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多元正态分布条件分布例题
多元正态分布是指具有多个随机变量的正态分布。
它的概率密度函数可以用矩阵符号来表示。
对于一个具有n个变量的多元正态分布，其概率密度函数可以写作：
f(x) = (1 / ( (2π)^(n/2) |Σ|^0.5 )) exp(-0.5 (x-μ)' Σ^(-1) (x-μ))。
其中，x是一个n维向量，μ是一个n维向量，Σ是一个n×n 的对称正定矩阵，|Σ|表示Σ的行列式。
这个概率密度函数描述了多元正态分布的形状和分布情况。
现在让我们来看一个条件分布的例题。
假设我们有一个二维多元正态分布，其均值向量为μ = [1, 2]，协方差矩阵为Σ = [[2, 1], [1, 2]]。
我们想要求在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布。
首先，我们可以计算边缘分布，即X1的边缘分布。
X1的边缘
分布仍然是一个正态分布，其均值和方差可以通过均值向量和协方差矩阵的对应元素得到。
然后，我们可以计算条件分布。
在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布也是一个正态分布，其均值和方差可以通过边缘分布的均值和方差以及协方差矩阵的相关元素计算得到。
通过这个例题，我们可以理解多元正态分布的条件分布是如何计算的，以及如何利用均值向量和协方差矩阵来描述多元正态分布的形状和分布情况。
随机变量的分布函数定理随机变量在概率论中扮演着非常重要的角色，随机事件的概率常常需要用到随机变量的概念进行描述。
随机变量可以表示为一个实数函数，它能在每个概率事件发生时给出一个实数值。
在随机变量的研究中，分布函数是一个重要概念。
分布函数可以告诉我们一个随机变量在每个实数点的概率大小，从而帮助我们推出随机变量的各种性质。
在本文中，我们将介绍分布函数定理及其应用。
分布函数的定义分布函数是随机变量的最基本概念，它是一个实数函数，通常用F(x)表示。
分布函数F(x)描述的是一个随机变量X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。
分布函数具有以下性质：1. F(x)是一个单调不降函数，即如果x1 < x2，则F(x1) ≤ F(x2)；2. F(x)的取值范围是0 ≤ F(x) ≤ 1；3. 当x趋近于负无穷时，F(x)趋近于0；当x趋近于正无穷时，F(x)趋近于1；4. F(x)是右连续函数，即F(x+) = lim┬(t→x⁺)〖F(t)〗。
分布函数定理分布函数定理是概率论中非常重要的一个定理，它的主要作用是帮助我们确定随机变量的分布函数。
分布函数定理是概率论中的一条基本公式，它可以描述一个随机变量的概率分布。
对于任意一个随机变量X，它的分布函数满足如下定理：若X是一个随机变量，则它的分布函数F(x)是一个连续的、右连续的函数，并且有以下两个性质：1. F(x)在每个实数点x处都是可积函数，即∫F(x)dx存在；2. 对于任意实数a < b，有P{a < X ≤ b} = F(b) - F(a)。
这两条性质可以用于计算一个随机变量在某个区间内取值的概率。
分布函数的应用分布函数的应用非常广泛，可以帮助我们推导出各种随机变量的性质。
下面介绍分布函数在离散和连续随机变量中的应用。
1. 离散随机变量中的分布函数对于离散随机变量X，它的分布函数可以表示为：F(x) = P{X ≤ x} = ΣP{X = xi}，其中xi ≤ x这里，P{X = xi}表示X取值为xi的概率，Σ是求和符号。
多元随机变量及其分布函数随机变量是概率论与统计学中的基础概念，它是指在一次随机试验中，能够取到的所有可能的值。
单个随机变量只有一个取值，但是现实世界中有很多情况是需要考虑多个随机变量，因此就有了多元随机变量的概念。
本文将介绍多元随机变量及其分布函数。
一、多元随机变量的定义假设有n个随机变量$X_{1},X_{2},...,X_{n}$，如果这些随机变量是在同一个概率空间上定义的，则这n个随机变量组成的向量$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$就是一个多元随机变量。
我们可以将多元随机变量看作是一个n维向量空间中的一个点。
在多元随机变量中，每个随机变量都有自己的分布函数。
对于一个n元随机变量$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$，其分布函数记为$F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$，定义为：$$F(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = P(X_{1} \leq x_{1}, X_{2} \leqx_{2}, ..., X_{n} \leq x_{n})$$其中$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$是n个实数，表示$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$的取值点。
二、多元离散型随机变量的分布函数对于多元离散型随机变量$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$，其取值只能是离散值，其分布函数定义为：$$F(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = P(X_{1} \leq x_{1}, X_{2} \leqx_{2}, ..., X_{n} \leq x_{n})$$显然，对于每个$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$，其$F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$都是一个概率值，而当所有$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$取遍所有可能的值时，就可以得到分布函数的全貌。
三、多元连续型随机变量的分布函数对于多元连续型随机变量$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$，其分布函数可以写成积分形式：$$F(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = \int_{-\infty}^{x_{1}} \int_{-\infty}^{x_{2}} \cdots \int_{-\infty}^{x_{n}} f(u_{1},u_{2},...,u_{n}) du_{1} du_{2} \cdots du_{n}$$其中$f(u_{1},u_{2},...,u_{n})$是$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$的概率密度函数。
多元统计分析第二章多元正态分布多元正态分布（Multivariate Normal Distribution），是指多个随机变量服从正态分布的情况。
在统计学中，多元正态分布是一个重要的概率分布，广泛应用于多个领域，如经济学、金融学、生物学、工程等。
多元正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x;μ,Σ) = (2π)^(-k/2) ，Σ，^(-1/2) exp(-(x-μ)'Σ^(-1)(x-μ)/2)其中，x表示一个k维向量（k个随机变量），μ是一个k维向量，表示均值向量，Σ是一个k*k维协方差矩阵，Σ，表示协方差矩阵的行列式，'表示向量的转置，Σ^(-1)表示协方差矩阵的逆矩阵，exp表示指数函数。
多元正态分布具有以下特点：1.对称性：多元正态分布的密度函数是关于均值向量对称的。
2.线性组合：多元正态分布的线性组合仍然服从正态分布。
3.条件分布：给定其他变量的取值，多元正态分布的边缘分布和条件分布仍然服从正态分布。
4.独立性：多元正态分布的随机变量之间相互独立的充要条件是它们的协方差矩阵为对角矩阵。
对于多元正态分布，可以使用协方差矩阵来描述不同随机变量之间的相关程度。
协方差矩阵的对角线元素表示各个随机变量的方差，非对角线元素表示各个随机变量之间的协方差。
多元正态分布的参数估计也是统计学中一个重要的问题。
通常可以使用最大似然估计方法来估计均值向量和协方差矩阵。
在实际应用中，多元正态分布可以用来描述多个相关变量的联合分布。
例如，在金融学中，可以使用多元正态分布来建模多个股票的收益率。
在生物学中，可以使用多元正态分布来建模多个基因的表达水平。
除了多元正态分布，还存在其他的多元分布，如多元t分布、多元卡方分布等。
这些分布可以用来处理更一般的随机变量，具有更广泛的应用领域。
总之，多元正态分布是统计学中一个重要的概率分布，具有许多重要的性质和应用。
通过对多元正态分布的研究，可以更好地理解和分析多个相关变量的联合分布，推断和预测相关变量的取值，并为实际问题提供可靠的解决方案。
我们已讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量X 1, X 2, …,X n 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Y i =g i (X 1, X 2, …,X n ), i =1,2,…,m 的联合分布?一、离散型分布的情形例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数.解:)()(r Y X P r Z P =+=={X +Y =r }{X =1, X +Y =r }∪{X =2, X +Y =r }∪{X =r , X +Y =r }……且诸{X =i , X +Y =r },i =1,2, …,r 互不相容例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数.于是有: )()(r Y X P r Z P =+==∑=-===ri i r Y P i X P 0)()(=a 0b r +a 1b r -1+…+a r b 0∑=-===ri i r Y i X P 0),(由独立性此即离散卷积公式r =0,1,2, …解：依题意∑=-====r i i r Y P i X P r Z P 0)(()(）例2若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布, 证明Z =X +Y 服从参数为21,λλ21λλ+的泊松分布.由卷积公式i =0,1,2,…j =0,1,2,…!)(i ei X P i 11λλ-==!)(j e j Y P j 22λλ-==∑=-====ri i r Y P i X P r Z P 0)()(（）由卷积公式∑=⋅=ri 0i -r 2-i 1-i)!-(r ei!e21λλλλ∑=+-=ri r e0i-r 2i 1)(i)!-(r i!r!!21λλλλ,)(!21)(21rr eλλλλ+=+-即Z 服从参数为的泊松分布.21λλ+r =0,1，…例3 设X 和Y 相互独立，X ~B (n 1,p ),Y ~B (n 2,p ),求Z =X +Y 的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y 是在n 2次独立重复试验中事件A 出现的次数,每次试验中A 出现的概率为p .若X ~ B (n 1,p ),则X 是在n 1次独立重复试验中事件A 出现的次数,每次试验中A 出现的概率都为p .故Z=X+Y 是在n+n2次独立重复试验1中事件A出现的次数，每次试验中A出现+n2，p）为参的概率为p，于是Z是以（n1+n2, p).数的二项随机变量，即Z~ B(n1例4 设X和Y的联合密度为f (x,y),求Z=X+Y的密度.解: Z=X+Y的分布函数是:F Z(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)⎰⎰= Ddxdyyxf),(这里积分区域D={(x, y): x+y≤z}是直线x+y=z 左下方的半平面.一、连续型分布的情形化成累次积分,得⎰⎰≤+=zy x Z dxdyy x f z F ),()(⎰⎰∞∞--∞-=yz Z dydx y x f z F ]),([)(固定z 和y ,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y ,得⎰⎰∞∞-∞--=zZ dydu y y u f z F ]),([)(⎰⎰∞-∞∞--=zdudy y y u f ]),([变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系, 即得Z =X +Y 的概率密度为:由X 和Y 的对称性, f Z (z )又可写成⎰∞∞--==dyy y z f z F z f ZZ ),()()('以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.⎰∞∞--==dxx z x f z F z f ZZ ),()()('⎰⎰∞-∞∞--=z Z dudy y y u f z F ]),([)(特别，当X 和Y 独立，设(X ,Y )关于X ,Y 的边缘密度分别为f X (x ) , f Y (y ) , 则上述两式化为:⎰∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(这两个公式称为卷积公式.⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(下面我们用卷积公式来求Z =X +Y 的概率密度为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5 若X 和Y 独立,具有共同的概率密度求Z =X +Y 的概率密度.⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f ⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(解: 由卷积公式⎩⎨⎧≤-≤≤≤1010x z x 也即⎩⎨⎧≤≤-≤≤zx z x 110为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-=<≤==⎰⎰-其它,021,210,)(110z z Z z z dx z z dx z f 如图示:⎩⎨⎧≤-≤≤≤1010x z x 也即⎩⎨⎧≤≤-≤≤z x z x 110于是⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(用类似的方法可以证明:),(~222121σσμμ+++=N Y X Z 若X 和Y 独立,),,(~),,(~222211σμσμN Y N X 结论又如何呢?此结论可以推广到n 个独立正态随机变量之和的情形,请自行写出结论.若X 和Y 独立,具有相同的分布N (0,1),则Z=X+Y 服从正态分布N (0,2).更一般地, 可以证明:有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则3X+4Y+1也具有正态分布.从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.若每一个问题都这样求，是很麻烦的.下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的分布的定理.对二维情形,表述如下：2.假定变换和它的逆都是连续的;3. 假定偏导数iiy h ∂∂1. 设y 1=g 1(x 1,x 2), y 2=g 2 (x 1,x 2)是到自身的一对一的映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换: x 1=h 1(y 1, y 2), x 2=h 2(y 1, y 2)2ℜ（i =1,2, j =1,2 ）存在且连续;定理设(X 1,X 2)是具有密度函数f (x 1,x 2)的连续型二维随机变量,4．假定逆变换的雅可比行列式则Y 1,Y 2具有联合密度w (y 1,y 2)=|J |f (h 1(y 1,y 2), h 2(y 1,y 2))（*）0),(2212211121≠∂∂∂∂∂∂∂∂=y h y h y h y h y y J 即J (y 1,y 2)对于在变换的值域中的(y 1,y 2)是不为0的.例6 设(X 1,X 2)具有密度函数f (x 1,x 2). 令Y 1=X 1+X 2，Y 2=X 1-X 2试用f 表示Y 1和Y 2的联合密度函数.故由(*)式,所求密度函数为解: 令y 1= x 1+x 2, y 2= x 1-x 2，则逆变换为,2211y y x +=,2212y y x -=02/12/12/12/12/1),(21≠-=-=y y J )2,2(21),(212121y y y y f y y w -+=有时，我们所求的只是一个函数Y 1= g 1(X 1,X 2)的分布. 一个办法是：对任意y , 找出{Y 1≤ y }在(x 1,x 2)平面上对应的区域{g 1(X 1,X 2) ≤ y }，记为D .求出Y 1的分布函数. Ddx dx x x f 2121),(P {Y 1 ≤y }=然后由另一个办法是配上另一个函数g 2(X 1,X 2)，使(X 1,X 2)到(Y 1,Y 2)成一一对应变换,2211),()(1dy y y w y f Y ⎰∞∞-=下面我们用一例来说明.找出(Y 1,Y 2 )的联合密度函数w (y 1, y 2), 最后, Y 1的密度函数由对w (y 1, y 2)求边缘密度得到：w (y 1,y 2)=|J |f (h 1(y 1,y 2), h 2(y 1,y 2)) (*) 然后利用定理, 按例7 设(X 1,X 2)具有密度函数f (x 1, x 2),求Y =X 1X 2的概率密度.按(*)式得Y 和Z 的联合密度为解: 令Y = X 1X 2, Z = X 1，它们构成(x 1,x 2)到(y ,z )的一对一的变换, 逆变换为: x 1=z , x 2=y /z 雅可比行列式为:0/1//110),(2≠-=-=z zy z z y J ||1),(z z y z f 所配函数dz z z y z f y f Y ||1),()(⎰∞∞-=按(*)式得Y 和Z 的联合密度为||1),(z z y z f 再求Y 的概率密度此即求两个r.v 乘积的密度函数公式将定理推广到n 维随机变量，我们可求得n 维随机变量函数的分布，见教材124页.三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它(x)和F Y(y),我们来们的分布函数分别为FX求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.又由于X 和Y 相互独立,于是得到M=max(X ,Y )的分布函数为:即有F M (z )= F X (z )F Y (z )F M (z )=P (M ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )由于M=max(X ,Y )不大于z 等价于X 和Y 都不大于z ，故有分析：P (M ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )类似地，可得N=min(X ,Y )的分布函数是下面进行推广即有F N (z)= 1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]=1-P (X >z ,Y >z )F N (z )=P (N ≤z )=1-P (N >z )=1-P (X >z )P (Y >z )设X 1,…,X n 是n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为我们来求M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数.)(x F i X (i =0,1，…, n )用与二维时完全类似的方法，可得特别，当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有N=min(X 1,…,X n )的分布函数是M=max(X 1,…,X n )的分布函数为: F M (z )=[F (z )]n )](1[1)(1z F z F X N --=…)](1[z F n X -)()(1z F z F X M =)(z F n X …F N (z )=1-[1-F (z )]n若X 1,…,X n 是连续型随机变量，在求得M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数后，不难求得M 和N 的密度函数.留作课下练习.当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有F M (z )=[F (z )]n F N (z )=1-[1-F (z )] n需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称M=max(X1,…,X n)，N=min(X1,…,X n)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.下面我们再举一例，说明当X,X2为离散1,X2)的分布.型r.v时，如何求Y=max(X1解一: P (Y =n )= P (max(X 1,X 2)=n )=P (X 1=n , X 2≤n )+P ( X 2 =n , X 1<n )∑=--=n k k n pqpq 111∑-=--+1111n k k n pq pq q qq p n n --=-1112q q qp n n --+--11112)2(11----=n nn q q pq 记1-p =q 例8设随机变量X 1,X 2相互独立,并且有相同的几何分布:P (X i =k )=p (1-p )k -1,k =1,2,…(i =1,2)求Y=max(X 1,X 2)的分布.n =1,2,…解二: P (Y =n )=P (Y ≤n )-P (Y ≤n -1)211][∑=-=nk k pq=P (max(X 1,X 2) ≤ n )-P (max(X 1,X 2) ≤n -1)=P (X 1≤ n , X 2≤n )-P ( X 1 ≤ n -1, X 2≤ n -1)2111][∑-=--n k k pq 22]11[q q p n --=2)1(n q -=212]11[q q p n ----21)1(---n q )2(11----=n n n q q pq n =1,2,…那么要问，若我们需要求Y=min(X,X2)1的分布，应如何分析？留作课下思考我们介绍了如何求r.v 函数的分布.但有时我们无法精确求出此分布.当这个积分无法精确求出时，一个可取的方法是采用计算机模拟.例如，想求两个独立连续型r.v 之和X +Y 的分布函数. X 的分布函数为F ，Y 的分布函数为G ，在理论上，可以求得：dxx f x X t Y X P t Y X P ⎰∞∞-=≤+=≤+)()|()(dx x f x t G ⎰∞∞--=)()(其中f (x )是X 的密度函数.我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布．请通过练习熟练掌握.。
