1)与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k ∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝12lR.(2)的长 (3)把角度值n 换算为弧度值的一个“算法”如下：①给变量n 和圆周率π的近似值赋值；②如果角度值n 是以“度、分、秒”形式给出，先把n 化为以“度”为单位的10进制表示；③计算π180(把1°换算为弧度值)，得出的结果赋给变量a ；④计算na ，赋值给变量α. α就是这个角的弧度值． 应用示例思路1例 1下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，熟练掌握定义．根据弧度制的定义，对照各项，可知D 为真命题．例 2(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001)； (2)把112°30′化成弧度(用π表示)．解：(1)按照上面写出的算法步骤，依次计算： ①n ＝112°30′，π＝3.141 6； ②n ＝1123060＝112.5；③a ＝π180≈0.017 5；④α＝na ＝1.968 75. 因此α≈1.969 rad.(2)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8.例 3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3. 活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是：{β|β＝kπ，k ∈Z }，{β|β＝π2＋kπ，k ∈Z }．第一、二、三、四象限角的集合分别为：{β|2kπ<β<2kπ＋π2，k ∈Z }，{β|2kπ＋π2<β<2kπ＋π，k ∈Z }，{β|2kπ＋π<β<2kπ＋3π2，k ∈Z }，{β|2kπ＋3π2<β<2kπ＋2π，k ∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限.例 4如图3，(1)扇 形AOB 中，所对的圆心角是60°，半径为50米，求A B 的长l(精确到0.1米)．图3(2)利用弧度制推导扇形面积公式：S ＝12lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径．活动：本例目的是让学生在教师的指导下以扇形为背景，进一步理解弧度制的优越性．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．解：(1)如图3，因为60°＝π3，所以l ＝α·r ＝π3×50≈1.05×50＝52.5.答：的长约为52.5米．(2)如图4，因为圆心角为1 rad 的扇形的面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角的大小为l r rad ，所以它的面积S ＝l r ·r 22＝12lr ，即S ＝12lr.图4例 5已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．活动：这道应用题考查了函数思想．教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S.由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r.∴S ＝12l·r ＝12(a －2r)·r ＝－r 2＋a 2r ＝－(r －a 4)2＋a 216.∵r>0，l ＝a －2r>0，∴0<r<a 2.∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取最大值a 216.由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算．作业课本本节练习A 组 3,4；练习B 组 3,4,5.设计感想 本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．1 D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．kπ＋π4与2kπ＋π4(k ∈Z ) B.kπ2与kπ＋π2(k ∈Z )C ．kπ－2π3与kπ＋π3(k ∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3kπ(k ∈Z )4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图5所示)．图58．(1)角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，写出α与β的关系式； (2)角α，β的终边关于直线y ＝－x 对称，写出α与β的关系式． 参考答案：1．A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π35．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR ＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R ＝1，α＝4或R ＝2，α＝1. ∴α＝4或1.6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上． 7．解：(1){θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k ∈Z }；(2){θ|2kπ－3π4<θ<2kπ＋3π4，k ∈Z }； (3){θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|2kπ＋7π6<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z }＝{θ|nπ＋π6<θ<nπ＋π2，n ∈Z }．8．解：(1)β＝π2－α＋2kπ，k ∈Z ；(2)β＝3π2－α＋2kπ，k ∈Z .三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360π min ，分针走1弧度相当于经过30 min ，故有360x ＝30(2π＋x)，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)． 点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。

一、选择题1．(2013·重庆高一检测)已知α＝67π，则α的终边在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 α＝67π∈(π2，π)， ∴α的终边在第二象限．【答案】 B2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π 【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π. 【答案】 B图1－1－53．若角α的终边在如图1－1－5所示的阴影部分，则角α的取值范围是( )A ．{α|π6＜α＜π3} B ．{α|2π3＜α＜7π6} C ．{α|2π3≤α≤7π6} D ．{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π6，k ∈Z} 【解析】 易知阴影部分的两条边界分别是2π3和7π6的终边，所以α的取值范围是{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π6，k ∈Z}． 【答案】 D4．下列角的终边相同的是( )A ．k π＋π4与2k π±π4，k ∈Z B ．2k π－2π3，k ∈Z 与π＋π3C.k π2与k π＋π2，k ∈Z D ．(2k ＋1)π与3k π，k ∈Z【解析】 选项B 中，2k π－2π3，k ∈Z ，与π＋π3的终边都与4π3的角的终边相同．【答案】 B5．(2013·玉溪高一检测)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1 D.2sin 1【解析】 设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1. 【答案】 D二、填空题6.π12rad ＝________度，________rad ＝－300°. 【解析】 π12＝180°12＝15°. －300°＝－300×π180＝－5π3. 【答案】 15 －5π37．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1．角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为α rad ，则α＝lr . 3．角度与弧度的互化4．一些特殊角与弧度数的对应关系思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S ＝{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }，这种表示正确吗？为什么？[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z或{α|α＝k ·360°＋30°，k ∈Z }． 5．扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则思考2：在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．1．1 080°等于( ) A ．1 080 B ．π10 C ．3π10D ．6πD [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.] 2．与角23π终边相同的角是( ) A ．113πB ．2k π－23π(k ∈Z ) C ．2k π－103π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )C[选项A中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A项错；2kπ－23π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B项错；2kπ－103π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋23π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D项错．]3．圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．6π[扇形的面积为12×62×π3＝6π.]A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D[根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π； (2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π， α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )， 由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.(4)判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6 rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z.1.用公式|α|＝lr 求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1 radB ．2 radC ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr ＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)． ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式； (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2Sr 2. 2．角度制与弧度制的比较1．把56°15′化为弧度是( ) A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16D[56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A.403π B.203πC.2003π D.4003πA[240°＝240×π180rad＝43π rad，∴弧长l＝α·r＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．－10π＋74π[由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4. ①由扇形的面积公式S＝12lr，得12lr＝1. ②由①②得r＝1，l＝2，∴α＝lr＝2 rad.∴扇形的圆心角为2 rad.。

1.1.2 弧度制（2）一．学习要点：弧长公式、扇形的面积公式二．学习过程：（一）复习：（1）弧度制定义：（2）换算关系：说出下列角所对弧度数30,45,60,75,90,120,150,180,240,270,360．（3）写出阴影部分的角的集合：（4）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？（二）新课学习：1．弧长公式：2．扇形面积公式：说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．3．例题：例1 （1）已知扇形OAB的圆心角α为120，半径6r=，求弧长AB及扇形面积.（2）已知扇形周长为20cm，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？例2 如图，扇形OAB的面积是24cm，它的周长是8cm，求扇形的中心角及弦AB的长.五、课堂练习：1．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的关系是 （ ） （A ）A B = （B ）A B ⊆ （C ）A B ⊇ （D ）以上都不对。

2．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B 等于（ ） （A ）φ （B ）{}|44αα-≤≤（C ）{}|0ααπ≤≤ （D ）{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤3．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍. 4．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦AB ，AB 所对的圆心角α的弧度数为 ．6．教材练习及习题六、小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；2．由||l r α=将12S lr =转化成21||2S r α=，利用这个S 与r 的二次函数关系求出扇形面积的最值.七、作业：见作业（62）。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算式和面积公式解决相关问题．1．度量角的两种单位制名师点拨今后我们在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad 可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数．角α＝2 013°和α＝2 013一样吗？答：不一样.2 013°表示2 013度，而2 013表示2 013 rad.弧度单位可以省略，但度这个单位不能省略．【自主测试1】在半径不相等的圆中，1 rad 的圆心角所对的( ) A ．弦长相等 B ．弧长相等C ．弦长等于所在圆的半径D ．弧长等于所在圆的半径 答案：D2．角度与弧度(1)角度 180° 210°225° 240° 270° 300° 315°330° 360° 弧度π7π6 5π44π3 3π2 5π37π411π62π【自主测试2－1】6弧度化为角度是( )A ．150° B．145° C ．135° D．235°解析：∵1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°， ∴5π6 rad ＝5π6×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6×180π°＝150°.答案：A【自主测试2－2】把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6解析：－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：B3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则名师点拨使用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有很多优越性，但是如果已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这样可避免繁琐的计算过程．【自主测试3－1】半径为12 cm ，弧长为8π cm 的圆弧，其所对的圆心角为α，则α＝__________.答案：2π3rad【自主测试3－2】若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为__________cm 2.解析：根据面积公式S ＝12lr ，可得S ＝12×4×42＝4(cm 2)．答案：41．弧度制与角度制的关系剖析：(1)1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°是圆周的1360所对的圆心角的大小．(2)不管是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值． (3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝π4弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．(5)在今后表示角的时候，常常使用弧度制，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，例如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋3π2(k ∈Z )都是不正确的．2．教材中的“思考与讨论”请你把扇形面积公式与三角形面积公式进行类比，你会产生什么联想？剖析：扇形的面积公式S ＝12lr ，其中l 为扇形的弧长，r 为扇形所在圆的半径；三角形的面积公式S ＝12ah ，其中a 为三角形的底边长，h 为边长为a 的底边上的高．扇形可以看作是特殊的三角形，其中将弧长看作是三角形的底边，半径看作是三角形底边上的高．题型一 角度、弧度的概念【例题1】下列各命题中，不正确的是( ) A ．“度”与“弧度”是角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径的长短有关 解析：用角度制或弧度制度量角都与圆的半径的长短无关，否则将不可能作为度量角的标准，所以D 项中的命题是不正确的．答案：D反思弧度制是用“弧度”来度量角的一种度量制度，这种制度的基本单位是“弧度”，没有辅助单位，不像角度制，除基本单位“度”外，还有辅助单位“分”“秒”．题型二 角度制与弧度制的互化【例题2】填空：(1)18°＝__________rad ； (2)67°30′＝__________rad ； (3)3π10＝__________度．解析：(1)18°＝π180×18＝π10rad.(2)67°30′＝67.5°＝π180×67.5＝3π8rad.(3)3π10＝3π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝54°.答案：(1)π10 (2)3π8(3)54反思(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能帮助我们更快更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是⎝ ⎛⎭⎪⎫2×180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°.题型三 用弧度表示终边相同的角【例题3】已知α＝2 016°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－6π，0)上找出与α终边相同的角．分析：(1)可将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，根据β与α终边相同判断α是第几象限的角．(2)关键在于由－6π≤β＋2k π＜0求出k 的取值．解：2 016°＝2 016×π180＝56π5＝5×2π＋6π5.∵6π5是第三象限的角， 且α＝2 016°与角6π5终边相同，∴α是第三象限的角．(2)找出与α终边相同的角，即找出与角6π5终边相同的角，令－6π≤6π5＋2k π＜0，k ∈Z 可得，满足条件的角有－4π5，－14π5，－24π5.反思不管用角度制还是用弧度制表示终边相同的角，一定要注意单位统一．〖互动探究〗本例(2)中的结论有3个角满足条件，这其中有何规律？解：[－6π，0)这个区间恰为3个圆周，恰好每一周有一个满足条件的角. 题型四 扇形面积公式和弧长公式的应用【例题4】一条弦的长度等于半径r ，求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．分析：解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定．由已知可得，圆心角的大小为π3，然后利用相关公式求解即可．解：(1)如图，∵在半径为r 的圆O 中，弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，∴∠AOB ＝π3.由弧长公式，得弦AB 所对的劣弧长为π3r .(2)∵S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB ＝34r 2，S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－34r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－34r 2.反思图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例是把弓形面积看成是由扇形面积与三角形面积的差组成的，即可运用已有知识解决要求解的问题．此类数形结合的题目，要尽可能地从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口．〖互动探究〗扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积．分析：灵活选用扇形的弧长公式、面积公式，转化成求函数最值的问题． 解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，则弧长为l ＝20－2r . 由20－2r ＞0，得0＜r ＜10.由20－2r ＜2πr ，得r ＞10π＋1.∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋1，10， ∴当r ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时圆心角α＝l r ＝20－2r r ＝20－2×55＝2 rad.1．下列各命题中，正确的是( )A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是一度的弧与一度的角的和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小解析：根据1弧度的定义，对照各选项，可知选项D 中的叙述是正确的． 答案：D2．半径为π cm，圆心角为2π3的弧长为( )A ．π3cmB ．π23cmC ．2π3cmD ．2π23cm解析：由弧长公式得，2π3×π＝2π23cm.答案：D3．圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3 B ．2π3 C ． 3 D ．2解析：如图所示，设圆的半径为R ，圆的内接正三角形的边长为a ，则△ABC 的高h ＝32a .又R ＝23h ＝33a ，所以a ＝3R .圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数|α|＝3R R＝ 3.答案：C4．集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π2，k ∈Z， 则( ) A ．M ＝N B ．MNC ．N MD ．M ∩N ＝解析：分别取k ＝…，－1,0,1,2，…得 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－π4，π4，3π4，5π4，7π4，…，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，π4，π2，3π4，π，5π4，3π2，7π4，…，易看出，M 中的元素在N 中都有，而N 中的元素如π2M .∴MN .故选B ．答案：B5．(2012·重庆期末)下列各角中，与π5的终边在同一条直线上的是( )A ．18π5B ．24π5C ．－34π5D ．－41π5答案：C6．扇形圆心角为2弧度，所对弦长为2，求所对的弧长． 解：如图所示，设OC 平分∠AOB 并交AB 于点D ，则AD ＝1.在Rt△ADO 中，OA ＝1sin 1， 即半径r ＝1sin 1， 从而AB 的长为2·1sin 1＝2sin 1.。

§1.1.2弧度制与角度制（课前预习案）
班级：___ 姓名：________ 编写：
一、新知导学
1、长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 ，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做 。

2、在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为
α，则 。

34之间建立一种 。

5、角度制和弧度制都是 的方法， 运算简单，有一定的优越性。

6、弧长公式 ，扇形面积公式 。

7、用弧度制表示下列关系和结论：
（1）对称关系
若α与β终边关于x 轴对称，则α+β= ；若α与β终边关于y 轴对称，则α+β= ；若α与β终边关于原点对称，则α-β= ；若α与β终边在一条直线上，则α-β= 。

（2）坐标轴上的角
终边落在x 轴上的角的集合是 ；终边落在y 轴上的角的集合是 ；终边在坐标轴上的角的集合 。

二、课前自测
1.下列各组角中，终边相同的角是（ ）
A.2πk 与k π+2π (k ∈Z)
B.k π±3π与3πk (k ∈Z)
C.(2k +1)π与(4k ±1)π (k ∈Z)
D.k π+6π与2k π±6
π (k ∈Z) 已知扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，扇形面积为S ，那么
1.若l=3，r=2，则α= （弧度）；
2.若23
απ=
，r=4，则S= ； 3.若α=-216o ，l=7π，则r= ；
4.若l=7π，r=2，则α= （弧度）。

弧度制和弧度制与角度制的换算（自学自测）【学习目标】1 了解角的另一种度量方法——弧度制；2熟练进行角度制和弧度制的换算；3掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式。

【学习重点】角度制和弧度制的换算。

【学习难点】弧长公式和面积公式的应用。

【自主学习】1、把圆周分成360份，其中1份所对的圆心角是 度，这种用度作单位来度量角的制度叫2、我们规定：长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角，记作 以 为单位来度量角的制度叫做弧度制。

（1）.在半径为1的圆中，弧长为2的圆弧对的圆心角为 弧度；弧长为1.8的圆弧对的圆心角为 弧度；弧长为π 的圆弧所对的圆心角为 弧度；圆的周长为 弧长为π2的圆弧所对的圆心角为 弧度， 度？（2）.在半径为r 的圆中，弧长为r 2的圆弧对的圆心角为 弧度；弧长为r 8.1的圆弧对的圆心角为 弧度；弧长为πr 的圆弧所对的圆心角为 弧度；圆的周长为 ，弧长为r π2的圆弧所对的圆心角为 弧度， 度？3、弧度数公式α= ;弧长公式: l = ；扇形面积公式：s = = 。

【结论】（1）在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α，则（2）=0360 rad =0180 rad所以：01= rad =rad 1 =0n rad 3、常见角度和弧度的转化【自练自提】1、 把下列各角的度化为弧度。

015-= ， 0210= ， 0300= ， 0690= 。

2、 把下列各角的弧度数化为度数。

34π= ， 45π-= ， 611π= ，125π-= 。

23π= ， 8π= 。

3、已知半径为3cm ，圆心角为060的扇形的弧长为 ，面积为 。

3、 扇形面积为4，圆心角弧度数为2，则扇形半径为 ，弧长为 ，周长为 。

弧度制和弧度制与角度制的换算（自研自悟）例1 把下列各角化为0到π2的角加上πk 2（z k ∈）的形式。

并指出他们是哪个象限的角。

（1）623π （2）718π- （3）0225- 2、已知扇形的圆心角为3，周长为20，求扇形的面积3、（选作）弧长等于圆内接正三角形的边长，其所对的圆心角的弧度数为 。

弧度制
．把下列各角的弧度制和角度制互化：
；；；
．已知扇形的圆心角为，半径等于，求扇形的面积.
．请回答关于任意角的下列问题：
（）若角的终边位于轴的负半轴，则；
（）若角是第二象限角，则满足 .
．若角，锐角与的终边关于轴对称，则；若任意角、的终边关于轴对称，则、的关系是。

．已知角的终边落在图示阴影部分区域，写出角组成的集合．
（）；
（）。

．已知集合
，
，则的范围（）
．
．
．
．
．已知扇形的周长为，面积为，求扇形的圆心角的弧度数.
．已知下列各个角：，，，；()其中是第三象限的角是;
()将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？。

弧度制和弧度制与角度制的换算
.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算.
.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(重点)
[基础·初探]
教材整理度量角的两种单位制
阅读教材～“第行”以上内容，完成下列问题.
.角度制与弧度制的定义
()角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制.角度制规定分等于度，秒等于分.
()弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角，记作.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
.角的弧度数的计算
在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为α，则α＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()弧度是度的圆心角所对的弧.( )
()弧度是长度为半径的弧.( )
()弧度是度的弧与度的角之和.( )
()弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.( ) 【解析】根据弧度制的定义知()正确.
【答案】()×()×()×()√
教材整理角度制与弧度制的换算
阅读教材“第行”～“例”以上内容，完成下列问题.
.角度与弧度的互化
.一些特殊角与弧度数的对应关系
()把°′化成弧度＝.
()把π 化成度＝.
【解析】()°′＝°＝°×
＝π .
()π ＝×°＝°.
【答案】()π()°
教材整理扇形的弧长与面积公式
阅读教材“例”～“例”内容，完成下列问题. 设扇形的半径为，弧长为，α为其圆心角，则。

双基达标(限时20分钟)1．若α＝－3，则角α的终边在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵－π<－3<－π2，∴α是第三象限角．答案 C2．将1 920°转化为弧度数为()．A.163 B.323C.16π3 D.32π3解析 1 920°＝1 920×π180＝32π3.答案 D3．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()．A．－3π4B．－π4C.π4 D.3π4解析－11π4＝－2π－3π4.∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时|－3π4|＝3π4是最小的．答案 A4．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________．解析∵R＝16，α＝2 rad，∴l＝α·R＝16×2＝32.答案325．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________. 解析如图所示，∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．答案[－4，－π]∪[0，π]6．判断下列各角所在的象限：(1)9；(2)－4；(3)－1 999π5.解(1)因为9＝2π＋(9－2π)，而π2<9－2π<π，所以9为第二象限角．(2)因为－4＝－2π＋(2π－4)，而π2<2π－4<π，所以－4为第二象限角．(3)－1 999π5＝－200×2π＋π5，所以－1 999π5为第一象限角．综合提高(限时25分钟)7．若α是第四象限角，则π－α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析∵α是第四象限角．∴2kπ－π2<α<2kπ(k∈Z)，∴－2kπ<－α<－2kπ＋π2.∴－2kπ＋π<π－α<－2kπ＋3π2. ∴π－α是第三象限角．答案 C8．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为()．A.316π B.38πC.34π D.32π解析∵S＝12rl，∴3π8＝12l，∴l＝3π4，故选C.答案 C9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这扇形圆心角所对的弧长为________．解析设半径为R，则R sin 1＝1，∴R＝1sin 1，∴弧长l＝2sin 1.答案2 sin 110．若α＝kπ＋π4，k∈Z，则α是第________象限角．解析当k为偶数时，α是第一象限角，当k为奇数时，α是第三象限角．答案一或三11．用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解以OB为终边的330°角可看成为－30°角，化为弧度为－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k∈Z}．12．(创新拓展)如图，已知一长为 3 dm，宽1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．解 AA 1所对的圆半径是2 dm ，圆心角为π2，A 1A 2所对圆半径是1dm ，圆心角是π2，A 2A 3所对的圆半径是 3 dm ，圆心角是π3，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋236π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是12×2×π＋12×π2＋12×3×3π3＝7π4(dm 2)．。

1.1.2 弧度制（1）学习要点：弧度制以及角度制与之换算关系。

学习过程：（一）复习：度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

（二）新课学习：1．1弧度角的定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为 的角。

如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad周角=2πrad1． 正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是2． 角α的弧度数的绝对值 α=（为弧长，r 为半径）3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算360︒= ∴180︒=∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad 例1 把'3067ο化成弧度例2 把rad π53化成度注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin π表示πrad 角的正弦2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

o r C 2rad 1rad r 2r o A A B任意角的集合实数集R 例3用弧度制表示：1︒终边在x轴上的角的集合2︒终边在y轴上的角的集合3︒终边在坐标轴上的角的集合四、课堂练习（P12 练习）五、小结：1．弧度制定义2．与弧度制的互化六、作业：见作业（61）。