2019-2020学年河南省郑州一中高三(上)期中数学试卷(文科)

2019-2020学年河南省郑州一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 若x>0、y>0，则x+y>1是x2+y2>1的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】取特殊值得到反例，从而说明充分性不成立；利用不等式的性质加以证明，可得必要性成立．由此即可得到本题的答案．【解答】先看充分性可取x＝y=23，使x+y>1成立，而x2+y2>1不能成立，故充分性不能成立；若x2+y2>1，因为x>0、y>0，所以(x+y)2＝x2+y2+2xy>x2+y2>1∴x+y>1成立，故必要性成立综上所述，x+y>1是x2+y2>1的必要非充分条件2. 如果复数m2+i1−mi是实数，则实数m＝（）A.−1B.1C.−√2D.√2【答案】A【考点】复数的运算【解析】把给出的复数分子分母同时乘以1+mi，化为a+bi(a, b∈R)的形式，由虚部等于0可求m的值．【解答】m2+i 1−mi =(m2+i)(1+mi)(1−mi)(1+mi)=m2−m+(1+m3)i1+m2=m2−m1+m2+1+m31+m2i．∵m2+i1−mi是实数，则1+m3＝0，所以m＝−1．3. 平面直角坐标系xOy中，已知A(1, 0)，B(0, 1)，点C在第二象限内，∠AOC=5π6，且|OC|＝2，若OC→=λOA→+μOB→，则λ，μ的值是（）A.√3，1B.1，√3C.−1，√3D.−√3，1【答案】D【考点】平面向量的坐标运算 平行向量（共线） 向量的概念与向量的模 【解析】由题意可得点C 的坐标，进而可得向量OC →的坐标，由向量相等可得{−√3=1×λ+μ×01=0×λ+μ×1 ，解之即可． 【解答】∵ 点C 在第二象限内，∠AOC =5π6，且|OC|＝2，∴ 点C 的横坐标为x C ＝2cos5π6=−√3，纵坐标y C ＝2sin5π6=1，故OC →=(−√3, 1)，而OA →=(1, 0)，OB →=(0, 1)，由OC →=λOA →+μOB →可得{−√3=1×λ+μ×01=0×λ+μ×1，解得{λ=−√3μ=1 ，4. 具有相关关系的两个量x ，y 的一组数据如表，回归方程y ^=0.67x +54.9，则m ＝（ ）【答案】 C【考点】求解线性回归方程 【解析】根据回归方程y ^=0.67x +54.9必过回归中心坐标(x,y)，即可求解m 的值． 【解答】样本平均数x =15(10+20+30+40+50)=30，当x =30入回归方程y ^=0.67x +54.9，可得y =75， ∴ y =75=15(62+m +75+81+84)，解得：m ＝685. 要得到函数y ＝sin(2x −π3)的图象，只需将函数y ＝−cos(2x −π)的图象（ ）A.向左平移π6个单位B.向左平移5π12个单位C.向右平移5π12个单位D.向右平移π3个单位【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的诱导公式，将函数y＝−cos(2x−π)化简得y＝sin(2x+π2)，再根据函数图象平移的公式加以计算，即可得到答案．【解答】将函数y＝−cos(2x−π)化简，得y＝cos2x＝sin(2x+π2)，记f(x)＝sin(2x+π2)，∵函数y＝sin(2x−π3)＝[2(x−5π12)+π2]＝f(x−5π12)，∴将函数f(x)＝sin(2x+π2)的图象向右平移5π12个单位，可得函数y＝sin(2x−π3)的图象．由此可得将函数y＝−cos(2x−π)的图象向右平移5π12个单位，可得函数y＝sin(2x−π3)的图象．6. 根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图（如图）．若样本容量为500个，则交通指数在[5, 7)之间的个数是（）A.223B.222C.200D.220【答案】D【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布直方图先求出交通指数在[5, 7)之间的频率，由此能求出交通指数在[5, 7)之间的个数．【解答】由频率分布直方图得交通指数在[5, 7)之间的频率为：(0.24+0.2)×1＝0.44，∴交通指数在[5, 7)之间的个数为500×0.44＝220．7. 若x>0，y>0，则√x+y√x+√y的最小值为（）A.√2B.1C.√22D.12【答案】C【考点】基本不等式及其应用【解析】平方后利用基本不等式的性质即可得出．【解答】∵x>0，y>0，∴t=√x+y√x+√y>0．∴t2=x+y+2√xy ≥x+yx+y+x+y=12，∴t≥√22，当且仅当x＝y时取等号．∴√x+y√x+√y 的最小值为√22．8. 已知椭圆的中心在原点，离心率e=12，且它的一个焦点与抛物线y2=−4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.x24+y23=1 B.x28+y26=1C.x22+y2=1 D.x24+y2=1【答案】A【考点】椭圆的离心率抛物线的标准方程椭圆的标准方程【解析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=−4x的焦点为(−1, 0)，∴c=1，由离心率e=12可得a=2，∴b2=a2−c2=3，故椭圆的标准方程为x24+y23=1，故选A．9. 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条经过焦点F的弦，AB与两坐标轴不垂直，已知点M(−1, 0)，∠AMF＝∠BMF，则p的值是（）A.12B.1C.2D.4【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】由题意画出图象作AC⊥x轴、BD⊥x轴，设AB的直线方程y＝k(x−p2)(k≠0)，A(x1, y1)、B(x2, y2)，联立直线方程和抛物线方程消去y，由韦达定理求出x1+x2和x1x2式子，由∠AMF＝∠BMF得tan∠AMF＝tan∠BMF，由图象得ACMC =BDMD，用A、B的坐标表示出线段的长，把求出的式子代入化简，列出关于p的方程再化简求值．【解答】如右图作AC⊥x轴，BD⊥x轴，设AB的直线方程为：y＝k(x−p2)(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立{y=k(x−p2)y2=2px，得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0，则x1+x2=k2p+2pk2，x1x2=p24，∵∠AMF＝∠BMF，∴tan∠AMF＝tan∠BMF，即ACMC =BDMD，不妨设x1>p2，x2<p2，则AC＝|y1|＝|k(x1−p2)|＝|k|(x1−p2)，BD＝|y2|＝|k(x2−p2)|＝|k|(p2−x2)，且MC＝x1+1，MD＝x2+1，代入ACMC =BDMD得，|k|(x1−p2)x1+1=|k|(p2−x2)x2+1，化简得，2x1x2+(x1+x2)(1−p2)−p＝0，则2×p24+k2p+2pk2(1−p2)−p=0，化简得2−pk2=0，得p＝2．10. 执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A.2018B.2019C.12D.2【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y＝2019时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解【解答】模拟执行程序框图，可得x＝2，y＝0．满足条件y<2019，执行循环体，x＝−1，y＝1；满足条件y<2019，执行循环体，x=12，y＝2；满足条件y<2019，执行循环体，x＝2，y＝3；满足条件y<2019，执行循环体，x＝−1，y＝4；…观察规律可知，x的取值周期为3，由于2019＝673×3，可得：满足条件y<2019，执行循环体，当x＝2，y＝2019，不满足条件y<2019，退出循环，输出x的值为2．11. 若函数f(x)＝x2+e x−12(x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.(−∞,√e)B.√e)C.√e √e) D.(−√e,√e)【答案】A【考点】已知函数的单调性求参数问题函数的对称性【解析】由题意可得e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈(−∞, 0)，满足x02+e x0−12=(−x0)2+ln(−x0+a)，即e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0−12−ln(−x0+a)也趋近于负无穷大，且函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，∴ℎ(0)＝e0−12−lna>0，∴lna<ln√e，∴a<√e，∴a的取值范围是(−∞, √e).故选A.12. 已知双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（）A.|OB|＝e|OA|B.|OA|＝e|OB|C.|OB|＝|OA|D.|OA|与|OB|关系不确定【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|−|PF2|＝2a，转化为|AF1|−|AF2|＝2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】F1(−c, 0)、F2(c, 0)，内切圆与x轴的切点是点A∵|PF1|−|PF2|＝2a，及圆的切线长定理知，|AF1|−|AF2|＝2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|(x+c)−(c−x)|＝2a∴x＝a；|OA|＝a，在三延长F2B交PF1于点C，角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC＝PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=12CF1=12(PF1−PC)=12(PF1−PF2)=12×2a＝a．∴|OB|＝|OA|．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）数列1,12,12,13,13,13,14,14,14,14,⋯的前100项的和等于________．【答案】19114【考点】数列的求和 【解析】根据数列中项为1n 的项数为n ，可得第91项为113，从第92项至第100项均为114，由此可得结论． 【解答】由题意，数列中项为1n 的项数为n ，则 ∵ 1+2+3+4+ (13)13×(1+13)2=91∴ 第91项为113，从第92项至第100项均为114 ∴ 数列的前100项的和等于13+114×9=19114在棱长都相等的三棱锥中，已知相对两棱中点的连线长为√2，则这个三棱锥的棱长等于________． 【答案】 2【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】画出图形，通过求解三角形求解三棱锥的棱长． 【解答】由题意可知几何体如图：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AC ＝BD ＝x ， 相对两棱中点的连线长为√2，EF =√2，所以在三角形ABF 中，AF ＝BF =√32x ，所以EF 2＝AF 2−AE 2，可得：2=34x 2−14x 2，解得x ＝2．设P 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|的值为________．【答案】 7【考点】双曲线的离心率 【解析】 由双曲线x 2a 2−y 29=1的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，求出a ，由双曲线的定义求出|PF 2|． 【解答】 ∵ 双曲线x 2a 2−y 29=1的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，∴ 可得32=3a ，∴ a ＝2．∵ |PF 1|＝3，∴ 由双曲线的定义可得||PF 2|−3|＝4，∴ |PF 2|＝7，已知函数f(x)=|sin(ωx +π4)|(ω>1)在(π,54π)上单调递减，则实数ω的取值范围是________． 【答案】 [54, 74] 【考点】正弦函数的单调性 【解析】根据x ∈(π, 5π4)时求出ωx +π4的取值范围，由正弦函数的图象与性质列出不等式组求实数ω的取值范围． 【解答】当x ∈(π, 5π4)时，ωπ+π4<ωx +π4<5π4ω+π4，由函数f(x)=|sin(ωx +π4)|(ω>1)在(π,54π)上单调递减， 则{ωπ+π4≥3π2ω⋅5π4+π4≤2π， 解得54≤ω≤75；所以实数ω的取值范围是[54, 74]．三、解答题（本大题共7题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）已知{a n }是等差数列，a 3＝7，且a 2+a 6＝18．若b n =√a +√a ．（1）求数列{a n }通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】{a n }是公差为d 的等差数列，a 3＝7，且a 2+a 6＝18． 可得a 1+2d ＝7，2a 1+6d ＝18， 解得a 1＝3，d ＝2，则a n ＝3+2(n −1)＝2n +1， b n =√a +√a =√2n+1+√2n+3=12(√2n +3−√2n +1)， 前n 项和T n =12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n +3−√2n +1) =12（(√2n +3−√3)． 【考点】数列递推式 数列的求和 【解析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得b n =√a +√a =√2n+1+√2n+3=12(√2n +3−√2n +1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【解答】{a n }是公差为d 的等差数列，a 3＝7，且a 2+a 6＝18． 可得a 1+2d ＝7，2a 1+6d ＝18， 解得a 1＝3，d ＝2，则a n ＝3+2(n −1)＝2n +1， b n =√a +a =√2n+1+√2n+3=12(√2n +3−√2n +1)，前n 项和T n =12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n +3−√2n +1) =12（(√2n +3−√3)．已知点A(2, 0)，B(0, −2)，F(−2, 0)，设∠AOC ＝α，α∈[0, 2π)，其中O 为坐标原点． (Ⅰ)设点C 到线段AF 所在直线的距离为√3，且∠AFC =π3，求α和线段AC 的大小； (Ⅱ)设点D 为线段OA 的中点，若|OC →|=2，且点C 在第二象限内，求M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cosα的取值范围．【答案】（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则CE =√3 在直角三角形FCE 中，FC =CEsin∠CFE =2， 又OF ＝2，∠OFC =π3，所以△OFC 为正三角形 所以∠FOC =π3，从而α=π−∠FOC =2π3，或α=π+∠FOC =4π3⋯在△AFC 中，AC =√AF 2+CF 2−2AF ⋅CFcos∠AFC =√42+22−2×2×4×12=2√3⋯（2）∵ A(2, 0)，点D 为线段OA 的中点，∴ D(1, 0) ∵ |OC →|=2且点C 在第二象限内， ∴ C(2cosα, 2sinα)，α∈(π2,π)⋯从而DC →=(2cosα−1, 2sinα)，BC →=(2cosα, 2sinα+2)， OA →=(2, 0)，OB →=( 0, −2)．则M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α＝−4√3sinαcosα+4cos 2α ＝−2√3sin2α+2(1+cos2α)＝4cos(2α+π3)+2，因为α∈(π2, π)，所以，2 α+π3∈(4π3, 7π3)，从而−12<cos(2α+π3)≤1， 所以M 的取值范围为(0, 6]． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 余弦定理 【解析】(Ⅰ)过C 作AF 的垂线，垂足为E ，由条件求得∠FOC =π3，从而求得α，在△AFC 中，由余弦定理求得AC 的值．(Ⅱ)由条件求得DC →、OB →、OA →的坐标，化简 M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α的解析式为4cos(2α+π3)+2，再根据α的范围，根据余弦函数的定义域和值域求得M 的范围． 【解答】（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则CE =√3 在直角三角形FCE 中，FC =CEsin∠CFE =2， 又OF ＝2，∠OFC =π3，所以△OFC 为正三角形 所以∠FOC =π3，从而α=π−∠FOC =2π3，或α=π+∠FOC =4π3⋯在△AFC 中，AC =√AF 2+CF 2−2AF ⋅CFcos∠AFC =√42+22−2×2×4×12=2√3⋯（2）∵ A(2, 0)，点D 为线段OA 的中点，∴ D(1, 0) ∵ |OC →|=2且点C 在第二象限内， ∴ C(2cosα, 2sinα)，α∈(π2,π)⋯从而DC →=(2cosα−1, 2sinα)，BC →=(2cosα, 2sinα+2)， OA →=(2, 0)，OB →=( 0, −2)．则M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α＝−4√3sinαcosα+4cos 2α ＝−2√3sin2α+2(1+cos2α)＝4cos(2α+π3)+2，因为α∈(π2, π)，所以，2 α+π3∈(4π3, 7π3)，从而−12<cos(2α+π3)≤1， 所以M 的取值范围为(0, 6]．如图，四面体ABCD ，AB ＝BC ＝4，AC =BD =4√2，AB ⊥CD ，∠BCD ＝90∘．（1）若AC 中点是M ，求证：BM ⊥面ACD ；（2）若P 是线段AB 上的动点，Q 是面BCD 上的动点，且线段PQ ＝2，PQ 的中点是N ，求动点N 的轨迹与四面体ABCD 围成的较小的几何体的体积． 【答案】证明：由题意，AB ＝BC ＝4，AC ＝4√2，很明显△ABC 是等腰直角三角形． 又∵ BC ＝4，BD ＝4√2，∠BCD ＝90∘．∴ △BCD 是等腰直角三角形． ∴ CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴ CD ⊥面ABC ．∵ BM ⊂面ABC ，∴ CD ⊥BM ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，M 为AC 中点， ∴ BM ⊥AC ， ∴ BM ⊥面ACD ．由题意，以B 为原点，过点B 垂直于BD 方向为x 轴，BD 所在的直线为y 轴， BA 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，可设P(0, 0, z P )，Q(x Q , y Q , 0)，N(x, y, z)． ∵ N 是PQ 的中点， ∴ x =x Q2，y =y Q2，z =z P 2，即{x Q =2xy Q =2y z P =2z ．∵ PQ →=(x Q , y Q , z P )，∴ |PQ|＝|PQ →|=√x Q 2+y Q 2+z P 2=2，将{x Q =2xy Q =2y z P =2z代入上式，即√(2x)2+(2y)2+(2z)2=2．整理，得x 2+y 2+z 2＝1．∵ 由题意易知点N 在四面体ABCD 的内部，∴ 动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面． 根据四面体ABCD 的结构可知动点N 的轨迹为116的球面．动点N 的轨迹与四面体ABCD 围成的较小的几何体的体积V =116⋅43π⋅13=112π． 【考点】 轨迹方程 【解析】本题第（1）题先根据题意得出CD ⊥面ABC ，然后根据BM ⊂面ABC ，得到CD ⊥BM ．再证明BM ⊥AC ，即可证明线面垂直；第（2）题通过建立空间直角坐标系将几何问题解析法，通过得出动点N 的轨迹方程为x 2+y 2+z 2＝1得到动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面，即可得到体积． 【解答】证明：由题意，AB ＝BC ＝4，AC ＝4√2，很明显△ABC 是等腰直角三角形． 又∵ BC ＝4，BD ＝4√2，∠BCD ＝90∘．∴ △BCD 是等腰直角三角形． ∴ CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴ CD ⊥面ABC ．∵ BM ⊂面ABC ，∴ CD ⊥BM ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，M 为AC 中点， ∴ BM ⊥AC ， ∴ BM ⊥面ACD ．由题意，以B 为原点，过点B 垂直于BD 方向为x 轴，BD 所在的直线为y 轴， BA 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，可设P(0, 0, z P )，Q(x Q , y Q , 0)，N(x, y, z)． ∵ N 是PQ 的中点， ∴ x =x Q2，y =y Q2，z =z P 2，即{x Q =2xy Q =2y z P =2z ．∵ PQ →=(x Q , y Q , z P )，∴ |PQ|＝|PQ →|=√x Q 2+y Q 2+z P 2=2，将{x Q =2xy Q =2y z P =2z代入上式，即√(2x)2+(2y)2+(2z)2=2．整理，得x 2+y 2+z 2＝1．∵ 由题意易知点N 在四面体ABCD 的内部，∴ 动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面． 根据四面体ABCD 的结构可知动点N 的轨迹为116的球面．动点N 的轨迹与四面体ABCD 围成的较小的几何体的体积V =116⋅43π⋅13=112π．设M(2, 1)是椭圆x 2a2+y 2b 2=1上的点，F 1，F 2是焦点，离心率e =√22． （1）求椭圆的方程；（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)是椭圆上的两点，且x 1+x 2＝2r ，（r 是定数），问线段AB 的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】 因为e =c a=√22，所以c 2=12a 2，则b 2=12a 2，把M(2, 1)代入得4a 2+2a 2=1，解得a 2＝6，所以椭圆的方程为x 26+y 23=1；设直线AB 的斜率为k ，中点M(2, t)，将A 、B 坐标代入得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，所以k =y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2，即k =−12t ，所以t =−12k ，又因为AB 的垂直平分线的斜率为−1k ，故垂直平分线的方程为y −t =−1k (x −2)， 即y +12k =−1k (x −2)，所以y =−1k x +32k =−1k (x −3)，则该直线必过定点(3, 0) 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（1）利用M 在椭圆上及离心率可求得椭圆方程；（2）表示出直线AB 的方程及中点M 坐标，再利用A 、B 在椭圆上代入可求的k 的表达式，进而表示出垂直平分线的方程即可求得其过定点． 【解答】因为e =c a =√22，所以c 2=12a 2，则b 2=12a 2，把M(2, 1)代入得4a 2+2a 2=1，解得a 2＝6，所以椭圆的方程为x 26+y 23=1；设直线AB 的斜率为k ，中点M(2, t)，将A 、B 坐标代入得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，所以k =y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2，即k =−12t ，所以t =−12k ，又因为AB 的垂直平分线的斜率为−1k ，故垂直平分线的方程为y −t =−1k (x −2)， 即y +12k =−1k (x −2)，所以y =−1k x +32k =−1k (x −3)， 则该直线必过定点(3, 0)已知函数f(x)＝alnx +x 2．（1）若a ＝−4，求f(x)在x ∈[1, e]时的最值；（2）若a >0，∀x 1，x 2∈[1, e]时，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤|2020x 1−2020x 2|，求实数a 的范围． 【答案】当a ＝−4时，f(x)＝−4lnx +x 2，f ′(x)=2x 2−4x=2(x+√2)(x−√2)x，当x ∈(0, √2)时，f ′(x)<0；当x ∈(√2, e]时，f ′(x)>0． ∴ f(x)的单调递减区间为(0, √2)，单调递增区间为(√2, e]， f(√2)min ＝2−ln4，f(e)max ＝e 2−4． 若a >0，x ∈[1, e]，f ′(x)=2x 2+a x>0，f(x)在区间[1, e]上是增函数，函数y =2020x是减函数，不妨设1≤x 1≤x 2≤e ， 由已知，f(x 2)−f(x 1)≤2020x 1−2020x 2，所以f(x 2)+2020x 2≤f(x 1)+2020x 1，设g(x)＝f(x)+2020x=alnx +x 2+2020x ，x ∈[1, e]，则g(x)在区间[1, e]是减函数，g(x)=ax +2x −2020x 2≤0在[1, e]上恒成立，所以a ≤2020x−2x 2=ℎ(x)，ℎ′(x)=−2020x 2−4x <0在[1, e]上恒成立，ℎ(x)单调递减，ℎ(e)min =2020e−2e 2，所以a ≤2020e−2e 2， 故0<a ≤2020e−2e 2．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）令a＝−4，代入用导数法判断单调性并求出最值；（2）根据题意，构造函数g(x)，判断函数的单调性，变为恒成立问题，参数分类，求出即可．【解答】当a＝−4时，f(x)＝−4lnx+x2，f′(x)=2x2−4x =2(x+√2)(x−√2)x，当x∈(0, √2)时，f′(x)<0；当x∈(√2, e]时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递减区间为(0, √2)，单调递增区间为(√2, e]，f(√2)min＝2−ln4，f(e)max＝e2−4．若a>0，x∈[1, e]，f′(x)=2x2+ax >0，f(x)在区间[1, e]上是增函数，函数y=2020x是减函数，不妨设1≤x1≤x2≤e，由已知，f(x2)−f(x1)≤2020x1−2020x2，所以f(x2)+2020x2≤f(x1)+2020x1，设g(x)＝f(x)+2020x =alnx+x2+2020x，x∈[1, e]，则g(x)在区间[1, e]是减函数，g(x)=ax +2x−2020x2≤0在[1, e]上恒成立，所以a≤2020x −2x2=ℎ(x)，ℎ′(x)=−2020x2−4x<0在[1, e]上恒成立，ℎ(x)单调递减，ℎ(e)min=2020e−2e2，所以a≤2020e−2e2，故0<a≤2020e−2e2．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：{x=1+tcosθy=√3+tsinθ，t为参数，θ∈[0, π)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．（1）在直角坐标系xOy中，求圆C的圆心的直角坐标；（2）设点P(1, √3)，若直线l与圆C交于A，B两点，求证：|PA|⋅|PB|为定值，并求出该定值．【答案】圆C的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．转换为直角坐标方程为：x2+y2−4x−4√3y=0，转换为标准式为：圆(x−2)2+(y−2√3)2=16，所以圆心的直角坐标为(2, 2√3)．将直线l 的参数方程为：{x =1+tcosθy =√3+tsinθ，t 为参数，θ∈[0, π)． 代入(x −2)2+(y −2√3)2=16，所以：t 2−(2√3sinθ+2cosθ)t −12=0，（点A 、B 对应的参数为t 1和t 2）， 则：t 1t 2＝−12，故：|PA||PB|＝|t 1t 2|＝12． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 【解答】圆C 的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2−4x −4√3y =0， 转换为标准式为：圆(x −2)2+(y −2√3)2=16， 所以圆心的直角坐标为(2, 2√3)．将直线l 的参数方程为：{x =1+tcosθy =√3+tsinθ，t 为参数，θ∈[0, π)． 代入(x −2)2+(y −2√3)2=16，所以：t 2−(2√3sinθ+2cosθ)t −12=0，（点A 、B 对应的参数为t 1和t 2）， 则：t 1t 2＝−12，故：|PA||PB|＝|t 1t 2|＝12．设函数f(x)＝|x +1|+|x −a|(x ∈R)（1）当a ＝2时，求不等式f(x)>5的解集；（2）对任意实数x ，都有f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】当a ＝2时，f(x)＝|x +1|+|x −2|>5， 当x ≥2时x +1+x −2>5，可得x >3；当−1≤x <2时x +1−x +2>5，解得x ∈⌀， 当x <−1时−x −1+x −2>5，解得x <−2； 综上：x ∈(−∞, −2)∪(3, +∞) ……………|x +1|+|x −a|≥|a +1|，对任意实数x ，都有f(x)≥3恒成立， ∴ |a +1|≥3，解得a ≥2或a ≤−4．…………… 【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式恒成立的问题 【解析】（1）通过a ＝2，结合x 的取值，去掉绝对值符号化简求解不等式即可． （2）利用绝对值的几何意义，转化不等式求解即可． 【解答】当a ＝2时，f(x)＝|x +1|+|x −2|>5， 当x ≥2时x +1+x −2>5，可得x >3；当−1≤x<2时x+1−x+2>5，解得x∈⌀，当x<−1时−x−1+x−2>5，解得x<−2；综上：x∈(−∞, −2)∪(3, +∞)……………|x+1|+|x−a|≥|a+1|，对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤−4．……………。

2019-2020学年河南省郑州市重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数()f x =的定义域是( ) A ．{|4}x x …B ．{|3}x x <C ．(-∞，1]D ．{|3}x x >-2．下列各式的运算结果为实数的是( ) A ．(1)i i -+B ．(1)i i -C ．(1)(1)i i +--D ．(1)(1)i i +-3．设集合2{|4}A x x =>，{|2}A B x x =<-，则集合B 可以为( )A ．{|3}x x <B ．{|31}x x -<<C ．{|1}x x <D ．{|3}x x >-4．函数2()(sin cos )f x x x =+的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π5．在平行四边形ABCD 中，(1,2)A ，(2,0)B -，(2,3)AC =-，则点D 的坐标为( ) A ．(6,1)B ．(6,1)--C ．(0,3)-D ．(0,3)6．若函数3()1||f x x x =++，则11(2)()(5)()(25f lg f lg f lg f lg +++= )A ．2B ．4C ．6D ．87．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，则(AB AC = ) A ．16-B ．16C ．9-D ．98．已知函数()sin f x x =和()g x =的定义域都是[π-，]π，则它们的图象围成的区域面积是( ) A ．πB ．22πC ．32πD ．3π9．函数()sin ||f x x ln x =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．若存在等比数列{}n a ，使得1231()69a a a a +=-，则公比q 的最大值为( )A B C D11．已知函数2()2cos (2))63f x x x ππ=+++，则下列判断错误的是( )A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的图象关于直线4x π=对称C ．()f x 的值域为[1-，3]D ．()f x 的图象关于点(8π-，0)对称12．已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()()x lnx f x f x +'<对1(,)x e∈+∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．2f （1）f >（e ） B ．2e f （1）f >（e ） C ．2f （1）f <（e ）D ．ef （1）f <（e ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知全集U R =，集合1{|P y x ==，01}x <<，则U P =ð ． 14．若函数()arcsin(1)cos()2xf x x π=--的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于另外两点P 、Q ，O 是坐标原点，则()OP OQ OA += ．15．若集合2{|(2)20A x x a x a =-++-<，}x Z ∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是 ．16．正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足2||OP =AP mAB nAD =+，其中m 、n R ∈，则2122m n ++的最大值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<部分图象如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()sin 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令,2,n n n S Cn b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数设数列{}n ð的前n 项和n T ，求2n T ．19．已知函数2()43f x x x a =-++，a R ∈；（1）若函数()y f x =在[1-，1]上存在零点，求a 的取值范围；（2）设函数()52g x bx b =+-，b R ∈，当3a =时，若对任意的1[1x ∈，4]，总存在2[1x ∈，4]，使得12()()g x f x =，求b 的取值范围．20．在ABC ∆中，3sin 2sin A =B，tan C = （1）证明：ABC ∆为等腰三角形．（2）若ABC ∆的面积为D 为AC 边上一点，且3BD CD =，求线段CD 的长．21．已知函数21()(1)2x f x x a e x ax =---+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若0[1x ∃∈，2]，0()0f x <，求a 的取值范围．22．若数列{}n a 、{}n b 满足1||(*)n n n a a b n N +-=∈，则称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”． （1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，求1231111lim()n nb b b b →∞+++⋯+的值； （3）设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”， 11a =，221n n a a -…且221n n a a +…，若||n a M …对任意*n N ∈恒成立，求实数M 的最小值．2019-2020学年河南省郑州市重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数()f x =的定义域是( ) A ．{|4}x x …B ．{|3}x x <C ．(-∞，1]D ．{|3}x x >-【解答】解：由()f x =40x -…，解得4x …， 所以函数()f x 的定义域为{|4}x x …． 故选：A ．2．下列各式的运算结果为实数的是( ) A ．(1)i i -+B ．(1)i i -C ．(1)(1)i i +--D ．(1)(1)i i +-【解答】解：(1)1i i i -+=-；(1)1i i i -=+；(1)(1)2i i i +--=；2(1)(1)1112i i i +-=-=+=， 故选：D ．3．设集合2{|4}A x x =>，{|2}A B x x =<-，则集合B 可以为( )A ．{|3}x x <B ．{|31}x x -<<C ．{|1}x x <D ．{|3}x x >-【解答】解：{|2A x x =<-，或2}x >； {|1}B x x ∴=<时，{|2}AB x x =<-．故选：C ．4．函数2()(sin cos )f x x x =+的最小正周期为( ) A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【解答】解：2()(sin cos )f x x x =+12sin cos x x =+1sin 2x =+，()f x ∴的最小正周期为22T ππ==． 故选：B ．5．在平行四边形ABCD 中，(1,2)A ，(2,0)B -，(2,3)AC =-，则点D 的坐标为( ) A ．(6,1)B ．(6,1)--C ．(0,3)-D ．(0,3)【解答】解：解：设(,)C x y ，(,)D s t ，则： (1,2)(2,3)AC x y =--=-； ∴1223x y -=⎧⎨-=-⎩； ∴31x y =⎧⎨=-⎩； (3,1)C ∴-；又AB DC =，(3,2)AB =--； (3s ∴-，1)(3t --=-，2)-； ∴3312s t -=-⎧⎨--=-⎩； ∴61s t =⎧⎨=⎩； ∴点D 的坐标为(6,1)．故选：A ．6．若函数3()1||f x x x =++，则11(2)()(5)()(25f lg f lg f lg f lg +++= )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：11(2)()(5)()25f lg f lg f lg f lg +++(2)(2)(5)(5)f lg f lg f lg f lg =+-++-333312(2)12(2)15(5)15(5)lg lg lg lg lg lg lg lg =+++++-++++++-42(25)lg lg =++ 6=．故选：C ．7．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，则(AB AC = ) A ．16-B ．16C ．9-D ．9【解答】解：90C ∠=︒， ∴0CB AC =．∴2()16AB AC CB CA AC AC =-==．故选：B ．8．已知函数()sin f x x =和()g x =的定义域都是[π-，]π，则它们的图象围成的区域面积是( ) A ．πB ．22πC ．32πD ．3π【解答】解：()g x =的图象为圆心为O 半径为π的圆的上半部分， sin y x =是奇函数，()f x ∴在[π-，0]上与x 轴围成的面积与在[0，]π上与x 轴围成面积相同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积32122S πππ==，故选：C ．9．函数()sin ||f x x ln x =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：()sin()||sin ||()f x x ln x xln x f x -=--=-=-， ∴函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于原点对称，故排除B ，C ，当x →+∞时，1sin 1x -剟，||ln x →+∞， ()f x ∴单调性是增减交替出现的，故排除，D ，故选：A ．10．若存在等比数列{}n a ，使得1231()69a a a a +=-，则公比q 的最大值为( )A B C D 【解答】解：1231()69a a a a +=-，2211()690a q q a ∴+-+=，当20q q +=时，易知1q =-，满足题意，当0q ≠，当20q q +≠，△23636()0q q =-+…q，0q ≠．q ∴ 故选：D ．11．已知函数2()2cos (2))63f x x x ππ=+++，则下列判断错误的是( )A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的图象关于直线4x π=对称C ．()f x 的值域为[1-，3]D ．()f x 的图象关于点(8π-，0)对称【解答】解：()1cos(4))12sin(4)12cos 43336f x x x x x ππππ=+++=+++=+，则A ，B ，C 均正确，D 错误． 故选：D ．12．已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()()x lnx f x f x +'<对1(,)x e∈+∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．2f （1）f >（e ）B ．2e f （1）f >（e ）C ．2f （1）f <（e ）D ．ef （1）f <（e ）【解答】解：由()()()x xlnx f x f x +'<，1(x e∈，)+∞，得1(1)()()0lnx f x f x x+'-<， 令()()1f x g x lnx=+，则21()(1)()()0(1)f x lnx f x x g x lnx '+-'=<+．∴故()g x 在1(e，)+∞递减；g ∴（e ）g <（1），即()(1)21f e f f <⇒（e ）2f <（1）． 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知全集U R =，集合1{|P y x==，01}x <<，则U P =ð (-∞，1] ． 【解答】解：由P 中1y x=，01x <<，得到1y >，即(1,)P =+∞， 全集U R =， (U P ∴=-∞ð，1]．故答案为：(-∞，1]14．若函数()arcsin(1)cos()2xf x x π=--的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于另外两点P 、Q ，O 是坐标原点，则()OP OQ OA += 2 ． 【解答】解：因为f （1）0=，()arcsin(1)cos()2xf x x π=--在区间[0，2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以点A 为(1,0)，P 、Q 两点关于点A 对称，所以2OP OQ OA +=， 所以2()22OP OQ OA OA +==， 故答案为：2．15．若集合2{|(2)20A x x a x a =-++-<，}x Z ∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是 12(,]23【解答】解：2(2)20x a x a -++-< 且0a >222(1)x x a x ∴-+<+令2()22f x x x =-+；()(1)g x a x =+ {|()()A x f x g x ∴=<，}x Z ∈()y f x ∴=是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线． 又x Z ∈，0a >．数形结合，可得：1223a <…． 故答案为：1(2，2]316．正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足2||OP =AP mAB nAD =+，其中m 、n R ∈，则2122m n ++的最大值是 1 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)D -，Pθ，)θ， 所以2(1AP θ=+，1)θ+，(2,0)AB =，(0,2)AD =， 又AP mAB nAD =+，所以2121m n θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，则2122m n +=+，其几何意义为过点(E -，-与点(cos ,sin )P θθ的直线的斜率，设直线方程为(y k x +=+， 点P 的轨迹方程为221x y +=， 由直线与圆的位置关系有：1，解得：7117k 剟， 即2122m n ++的最大值是1， 故答案为：1三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<部分图象如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()sin 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由函数()cos()f x A x ωϕ=+的部分图象知，1A =，7212122T πππ=-=， T π∴=，()f x 的最小正周期为π；由22T πω==，且12x π=时，()112f π=， 2012πϕ∴⨯+=，解得6πϕ=-，()f x ∴的解析式为()cos(2)6f x x π=-；（2）函数()()sin 2g x f x x =+ cos(2)sin 26x x π=-+32sin 22x x =+)6x π=+，当[0x ∈，]2π时，2[66x ππ+∈，7]6π，1sin(2)[62x π+∈-，1]，∴函数()g x 在区间[0,]2x π∈． 18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令,2,n n n S Cn b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数设数列{}n ð的前n 项和n T ，求2n T ．【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 由2210b S +=，5232a b a -=． 得61034232q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩，解得22d q =⎧⎨=⎩32(1)21n a n n ∴=+-=+，12n n b -=．（Ⅱ）由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+， 则n 为奇数，2112n n S n n ==-+ð，n 为偶数，12n n -=ð．21321242()()n n n T c c c c c c -∴=++⋯++++⋯+32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-+⋯+-+++⋯+-+12(14)221(41)2114213n n n n n -=-+=+-+-+．19．已知函数2()43f x x x a =-++，a R ∈；（1）若函数()y f x =在[1-，1]上存在零点，求a 的取值范围；（2）设函数()52g x bx b =+-，b R ∈，当3a =时，若对任意的1[1x ∈，4]，总存在2[1x ∈，4]，使得12()()g x f x =，求b 的取值范围．【解答】解：（1）2()43f x x x a =-++的函数图象开口向上，对称轴为2x =，()f x ∴在[1-，1]上是减函数，函数()y f x =在[1-，1]上存在零点， (1)f f ∴-（1）0…，即(8)0a a +…，解得：80a -剟． （2）3a =时，2()46f x x x =-+，()f x ∴在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，()f x ∴在[2，4]上的最小值为f （2）2=，最大值为f （4）6=．即()f x 在[2，4]上的值域为[2，6]． 设()g x 在[1，4]上的值域为M ，对任意的1[1x ∈，4]，总存在2[1x ∈，4]，使得12()()g x f x =， [2M ∴⊆，6]．当0b =时，()5g x =，即{5}M =，符合题意， 当0b >时，()52g x bx b =+-在[1，4]上是增函数， [5M b ∴=-，52]b +， ∴525260b b b -⎧⎪+⎨⎪>⎩……，解得102b <…．当0b <时，()52g x bx b =+-在[1，4]上是减函数， [52M b ∴=+，5]b -， ∴522560b b b +⎧⎪-⎨⎪<⎩……，解得10b -<…． 综上，b 的取值范围是1[1,]2-．20．在ABC ∆中，3sin 2sin A =B，tan C = （1）证明：ABC ∆为等腰三角形．（2）若ABC ∆的面积为D 为AC 边上一点，且3BD CD =，求线段CD 的长． 【解答】（1）证明：tan 0C =>，C ∴为锐角，且sin C =，1cos 3C =． 过A 做AH BC ⊥，垂足为H ，则cos 3bCH b C ==， 3sin 2sin A B =，32a b ∴=，即23b a =， H ∴是BC 的中点，又AH BC ⊥， AB AC ∴=，ABC ∴∆为等腰三角形．（2）解：sin AH b C ==112223ABC b S BC AH ∆∴=⨯⨯=⨯=， 解得3b =，2BC ∴=，在BCD ∆中，由余弦定理得22491cos 43CD CD C CD +-==，解得：CD =．21．已知函数21()(1)2x f x x a e x ax =---+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0[1x ∃∈，2]，0()0f x <，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）函数21()(1)2x f x x a e x ax =---+的定义域为R ， ()()()(1)x x f x x a e x a x a e '=--+=--．令()0f x '=，可得x a =，或0x =，①当0a <时，(x ∈-∞，)(0a ⋃，)+∞，()0f x '>，(,0)x a ∈，()0f x '<． ∴函数()f x 在(,)a -∞，(0,)+∞上递增，在(,0)a 递减；②当0a =时，()0f x '…恒成立，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上递增；③当0a >时，(x ∈-∞，0)(a ⋃，)+∞，()0f x '>，(0,)x a ∈，()0f x '<． ∴函数()f x 在(,0)-∞，(,)a +∞上递增，在(0,)a 递减；（2）设()x g x x e =-，()1x g x e '=-在[1，2]，()0g x '…恒成立，()g x ∴单调递减，()g x g …（1）10e =-< 可得0200001()0(1)02x f x x a e x ax <⇔---+<． 00020001()2x x x a x e x e x e ⇔-<+-． 0[1x ⇔∃∈，2]，使得020000012x x x x e x e a x e +->- 设212()x xxx e xe h x x e +-=-，[1x ∈，2]，221(1)()2()()x x x e x e h x x e --'=-， 设21()2x x x e ϕ=-，[1x ∈，2]，()0x x x e ϕ'=-<在[1，2]恒成立． ()x ϕ∴在[1，2]单调递减，()x ϕϕ∴…（1）102e =-<， ()0h x ∴'>在[1，2]恒成立．()h x ∴在[1，2]单调递增，()min h x h =（1）12(1)e =-综上，a 的取值范围为1(,)2(1)e +∞-22．若数列{}n a 、{}n b 满足1||(*)n n n a a b n N +-=∈，则称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”． （1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，求1231111lim()n nb b b b →∞+++⋯+的值； （3）设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”， 11a =，221n n a a -…且221n n a a +…，若||n a M …对任意*n N ∈恒成立，求实数M 的最小值．【解答】解：（1）{}n a 不一定为等差数列，如(1)n n a =-，则2n b =为常数列，但{}n a 不是等差数列，（2）设数列{}n a 的公比为q ，则由题意，1a 、q 均为正整数， 因为326a a -=，所以1(1)6123a q q -==⨯⨯， 解得113a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩，故13n n a -=或132(*)n n a n N -=⨯∈， ①当13n n a -=时，123n n b -=⨯，1111()23n n b -=， 1231111132lim()1413n n b b b b →∞+++⋯+==-； ②当132n n a -=⨯时，132n n b -=⨯，1111()32n n b -=， 1231111123lim()1312n n b b b b →∞+++⋯+==-； 综上，1231111lim()n nb b b b →∞+++⋯+的值为34或23；（3）由221n n a a -…且221n n a a +…得，11111(1)[6()]6(1)()22n n n n n n a a +++-=--=-+-故有：1116(1)()2n n n n a a ---=-+-，211216(1)()2n n n n a a -----=-+-，122116(1)()2a a ⋯⋯-=-+-，累加得：1212311116[(1)(1)(1)][()()()]222n n n a a --=-+-+⋯+-+-+-+⋯+-1111[1()]1[1(1)]4261212n n -------=⨯++1111()23[1(1)]6n n ----=---+， 又11a =，所以1*1*711()21,6622911()2,662n n n n m m N a n m m N --⎧--=-∈⎪⎪=⎨⎪---=∈⎪⎩为奇数，当n 为奇数时，{}n a 单调递增，0n a >，7lim 6n n a →∞=， 当n 为偶数时，{}n a 单调递减，0n a <，29lim 6n n a →∞=-， 从而29||6n a …，所以296M …，即M 的最小值为296．。

河南省郑州一中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−4<x<3}，B={x|x≤2}，则A∪B=()A. (−4,3)B. (−4,2]C. (−∞,2]D. (−∞,3)2.已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2−bi，则(a+bi)2等于()A. 3−4iB. 3+4iC. 4−3iD. 4+3i3.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于()A. 80B. 70C. 60D. 504.已知过拋物线y2=2px(p>0)焦点的最短弦长为4，则该拋物线的焦点坐标为()A. (1,0)B. (2,0)C. (0,1)D. (0,2)5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=12(|x−1|+|x−2|−3)，若∀x∈R，f(x−a)≤f(x)，则a的取值范围是()A. a≥3B. −3≤a≤3C. a≥6D. −6≤a≤66.已知向量a⃗=(2,4)，b⃗ =(m,−1)，若a⃗与2a⃗+b⃗ 共线，则实数m的值为()A. −14B. −1 C. −12D. −27.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是()A. [−π12,5π12] B. [−7π12,−112π] C. [−π12,7π12] D.[−7π12,5π12]8.若m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是()A. α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//nB. α⊥γ,β⊥γ⇒α//βC. α//β,m//n,m⊥α⇒n⊥βD. α∩β=m,β∩γ=n,m//n⇒α//β9. 某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为( )A. 3πB. √3π2C. 6πD. 12π10. 如图，已知双曲线的中心在坐标原点O ，左焦点为F ，C 是双曲线虚轴的下顶点，双曲线的一条渐近线OD 与直线FC 相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠ODF 的余弦值是( )A. √77B. 5√77C. √714D.5√71411. 执行如图的程序框图，如果输入的x 为3，那么输出的结果是( )A. 8B. 6C. 1D. −112. 已知函数f(x)={ln(x −2),x >20,x =2ln(2−x),x <2若f(x)≤|x −a|对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [1,3]B. [2,4]C. [1,2]D. [−1,1]二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）)x；②f(x)的图象关于直13.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足：①当x∈(0,1]时，f(x)=(12线x=1对称，则f(−log224)=______ ．14.(x2−ax+2y)5的展开式中x5y2的系数为240，则实数a的值为______15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=3，b=√6,A=π，则角C的大小为3 ______．三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16.在区间[1,6]内任取两个数x，y．(1)若x，y∈Z，求x+y>5的概率。

2019-2020学年河南省郑州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数()4f x x =-的定义域是( ) A ．{|4}x x …B ．{|3}x x <C ．(-∞，1]D ．{|3}x x >-2．（5分）下列各式的运算结果为实数的是( ) A ．(1)i i -+B ．(1)i i -C ．(1)(1)i i +--D ．(1)(1)i i +-3．（5分）设集合2{|4}A x x =>，{|2}A B x x =<-I ，则集合B 可以为( ) A ．{|3}x x <B ．{|31}x x -<<C ．{|1}x x <D ．{|3}x x >-4．（5分）函数2()(sin cos )f x x x =+的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 5．（5分）在平行四边形ABCD 中，(1,2)A ，(2,0)B -，(2,3)AC =-u u u r，则点D 的坐标为()A ．(6,1)B ．(6,1)--C ．(0,3)-D ．(0,3)6．（5分）若函数3()1||f x x x =++，则11(2)()(5)()(25f lg f lg f lg f lg +++= )A ．2B ．4C ．6D ．87．（5分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，则(AB AC =u u u r u u u rg )A ．16-B ．16C ．9-D ．98．（5分）已知函数()sin f x x =和22()g x x π=-的定义域都是[π-，]π，则它们的图象围成的区域面积是( ) A ．πB ．22πC ．32πD ．3π9．（5分）函数()sin ||f x x ln x =g的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．10．（5分）若存在等比数列{}n a ，使得1231()69a a a a +=-，则公比q 的最大值为( ) A 15+B 15+C 15-+D 15-+11．（5分）已知函数2()2cos (2)3sin(4)63f x x x ππ=++，则下列判断错误的是( )A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的图象关于直线4x π=对称C ．()f x 的值域为[1-，3]D ．()f x 的图象关于点(8π-，0)对称12．（5分）已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()()x xlnx f x f x +'<对1(,)x e∈+∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．2f （1）f >（e ） B ．2e f （1）f >（e ） C ．2f （1）f<（e ）D ．ef （1）f <（e ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）已知全集U R =，集合1{|,01}P y y x x==<<，则U P =ð ．14．（5分）若函数()arcsin(1)cos()2xf x x π=--的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于另外两点P 、Q ，O 是坐标原点，则()OP OQ OA +=u u u r u u u r u u u rg． 15．（5分）若集合2{|(2)20A x x a x a =-++-<，}x Z ∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是16．（5分）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足2||OP u u u r 若AP mAB nAD =+u u u r u u u r u u u r ，其中m 、n R ∈，则2122m n ++的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<部分图象如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()sin 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．18．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令,2,n n n S Cn b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数设数列{}n ð的前n 项和n T ，求2n T ．19．（12分）已知函数2()43f x x x a =-++，a R ∈；（1）若函数()y f x =在[1-，1]上存在零点，求a 的取值范围；（2）设函数()52g x bx b =+-，b R ∈，当3a =时，若对任意的1[1x ∈，4]，总存在2[1x ∈，4]，使得12()()g x f x =，求b 的取值范围．20．（12分）在ABC ∆中，3sin 2sin A =B ，tan 22C = （1）证明：ABC ∆为等腰三角形．（2）若ABC ∆的面积为2D 为AC 边上一点，且3BD CD =，求线段CD 的长． 21．（12分）已知函数21()(1)2x f x x a e x ax =---+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0[1x ∃∈，2]，0()0f x <，求a 的取值范围．22．（12分）若数列{}n a 、{}n b 满足1||(*)n n n a a b n N +-=∈，则称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”．（1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，求1231111lim()n nb b b b →∞+++⋯+的值； （3）设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”， 11a =，221n n a a -…且221n n a a +…，若||n a M …对任意*n N ∈恒成立，求实数M 的最小值．2019-2020学年河南省郑州市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解答】解：由()f x =，令40x -…，解得4x …， 所以函数()f x 的定义域为{|4}x x …． 故选：A ．【解答】解：(1)1i i i -+=-Q ；(1)1i i i -=+；(1)(1)2i i i +--=；2(1)(1)1112i i i +-=-=+=， 故选：D ．【解答】解：{|2A x x =<-，或2}x >；{|1}B x x ∴=<时，{|2}A B x x =<-I ．故选：C ．【解答】解：2()(sin cos )f x x x =+Q 12sin cos x x =+ 1sin2x =+，()f x ∴的最小正周期为22T ππ==． 故选：B ．【解答】解：解：设(,)C x y ，(,)D s t ，则： (1,2)(2,3)AC x y =--=-u u u r；∴1223x y -=⎧⎨-=-⎩；∴31x y =⎧⎨=-⎩；(3,1)C ∴-；又AB DC =u u u r u u u r ，(3,2)AB =--u u ur ；(3s ∴-，1)(3t --=-，2)-；∴3312s t -=-⎧⎨--=-⎩；∴61s t =⎧⎨=⎩；∴点D 的坐标为(6,1)．故选：A ．【解答】解：11(2)()(5)()25f lg f lg f lg f lg +++(2)(2)(5)(5)f lg f lg f lg f lg =+-++-333312(2)12(2)15(5)15(5)lg lg lg lg lg lg lg lg =+++++-++++++-42(25)lg lg =++6=．故选：C ．【解答】解：90C ∠=︒Q ， ∴0CB AC =u u u r u u u rg ．∴2()16AB AC CB CA AC AC =-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ．故选：B ．【解答】解：22()g x x π=-的图象为圆心为O 半径为π的圆的上半部分，sin y x =Q 是奇函数，()f x ∴在[π-，0]上与x 轴围成的面积与在[0，]π上与x 轴围成面积相同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积32122S πππ==g ， 故选：C ．【解答】解：()sin()||sin ||()f x x ln x xln x f x -=--=-=-， ∴函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于原点对称，故排除B ，C ，当x →+∞时，1sin 1x -剟，||ln x →+∞，()f x ∴单调性是增减交替出现的，故排除，D ，故选：A ．【解答】解：1231()69a a a a +=-Q ，2211()690a q q a ∴+-+=，当20q q +=时，易知1q =-，满足题意，当0q ≠，当20q q +≠，△23636()0q q =-+…q，0q ≠． q ∴． 故选：D ．【解答】解：()1cos(4))12sin(4)12cos43336f x x x x x ππππ=+++=+++=+，则A ，B ，C 均正确，D 错误． 故选：D ．【解答】解：由()()()x xlnx f x f x +'<，1(x e∈，)+∞，得1(1)()()0lnx f x f x x+'-<， 令()()1f x g x lnx =+，则21()(1)()()0(1)f x lnx f x x g x lnx '+-'=<+g． ∴故()g x 在1(e，)+∞递减；g ∴（e ）g <（1），即()(1)21f e f f <⇒（e ）2f <（1）． 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上． 【解答】解：由P 中1y x=，01x <<，得到1y >，即(1,)P =+∞， Q 全集U R =， (U P ∴=-∞ð，1]．故答案为：(-∞，1]【解答】解：因为f （1）0=，()arcsin(1)cos()2xf x x π=--在区间[0，2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以点A 为(1,0)，P 、Q 两点关于点A 对称，所以2OP OQ OA +=u u u r u u u r u u u r，所以2()22OP OQ OA OA +==u u u r u u u r u u u r u u u r g ，故答案为：2．【解答】解：2(2)20x a x a -++-<Q 且0a >222(1)x x a x ∴-+<+令2()22f x x x =-+；()(1)g x a x =+{|()()A x f x g x ∴=<，}x Z ∈()y f x ∴=是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线． 又x Z ∈Q ，0a >．数形结合，可得：1223a <…． 故答案为：1(2，2]3【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)D -，2(P θ，2)θ，所以2(cos1 APθ=+ u u ur，2sin1)θ+，(2,0)AB=u u u r，(0,2)AD=u u u r，又AP mAB nAD=+u u u r u u u r u u u r，所以22cos122sin1mnθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，则21cos2222sin32mnθθ++=++，其几何意义为过点(32E-，22)-与点(sin,cos)Qθθ的直线的斜率，设直线方程为22(32)y k x+=+，点Q的轨迹方程为221x y+=，由直线与圆的位置关系有：2|3222|11kk-+…，解得：7117k剟，即2122mn++的最大值是1，故答案为：1三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【解答】解：（1）由函数()cos()f x A xωϕ=+的部分图象知，1A=，7212122Tπππ=-=，T π∴=，()f x 的最小正周期为π；由22T πω==，且12x π=时，()112f π=，2012πϕ∴⨯+=，解得6πϕ=-，()f x ∴的解析式为()cos(2)6f x x π=-；（2）函数()()sin 2g x f x x =+ cos(2)sin 26x x π=-+3sin 22x x =+)6x π=+，当[0x ∈，]2π时，2[66x ππ+∈，7]6π，1sin(2)[62x π+∈-，1]，∴函数()g x 在区间[0,]2x π∈【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 由2210b S +=，5232a b a -=． 得61034232q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩，解得22d q =⎧⎨=⎩32(1)21n a n n ∴=+-=+，12n n b -=．（Ⅱ）由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+， 则n 为奇数，2112n n S n n ==-+ð， n 为偶数，12n n -=ð．21321242()()n n n T c c c c c c -∴=++⋯++++⋯+32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-+⋯+-+++⋯+-+12(14)221(41)2114213n n n n n -=-+=+-+-+．【解答】解：（1）2()43f x x x a =-++Q 的函数图象开口向上，对称轴为2x =，()f x ∴在[1-，1]上是减函数，Q 函数()y f x =在[1-，1]上存在零点，(1)f f ∴-（1）0…，即(8)0a a +…，解得：80a -剟．（2）3a =时，2()46f x x x =-+，()f x ∴在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增， ()f x ∴在[2，4]上的最小值为f （2）2=，最大值为f （4）6=． 即()f x 在[2，4]上的值域为[2，6]．设()g x 在[1，4]上的值域为M ，Q 对任意的1[1x ∈，4]，总存在2[1x ∈，4]，使得12()()g x f x =， [2M ∴⊆，6]．当0b =时，()5g x =，即{5}M =，符合题意，当0b >时，()52g x bx b =+-在[1，4]上是增函数， [5M b ∴=-，52]b +，∴525260b b b -⎧⎪+⎨⎪>⎩……，解得102b <…． 当0b <时，()52g x bx b =+-在[1，4]上是减函数， [52M b ∴=+，5]b -，∴522560b b b +⎧⎪-⎨⎪<⎩……，解得10b -<…．综上，b 的取值范围是1[1,]2-． 【解答】（1）证明：tan 0C =Q ，C ∴为锐角，且sin C ，1cos 3C =． 过A 做AH BC ⊥，垂足为H ，则cos 3b CH b C ==， 3sin 2sin A B =Q ，32a b ∴=，即23b a =， H ∴是BC 的中点，又AH BC ⊥，AB AC ∴=，ABC ∴∆为等腰三角形．（2）解：22sinb AH b C==，1122222223ABCb bS BC AH∆∴=⨯⨯=⨯⨯=，解得3b=，2BC∴=，在BCD∆中，由余弦定理得22491cos43CD CDCCD+-==，解得：731CD-=．【解答】解：（1）函数21()(1)2xf x x a e x ax=---+的定义域为R，()()()(1)x xf x x a e x a x a e'=--+=--．令()0f x'=，可得x a=，或0x=，①当0a<时，(x∈-∞，)(0a⋃，)+∞，()0f x'>，(,0)x a∈，()0f x'<．∴函数()f x在(,)a-∞，(0,)+∞上递增，在(,0)a递减；②当0a=时，()0f x'…恒成立，∴函数()f x在(,)-∞+∞上递增；③当0a>时，(x∈-∞，0)(a⋃，)+∞，()0f x'>，(0,)x a∈，()0f x'<．∴函数()f x在(,0)-∞，(,)a+∞上递增，在(0,)a递减；（2）设()xg x x e=-，()1xg x e'=-在[1，2]，()0g x'…恒成立，()g x∴单调递减，()g x g…（1）10e=-<可得0200001()0(1)02xf x x a e x ax<⇔---+<．00020001()2x x xa x e x e x e⇔-<+-．[1x⇔∃∈，2]，使得20000012x xxx e x eax e+->-设212()x xxx e xeh xx e+-=-，[1x∈，2]，221(1)()2()()x xxe x eh xx e--'=-，设21()2x x x e ϕ=-，[1x ∈，2]，()0x x x e ϕ'=-<在[1，2]恒成立． ()x ϕ∴在[1，2]单调递减，()x ϕϕ∴…（1）102e =-<， ()0h x ∴'>在[1，2]恒成立．()h x ∴在[1，2]单调递增，()min h x h =（1）12(1)e =- 综上，a 的取值范围为1(,)2(1)e +∞- 【解答】解：（1）{}n a 不一定为等差数列，如(1)n n a =-，则2n b =为常数列，但{}n a 不是等差数列，（2）设数列{}n a 的公比为q ，则由题意，1a 、q 均为正整数，因为326a a -=，所以1(1)6123a q q -==⨯⨯，解得113a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩， 故13n n a -=或132(*)n n a n N -=⨯∈，①当13n n a -=时，123n n b -=⨯，1111()23n n b -=， 1231111132lim()1413n n b b b b →∞+++⋯+==-； ②当132n n a -=⨯时，132n n b -=⨯，1111()32n n b -=， 1231111123lim()1312n n b b b b →∞+++⋯+==-； 综上，1231111lim()n n b b b b →∞+++⋯+的值为34或23； （3）由221n n a a -…且221n n a a +…得，11111(1)[6()]6(1)()22n n n n n n a a +++-=--=-+-g 故有：1116(1)()2n n n n a a ---=-+-g ，211216(1)()2n n n n a a -----=-+-g ， 122116(1)()2a a ⋯⋯-=-+-g ， 累加得：1212311116[(1)(1)(1)][()()()]222n n n a a --=-+-+⋯+-+-+-+⋯+-1111[1()]1[1(1)]4261212n n -------=⨯++ 1111()23[1(1)]6n n ----=---+， 又11a =，所以1*1*711()21,6622911()2,662n n n n m m N a n m m N --⎧--=-∈⎪⎪=⎨⎪---=∈⎪⎩为奇数， 当n 为奇数时，{}n a 单调递增，0n a >，7lim 6n n a →∞=，当n 为偶数时，{}n a 单调递减，0n a <，29lim 6n n a →∞=-，从而29||6n a …，所以296M …，即M 的最小值为296．。

郑州市高三上学期期中数学试卷（文科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·凌源模拟) 若集合，则（）A .B .C .D . 或2. （2分）复数的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·城关期中) 在中，“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知P为边长为2的正方形ABCD及其内部一动点，若△PAB，△PBC面积均不大于1，则取值范围是（）A . [,)B . （﹣1，2）C . (0,]D . [﹣1，1]5. （2分）在区间［－2,3］上任取一个数a，则函数f（x）＝x2－2ax＋a＋2有零点的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）椭圆的离心率等于（）．A .B .C .D .7. （2分）(2020·安阳模拟) 已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A .B .C .D . 18. （2分） (2016高一下·包头期中) 若 = ，则的值为（）A . ﹣B .C . 2D . ﹣29. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向左平移个长度单位10. （2分）(2017·邯郸模拟) 执行如图的程序框图，输出S的值为（）A . ln4B . ln5C . ln 5﹣ln4D . ln 4﹣ln 311. （2分）根据表格中的数据，可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（）x﹣10123ex﹣x﹣2﹣0.63﹣1﹣0.28 3.3915.09A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）12. （2分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=x+1，则f（2016）=（）A . 2019B . 2018C . 2017D . 2015二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·黑龙江模拟) 实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2 ，则z的取值范围是________．14. （1分） (2016高二上·常州期中) 点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值是________．15. （1分）已知球O的表面积是其直径的倍，则球O的体积为________．16. （1分）(2017·重庆模拟) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b= asinB，则角A 的大小为________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，且a1 ， a3 ， a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= +n，求数列Sn的前Sn项和Sn．18. （10分）我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t、市场价格x（单位：元）与市场供应量P之间满足关系式：P=2 ，其中b，k为正常数，当t=0.75时，P关于x的函数的图象如图所示：（1）试求b，k的值；（2）记市场需求量为Q，它近似满足Q（x）=2﹣x，当时P=Q，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值．19. （10分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=．（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（2）求点E到平面ACD的距离．20. （10分）(2017·厦门模拟) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．线段CF2的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P．（1）若椭圆的离心率为，△PF1C的面积为12，求椭圆E的方程；（2）设S =λ•S ，求实数λ的最小值．21. （10分） (2020高二上·黄陵期末) 已知函数，当时，有极大值3.（1）求该函数的解析式；（2）求函数的单调区间.22. （10分）(2017·通化模拟) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．（1）求证：B、E、F、N四点共圆；（2）求证：AC2+BF•BM=AB2．23. （10分） (2018高二下·辽宁期末) 平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出直线的参数方程(为常数)和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与交于、两点，且，求倾斜角的值.24. （10分）设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＜0的解集；（2）若∀x∈R，f（x）+t3+2t≥0恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。