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2.2. 随机变量分布函数的定义

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高等数学2.2 随机变量的分布函数

高等数学2.2 随机变量的分布函数
x
x
lim [a1 F1 ( x) + a2 F2 ( x)] = a1 F1 () + a2 F2 ( )
= a1 + a2 = 1
于是 a1F1(x) + a2F2(x) 满足分布函数的所有性质, 从而 a1F1(x) + a2F2(x) 也是分布函数 .
作 业
习 题 二
F(x) =
图形如右图: 分布函数是一个阶梯函数, 在x=i (i=1,2,3,4)处发生间断, 其跳跃度恰好是 pk =P{X =k} (k =1,2,3,4)
F(x)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0
1
2
3
4
x
二、分布函数的性质：
1、定理2.3: 设 F(x)是任一随机变量 X 的分布函数, 则有
第二章 随机变量及其概率分布
2. 2 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念：
1、定义2.7: 设 X 是一个随机变量, 对于任一实数 x, 定义 F(x) =P{X≤x}, 的分布函数 . 注 若 F(x) 是 X 的分布函数, 则 P{a<X≤b} = F(b)－F(a) 对(－∞, ∞) 内的任意实数 a , b (a ≤ b ) 均成立 .
－∞< x <∞, 称F(x) 为随机变量 X
例2.6某人投篮, 命中率为0.7 , 规则是: 投中或投了 4次后就停止投篮, 设X表示“此人投篮次数” , 求X 的分布函数 . 解 由题意可知X的可能值为 1, 2 , 3 , 4 , 概率分别为
P X = 1 = 0.7 ,
P X = 3 = 0.3 0.3 0.7 = 0.063 ,
注 F () = lim F ( x) , F () = lim F ( x) ;

第二章 随机变量及其分布(第2讲)

第二章 随机变量及其分布(第2讲)
分布函数还具有相当好的性质，有利于用数 学分析方法来处理；
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效

第二章-1分布函数

第二章-1分布函数

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a − 0) P(a < X < b) = F(b − 0) − F(a) P(a ≤ X < b) = F(b − 0) − F(a − 0)
概率论
二、分布函数的性质 (1) F( x) 在(− ∞,+∞) 上是一个不减函数 ,
即对 ∀ x1 , x2 ∈(− ∞,+∞) 且 x1 < x2 , 都有 F( x1 ) ≤ F( x2 ) ;
概率论
F(x)的分布函数图
y
1பைடு நூலகம்
22 35 34 35
0
1
2
x
例4 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 ， 上任意投掷一个质点， X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比， 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数 的分布函数. 的分布函数， 解 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x < 0 时，F(x) = P(X
x→x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数 也就是说，性质 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 是鉴别一个函 的分布函数的充分必要条件. 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件
概率论
例1 设有函数 F(x)
0 = lim F( x) = lim ( A+ Barctgx) = A− B x→−∞ x→−∞ 2
π
π
概率论
解方程组
π A− 2 B = 0 π A+ B = 1 2

2.2离散型随机变量及其分布

2.2离散型随机变量及其分布
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
上一页 下一页 返回
在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
上一页 下一页 返回
k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !

上一页 下一页 返回
查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
上一页 下一页 返回

随机过程2.2 随机过程的分布

随机过程2.2 随机过程的分布

2) 对任意固定的自然数m<n,均有
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
φ(t1, t2 , , tm ;θ1,θ2 , ,θm )
φ(t1, t2 , , tm , , tn;θ1,θ2 , ,θm ,0, ,0)
定理2.2.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理)
如果有限分布函数族
F {F(t1, t2, , tn; x1, x2,, xn ), t1, t2, , tn T , n 1}
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn}
称为过程的n 维分布函数.
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
记 F ˆ {F (t1 , t2 , , tn; x1 , x2 ,, xn ) :
ti T , xi Ri , i 1,2, , n, n 1}
x1 π
1 da, a2 x2
x 1;

0
其它 .
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4

1
ln(
1

1 x2 ),
π
x
0，
其 它.
x 1;
思考题：
为什么可以用有限维分布函数族描述 随机过程的统计特性?
电子科技大学
X(t) － 2cost 2cost
p
1/3
2/3
特别
X(0) － 2 2
p 1/3 2/3
p X( 4 ) 2 2
p1/3 2/3来自电子科技大学2) 分析
随机过程的分布
04.9.4
2
2
x(t,ω1)=2cost

随机变量的分布函数的定义

随机变量的分布函数的定义

随机变量的分布函数的定义随机变量的分布函数是概率论中一项重要的概念，它描述了随机变量取值的概率分布情况。

本文将会从以下几个方面详细介绍随机变量的分布函数的定义。

1. 随机变量的定义在介绍随机变量的分布函数之前，需要先介绍什么是随机变量。

随机变量是指随机试验得出的结果，它可以是一个离散的数值，也可以是一个连续的数值。

例如，掷一枚骰子得到的数字就是一个随机变量。

随机变量的取值是由概率决定的。

2. 分布函数的定义分布函数是描述随机变量取值概率分布的函数，一般用大写字母F表示。

设X是一个随机变量，则X的分布函数FX(x)定义为：FX(x) = P(X ≤ x)其中，≤ 表示小于或等于。

3. 分布函数的解释分布函数的解释是将随机变量的概率分布情况用一条连续的曲线来表示，可以很直观地看出随机变量取某个值的概率大小。

例如，在掷一枚骰子时，如果要求得点数小于等于3的概率，那么分布函数FX(x)就可以表示为：FX(x) = P(X ≤ 3) = 3/6 = 1/2这个值意味着当掷出的点数小于等于3时，随机事件发生的概率为1/2。

4. 分布函数的性质分布函数有以下几个基本性质：（1）0 ≤ FX(x) ≤ 1（2）FX(x)单调不降（3）当x → -∞时，FX(x) → 0（4）当x → +∞时，FX(x) → 1这些性质是由于随机变量的取值是由概率决定的，所以分布函数必须满足这些条件。

综上所述，随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率分布的函数。

在实际问题中，掌握随机变量的分布函数可以更准确地建立数学模型，预测事件的概率，更好地解决实际问题。

离散型随机变量及其分布函数

第2.2节 离散型随机变量 及其分布函数
一、离散型随机变量的分布函数 二、几种常见的离散型随机变量 三、小结
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk 且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
lim P{X k} k e
n
k!
证明
由
pn
,得
n
P{ X
k}
n! k!(n
( k)!
pn )k
(1
pn )nk
n(n 1) (n k 1（) ）（k 1 )nk
k!
n
n
k [1 (1 1 )(1 2) (1 k 1)](1 )n (1 )k
(k 1,2,)
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
5.超几何分布
设X的分布律为
P{X
m}
CMm
C nm NM
(m 0,1,2,, min{M , n})

概率论(随机变量的分布函数)

P{X a} 1 P{X a} 1 F(a) a f ( x)d x.
注： 1. 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,
P{X a} 0.
证明 x 0,则{X a} {a x X a}
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x) 0(x 0 )
试求c为待定常数又因为0x2为必然事件故1216补充定义x2处函数值为0后得到简称概率密度密度函数的概率称为其中为连续型随机变量使对任意实数非负可积函数存在的分布函数如果对于随机变量一定义probabilitydensity
第三节 随机变量的分布函数
一、概念的引入
需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.
(1) 曲线关于直线 x= 对称 . 1 f(x)
2
这表明P{ h X } P{ X h}
(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x) 1
为X 的分布函数(distribution function) 记作 X ～ F(x) 或 FX(x)
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
(, x] 的概率.
—X——x |——> x
三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
例如 求随机变量 X 落在区间( x1, x2 ]内的概率.
P{ x1 X x2} P{ X x2}P { X x1}

第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解

2
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正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a

)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量

的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。

2.3随机变量的分布函数


2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
0, x 1, 1 3 例 求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 解:(2) , 0 x 1, 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
(3) P{ X b} F(b) P{X b} (4) P{a X b} F(b) F(a) P{ X b}
(5) P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
例
设随机变量X分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞), 确定A,B的值，并计算P{-1<X≤1}
xi x
即
F ( x ) pk ,
xk x
这里和式是对所有满足 xk x 的k 求和的. 分布函 数F ( x )在x xk (k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
pk P{ X xk }.
例 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)
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X P(X=xk)
x1 p1
x2 p2

xk pk

x1
x2
xk
x
F(x)=P(X≤x)
若-<x<x1 F(x)=P() =0
X P(X=xk)
x1 p1
x2 p2

xk pk

x1
x2
xk
x
F(x)=P(X≤x)
若x1x<x2 F(x)=P(X=x1)=p1
x的取值 -<x<x1 x1≤x<x2 x2≤x<x3
x 1, 1 x 1, 1 x 2, x 2.
P ( X x i ) F ( x i ) F ( x i 0)
X
1
1 6
1
1 1 1 2 6 3
2
1 1 1 2 2
p
间断点为 1, 1, 3 P ( X x i ) F ( x i ) F ( x i 0)
P(X=-1)= P(X=1)= P(X=3)= X －1
F (1) F (1 0) F (1) F (1 0) F ( 3) F (3 0)
1 3
0.4 0 0.8 0.4 1 0.8
p
0.4
0.4
0.2
例3.
设离散型随机变量X 的分布函数为
x 1; 1 x 1; 1 x 2; x2
0, a , F ( x) 2 3 a, a b,
1 且P{X 2} 2
试 确 定 常 数 , b; a 并 求X的 分 布 列
x的取值 -<x ＜ 0 0x＜1 1x＜
F(x)=P(X≤x)
=P()=0 =P(X=0)=p =P(X=0)+ P(X=1) = p+(1-p)=1
x0 0 x1 1 x
F (x)
0 F ( x) p 1
1·
q
○
○

0
1
x
离散型随机变量的分布律
0 p1 p1 p2
x x1 x1 x x 2 x2 x x3 x n 1 x x1
离散随机变量分布函数的图形
1 F (x)
...
○
p1+ p2
p1
阶梯型 跳跃线段
○
○ ·
x1
· x2
解

a b 1.
1
解得 1 5 a ,b . 6 6
1 已知 P{ X 2} 2 P{X 2} F (2) F (2 0),
1 2 (a b) ( a ) 2 3
2
X 的分布函数为
X 的分布律为
0, 1 , 6 F ( x) 1 , 2 1,
F (a ) F (a 0)
例1 已知分布列求分布函数
设随机变量X的分布律为 X p 0 0.3 1 0.5 2 0.2
求X的分布函数F(x)及概率P{0 X 1.5}。
F(x)= P{Xx}=
当 x<0 时
当 0 x<1 时
0
P{X=0}=0.3 P{X=0}+ P{X=1}=0.3+0.5=0.8 P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1
¹ 1
¹ 2
x
=0.8－0.3+0.3.
2.2.2 分布函数的主要性质
1 单调不减性
当 x1 ＜ x2 ，则 F (x1 ) ≤ F (x2 )
2
非负有界
0 ≤ F (x) ≤ 1 F ( – ∞) = 0 F ( + ∞) = 1
3
右连续性
x , 有 F ( x 0 0) F ( x 0 )
当1 x<2 时
当x 2
X的分布函数F(x)为
F ( x) 0 0.3 0.8 1 x0 0 x1 1 x 2 2 x
p
1﹣ 0.5﹣
·
0
(2) P{0 X 1.5} = P{0<X 1.5}+P{X=0} =F(1.5)-F(0)+P{x=0}
x
P {X < x}=
P( X x 0 )
F (x 0 )
例题
解.
计算并画出参数 p 的两点分布的分布函数
两点分布的分布律是： X 0 1
F(x)=P(X≤x)
X
p
p
1-p
0
1
x
当 -<x ＜ 0 时， F(x)=P() =0 X x 0 1 当 0 x ＜ 1时， F(x)=P(X=0) =p
例1.
1 是不是某一随机变量的分布函数？ F ( x) 2 1 x
不是 例2.
因为F(+∞)=0 ≠1
设随机变量 的分布函数为： X x 1 0 0.4 1 x 1 F ( x) 0.8 1 x 3 1 x3 试求X的概率分布列。
x 1 0 0 .4 1 x 1 F ( x) 0.8 1 x 3 1 x3
· x3
x
用分布函数表示事件的概率
F(x)=P(X≤x)
1. 2. P(X ≤ b)
F (b)
1 F (b)
P(X > b) =1－P(X ≤ b) 3. P(a<X ≤ b) = P(X ≤ b) －P(X ≤ a) 4. P(X =a) = P(X ≤ a) － P(X ≤ a－0)
F (b) F (a )
F(x)=P(X≤x)
P ( X ) 0
P( X x1 ) p1
P( X x1 ) P( X x 2 ) p1 p2
P ( X x k ) pk
k 1 k 1 n 1 n 1
xn-1≤x<xn xn≤x<+
1
F ( x)
Distribution Function
2.2.1 分布函数的定义
定义2.2.1 设X为一随机变量,则对任意实数x， {X ≤ x}是一个随机事件，称
F(x) = P {X ≤ x}
为随机变量X 的分布函数
定义域 值域
x∈（－∞，＋∞）
F(x) ∈［０，１］
F(x) = P {X ≤ x}
X