2020年河南省郑州市第一中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.sin（-600°）的值是（）2.A.若B.-，则sin2θ=（）C. D.-3.A. B. C. D.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）A.2 B.sin2 C. D.2sin14.已知向量，，若，则锐角α为（）A.30°B.60°C.45°D.75°5.已知tanα=3，则=（）6.A. B. C. D. 对于非零向量，，下列命题正确的是（）A.B.C.D.若若若若，则，则，则，则，的夹角为锐角7.若A为三角形ABC的一个内角，且sin A+cos A=，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.正三角形8.已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（）A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D9.若α、β是锐△角ABC的两个内角，则有（）A.sinα＞sinβB.cosα＞cosβC.sinα＞cosβD.sinα＞cosβ10. 同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A. B. C. D.11. 已知函数y=A sin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A.A=4B.ω=1C.φ=D.B=412. 若，则tanα•tanβ=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若期为______．的最小正周期为，则的最小正周14. 已知平面向量______．满足，，则在方向上的投影等于15. 已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα=______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 已知P（x，y），P（x，y）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P OP=θ（θ为钝角）．若sin（θ+）=，则x x +y y的值为______．17. 设，是两个相互垂直的单位向量，且，．（Ⅰ）若（Ⅱ）若，求λ的值；，求λ的值．11122212121218. 计算下列各式的值：（1）cos+cos+cos+cos；（2）sin420°cos330°+sin（-690°）cos（-660°）．19. 已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．（1）求A和ω的值；（2）已知α∈（0，），且，求f（α）的值．20. 已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所上所有得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间根之和．，=，与的夹角为．21. 如图，在平行四边形ABCD中，||=3，||=2，=（1）若=x+y，求x、y的值；（2）求•的值；（3）求与的夹角的余弦值．22. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（△R t FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20 米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin（-600°）=sin（-720°+120°）=sin120°=sin（180°-60°）=sin60°=，故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：若∴sin2θ=cos（-2θ）=1-2，则sin（-θ）=-，=1-2•=，故选：C．利用诱导公式、求得sin（-θ）的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属于基础题．连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦长是1，故可解得半径是，进而利用弧长公式求弧长即可．【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度，故半径为，这个圆心角所对的弧长为2×故选：C．4.【答案】C=，【解析】解：向量，，，∴=sin2a∴sinα=±，又∵α为锐角，∴α=45°，故选：C．根据两个向量平行，交叉相乘差为0，易得到一个三角方程，根据α为锐角，我们易求出满足条件的值本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，及三角函数的化简求值，其中根据两个向量平行，交叉相乘差为0，构造三角方程是解答本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．把要求值的式子化弦为切求解．【解答】解：∵tanα=3，∴== =．故选：D． 6.【答案】C【解析】解：A：若，则或⊥（-），故A错误；B：若，则||+||≥|+|=||，故B错误；C：⇔•=0⇔，故C正确；D：若，则，的夹角为锐角或0，故D错误．故选：C．对选项逐个进行分析即可本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题．利用sinA+cos A=，两边平方可得sin A cosA=-，进而判断出A是钝角．【解答】解：∵sin A+cos A=两边平方可得：sin2A+cos2化为sinA cosA=-，∵A∈（0，π），∴sin A＞0，cos A＜0．∴A为钝角．∴这个三角形是钝角三角形．故选：A．8.【答案】AA+2sin A cosA=，【解析】解：由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选：A．证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．9.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质结合三角函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：∵α、β是锐△角ABC的两个内角，∴α+β＞90°，∴90°＞α＞90°-β＞0°，∴1＞sinα＞cosβ＞0，故选：C．10.【答案】D【解析】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除A．由于y=cos（-）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除B．由于y=cos（2x+），在上，2x+∈[-，]，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y=sin（2x-）的最小正周期为=π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x-∈[-，]，故y=sin（2x-）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（-）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ-∵∴φ=故选：C．先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中-求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．【解答】解：因为，所以；故选：D．13.【答案】【解析】解：∵∴T==得ω=8，则．的最小正周期为T=的最小正周期为，，即g（x）的周期为，故答案为：．结合三角函数的周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的计算，利用正弦函数的周期公式T=以及正切函数的周期公式T=是解决本题的关键．注意两者的周期公式不相同．14.【答案】-【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的投影，属于中档题．两边平方得出【解答】，再代入投影公式计算投影．解：∵|∴=-1．∴|=，=3，即1+2+4=3，∴在方向上的投影为故答案为：．15.【答案】=-．【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-∴α-β∈（0，π），，0），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+ ×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.【答案】-【解析】解：依题意知=（x，y）=（x，y）₁₁₂₂1212第9 页，共14 页另外 P ₁，P ₂在单位圆上，||=| |=1•=| |•||cos θ=1•1•cos θ=cos θ，∴x x +y y =cos θ， ∵sin （θ+ ）= sinθ+ cosθ= ，①sin 2θ+cos 2θ=1，②，且 θ 为钝角联立①②求得 cos θ=-．故答案为：-．根据题意表示出 • ，根据向量数量积的运算求得 x x +y y =cosθ，进而根据 sin （θ+ ） 的值，求得 cos θ 的值．本题主要考查了是平面向量的运算，平面向量数量积的应用．注重了对学生基础知识的 考查．17.【答案】解：（Ⅰ），∴时， ；∴当（Ⅱ）则，则存在唯一的 μ 使 ，∴ =．∴化简得∵ ， 是两个相互垂直的单位向量， ∴λ=2，∴当 λ=2 时，．【解析】（Ⅰ）则存在唯一的 μ 使，解得所求参数的值．（Ⅱ）则，解得所求参数的值．本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式得应用．18.【答案】解：（1）cos +cos +cos +cos =cos +cos +cos （π- ）+cos （π- ）=cos +cos -cos -cos =0．-------------------（6 分）（2）原式=sin （360°+60°）cos （360°-30°）+sin （-2×360°+30°）•cos （-2×360°+60°） =sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°1 2 1 21 2 1 2=×+×=1．-------------------------------------（12分）【解析】（1）利用诱导公式化简求解即可．（2）利用诱导公式以及两角和的正弦函数，特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．-）=π∴A=2，T=2×（∴ω==2∴A=2，ω=2（2）∵α∈（0，），且，∴cosα=∴sin2α=，cos2α=1-2sin2α=-由（1）知∴=sin2α-cos2α=+=【解析】（1）由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得ω的值（2）先利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式计算sin2α、cos2α的值，再利用（1）中结论，将f（α）化简，代入sin2α、cos2α的值求值即可本题主要考察了y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，属基础题20.【答案】解：（1）=1+cos2x+sin2x+2=3+2sin（2x+），由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，（2）将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到y=3+2sin（4x+），再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象即g（x）=3+2sin[4（x-）+]=3+2sin（4x-），由g（x）=4得g（x）=3+2sin（4x-）=4，得sin（4x-）=，得4x-=2kπ+或4x-=2kπ+，得x=+或x=+，k∈Z，∵x∈，∴k=0时，x=或，即方程g（x）=4在区间上所有根之和为+=．【解析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．（2）利用三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合方程进行求即可解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．21.∴【答案】解：（1）∵||=3，||=2，==3+2=x+y，，=，∴x=3，y=2．（2）由向量的运算法则知，∴=2-3，．（3）∵与的夹角为，∴与的夹角为，又，∴====，∴====，设与的夹角为θ，可得．∴与的夹角的余弦值为【解析】（1）由平行四边形法则得，而，分别是，再结合数乘运算、平面向量基本定理中的“唯一性”不难求出x、y；（2）由题意可以得•的值；为基底，将用基底表示，再利用内积的定义及运算可求（3）直接套用夹角公式cos＜，＞=计算．利用平面向量基本定理解题，一般先以不共线的、模长及夹角都知道的两个向量作为基底，然后利用基底把已知的、所求的向量表示出来，再进行有关的运算化简和证明；数量积的考查是重点也是热点，一般是距离和角的计算居多，要以数量积的定义为出发点进行思考，要注意结合图形寻找解题思路．22.【答案】解：（1），，由于．，，所以，所以．所以（2）当，时，．，（米）．（3）设sinθ+cosθ=t，，则，所以．由于，所以．由于所以当在即上单调递减，或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L 关于θ的函数，是解答本题的关键．。

河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、填空题
17．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中
间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为40cm 和100cm ，棱台的
高为40cm ，中间挖去的圆柱孔的底面半径为10cm .计算时π取3.14.
(1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；
(2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂
27000cm ，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）
18．在梯形
ABCD 中，//DC AB ，E 是线段AB 上一点，2AD =，5AB =，1AE CD ==，
60DAB Ð=°，把BCE V 沿CE 折起至SCE △，连接,SA SD 使得平面SCD ^平面AECD ．
(1)证明：
//AE 平面SCD ；
(2)求异面直线
AE 与SC 所成的角；
(3)求直线AE 与平面
SDE 所成角的正弦值．
19．如图，设
ABC V 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，。

郑州一中2020-2021学年下期中考14届 高一数学试题命题人：王文玉 审题人：韩凤亭 说明： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟。

2、将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列赋值语句正确的是( )A ．2a b -=B ．5a =C ．4a b ==D ．2a a =+2. 如果一个算法的程序框图中有，则表示该算法中一定有 哪种逻辑结构 ( ) A ．循环结构和条件结构B ．条件结构C ．循环结构D ．顺序结构和循环结构 3. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ） A ．正方体的棱长和体积B. 单位圆中角的度数和所对弧长C. 单产为常数时，土地面积和总产量D. 日照时间与水稻的亩产量4．现有60件产品，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6件检验，则所抽到的个体编号可能是 （ ）A ．5，10，15，20，25，30B ．2，14，26，28，42，56C ．5，8，31，36，48，54D ．3，13，23，33，43，535. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ） A ．恰有1名男生与恰有2名女生 B ．至少有1名男生与全是男生C ．至少有1名男生与至少有1名女生D ．至少有1名男生与全是女生6. 已知αsin 是方程06752=--x x 的根，且α是第三象限角，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαππα2sin 2co tan 23co 23sin 2s s =（ ） A ．169 B. 169- C. 43 D. 43-7. 若样本1x +2，2x +2，，n x +2的平均数为10，方差为3，则样本21x +3，22x +3，…，2n x +3，的平均数、方差、标准差是（ ）A ．19，12，32B ．23，12，32C ．23，18，23D ．19，18，238. 已知231(),2a -=-131log ,2b =23(3),c =-则执行如图所示的程序框图后输出的结果等于（ ）A ．231()2--B ．131log 2C ．23(3)- D ．其他值9. 为得到函数)3πcos(+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的 图像（ ）A ．向左平移6π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移6π5个长度单位 D ．向右平移6π5个长度单位 10. 同时具有以下性质：“①最小正周期是π，②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是（ ）A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=-11. 函数)sin(ϕω+=x A y 0ω(>，2||πϕ<，)R x ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．)48sin(4ππ+-=x y B ．)48sin(4ππ-=x yC ．)48sin(4ππ--=x y D ．)48sin(4ππ+=x y12. 已知在函数()3sin (0)xf x r rπ=>的图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点a>c? a>b?开始输入a,b,ca=b是 否a=c 是 输出a 结束否（第8题图）（第11题图）恰好在222x y r +=上，则)(x f 的最小正周期为（ ） A ．1B.2C. 3D. 4郑州一中2020-2021学年下期中考 14届 高一数学试题 答案卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13. 用辗转相除法求得228和199514. 在学校的生物园中，甲同学种植了9株花苗，乙同学种植了10据(单位：cm)甲、乙两位同学种植的花苗高度的数据的中位数 之和是 ．15. 若在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，则221{|20}x x ax a ∈+->的概率为 .16. 关于函数f(x)=4sin （2x+3π）（x ∈R ），有下列命题： ①由f (x 1)=f (x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍； ②y = f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -6π)； ③y = f (x )的图象关于点(-6π,0)对称； ④y = f (x )的图象关于直线x =-6π对称.其中正确的命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）在某中学在某中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40. （Ⅰ）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （Ⅱ）求这两个班参赛的学生人数是多少？18. （本小题满分12分）设计一个算法求22221299100++⋯++的值，并画出程序框图.19. （本小题满分12分）晚会上，主持人面前放着A、B两个箱子，每箱均装有三个球，各箱的三个球分别标有号码1，2，3. 现主持人从A、B两箱中各摸出一球.（Ⅰ）若用x、y分别表示从A、B两箱中摸出的球的号码，请写出数对(x,y)的所有情形，并回答一共有多少种；（Ⅱ）求所摸出的两球号码之和为5的概率；（Ⅲ）如果请你猜摸出的这两球的号码之和，并且猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？说明理由.20. （本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为b a ,.（Ⅰ）求直线05=++by ax 与圆122=+y x 相切的概率；（Ⅱ）将5,,b a 的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．21. （本小题满分12分）是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a co sx +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.22. （本小题满分12分）已知)(x f )42cos(22π++=x 的图象向左平移m 个单位（0>m ），得到的图象关于直线817π=x 对称. （Ⅰ）求m 的最小值。

2020-2021学年河南省郑州市、新乡市部分学校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列各式中值为12的是()A. sin230°+cos230°B. sin230°−cos230°C. 2sin30°cos30°D. 2cos230°−12.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为()A. 2B. 4C. 6D. 83.已知α∈[0,2π)，直线l1：xsinα−2y+5=0与l2：3x+(4−2sinα)y+1=0平行，则α=()A. 3π2B. 5π4C. 5π6D. π24.已知角α的终边经过点P(−32,2tan5π4)，则cosα的值为()A. −35B. 35C. −45D. 455.已知a=2021sin1，b=log2021(sin1)，c=sin1，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. c<b<aD. b<a<c6.已知平面向量a⃗=(1,2)，|b⃗ |=3，a⃗⋅b⃗ =6，则向量a⃗，b⃗ 夹角的余弦值为()A. 25B. √55C. 45D. 2√557.在△ABC中，点E，F分别在边BC和AC上，且BE=EC，AF=2FC，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. −12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. −16AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. 16AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗8.函数f(x)=4x3cosx2x−sinx的部分图象大致是()A.B.C.D.9. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx +cos2x +2m ，若x ∈[0,π2]时，f(x)的最小值为5，则m =( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =120°，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √13B. √17C. 4√3D. 2√2111. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图，则f(x)在区间(−π,0)上零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知函数f(x)=cos|x|−|cosx|，则下列结论中正确的个数为( )①f(x)为偶函数；②f(x)的一个周期为π；③f(x)在[π2,π]上单调递减；④f(x)的值域为[−2,0]．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−3,4)，b ⃗ =(1,−3)，若−a ⃗ +2b ⃗ 与c ⃗ =(−2,m)垂直，则m 的值为______ ． 14. 已知α，β∈(0,π2)，cos(α+β)=−35，sin(α−π3)=−513，则sin(β+π3)= ______ ．15. 将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)的图象，记f(x)与g(x)的图象在y轴的右侧的所有公共点为(x i ,y i )(i ∈N ∗)，则x i 的最小值为______ ．16. 在平面四边形ABCD 中，∠BAD =5π6，∠BAC =π6，AB =√3，AD =2，AC =4.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知tan(α−π4)=12．(Ⅰ)求tanα的值； (Ⅱ)求cos2α−1sin2α−1的值．18. 已知向量a ⃗ =(3cosθ,sinθ)，θ∈[−π2,π2]，向量b ⃗ =(√3,−13). (Ⅰ)若a ⃗ //b ⃗ ，求θ的值；(Ⅱ)若θ=π6，求a ⃗ ，b ⃗ 夹角的余弦值．19. 如图，半圆O 的直径AB =4，P ，Q 为半圆弧上的两个三等分点．(Ⅰ)求向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影； (Ⅱ)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ).20.主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示)．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin(2π3x−φ)(A>0,0≤φ<π2)的振幅为2，且经过点(1,2)．(Ⅰ)求降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；(Ⅱ)试探究g(t)+g(t+1)+g(t+2)是否为定值.若是，求出定值；若不是，说明理由．21.已知函数g(x)=asin(2x+π6)+b(a>0,b∈R).若函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．(1)求函数g(x)的解析式；(2)求出g(x)在(0,π)上的单调递增区间．22.某同学用”五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表所示．(Ⅰ)直接写出表格中空格处的数以及f(x)的解析式；(Ⅱ)将y=f(x)图象上所有的点向右平移θ(0<θ<π)个单位长度，得到y=g(x)的图象，若y=g(x)图象的一条对称轴方程为x=−2π3，求θ的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若对任意的0≤x1<x2≤t，恒有f(x1)−f(x2)<g(x2)−g(x1)，求t的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵sin 230°+cos 230°=(12)2+(√32)2=1，故不满足题意，故排除A ；∵sin 230°−cos 230°=−cos60°=−12，不满足题意，故排除B ； 2sin30°cos30°=sin60°=√32，不满足题意，故排除C ；2cos 230°−1=cos60°=12，故D 满足题意，故选：D ．由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，属于基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积． 本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力． 【解答】解：设扇形的半径为R ， 所以2R +2R =8，所以R =2，扇形的弧长为4，半径为2， 扇形的面积为S =12×4×2=4． 故选B ．3.【答案】A【解析】解：∵直线l 1：xsinα−2y +5=0与l 2：3x +(4−2sinα)y +1=0平行， ∴sinα3=−24−2sinα≠51，∴sin 2α−2sinα−3=0，∴sinα=−1或sinα=3(舍)，∵α∈[0,2π)，∴α=3π2．故选：A．由直线与直线平行的性质得sin2α−2sinα−3=0，求出sinα=−1，再由α∈[0,2π)，能求出α．本题考查角的求法，涉及直线与直线平行的性质、三角函数等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵角α的终边经过点P(−32,2tan5π4)，即点P(−32,2)，则cosα=−32√94+4=−35，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，求出cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：0<sin1<1，∴2021sin1>20210=1，log2021(sin1)<log20211=0，∴b<c<a．故选：B．可看出0<sin1<1，然后根据对数函数和指数函数的单调性即可得出2021sin1>1，log2021(sin1)<0，然后即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了正弦函数的图象，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：平面向量a⃗=(1,2)，|a⃗|=√5，|b⃗ |=3，a⃗⋅b⃗ =6，则向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角：cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=63√5=2√55． 故选：D ．求出向量的模，利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可． 本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的夹角的求法，是基础题．7.【答案】A【解析】解：如图所示：，∵BE =EC ，AF =2FC ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：A ．利用向量的线性运算性质求解．本题主要考查了平面向量的基本定理，考查了平面向量的线性运算，是基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=4x 3cosx2x−sinx，有2x −sinx ≠0，则x ≠0，即函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ，D ，又由f(−x)=4(−x)3cos(−x)2(−x)−sin(−x)=4x 3cosx2x−sinx =f(x)，即函数为偶函数，其图象关于原点对称， 排除B 、D ， 故选：C ．根据题意，先分析函数的定义域，排除A 、D ，再分析函数的奇偶性，排除B ，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及性质的应用，属于基础题．【解析】解：∵函数f(x)=2√3sinxcosx +cos2x +2m =√3sin2x +cos2x +2m =2sin(2x +π6)+2m ， 若x ∈[0,π2]时，则2x +π6∈[π6,7π6]，故当2x +π6=7π6时，f(x)取得最小值为−1+2m =5，则m =3，故选：B ．由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最小值，可得m 的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．10.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘和数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．根据条件可得出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得出|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，然后进行数量积的运算即可． 【解答】 解：如图，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +52AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AB =AD =4，∠BAD =120°， ∴|AE⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +52AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +52AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+254AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+10AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√64+100−10×4×4×12=2√21． 故选D ．【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，3T 4=5π6−π12=3π4，解得T=π，所以ω=2πT=π，由“五点法”画图知，(π12,0)是第一个点，所以2×π12+φ=0，解得φ=−π6，所以f(x)=Asin(2x−π6)；又x∈(−π,0)，所以2x−π6∈(−13π6,−π6)，结合正弦型函数的图象知，函数f(x)=Asin(2x−π6)有2个零点．故选：C．由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象求出f(x)的解析式，再结合x的取值范围和正弦函数的图象与性质，判断f(x)的零点个数．本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想与推理判断能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：函数f(x)=cos|x|−|cosx|，对于①，函数f(−x)=f(x)，故函数f(x)为偶函数；故①正确；对于②，函数y=cos|x|的最小正周期为2π，函数y=|cosx|的最小正周期为π，所以函数f(x)的最小正周期为2π，故②错误；对于③，函数y=cos|x|在[π2,π]上单调递减，函数y=|cosx|在[π2,π]上单调递增，故f(x)在[π2,π]上单调递减；故③正确；对于④，当函数y=cos|x|取得最小值为−1时，函数y=−|cosx|的最小值也为−1，故函数f(x)的最小值为−2，当cos|x|=|cosx|时，函数取得最大值为0，故f(x)的值域为[−2,0]，故④正确．故选：C．直接利用三角函数的关系式的应用，函数的性质的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的应用，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(−3,4)，b ⃗ =(1,−3)，则−a ⃗ +2b ⃗ =(5,−10)，若−a ⃗ +2b ⃗ 与c ⃗ =(−2,m)垂直，则(−a ⃗ +2b ⃗ )⋅c ⃗ =−10+(−10)m =0，解可得：m =−1，故答案为：−1．根据题意，求出−a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，由数量积的坐标计算公式可得关于m 的方程，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．14.【答案】3365【解析】解：因为α，β∈(0,π2)，所以α+β∈(0,π)，α−π3∈(−π3,π6)，因为cos(α+β)=−35，sin(α−π3)=−513，所以sin(α+β)=45，cos(α−π3)=1213，则sin(β+π3)=sin[(α+β)−(α−π3)]=sin(α+β)cos(α−π3)−cos(α+β)sin(α−π3)=45×1213−(−35)×(−513)=3365．故答案为：3365由已知结合同角平方关系先sin(α+β)，cos(α−π3)，然后结合两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角基本关系，两角差的正弦公式，解题的关键是拆角技巧的应用，属于基础题．15.【答案】π24【解析】解：函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=2cos(2x −π3)的图象， 由于f(x)与g(x)的图象在y 轴的右侧的所有公共点为(x i ,y i )(i ∈N ∗)，故2cos(2x +π6))=2cos(2x −π3)，所以2x +π6+2kπ=−2x +π3，所以4x =−2kπ+π6(k ∈Z)，解得x =−kπ2+π24(k ∈Z)，当k =0时，x i 的最小值为π24．故答案为：π24．直接利用三角函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】6【解析】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(√3,0)，D(−√3,1)，C(2√3,2)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)， 由条件可知{√3λ−√3μ=2√3μ=2，解得{λ=4μ=2， 因此λ+μ=6．故答案为：6．以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，分别求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据已知可得关于λ和μ的方程组，解方程组即可求解．本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理的应用，考查转化思想与方程思想的运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan(α−π4)=12=tanα−11+tanα，求得tanα=3． (Ⅱ)cos2α−1sin2α−1=1−2sin 2α−12sinαcosα−sin 2α−cos 2α=−2tan 2α2tanα−tan 2α−1=92．【解析】(Ⅰ)由题意利用两角差的正切公式，求得tanα的值．(Ⅱ)由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，计算求得结果．本题主要考查两角差的正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．18.【答案】解：∵向量a ⃗ =(3cosθ,sinθ)，θ∈[−π2,π2]，向量b ⃗ =(√3,−13). (Ⅰ)a ⃗ //b ⃗ ⇒−cosθ−√3sinθ=0⇒tanθ=−√33， ∴θ=−π6，(Ⅱ)θ=π6⇒a ⃗ =(3√32，12)， ∴|a ⃗ |=√(3√32)2+(12)2=√7，|b ⃗ |=√(√3)2+(−13)2=2√73，a ⃗ ⋅b ⃗ =3√32×√3+12×(−13)=133， ∴a ⃗ ，b ⃗ 夹角的余弦值为：133√7×2√73=1314．【解析】(Ⅰ)根据向量的平行的条件以及特殊角的三角函数值即可判断，(Ⅱ)直接代入向量的夹角计算公式求解即可．本题考查了向量的平行的条件以及向量夹角的求解，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．19.【答案】解：(Ⅰ)如下图，连接BQ ，OP ，∵P ，Q 为半圆弧上的两个三等分点，AB 为半圆的直径，且AB =4，∴∠PAQ =∠QAB =30°，AQ =2√3，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|AQ|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cos150°=2√3×(−√32)=−3， (Ⅱ)由图可得AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为P ，Q 为半圆弧上的两个三等分点，所以∠POA =∠ABQ =60°，|BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8+4×2×120°+16+4×2×cos120°=16．【解析】(Ⅰ)利用向量数量积的几何意义即可求出．(Ⅱ) 利用向量三角形法则得到得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合图形，结合平面向量数量积的运算性质代入即可．本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)曲线f(x)=Asin(2π3x −φ)(A >0,0≤φ<π2)的振幅为2，且经过点(1,2)， 故sin(2π3−φ)=1，由于0≤φ<π2，解得：φ=π6．所以f(x)=2sin(2π3x −π6).故g(x)=−2sin(2π3x −π6).(Ⅱ)由(Ⅰ)得：g(t)=−2sin(2π3t −π6)=−√3sin2π3t +cos 2π3t ， g(t +1)=−2sin(2π3t +2π3−π6)=−2cos 2π3t ， g(t +2)=2sin(2π3t +4π3−π6)=√3sin 2π3t +cos 2π3t ，故g(t)+g(t +1)+g(t +2)=0(定值)．【解析】(Ⅰ)首先利用已知条件求出函数的解析式；(Ⅱ)利用三角函数的关系式的变换求出各自的函数的值，进一步求出结果为定值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的解析式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)由题意知，若x∈[0,π2]，则π6≤2x+π6≤7π6，所以sin(2x+π6)∈[−12,1]，又因为a>0，所以{ a+b=3−12a+b=0，得a=2，b=1；所以g(x)=2sin(2x+π6)+1；(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，得到kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，当k=0时，−π3≤x≤π6；当k=1时，2π3≤x≤7π6，所以g(x)在(0,π)上的单调递增区间为(0,π6]和[2π3,π)．【解析】本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)+b的图象及性质，属于中档题．(1)由题意知，利用正弦函数的性质可得sin(2x+π6)∈[−12,1]，又a>0，可得{ a+b=3−12a+b=0，解得a，b的值，即可求g(x)的函数解析式；(2)根据正弦函数的单调性即可求解．22.【答案】解：(Ⅰ)由题意空格处的x=12(8π3−2π3)=5π3，A=2，周期T=2πω=11π3−(−π3)=4π，故ω=12，当x=−π3时，ωx+φ=12⋅(−π3)+φ=2kπ(k∈Z)，而|φ|<π2，解得：φ=π6，故f(x)=2sin(12x+π6)；(Ⅱ)由题意g(x)=2sin[12(x−θ)+π6]，当x=−2π3时，12(−2π3−θ)+π6=kπ+π2，k∈Z，解得：θ=−2kπ−4π3，k∈Z，由于0<θ<π，故θ=2π3；(Ⅲ)由(Ⅱ)知：g(x)=2sin(12x−π2)，原问题转化为f(x1)+g(x1)<f(x2)+g(x2)对任意的0≤x1<x2≤t恒成立，即y=f(x)+g(x)在[0,t]上单调递增，由y=f(x)+g(x)=2sin(12x+π6)+2sin(12x−π2)=2sin(12x−π3)，令12x−π3=π2，解得：x=5π3，故t的最大值是5π3．【解析】(Ⅰ)根据三角函数的性质求出x的值，A，周期，ω，从而求出f(x)的解析式；(Ⅱ)根据图像的平移变换求出θ的值即可；(Ⅲ)求出g(x)的解析式，问题转化为y=f(x)+g(x)在[0,t]上单调递增，结合三角函数的性质求出t的最大值即可．本题考查了三角函数的性质，考查求函数的解析式问题，考查函数的单调性，是中档题．。

河南省郑州市中原区第一中学学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅、盛水2分钟；②洗菜6分钟：③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟：⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序小明要将面条煮好，最少要用（）A. 13分B. 14分钟C. 15分钟D. 23分钟【答案】C【解析】（1）洗锅盛水2分钟；（2）用锅把水烧开10分钟，期间可以洗菜6分钟，准备面条及佐料2分钟，共10分钟；（3）煮面条和菜3分钟。

共15分钟。

故选C。

点睛：本题考查算法的最优化处理应用。

解题关键是找到能够在一项任务期间，同时完成的项目。

本题中在烧水10分钟的同时，可以同时完成洗菜和准备工作，达到节约时间的目的。

其他项目必须符合实际情况。

2.给出下列四个命题：①34π-是第二象限角；②43π是第三象限角；③400-︒是第四象限角；④315-︒是第一象限角．其中正确的命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误.【详解】－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.故答案为：C【点睛】本题主要考查象限角的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3.下列事件：①如果a b >，那么0a b ->． ②某人射击一次，命中靶心．③任取一实数a （0a >且1a ≠），函数log a y x =是增函数， ④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球． 其中是随机事件的为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③【答案】D 【解析】 是必然事件；中1a >时，log a y x =单调递增，01a <<时，log a y x =为减函数，故是随机事件； 是随机事件； 是不可能事件 故答案选D4.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（ ） A. 7，11，18 B. 6，12，18 C. 6，13，17 D. 7，14，21【答案】D 【解析】试题分析：由题意，老年人、中年人、青年人比例为1：2：3． 由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为16×42=7人， 中年人应抽取的人数为26×42=14人， 青年人应抽取的人数为36×42=21人 考点：分层抽样方法5.下列四个数中，数值最小的是（ ）A. ()1025B. ()454C. ()210110D. ()210111【答案】C 【解析】 【分析】将四个选项中的数均转化为十进制的数，比较即可得到答案． 【详解】由题意，对于A 中，()102525=； 对于B 中，()()141054544424=⨯+⨯=；对于C 中，()()43221010110120212120222=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 对于D 中，()()43221010111120212121223=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查了其它进制与十进制的转化，其中解答中熟练掌握其它进制与十进制的之间的转化发展史解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6.一个频数分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50[)50,60内的数据个数共为（ ）A. 15B. 16C. 17D. 19【答案】A 【解析】 【分析】由样本中数据在[20)60，内的频率为0.8，求得在[20,60)内的数据的个数为24人，进而即可求解，得到答案．【详解】由题意，样本中数据在[20)60，内的频率为0.8， 所以在[20,60)内的数据的个数为300.824⨯=人，所以样本在[),40505[00)6，，内的数据个数共为244515--＝，故选A ．【点睛】本题主要考查了频率分布表的应用，其中解答中得到在[20,60)内的数据的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.为比较甲、乙两地时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月l4时的平均气温： ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号为（ ） A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】B 【解析】由题中茎叶图知，2628293131295x ++++==甲，222221310=[(2629)(2829)(2929)(3129)(3129)5s -+-+-+-+-甲；2829303132305x ++++==乙，222221[(2830)(2930)(3030)(3130)(3230)25s -+-+-+-+-=乙. 所以x 甲<x 乙，s 甲>s 乙．8.古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克士，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为（）A. 12B.13C.25D.310【答案】A【解析】【分析】所有的抽取方法共有10种，而相克的有5种情况，由此求得抽取的两种物质相克的概率，再用1减去此概率，即可求解．【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有的抽法共有10种，而相克的有5中情况，则抽取的两种物质相克的概率是51 102=，故抽取的两种物质不相克的概率是11122-=，故选A．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中求得基本事件的总数，事件和它的对立事件的概率之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】【分析】算法的功能求130lg lg lg352iSi=+++++得值，根据条件确定跳出循环求得i的值，即可求解．【详解】由程序框图知，算法的功能是求130lg lg lg352iSi=+++++的值，因为13710lg lg lg lg13599S=++++=>-，13910lg lg lglg 135111S =++++=<-， 所以跳出循环的i 的值为9，所以输出9i =，故选B ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，其中解答中根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，则6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时的集合为（ ）A. ,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭B. ,3x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭C. 2,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ D. 2,3x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】 由741234T πππ=-=，得T π=，得出2w =，再由五点作图第二点，求得6πϕ=-，得出()sin(2)6f x x π=-，进而得到()sin(2)66f x x ππ+=+，利用三角函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】由图可知，741234T πππ=-=，则T π=，所以22w ππ==，由五点作图的第二点知，232ππϕ⨯+=，所以6πϕ=-，所以()sin(2)6f x x π=-，则()sin[2()]sin(2)6666y f x x x ππππ=+=+-=+，则22,62x k k Z πππ+=-+∈，得,3x k k Z ππ=-+∈，所以()6y f x π=+取得最小值时x 的集合为{|,}3x x k k Z ππ=-+∈，故选B ．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.若sin θ，cos θ，是关于x 方程2420x mx m ++=的两个根，则实数m 的值是（ ）A. 1B. 1C. 1±D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由sinθ、cosθ是关于x 的方程4x 2+2mx+m=0的两个实根，利用判别式求出满足条件的m 取值范围；再根据韦达定理和同角三角函数基本关系，求出对应m 的值． 【详解】sinθ，cosθ是方程4x 2+2mx+m=0的两根，∴24m sin cos m sin cos θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴（sinθ+cosθ）2﹣2sinθcosθ=24m ﹣2×4m =1，解得m=1又方程4x 2+2mx+m=0有实根， 则△=（2m ）2﹣16m≥0， 解得m ≤0，或m ≥4； 综上，m 的值为1故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及同角的三角函数关系应用问题，是基础题．12.已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ） A. 202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B. 202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C. 212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D.212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案．【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示， 又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题．13. 网络上流行一种“QQ 农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________． 【答案】57 【解析】由最小的两个编号为03,09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57．14.已知多项式()543239411p x x x x kx x =+++++，当3x =时值为1616，则k =______．【答案】12 【解析】()()()()()391411p x x x x k x x =+++++()()()()()3339313343111616,12p k k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=∴=,故答案为12.15.已知α为第二象限角，则sin =______． 【答案】0 【解析】本试题主要是考查了三角函数的同角关系的运算。

河南省郑州市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·洛阳期中) 集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A . [5，e2）B . [5，7]C . {5，6，7}D . {5，6，7，8}2. （2分）已知三个向量平行，其中a,b,c,A,B,C分别是的三条边和三个角，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形3. （2分）(2017·云南模拟) 已知数列{an}是等差数列，a5+a6=8，则数列{an}的前10项和为（）A . 40B . 35C . 20D . 154. （2分）已知命题p：∃x0∈R，sinx0=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（）A . 命题是p∨q假命题B . 命题是p∧q真命题C . 命题是（¬p）∨（¬q）真命题D . 命题是（¬p）∧（¬q）真命题5. （2分）(2018·全国Ⅱ卷理) 已知是定义为的奇函数，满足。

若，则（）A . -50B . 0C . 2D . 506. （2分）(2020·日照模拟) 三个数，，的大小顺序是（）A .B .C .D .7. （2分）某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价（元）45678910日均销售量（件）400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价（单位：元/件）应为（）A . 4B . 5.5C . 8.5D . 108. （2分） (2017高二下·正定期末) 过双曲线（，）的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·红桥期末) 下列结论正确的是（）A . 当x＞0且x≠1时，lgx ≥2B . 6 的最大值是2C . 的最小值是2D . 当x∈（0，π）时，sinx ≥510. （2分） (2017高三上·辽宁期中) 已知点满足不等式组，则的最大值为（）A . -7B . -1C . 1D . 211. （2分）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·汕头期末) 已知a，b均为正数，且a+b=1，则 + 的最小值为（）A . 24B . 25C . 26D . 27二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）里氏地震M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0 ，其中A测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，则7级地震的最大振幅是4级地震最大振幅的________ 倍．14. （1分） (2017高三上·张掖期末) 抛物线y=﹣ x2上的动点M到两定点F（0，﹣1），E（1，﹣3）的距离之和的最小值为________．15. （1分） (2018高三上·重庆月考) 已知平面向量，，满足，，，且，则（）的取值范围为________16. （1分）已知,，则=________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高一下·合肥期中) 设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=n2 ，等比数列{bn}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．18. （5分） (2016高三上·成都期中) 为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．19. （10分）(2018高二上·莆田月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.20. （15分） (2015高二上·昌平期末) 在直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．（1）求证：OC1∥平面AB1D1（2）求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1（3）求三棱锥A1﹣AB1D1的体积．21. （10分）对于椭圆C， + =1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（非顶点），点D在椭圆上，AD⊥AB，直线BD与x轴，y轴分别交于M，N．（1）证明：①k ADkBD是定值；②直线AM⊥x轴；（2）求△OMN的面积的最大值．22. （15分） (2018高三下·滨海模拟) 已知函数（其中，）. （1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；（3）求证：对于任意大于的正整数，都有 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

河南省郑州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高一上·周口期中) 设集合，集合，则________.2. （1分） (2016高一下·新乡期末) sin40°cos10°+cos140°sin10°=________．3. （1分） (2017高一下·安平期末) 数列1，，，2…的一个通项公式为an=________．4. （1分） (2016高三上·烟台期中) 设函数f（x）= 若f（a）＞a，则实数a的取值范围是________．5. （1分） (2016高二上·澄城期中) 已知实数x，y满足，则z=x﹣3y的最大值是________．6. （1分） (2017高一下·芮城期末) 若等比数列满足，则 ________．7. （1分） (2017高二上·景县月考) 在△ABC中，若B=30°，AB=2 ，AC=2，求△ABC的面积________．8. （1分） (2016高三上·大连期中) 等差数列{an}的首项为23，公差为﹣2，则数列前n项和的最大值为________．9. （1分） (2018高一下·攀枝花期末) 二次不等式的解集为，则________．10. （1分）(2016·温岭模拟) {an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N* ，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6=________．11. （1分）已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，且α是第三象限角，则=________．12. （1分） (2016高一下·大庆期中) 已知函数f（n）=n2sin ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2016的值为________13. （1分） (2016高一上·宿迁期末) 如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若• =2，• =4，则BC的长度为________．14. （1分） (2017高一下·池州期末) 等差数列{an}前n项和为Sn ，已知a1=13，S3=S11 ， n为________时，Sn最大．二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2016高二下·河北期末) 已知（1）若，求tanx的值；（2）若函数，求f（x）的单调增区间．16. （10分）(2020·海安模拟) 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.17. （10分） (2016高一下·晋江期中) 已知（1）求与的夹角θ；（2）求．18. （5分） (2016高一下·安徽期末) 解关于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2＜0（a∈R）．19. （10分） (2017高一下·盐城期末) 如图，OA、OB是两条公路（近似看成两条直线），，在∠AOB内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA、OB分别交于点M、N．（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．20. （15分） (2019高一下·佛山月考) 在数列与中，，，数列的前项和满足， .（1）求，，，的值，猜测的通项公式，并证明之.（2）求数列与的通项公式；（3）设， .证明： .参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6、答案：略7-1、8-1、9、答案：略10、答案：略11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。