2019九年级数学第一学期 第3章 圆心角 第2课时 圆心角定理的逆定理同步练习 (新版)浙教版

24.1 圆的有关性质第 2课时教课内容1．圆心角的看法．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教课目标认识圆心角的看法：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其他两个量的相对应的两个值就相等，及其他们在解题中的应用．经过复习旋转的知识，产生圆心角的看法，而后用圆心角和旋转的知识探究在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等，最后应用它解决一些详尽问题．重难点、要点1．要点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与要点：探究定理和推导及其应用．教课过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△ OAB，以以下图，作出绕O 点旋转 30°、 45°、 60°的图形．ABO老师评论：绕O 点旋转， O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′ =30°．二、探究新知以以下图，∠AOB 的极点在圆心，像这样极点在圆心的角叫做圆心角．BAO（学生活动）请同学们按以下要求作图并回答以下问题：以以下图的⊙ O 中，分别作相等的圆心角∠ AOB 和∠ A ′ OB ′将圆心角∠ AOB 绕圆心 O 旋转到∠ A ′ OB ′的地址，你能发现哪些等量关系？为何？ BAA 'B 'OAB = A'B' ，AB=A ′B ′原由：∵半径 OA 与 O ′ A ′重合，且∠ AOB=∠ A ′ OB ′∴半径 OB 与 OB ′重合 ∵点 A 与点 A ′重合，点B 与点 B ′重合∴ AB 与 A'B ' 重合，弦 AB 与弦 A ′B ′重合∴ AB = A'B' ，AB=A ′ B ′所以，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中， 相等的圆心角能否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们此刻着手作一作．（学生活动） 老师评论：如图 1，在⊙ O 和⊙ O ′中，分别作相等的圆心角∠ AOB 和∠ A ′O ′ B ′获取如图 2，转动一个圆， 使 O 与 O ′重合， 固定圆心， 将此中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O ′ A ′重合．BB 'BAO(O ' )AOA ''A 'OO 'O(O ')OB '(1)(2)你能发现哪些等量关系？说一说你的原由？/ /．我能发现： AB = A' B'，AB=AB此刻它的证明方法就转变成前方的说了然， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，所以，我们可以获取下边的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相同，还可以获取：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（学生活动）请同学们此刻恩赐说明一下．请三位同学到黑板板书，老师评论．例 1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（ 1）假如∠ AOB=∠COD，那么 OE 与 OF的大小有什么关系？为何？（ 2）假如 OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB 与 CD的大小有什么关系？为何？∠ AOB 与∠ COD呢？CAFEO DB解析：（ 1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF中说明 AE=CF，即说明 AB=CD，所以，只要运用前方所讲的定理即可．（2）∵ OE=OF，∴在 Rt△ AOE和 Rt△ COF中，又有 AO=CO是半径，∴ Rt△ AOE≌ Rt△COF，∴ AE=CF，∴ AB=CD，又可运用上边的定理获取AB =CD解：（1 ）假如∠ AOB=∠ COD，那么 OE=OF原由是：∵∠AOB=∠ COD∴AB=CD∵OE⊥ AB， OF⊥ CD11∴AE= AB， CF= CD22∴AE=CF又∵ OA=OC∴Rt△ OAE≌Rt△ OCF∴OE=OF（2）假如 OE=OF，那么 AB=CD，AB =CD，∠ AOB=∠ COD原由是：∵OA=OC， OE=OF∴Rt△ OAE≌Rt△ OCF∴AE=CF又∵ OE⊥ AB， OF⊥CD11∴AE= AB， CF= CD22∴AB=2AE， CD=2CF∴AB=CD∴AB =CD，∠AOB=∠COD三、牢固练习教材练习 1教材练习2．四、应用拓展例 2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD订交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你以为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明原由．（2）若交点 P 在⊙ O 的外面，上述结论能否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明原由．AMCPF EEADOBB NMPNDF C(3)(4)解析：（ 1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．上述结论依旧成立，它的证明思路与上边的题目是一模一样的．解：（1 ）AB=CD原由：过 O 作 OE、 OF 分别垂直于 AB、 CD，垂足分别为 E、 F∵∠ APM=∠ CPM∴∠ 1=∠ 2OE=OF连接 OD、OB 且 OB=OD∴Rt△ OFD≌ Rt△ OEB∴DF=BE依据垂径定理可得：AB=CD（2）作 OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足为 E、 F∵∠ APM=∠ CPN且 OP=OP，∠ PEO=∠ PFO=90°∴Rt△ OPE≌ Rt△ OPF∴OE=OF连接 OA、 OB、 OC、 OD易证 Rt△ OBE≌ Rt△ ODF， Rt△ OAE≌ Rt△ OCF∴∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠4∴AB=CD五、归纳总结（学生归纳，老师评论）本节课应掌握：1．圆心角看法．2．在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都部分相等，及其他们的应用．六、部署作业1．教材复习牢固4、 5、 6、7、 8．2．采纳课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题．1．假如两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠ AOB=2∠ COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（）A．AB =2 CD B．AB >CD C．AB <2 CD D．不可以确立3．如图 5，⊙ O 中，假如AB =2 AC，那么（）．A． AB=AC B． AB=AC C． AB<2AC D． AB>2ACCA EC A BO OB D(5)(6)二、填空题1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．3．如图 6， AB 和 DE是⊙ O 的直径，弦AC∥ DE，若弦 BE=3，则弦 CE=________．三、解答题1．如图，在⊙O 中， C、 D 是直径AB 上两点，且AC=BD， MC⊥ AB，ND⊥ AB，M 、 N 在⊙O上．（ 1）求证：AM =BN；（ 2）若 C、 D 分别为 OA、OB 中点，则AM MN NB 成立吗？2．如图，以ABCD的极点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC、AD 于 E、F，若∠D=50°，求BE 的度数和EF的度数．3．如图，∠ AOB=90°， C、 D 是 AB 三均分点， AB 分别交 OC、 OD 于点 E、 F，求证：AE=BF=CD．答案 :一、 1．D 2．A 3．C二、 1．圆的旋转不变形152．或3． 3 33三、 1．（1）连接 OM 、 ON，在 Rt△ OCM 和 Rt△ ODN 中 OM=ON， OA=OB，∵AC=DB，∴ OC=OD，∴ Rt△ OCM≌Rt△ ODN，∴∠ AOM=∠ BON，∴AM NB（2）AM MN NB2． BE 的度数为80°， EF的度数为50°．3．连接 AC、 BD，∵ C、D 是AB三均分点，1∴AC=CD=DB，且∠ AOC= × 90°=30°，3∵OA=OC，∴∠ OAC=∠OCA=75°，又∠ AEC=∠ OAE+∠ AOE=45°+30° =75°，∴AE=AC，同理可证BF=BD，∴ AE=BF=CD。

第2课时 圆心角定理的逆定理一、选择题1．如图1，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，那么∠B 的度数为( )图1A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°2．在同圆或等圆中，假设AB ︵的长度等于CD ︵的长度，那么以下说法正确的有( ) ①AB ︵的度数＝CD ︵的度数；②AB ︵所对的圆心角等于CD ︵所对的圆心角； ③AB ︵和CD ︵是等弧；④AB ︵所对的弦的弦心距等于CD ︵所对的弦的弦心距． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．在同圆或等圆中，假设AB ︵＝2CD ︵，那么弦AB 和弦CD 的关系是( ) A ．AB ＝2CD B ．AB >2CD C ．AB <2CD D ．AB ＝CD4．如图2所示，圆上有A ，B ，C ，D 四个点，圆内有E ，F 两个点且E ，F 在BC 上．假设四边形AEFD 为正方形，那么以下弧长关系正确的选项是( )图2A.AB ︵<AD ︵B.AB ︵＝AD ︵C.AB ︵<BC ︵D.AB ︵＝BC ︵5．如图3，⊙O 与△ABC 三边均相交，在三边上截得的线段DE ＝FG ＝HK ，∠A ＝50°，连结OB ，OC ，那么∠BOC 的度数为( )图3A ．130°B ．120°C ．115°D ．105°6．如图4，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆(不包括A ，B 两点)上挪动时，点P ( )图4A ．到CD 的间隔 保持不变B ．位置不变C ．等分DB ︵D ．随点C 的挪动而挪动 二、填空题7．有一个齿轮有20个齿，相邻两齿之间间隔相等，那么相邻两齿间的圆心角为________度．8．在菱形ABCD 中，AC ＝AB ，以顶点B 为圆心，AB 长为半径画圆，延长DC 交⊙B 于点E ，那么CE ︵的度数为________度.9．如图5，OA 是⊙O 的半径，假设以点A 为圆心，AO 长为半径画弧交⊙O 于点B ，C ，那么∠BAC ＝________°.图510．如图6，在⊙O 中，PO 是直径所在的直线，且PO 平分∠BPD ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，那么①AB ＝CD ；②AB ︵＝CD ︵；③PO ＝PE ；④BG ︵＝DG ︵；⑤PB ＝PD ，其中结论正确的选项是________(填写序号).图6三、解答题11．2021·长春期中如图7，在⊙O 中，AC ︵＝BC ︵，OD ＝12OA ，OE ＝12OB ，求证：CD ＝CE .图712．如图8所示，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ＝CD ，M 是AC ︵的中点．求证：MB ＝MD .图813．如图9所示，C 为AB ︵的中点，CN ⊥OB 于点N ，弦CD ⊥OA 于点M ，假设⊙O 的半径为5 cm ，ON 的长为4 cm ，那么CD 的长为多少？图914．如图10，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点． (1)连结AB ，求证：AB 平分∠OAC ；(2)延长OA 至点P ，使得OA ＝AP ，连结PC ，假设⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．图1015．如图11所示，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F .求证：AE ＝BF ＝CD .图111．[答案] B2．[解析] D 此题考察圆心角、弧、弦、弦心距四个量间的关系及等弧、弧的度数等概念，它们对应相等的前提条件是在同圆或等圆中．3．[解析] C 作AB ︵的中点E ，那么AB ︵＝2AE ︵＝2BE ︵＝2CD ︵，∴AE ︵＝BE ︵＝CD ︵，∴AE ＝BE ＝CD.∵在△AEB 中，AE ＋BE>AB ，∴CD ＋CD>AB ，即AB<2CD.4．[解析] C 连结AB ，∵四边形AEFD 为正方形，∴AD ＝AE ，又∵AB ＞AE ，根据大弦对大弧，得AB ︵＞AD ︵，应选项A ，B 不正确；∵BE ＋AE>AB ，∴BE ＋EF ＋FC>AB ，即BC>AB ，∴BC ︵>AB ︵.应选C.5．[解析] C 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，OQ ⊥AC 于点Q ，ON ⊥BC 于点N ，∵DE ＝FG ＝HK ，∴OM ＝ON ＝OQ ，∴OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB. ∵∠A ＝50°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝130°， ∴∠OBC ＋∠OCB ＝65°，∴∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－65°＝115°.6．[解析] B 连结OP ，由OC ＝OP 得∠OCP ＝∠OPC ，又∠OCP ＝∠DCP ，∴∠DCP ＝∠OPC ，∴OP ∥CD ，而CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，即∠AOP ＝∠BOP ，∴P 为APB ︵的中点，即点P 的位置不变．7．[答案] 18 8．[答案] 60 9．[答案] 120[解析] 连结OB ，OC ，易得△ABO ，△ACO 为等边三角形，∴∠BAO ＝∠CAO ＝60°， ∴∠BAC ＝120°. 10．[答案] ①②④⑤11．证明：连结OC ，∵AC ︵＝BC ︵， ∴∠AOC ＝∠BOC.∵OD ＝12OA ，OE ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OD ＝OE.在△COD 和△COE 中，∵⎩⎨⎧OD ＝OE ，∠DOC ＝∠EOC ，OC ＝OC ，∴△COD ≌△COE(SAS)， ∴CD ＝CE.12．证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵.又∵AM ︵＝CM ︵，∴MB ︵＝MD ︵， ∴MB ＝MD.13．解：连结OC.∵C 是AB ︵的中点， ∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC. 又∵OA ⊥CD ，CN ⊥OB ， ∴∠OMC ＝∠ONC ＝90°.又OC ＝OC ，∴△OCM ≌△OCN(AAS)， ∴OM ＝ON ＝4 cm. 又∵⊙O 的半径为5 cm ， ∴CM ＝3 cm ，∴CD ＝2CM ＝6 cm. 14．解：(1)证明：连结OC ， ∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. ∵OA ＝OC ＝OB ，∴△AOC 与△BOC 都是正三角形， ∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ， ∴四边形AOBC 是菱形， ∴AB 平分∠OAC.(2)∵OA ＝AC ，OA ＝AP ，∴AP ＝AC ， ∴∠ACP ＝∠P.∵∠ACP ＋∠P ＝∠OAC ＝60°， ∴∠P ＝30°＝∠ACP ， ∴∠OCP ＝90°.∵OP ＝2，OC ＝1，∴PC ＝OP 2－OC 2＝22－12＝ 3.15．[解析] 欲证AE ＝BF ＝CD ，∵C ，D 是AB ︵的三等分点，∴AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，∴AC ＝CD ＝BD.∴只要证明AE ＝AC ，BF ＝BD 即可．要证AE ＝AC ，考虑证明∠ACE ＝∠AEC ，联想到∠AOC ＝13∠AOB ＝30°，∠OAB ＝45°，只要求得∠ACE 和∠AEC 的度数即可．证明：连结AC ，BD.∵C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ， AC ＝CD ＝BD.∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°， ∴∠AOC ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACO ＝75°. 又∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°，∴∠AEC ＝∠EAO ＋∠AOC ＝45°＋30°＝75°， ∴∠ACE ＝∠AEC ＝75°，∴AE ＝AC. 同理可证BF ＝BD ，∴AE ＝BF ＝CD.。