九年级数学上册_24.1.4圆周角定理及其运用_人教新课标版(最好版本)PPT课件

是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A
E B
C D
A
E ●O
B
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小 C 有什么关系？
24.1.4 圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
C D
E
●O
C
A⌒C所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC
∠ ADC的大小有什么关系？
B
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
D
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
结结论论::
圆圆周周角角的的定定理理：：
在在同同圆圆或或等等圆圆中中，，同同弧弧或或等等弧弧所所对对 的 的的 的圆 圆圆 圆周 心周心角角角角相的相的等一等一，半， 半都 。都 。等等于于这这条条弧弧所所对对
半圆（或直径）所对的圆周角
C2
是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
C3
在同圆或等圆中，相等的圆周 A 角所对的弧相等
·O
B
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
O
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
B
C 所以∠BAC= 1 ∠BOC
2
（2）圆心在∠BAC的内部.
作直径AD. 由于∠BAD= 12∠BOD
A ∠DAC= 12∠DOC，
O 所以∠BAD+∠DAC=
B
C 12（∠BOD+∠DOC）
D
即∠BAC=
1 2
∠BOC
（3）圆心在∠BAC的外部.
D
你能发现什么规律？
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
圆心在一边上 圆心在角内
圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
定理的证明
（1）圆心在∠BAC的一边上.
A 由于OA=OC
∵A⌒B=A⌒B
∴ ∠C= =1/2∠AOB ∴ ∠ACB的度数等于它所 对的弧AB的度数的一半.
规律： 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时,他 所处的位置对球门AC分别形 成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大 小有什么关系?. A
A
E B
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°； C、90°；
B、60°； D、45°
A
B
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B）
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
A ED
O
C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， O
作直径AD.
由于∠DAB=
1 2
∠DOB
∠DAC= 12∠DOC， 所以∠DAC-∠DAB= 12（∠DOC-∠DOB）
即∠BAC=
1 2
∠BOC
A O
D
C
B
圆周角定理
在同圆或等圆中，一条弧 所对的圆周角等于这条弧所 对的圆心角的度数的一半。
∠ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系?
分析:连接OA,OB,
则⊙O的半径是 2 。
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
A B
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
练习
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多
少种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
第二课时 应用
解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
C
BC AB2 AC 2 102 62 8 A O B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
∴AD=BD.
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
课本 练 习
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个 圆周角相等，它们所对的弧 一定相等．
巩固练习：Hale Waihona Puke Baidu
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
探究与思考：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
• 回顾：圆周角定理及推论？
• 思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（
）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类
三角形，并说明理由。
A
解：（1）AB=AC
证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
O· F
又∵DC=BD，∴AB=AC。
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2 求证： △ABC 为直角三角形.
C
A
·
B
O
探究
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长 BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点 F不与点A重合。
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90°。
C1 C2
C3
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是
直角，那么∠AOB是
。
180°
A
O
B 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
归纳：定理
定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论