九年级数学圆周角定理

九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。

二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。

2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。

3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。

4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。

5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。

6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。

2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。

3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。

4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。

四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。

2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。

3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。

这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。

九年级上册数学圆弧的定理及推导过程数学中的圆弧定理是指圆周角的性质和相关推导过程。

圆周角是指以圆心为顶点的角，它的顶点在圆上，两边则是圆上的弧。

一、圆周角的性质：1.一个角的度数等于它所对的弧的度数；2.同样角所对的弧长相等；3.同样圆心角所对的弧长与圆的半径成正比；4.同样圆心角所对的弧长与与之所对的弧长成正比。

根据这些性质，可以得出圆弧的定理：二、定理1：两个圆心角所对的弧长比等于这两个角的比值。

推导过程：假设有两个圆，对应的圆心角是A和B，对应的弧长是a和b，根据圆周角的性质2和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，对应的弧长比等于两个圆心角的比值。

这就是圆弧的定理1。

三、定理2：在同一条弦上的两个圆心角，它们所对的弧长的比等于这两个角的比值。

推导过程：假设有两个圆，它们的圆心角是A和B，它们所对的弧长是a和b，它们之间的弦是CD，根据圆周角的性质3和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，在同一条弦上的两个圆心角所对的弧长的比等于这两个角的比值。

这就是圆弧的定理2。

四、定理3：位于同一个圆上，且顶点相同的两个圆心角，它们所对的弧长的比等于这两个角的比值。

推导过程：假设有一个圆，它上面的两个圆心角是A和B，它们所对的弧长是a和b，根据圆周角的性质2和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，在同一个圆上、且顶点相同的两个圆心角所对的弧长的比等于这两个角的比值。

这就是圆弧的定理3。

五、定理4：一个角是其对应的弧长的两倍。

推导过程：假设有一个圆，它上面的圆心角是A，所对的弧长是a，根据圆周角的性质1可得：∠A = 2a即，一个角是其对应的弧长的两倍。

这就是圆弧的定理4。

通过以上的圆弧定理及推导过程，可以更好地理解圆周角和弧长之间的关系，应用它们来解决相关的几何问题。

在实际问题中，圆弧定理可以帮助我们计算弧长、角度等内容，提供了更多的解题方法和思路。

人教版初三上册数学第24章知识点复习：
圆周角定理及推论
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
以上就是为大家整理的人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

第五节圆周角知识点梳理【知识点一】圆周角定理1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半【知识点二】圆周角定理的推论推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直径；90o的圆周角所对的弦是直径推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等典例分析【题型一】圆周角的识别【例1】如图，指出图中的圆周角。

A.1个B.2个C.3个D.4个【题型二】利用圆周角定理求交的度数【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD，BC为弦，CD∥AB，∠BOD=50°，求∠CPD的度数。

【题型三】利用圆周角定理及其推论判断角之间的数量关系【例1】如图AB是⊙O的直径,CD 是⊙O的弦AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C,D重合) ,求证: ∠CPD= ∠COB(2)点P'在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CP'D与∠COB有怎样的数量关系?请证明你的结论。

【变式1】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D，使DC=CB,延长DA与⊙O 的另一个交点为E,连结AC,CE.则∠B与∠D 的大小关系怎样?请说明理由.【题型四】利用圆周角定理及其推论证明弧相等【例1】如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作OA,分别交BC,AO于E,F两点,交BA=的延长线于点G，证明: EF FG=【变式1】如图，AB，CD是⊙O的弦，∠A=∠C，求证：AB CD【题型五】利用圆周角定理及其推论证明线段相等【例1】如图,AB是⊙O的直径，D是BC的中点，AC，BD的延长线相交于点E，证明：AE=AB【变式1】如图,AB是⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于点D，求证：AC=DC【题型六】利用圆周角定理及其推论求线段的长度【例1】如图，在⊙O中，AD为直径，OB⊥AD交弦AC于点B，∠A=30°，OB=5，求BC的长。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

数学九下圆周角圆周角是数学九下的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。

本文将围绕圆周角展开讨论，探索它的定义、性质以及相关的定理。

一、圆周角的定义圆周角是指圆上的两条弧所对应的角。

在一个圆中，从一个点出发，经过圆心到达另一个点所对应的角就是圆周角。

圆周角的大小用弧度或度数来表示。

二、圆周角的性质1. 圆周角的度数或弧度与对应的弧长成正比。

即圆周角越大，对应的弧长也越长。

2. 圆周角所对应的弧长等于圆周长的比例，即圆周角的弧长等于圆周长乘以圆周角的度数或弧度。

3. 两个相等的圆周角所对应的弧长也相等。

4. 圆周角的度数或弧度与对应的扇形面积成正比。

即圆周角越大，对应的扇形面积也越大。

三、圆周角的定理1. 圆周角的平分线经过圆心。

即圆周角的平分线必定经过圆心。

2. 圆周角的平分线相互垂直。

即圆周角的平分线互相垂直。

3. 在同一个圆上，对于圆周角相等的两个弧，它们所对应的弧长也相等。

4. 在同一个圆上，对于相等的弧，它们所对应的圆周角也相等。

5. 在同一个圆上，对于相等的圆周角，它们所对应的弧长也相等。

四、圆周角的应用1. 圆周角的应用之一是在测量角度时的使用。

圆周角的度数或弧度可以用来描述角的大小。

2. 圆周角的应用之二是在解决几何问题时的使用。

通过利用圆周角的性质和定理，可以解决与圆相关的各种几何问题，如扇形面积、弧长等计算问题。

3. 圆周角的应用之三是在物理学中的使用。

在描述物体运动时，常常用到角度的概念，而圆周角提供了一种度量角度的方法。

圆周角是圆上两条弧所对应的角，它具有一系列重要的性质和定理。

通过研究圆周角的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用圆的几何性质，进而解决与圆相关的各种问题。

圆周角在数学九下的学习中占据着重要的地位，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用圆周角的概念。