随机向量的函数的分布与数学期望

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

大学概率论习题四详解(A)1、设随机向量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，对任意d c b a ,,,（d c b a <<,），证明：),(),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F d Y c b X a P +--=≤<≤<。

解 ),(),(),(d y c a X P d Y c b X P d Y c b X a P ≤<≤-≤<≤=≤<≤<),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--=2、一台仪表由二个部件组成，以X 和Y 分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧>>+--=+---其他00010*******y x e e e y x F y x y x ,,),()(...求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。

解 ),(∞<<∞<<Y X P 120120090701111120120120120424221212121.)()()(),(),(),(),(......==+--+----=+∞-∞-∞∞=------e e e e e e F F F F 3、设X 等可能的取1,2,3,4中的一个，Y 等可能的取1,… ,X 中的一个，求),(Y X 的联合分布及关于Y 的边缘分布列。

解 易见，X 和Y 的取值都是1,2,3,4，且X 取i 的概率为41,此时Y 取i ,, 1中一数j 的概率为i1,因此ij Y i X P 41===),(,而当j i <时0===),(j Y i X P 。

于是得到),(Y X 的联合分布：关于Y 的边缘分布列：4、某射手，每次击中目标的概率为p )10(<<p ，射击进行到第二次击中目标为止，设i X 表示第i次击中目标时所射击的次数)2,1(=i ，求),(21X X 的联合分布列、边缘分布。

《多元统计分析》MOOC2.1 多元分布王学民一、多元概率分布函数v随机向量：一个向量，若它的分量都是随机变量。

v 随机变量x 的分布函数：v 随机变量x 1和x 2的联合分布函数：v 随机向量的分布函数：v本课程主要讨论连续型的分布。

()12,,,p x x x '=x ()()F a P x a =≤()()121122,,,,,,p p p F a a a P x a x a x a =≤≤≤ ()()121122,,F a a P x a x a =≤≤二、多元概率密度函数v一元的情形：v二元的情形：vp 元的情形：v概率密度函数，简称概率密度或密度函数或密度。

()()d a F a f x x -∞=⎰12121212(,)(,)d d a a F a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰1111(,,)(,,)d d pa a p p pF a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰分布函数的概念主要用于理论上的讨论，本课程仅在此提一下，后面将不再提及。

分布用密度来描述较为方便。

概率密度的性质v一元密度f (x )的性质：v多元密度f (x 1,⋯,x p )的性质：1111(,,)0,,(,,)d d 1p p p p f x x x x f x x x x ∞∞-∞-∞≥=⎰⎰(1)，对一切实数；(2)。

()0()d 1f x x f x x ∞-∞≥=⎰(1)，对一切实数；(2)。

三、边缘分布v 边缘分布：p 维随机向量 的任意子向量的分布。

v边缘分布可以是关于一个变量，两个变量，…，p −1个变量的边缘分布。

()12,,,p x x x '=x四、条件分布v条件分布：在一些已知条件下的分布。

v例1研究某人群，x1——身高，x2——体重，该人群中x2的分布为f(x2)。

如果已知某人的x1=1.80（米），则对该人体重的推断应依据f(x2|x1=1.80)，而不是f(x2)。

上课材料之三：第二节 分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation)与方差(Variance)本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。

一、概率(Probability)1、概率定义(Definition of Probability)在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。

换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。

随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。

频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。

对于一个随机事件A ，用一个数P （A ）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P （A ）就称为随机事件A 的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。

对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。

有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。

概率的定义定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，如果它满足如下三个条件： （i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）若∈i A ，i=1,2…，且两两互不相容，则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 性质（iii ）称为可列可加性（conformable addition ）或完全可加性。

推论1：对任何事件A 有)(1)(A P A P -=；推论2：不可能事件的概率为0，即0)(=φP ； 推论3：)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。