湖南省攸县一中高一数学《函数的表示法》学案
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3.1.2 函数的表示法(第一课时)教学设计一、对教材内容的理解分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.让学生通过函数的不同表示,更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用;在研究图象时,要充分利用图象特征,借助数形结合解决问题.分段函数较难理解,可借助初中接触到的绝对值的概念,去绝对值符号,化为熟悉的知识.二、教学目标1.了解函数的三种表示方法,在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数2.了解简单的分段函数,掌握分段函数图象的画法3.初步感受数形结合思想在解决问题中的优越性三、教学重、难点重点:函数的三种表示方法 难点:分段函数四、数学素养、数形结合观念,直观想象能力,抽象思维能力五、教学过程(一)【温故知新】1.回顾函数的概念,进一步强化函数的定义是判断一个对应关系是否为函数的依据2.当0a ≥时,a = ;当0a <时,a =【设计意图】通过函数概念中的“某种确定的对应关系”的表示方法即为函数的表示法引出本节课题,a 的值为后面画图象做准备.(二)引入新课:师:展示第一节函数概念学习中提到的三个问题:[问题1]此问题中路程S 与运行时间t 间的对应关系用什么方法表示的?[问题2]此问题中空气质量指数与任一时刻t h 间的对应关系用什么方法表示的?[问题3]此问题中恩格尔系数r 与年份y 间的对应关系用什么方法表示的?生:体会函数的三种表示方法【设计意图】通过学生已经学习过的实际问题,结合初中学过的知识,引出函数的三种表示方法并给出定义.(三) 自主探究探究一:课本例4三种表示方法的应用师:展示例题,要求学生自主思考并完成导学案. 生:回答用解析法如何表示. 师:结合学生的回答情况,强调用解析法表示函数时,要注明定义域.师:观察例4中的函数图象的特点,它与一次函数5()y x x R =∈的图象有什么区别?图象中的那几个点可以连起来吗? 生:讨论并回答师:点评原因,并给出几个图形,判断是否为函数图象,并追问判断一个图形是不是函数图象的依据是什么?师:比较函数的三种表示方法,它们各自的特点是什么?所有函数都能用解析法表示吗?列表法与图象法呢?请你举出实例加以说明.师生活动:通过例4及前面提到的例子,一起总结归纳三种表示方法的特点.师:点明解析法和图象法是以后常用到的函数的表示方法,并提出由解析式画图象,由图象写解析式是同学们应该必备的能力.探究二:课本例5 分段函数师:如何做出函数y x =的图象?生:自己看课本,然后讨论交流总结你认为该如何画该函数的图象.师:提问学生,根据学生的回答情况进行点评总结,对分段函数进行简要的归纳,并点明分段函数需注意的问题.【设计意图】对学生来说,该函数是新知识点,而且不容易理解,与其教师长篇大论侃侃而谈,学生却不知所以然,不如让学生通过自学先自行解决能解决的,然后通过讨论碰撞出解决问题的方法,从而激发他们探究新知识的潜能。
一.复习目标1.知道函数的零点与方程根的联系;2.理解用二分法求方程的近似解二.知识要点 1)方程的根与函数的零点:如果函数)(x f y =在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么,函数)(x f y =在区间 (a , b ) 内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也就是方程0)(=x f 的根。
(2)二分法:二分法主要应用在求函数的变号零点当中,牢记二分法的基本计算步骤,即基本思路为:任取两点x 1和x 2,判断(x 1,x 2)区间内有无一个实根,如果f (x 1)和f (x 2)符号相反,说明(x 1,x 2)之间有一个实根,取(x 1,x 2)的中点x ,检查f (x )与f (x 1)是否同符号,如果不同号,说明实根在(x ,x 1)区间,这样就已经将寻找根的范围减少了一半了.然后用同样的办法再进一步缩小范围,直到区间相当小为止.三.例题教学例1: 求函数y =x 3-2x 2-x +2的零点例2:借助计算器或计算机,用二分法求方程732=+x x 在区间(1,2)内的近似解(精确到0.1)。
例3.证明:函数225()1x f x x -=+在区间(2,3)上至少有一个零点。
例4.若方程0x a x a --=有两个实数解,则a 的取值范围是( )A (1,)+∞B (0,1)C (0,2)D (0,)+∞四.巩固练习1.函数f(x)=2x+7的零点为 ( )A 、7B 、27C 、27- D 、-72.方程01=-xx 的一个实数解的存在区间为 ( ) A 、(0,1) B 、(0.5,1.5) C 、(-2,1) D 、(2,3)3.设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间( )A (1,1.25)B (1.25,1.5)C (1.5,2)D 不能确定4.某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回b 千米(b <a ),再前进c 千米,则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是( )5.函数23)(2+-=x x x f 在区间(1,2)内的函数值为( )A 、大于等于0B 、等于0C 、大于0D 、小于06.方程012=-+x x 的实数解的个数为________________。
1.2.2 表示函数的方法1.表示函数的方法(1)把一个函数的对应法则和定义域交待清楚的办法,就是表示函数的方法;(2)表示函数的三种主要方法分别是:解析法、图象法和列表法.2.解析法(1)解析式:把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子,叫作解析式,也叫作解析表达式或函数关系式.(2)解析法就是用解析式来表示函数的方法.3.图象法函数图象的作图过程通常有列表、描点、连线三个步骤.预习交流1每一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗?提示:不一定,有的函数无法用图象法和列表法表示,而有的函数却不能用解析法来表示.预习交流2表示函数的三种方法的优缺点是什么?你能总结一下吗?一、求函数的解析式某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.为了使租地建仓库的费用最低,需要把租地和建仓库的总费用表示为仓库到车站距离的函数.(1)试写出总费用与仓库到车站距离的函数解析式;(2)求出当仓库到车站的距离为2千米、5千米、15千米时的总费用.思路分析:总费用等于土地占用费y 1与库存货物运费y 2之和.而y 1与仓库到车站距离成反比,y 2与仓库到车站距离成正比,因此可先根据距离为10千米时的两个费用值,求出两个比例系数,再相加即得.解:(1)用y 表示租地建仓库的总费用,用x 表示仓库到车站的距离.则y =y 1+y 2,且y 1=k 1x,y 2=k 2x . 又∵当x =10时,y 1=2,y 2=8,∴2=k 110,8=10k 2,解得k 1=20,k 2=45,即y 1=20x ,y 2=45x .因此y =20x +45x ,显然x >0.故总费用与仓库到车站的距离的解析式是y =20x +45x (x >0).(2)当x =2时,y =202+45×2=11.6,当x =5时,y =205+45×5=8,当x =15时,y =2015+45×15=403.即当仓库到车站的距离分别为2千米,5千米,15千米时的总费用分别是11.6万元,8万元和403万元.一个矩形的周长是20,则该矩形的面积y 与其中一条边的长度x 之间的函数关系式是__________.答案:y =-x 2+10x (0<x <10)解析:由于矩形的一条边长为x ,则另一条边长为20-2x2=10-x ,于是矩形的面积y =x (10-x )=-x 2+10x ,且依题意应有x >0且10-x >0,所以0<x <10.1.根据实际问题建立函数关系式时首先要设出相关的变量,然后将实际问题中的等量关系用已知的数据和设出的变量符号来表示,就可得到相应的函数关系式.2.写出函数的解析式时,一般要注明该函数的定义域,即自变量x 的取值的集合,对实际问题,往往还要结合问题的实际意义对变量x 的取值加以限制.根据下列条件求相应的函数解析式f (x ):(1)已知f (x +1)=x 2-3x +2;(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x =x 2+1x2;(3)已知f (x )是一次函数,且f (f (f (x )))=8x +7.思路分析:(1)令x +1=t ,代入f (x +1)=x 2-3x +2可得f (x );(2)将x 2+1x2变形,使其变为关于x +1x的形式,可得f (x );(3)设出f (x )=kx +b ,代入已知等式,得关于k ,b 的方程组,求出k ,b 的值进而可得f (x ).解:(1)令x +1=t ,则x =t -1,将x =t -1代入f (x +1)=x 2-3x +2,得f (t )=(t -1)2-3(t -1)+2=t 2-5t +6,∴f (x )=x 2-5x +6.(2)f ⎝⎛⎭⎪⎫x +1x =x 2+1x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 2-2,∴f (x )=x 2-2.(3)设f (x )=kx +b (k ≠0),则f (f (x ))=k (kx +b )+b =k 2x +kb +b .∴f (f (f (x )))=f (k 2x +kb +b )=k (k 2x +kb +b )+b=k 3x +k 2b +kb +b =8x +7.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 3=8,k 2b +kb +b =7,解得k =2,b =1. ∴f (x )=2x +1.根据下列条件,求相应的函数解析式f (x ).(1)f (x -2)=12x ;(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x =x +1x;(3)f (x )是一次函数,且f [-f (x )]=-4x -1. 解:(1)令x -2=t 得x =t +2,∴f (t )=12(t +2)=12t +1,故f (x )=12x +1;(2)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x +1x =x +1x =(x )2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 2-2,故f (x )=x 2-2;(3)设f (x )=ax +b (a ≠0),∴f [-f (x )]=f [-ax -b ]=a (-ax -b )+b =-a 2x -ab +b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧-a 2=-4,-ab +b =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =-13.故f (x )=2x +1或f (x )=-2x -13.求函数的解析式常用以下方法:1.若不清楚函数类型,比如已知f[g(x)]的解析式,求f(x)的解析式,可采用配凑法和换元法,配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式,进而求出f(x)的解析式;换元法可令g(x)=t及解出x,即用t表示x,然后代入f[g(x)]中即可求得f(t),从而求得f(x).2.若已知函数类型,可用待定系数法求解,若f(x)是一次函数,可设f(x)=kx+b(k≠0),若f(x)是二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),然后利用题目中的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数.二、列表法表示函数在学校的洗衣店中每洗一次衣服(4.5公斤以内)需要付费4元,但在这家店洗衣10次可以免费洗一次.(1)(2)费用c思路分析:(1)可根据题意依次计算并填写;(2)可按照函数的定义进行判断.解:(1)(2)费用c这是因为对次数n的每一个取值,都对应唯一的一个洗衣费用c,但对于每一个洗衣费用c,有时可能会有两个n的对应值,如c=40时,n=10或11,因此次数n不是洗衣费用c的函数.已知函数f(x),g(x)则g(f(2))=________;f(g(2))=________.答案:1 3解析:f(2)=3,g(2)=2,∴g(f(2))=g(3)=1,f(g(2))=f(2)=3.列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需计算.三、函数的图象作出下列函数的图象:(1)f(x)=-x+1,x∈Z;(2)f(x)=1x2,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,3.思路分析:对于(1),要注意其定义域是整数集,因此图象不再是一条直线,而是直线上一些孤立的点;(2)对于(2),可利用列表、描点、连线的方法画出图象.解:(1)由于函数定义域为Z,所以其图象是一次函数y=-x+1的图象上的一些孤立的点,如图(1);(2)列表如下:根据表中数据在直角坐标系中描点,连线,即可得到函数f(x)=1x2,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,3的图象,如图(2).图(1)图(2)作出下列函数的图象:(1)y =1x(-2≤x ≤2且x ≠0);(2)y =-2x +4(x ≤0).解:(1)函数y =1x (-2≤x ≤2,且x ≠0)的图象是由双曲线y =1x(x ≠0)上的两段组成的,如图(1).(2)函数y =-2x +4(x ≤0)的图象是一条射线,如图(2).图(1)图(2)1.函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.2.作函数图象,需首先确定函数的定义域,定义域决定了函数图象的端点是什么.3.一般用描点法作函数的图象,作图时要先找出关键“点”,再连线.1.y 与x 成反比,且当x =2时,y =1,则y 关于x 的函数关系式为( ).A .y =1xB .y =-1xC .y =2xD .y =-2x答案:C解析:因为y 与x 成反比,可设y =k x ,依题意得1=k 2,所以k =2,于是y =2x,选C . 2.购买某种饮料x 听,所需钱数为y 元,若每听2元,用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( ).A .y =2xB .y =2x (x ∈R )C .y =2x (x ∈{1,2,3,…}) D.y =2x (x ∈{1,2,3,4})答案:D解析:函数定义域为{1,2,3,4},故应选D .3.如图是张大爷晨练时的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象,若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( ).答案:D解析:由图可知,在AB段,张大爷晨练时的离家距离y值不变,则他散步行走的路线只能是选项D中的圆弧部分.4答案:{-数?为什么?解:零售量y是月份t的函数,因为对于数集A={1,2,3,…,11,12}中每一个确定的月份t,根据表可知,都有唯一确定的零售量y和它对应;反过来,月份t不是零售量y的函数,因为对于零售量36在数集A={1,2,3,…,11,12}中有两个月份3,12和它对应,这不符合函数的定义.。
高一数学教案:函数的表示方法【】鉴于大家对查字典数学网十分关注,小编在此为大家整理了此文高一数学教案:函数的表示方法,供大家参考! 本文题目:高一数学教案:函数的表示方法2.1.2 函数的表示方法(一)【学习目标】:掌握函数的三种表示方法(列表法,解析法,图象法),及其互相转化;理解分段函数的概念。
【教学过程】:一、复习引入:回顾初中学过的函数及其表示方法二、新课讲授:函数的三种表示方法:列表法:解析法:图象法:三、典例欣赏例1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元。
若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为x(x{1,2,3,4})的函数,并指出函数的值域。
例2.某市出租汽车收费标准如下:在以内(含)路程按起步价7元收费,超过以外的路程按2.4元收费,试写出收费额关于路程的函数的解析式。
回顾小结:分段函数(1) 概念:(2) 理解:练习与思考:考虑例2中所求得的函数解析式,回答下列问题:(1)函数的定义域是_______________.(2)若x = 8,则y =_______________;若y = 11.8,则x=_______________.(3)画出函数的图像.(4)函数的值域是_______________.例3.(1)已知,求。
(2)已知函数,若。
例4.如图是边长为2的正三角形,这个三角形在直线左侧部分的面积为y,求函数的解析式,并画出的图象.例5.作出函数的图象,并求函数的定义域与值域。
【反思小结】:【针对训练】:班级姓名学号1.物体从静止开始下落,下落的距离与下落时间的平方成正比。
已知开始下落的内,物体下落了,则开始下落的内物体下落的距离是2. 已知函数,则=3.已知函数则4. 已知,试写出从集合A到集合B的两个函数5.请写出三个不同的函数解析式,满足。
6.建造一个容积为、深为的长方形无盖水池,如果池底与池壁的造价分别为和,则总造价(元)与关于底面一边长( )的函数解析式是,且此函数的定义域是7.函数的定义域为8. 设函数,则= .9.若一个函数满足,则满足该条件的一个函数解析式是10.(1)作出函数y=2x2+|x2-1|的图象。
高一数学课堂学案班级 小组 姓名________ 使用时间______年______月______日 编号 必修1-9 第 1 页学 案 内 容阅读记录课 题函数的表示方法编制 修改审核审批目标 导学 1.通过解决问题1,2,3,能用三种方法表示函数,通过阅读教材认识分段函数。
2.通过应用1,2认识取整函数和阶梯函数,体会分段函数的实质。
重点难点重点:函数的解析法、图象法 难点:对分段函数的理解和应用。
自 学 质 疑 学 案阅读记录 学 案 内 容说明:根据个人实际情况,可选择以下两种学习方式: 一、先根据学案上的问题有目的阅读课本,然后可以先做学案再看微课,亦可以先看微课再完成学案教材自学1:(阅读课本38~40例2之前部分,完成以下内容)问题1:馒头的单价是0.5元,卖 x 个馒头得钱y 元,刚5岁的儿童暑期帮父母卖馒头,只要你说出购买个数,他就能准确说出钱数,其秘笈如右图,儿童的秘笈是用 法表示的函数,试用其它两种表示方法表示该函数。
问题2:再阅读课本39页“思考与讨论”请总结检验一个图形是函数图像的方法?问题3:每个函数都可以用三种方法表示?举例分析三者的优缺点?练习:用描点法画出函数y x 的图像,并指出其定义域、值域在表格和图像中的体现。
第 4 页在线自测1.下列图像表示函数图像的个数是()A 0B 1C 2D 32.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<-=)41()10(2)0()(2xxxxxxf,则[(0)]f f=()A 2B 4C -4D -23.已知函数()nfy=,满足()11,f=,且()()1(1),f n n f n n N++=+∈.,则()4f=()A 120B 24C 6D 24.用长为30cm的铁丝围成矩形,试将矩形面积S(2cm)表示为矩形一边长()x cm的函数,则函数解析式为()A 215(030)x x x-+<< B 2230(030)x x x-+<<C 215(015)x x x-+<< D 2230(015)x x x-+<<答案:BCBC。
高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
学习目标
1. 了解函数的表示方法;
2. 掌握函数解析式的多种求法.
预习导学
1. 函数的三种表示方法: 、 、
2. 函数的三种表示法对比:
课堂讲义
一、重难点:函数解析式的多种求法
方法1:待定系数法求函数解析式
.)(14))(()(.1的解析式,求满足如果一次函数例x f x x f f x f -=
变式训练:
1.()(1)()29,()f x f x f x x f x +-=+已知是一次函数,且满足3求的解析式
2.()(0)0,
(1)()2,()f x f f x f x x f x =+-=已知是二次函数,且满足求的解析式
方法2:换元法(或配凑法)求函数解析式
例2.
方法3:构造方程组法求函数解析式
例3. ()()+2(-)=1,()f x f x f x x f x +若满足关系式求的解析式
变式训练:1()3()+2()4,()f x f x f x f x x
=设满足求的解析式
二、规律总结:
求函数解析式的常用方法:
1. 待定系数法:
2. 换元法:
3. 配凑法:
4. 构造方程组法:
三、课堂小结:
这节课主要学习了哪些内容?
四、作业:
变式训练:已知f (x+1)=x 2-3x+2,求f (x )的解析式; 已知f (x -1)=x 2-4x+2,求f (x )的解析式;。
3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法【学习目标】理解函数的表示法:(1)知道解析法、图象法与列表法是函数表示的三种常用方法,但函数的表示不局限于这三种表示法,并能说明不是任意函数都可以用解析法、图象法与列表法表示;(2)对于具体函数,能选择适当的方法将其表示出来;(3)对一些简单函数,能根据函数的解析式画出函数图象.◆知识点函数的三种表示方法1.函数的三种表示方法表示法定义解析法用表示两个变量之间的对应关系列表法列出来表示两个变量之间的对应关系图象法用表示两个变量之间的对应关系2.三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观,而且并不是所有的函数都可以用解析法表示列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法直观形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个函数都可以用图象法表示.( )(2)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.( )(3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同.( )(4)若f(x+1)=3x+2,则f(x)=3x-1.( )(5)函数f(x)=3x-1,x∈[1,5]的图象是直线.( )◆探究点一函数的表示方法例1某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求该彩电的销售量x(台)与收款额y(元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.变式 已知函数f (x ),g (x )分别由下表给出:x 4 5 6 7 f (x )7645x 3 4 5 6 g (x )4654下列能满足g [f (x )]<f [g (x )]的x 的值是 ( )A .3B .4C .5D .7[素养小结]理解函数表示法的三个要点:(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方法表示函数,都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.◆ 探究点二 函数的图象例2 作出下列函数的图象.(1)y=2x+1,x ∈[0,2]; (2)y=2x ,x ∈[2,+∞); (3)y=x 2+2x ,x ∈[-2,2].变式 作出下列函数的图象:(1) y=|x+3|;(2)y={-x 2+4x -3,x >0,0,x =0,x 2+4x +3,x <0.[素养小结]1.一般地,作函数图象有以下三个步骤:(1)列表.(2)描点.(3)连线.2.作函数图象时应注意以下几点:(1)在定义域内作图;(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点和与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.拓展已知一对变量x,y满足图3-1-2中的函数关系.请你编写一个问题情景,使问题中出现的变量x,y满足图中的函数关系.图3-1-2◆探究点三函数解析式的求法角度一待定系数法求解析式例3 (1) 设f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x-1.若f(3)=-5,则f(x)的解析式为( )或f(x)=-2x+1A.f(x)=2x-13B.f(x)=-2x+1C.f(x)=2x-13D.f(x)=2x+1(2) 已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=-2x2-2x+1B.f(x)=-2x2+2x+1C.f(x)=-2x2-2x-1D.f(x)=2x2-2x+1变式 (1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,则f(x)=.(2) [2023·杭州十四中高一期末] 若函数f(x)为一次函数,且f(x+1)=f(x)-2,f(1)=0,则函数f(x)的解析式为.[素养小结]已知函数f (x )的类型,如是一次函数、二次函数等,即可设出f (x )的解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.角度二 换元法(或配凑法)求解析式例4 (1)已知函数f (x )满足f (x-1)=xx+1,则函数f (x )的解析式为 .(2)已知f (√x +1)=x+2√x ,则f (x )的解析式为 .变式 (1)已知f (√x +1)=2x+3,求f (x ).(2)已知f (x+2)=2x+3,求f (x ).[素养小结]已知f [g (x )]=h (x )求f (x )的解析式,常用的方法有两种:(1)换元法,即令t=g (x ),解出x ,代入h (x )得到一个含t 的解析式,即为函数f (x )的解析式,注意换元后新元的取值范围. (2)配凑法,即从f [g (x )]的解析式中配凑出“g (x )”,即用g (x )来表示h (x ),然后将解析式中的g (x )用x 代替即可得f (x )的解析式.注意g (x )的取值范围即为f (x )的定义域.角度三 方程组法求函数解析式例5 (1)已知函数f (x )满足2f (x )+f (-x )=3x+4,则f (x )= .(2)已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f (1x )·√x -1,求f (x )的解析式.变式 (1)已知af (x )+f (-x )=bx ,其中a ≠±1,求f (x )的解析式.(2)已知f (x )-2f (1x )=3x+2,求f (x )的解析式.[素养小结]已知f (x )与f (1x)或f (-x )之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式构成方程组,通过解方程组求出f (x ).3.1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法【课前预习】知识点1.解析式 表格 图象 诊断分析(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)有些函数是不能画出图象的,如f (x )={1,x ∈Q ,-1,x ∈∁ R Q .(2)如f (x )=1x 的图象就不是连续的曲线. (3)两函数的定义域不同,则图象不同. (4)因为f (x+1)=3x+2=3(x+1)-1,所以f (x )=3x-1.(5)y=3x-1为一次函数,其图象是一条直线,因为f (x )的定义域为[1,5],所以f (x )的图象为线段.【课中探究】探究点一例1 解:列表法:x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 30006000900012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000图象法:解析法:y=3000x ,x ∈{1,2,3,…,10}.变式 C [解析] 对于A,当x=3时,f (3)无意义,故A 不符合题意;对于B,当x=4时,f (4)=7,而g [f (4)]=g (7)无意义,故B 不符合题意;对于C,当x=5时,f (5)=6,g (5)=5,∴g [f (5)]=g (6)=4,f [g (5)]=f (5)=6,则g [f (5)]<f [g (5)],故C 符合题意;对于D,当x=7时,g (7)无意义,故D 不符合题意.故选C .探究点二例2 解:(1)列表:x 0 1 2 y135描点、连线,y=2x+1,x ∈[0,2]的图象如图所示.(2)列表:x 2 3 4y 1 2312描点、连线,y=2x,x∈[2,+∞)的图象如图所示.(3)列表:x-2 -1 0 1 2y0 -1 0 3 8 描点、连线,y=x2+2x,x∈[-2,2]的图象如图所示.变式解:(1)y=|x+3|的定义域为R,列表:x-4 -3 -2 -1 0y 1 0 1 2 3描点、连线,y=|x+3|的图象如图所示.(2)函数的图象是两段抛物线与一点,列表:x-3 -2 -1 0 1 2 3y0 -1 0 0 0 1 0描点、连线,函数的图象如图所示.拓展 解:李老师从距离学校12千米的图书馆骑电动自行车去学校,前6分钟以不变的速度走了2千米,遇到同事交谈了2分钟后加快速度匀速赶往学校,总共用了28分钟到达学校.x (分钟)表示李老师出发后的时间,y (千米)表示李老师与学校的距离.探究点三例3 (1)B (2)A [解析] (1)设f (x )=kx+b ,其中k ≠0,则f [f (x )]=k (kx+b )+b=k 2x+(kb+b )=4x-1,所以{k2=4,kb +b =-1,解得{k =-2,b =1或{k =2,b =-13.当k=-2时,f (x )=-2x+1,此时f (3)=-5,符合题意;当k=2时,f (x )=2x-13,此时f (3)=173,不符合题意.综上所述,f (x )=-2x+1.故选B .(2)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),因为f (0)=1,所以c=1,又f (x-1)-f (x )=4x ,所以a (x-1)2+b (x-1)+1-(ax 2+bx+1)=4x ,即-2ax+a-b=4x ,故{-2a =4,a -b =0,解得a=b=-2,则f (x )的解析式为f (x )=-2x 2-2x+1.故选A .变式 (1)x 2-2x-1 (2)f (x )=-2x+2 [解析] (1)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),则f (x+1)+f (x-1)=a (x+1)2+b (x+1)+c+a (x-1)2+b (x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x ,则{2a =2,2b =-4,2a +2c =0,解得{a =1,b =-2,c =-1,故f (x )=x 2-2x-1.(2)设f (x )=kx+b ,k ≠0,∵f (x+1)=f (x )-2,∴k (x+1)+b=kx+b-2,得k=-2,又f (1)=b-2=0,∴b=2,故f (x )=-2x+2.例4 (1)f (x )=x+1x+2(x ≠-2) (2)f (x )=x 2-1(x ≥1) [解析] (1)令t=x-1,则x=t+1,∴f (t )=t+1t+1+1=t+1t+2(t ≠-2),∴f (x )的解析式为f (x )=x+1x+2(x ≠-2).(2)f (√x +1)=x+2√x =(√x +1)2-1,令t=√x +1≥1,则f (t )=t 2-1(t ≥1),所以f (x )=x 2-1(x ≥1).变式 解:(1)令t=√x +1≥1,则x=(t-1)2,所以f (t )=2(t-1)2+3=2t 2-4t+5(t ≥1),故f (x )=2x 2-4x+5(x ≥1). (2)因为f (x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以f (x )=2x-1.例5 (1)3x+43 [解析] ∵2f (x )+f (-x )=3x+4①,∴2f (-x )+f (x )=-3x+4②,由①②可得f (x )=3x+43. (2)解:在f (x )=2f (1x )·√x -1中,用1x 代替x ,得f (1x )=2f (x )·√1x -1. 由{f (x )=2f (1x )·√x -1,f (1x )=2f (x )·√1x -1,消去f (1x )得f (x )=23√x +13(x>0). 变式 解:(1)在已知等式中,用-x 替换x ,得af (-x )+f (x )=-bx ,由{af (x )+f (-x )=bx ,af (-x )+f (x )=-bx ,消去f (-x ),得f (x )=bx a -1,故f (x )的解析式为f (x )=b a -1x.(2)在已知等式中,用1x 替换x ,得f (1x )-2f (x )=3x+2,由{f (1x )-2f (x )=3x+2,f (x )-2f (1x)=3x +2,消去f (1x ),得f (x )=-x-2x -2,故f (x )的解析式为f (x )=-x-2x-2(x ≠0).。
函数的表示法(第2课时)教学设计一、内容和内容解析1.内容实际问题中的函数表示.2.内容解析数学教育的终极目标是让学生:会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界.其中“会用数学的语言表达世界”体现的是数学的应用价值,即利用数学模型解决实际问题.通过第1课时的学习,学生已基本掌握了函数的三种表示法及其特点,并且初步体会了在具体的问题(分段函数)中如何选择适当的表示法解决数学问题.那么,如何选择适当的表示法解决实际问题呢?通过本节课的学习,学生应有所体会.在本节课中不仅可以进一步研究函数本身,将实际问题数学化,应用函数解决实际问题,而且可以加深对函数概念的理解,学会比较选择最优解法.例7是关于数学成绩的问题,贴近学生生活,体现了列表法向图象法的转化,通过对三名同学成绩的简单分析,学生可进一步体会图象法的直观性,可提倡学生用科学的方法看待自身成绩.例8是2019年国家热点问题——个税的新计算方式.函数以列表法给出,可通过对条件的分析,转化成解析法和图象法,体现了分段函数的应用价值.基于以上分析,确定本节课的教学重点:选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.二、目标和目标解析1.目标选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.2.目标解析达成上述目标的标志是:学生会正确选择合适的表示法解决教科书例7、例8所示的问题,结合例7,例8的学习,初步体会建立函数模型解决实际问题的过程,发展数学建模素养。
三、教学问题诊断分析经过义务教育阶段的数学学习,学生对具体数学知识和问题的求解比较熟悉,而解决带有情境的实际问题的能力相对欠缺,于是新版教材专门对前版教材结构进行了调整,搭建了两个与学生密切相关、应用性很强的实际问题情境,对其进行合理分析,培养学生选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系的能力.对于例7,可能有的同学觉得表3.1-4包含了三名同学的6次成绩数据,已经很直观了,教师可进行相应解释:列表法虽然具有“不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值”的优点,但是不利于发现每位同学的成绩变化情况,以及与班级平均分的关系,换句话说仍然不够直观.学生一般可自然想到更加直观的表示方式——图象法.但是当学生们在同一直角坐标系中画出了三位同学6次成绩及班级6次平均分共24个散点时,问题随之而来——无法区分每个散点数据属于哪个学生,其直观性更是无从谈起.于是教师可进行相应引导:为了更容易看出一个同学的学习情况,我们将表示每位同学成绩的函数图象(离散的点)用虚线连接.在此基础上,可进一步引导学生对三名同学的数学学习情况进行分析.对于例8,学生首先面对的问题就是对题目的理解.带有情境的实际问题往往篇幅略长,因此需要给学生充足的时间读懂题目,明确研究对象,理清题中变量间的关系,是解决问题的前提和保障.之后就需要依据题目建立适当的数学模型,解决问题.本题是分段函数模型,每一段都是一次函数,相对简单,但要注意分段时自变量取值的原则——不重不漏.四、教学支持条件分析本节课的教学重点是选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.可借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具做出函数图象,用图象法表示函数,对问题进行直观分析.五、教学过程设计引导语:对于一个具体的问题,如果涉及函数,你会选择恰当的方法表示问题中的函数关系吗?这节课我们通过两个实例来做相关研究.(一)实际问题问题1:表3.1-4是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.你能直接通过表3.1-4对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析吗?师生活动:教师给出问题后让学生先简单独立思考并尝试写出结论,大部分同学无法直接通过表3.1-4所给数据分析这三位同学在高一学年的数学学习情况.如有个别同学提出可以,教师可提醒:表3.1-4不太容易分析每位同学的成绩变化情况,不够直观,因而会制约结论的形成.追问:你选择哪种表示法分析这三位同学在高一学年的数学学习情况?为什么?学生会首先想到图象法.教师让学生在同一直角坐标系中画出与表3.1-4所对应的函数图象,并让学生尝试利用图象得出结论.面对毫无规律的24个散点,学生基本没有头绪.此时教师可做适当引导:为了更容易看出一个同学的学习情况,我们将表示每位同学成绩的函数图象(离散的点)用虚线连接.并用多媒体展示教科书第70页图3.1-6,然后让学生分组讨论,分享自己眼中的结论.最后教师找几位学生代表回答与补充,得出结论.设计意图:问题1是架设学生熟悉的数学成绩情境,引导学生直接通过列表法无法直观的看出学生成绩的变化情况,不要直接利用表格做出一些并不准确的结论,而应另寻他法;追问是为了启发学生主动选择更加直观的图象法解决问题,培养从列表法转到图象法表示函数的能力.正确合理地做出图象,问题就解决了一半.问题2:(教科书第71页练习1)下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事.(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学;(2)我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;(3)我从家出发后,心情轻松,一路缓缓加速行进.师生活动:教师可在多媒体上展示问题,让学生独立完成,然后找学生回答.对于选项C,可给出参考:我从家出发后,发现时间还早,于是慢慢放缓了脚步.设计意图:培养学生将实际情境转化成数学图象的能力,训练思维与表达能力.问题3:依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数. ①应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除. ②其中,“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元.税率与速算扣除数见表3.1-5.(1)设全年应纳税所得额为应缴纳个税税额为你能求出y=f(t)并画出图象吗?(2)小王全年综合所得收入额为189 600元,假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是52 800元,依法确定其他扣除是4 560元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税?师生活动:给学生充足的时间阅读题目,理清计算应缴纳个税税额的计算步骤.之后可将教科书第71页前三行用PPT展示,帮助学生了解解题脉络.(1)教师用PPT展示个税计算公式及表3.1-5,给学生适当时间阅读思考.之后可进行如下追问.追问:由表3.1-5第二列,你认为y=f(t)是什么函数?学生基本都可回答出是分段函数.教师可板书y=f(t)的前两段,带领学生感受求解析式的过程,后几段可让学生自己完成,注意提示最后写成分段函数的规范形式(大括号、范围不重不漏),并让学生自己画出相应图象,之后可利用多媒体将学生代表的图象放到屏幕上展示,最终确定正确结果.(2)利用之前明确的计算步骤,结合第(1)问的解析式,让学生自己解决剩余问题.设计意图:帮助学生读懂题目,提高学生的数学阅读能力,以及将实际问题数学化的能力;引导学生将表3.1-5的函数表示方式转化成解析式的方式,建立多元表示之间的联系。
湖南省攸县一中高一数学《函数的表示法》学案
教学目标:
1. 掌握函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法;
2. 能根据实际应用问题列出函数的解析式及定义域;
3. 通过具体事例了解简单的分段函数,并能简单应用. 一、自主学习
(一)阅读教材(P 19--23) (二)预习自测
1.已知函数错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
;
2.已知函数错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
.
3.已知买一只茶杯3元,买3只以上总价钱可以优惠1元,买x 只(错误!未找到引用源。
)茶杯的总价钱y 是x 的函数错误!未找到引用源。
:
①用解析法可将错误!未找到引用源。
表示为 。
②用列表法可将错误!未找到引用源。
表示为 。
③用图像法可将错误!未找到引用源。
表示为。
4.设A 、B 是两个非空集合,如果按照某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 元素x ,在集合B 中都有 的元素y 与之对应,那么就称对应错误!未找到引用源。
为集合A 到集合B 的一个映射。
5.设错误!未找到引用源。
,下列对应方式是M 到N 的映射的
有 ,是N 到M 的映射的
有 。
x -1 -2 0 1 2 错误!未找
到引用源。
2 1 -2 0 2
1 2 3
a b c
A
M 错误!未找到引用
源。
N
1 2 3
a b c
B
M 错误!未找到引用源。
N
一、合作学习
例1 作出下列函数的图象: (1) 错误!未找到引用源。
; (2)错误!未找到引用源。
。
例 2 函数错误!未找到引用源。
在闭区间[-1,2]上的图象如图所示,试求此函数的解析式。
三、合作探究
某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)。
如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。
1 2 3
a b c C
M 错误!未找到引用源。
N 1 2 3
a b c
D
M 错误!未找到引用源。
N
x 2
1 2
3 y 四、 知识小结
1. 函数的三种表示法: 、 、 ;
2. 画函数图象时,不仅要依据解析式还要注意 ,对于分段函数的图象则需要分
段画。
五、反馈练习
姓名: 班级 1.设集合错误!未找到引用源。
,从A 到B 的映射共有 个; 2.函数错误!未找到引用源。
的图象如图所示: (1)函数错误!未找到引用源。
的定义域是什么? (2)函数错误!未找到引用源。
的值域是什么? (3)r 取何值时,只有唯一的p 值与之对应?
3. 已知错误!未找到引用源。
,若错误!未找到引用源。
,则a 的值为 ;
4.根据函数错误!未找到引用源。
的图象(如图所示), 写出它的解析式错误!未找到引用源。
= ;
5.作出函数错误!未找到引用源。
的图象。
6.某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售,每天可卖出100个。
已知这种商品的销售单价每上涨1元,销售量就减少10个.
(1)求销售利润y 关于销售单价x 的函数解析式及定义域; (2)求销售单价为13元时的销售利润;
(3)如果销售利润为360元,那么销售单价上涨了几元?
7.已知函数错误!未找到引用源。
,
(1)求错误!未找到引用源。
;
(2)若错误!未找到引用源。
,求a的值。