实数与数轴

实数知识点及典型例题一、实数知识点。

（一）实数的分类。

1. 有理数。

- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。

例如：5，0，-3。

- 分数：正分数、负分数统称为分数。

分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。

例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。

- 有理数：整数和分数统称为有理数。

2. 无理数。

- 无理数是无限不循环小数。

例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。

3. 实数。

- 有理数和无理数统称为实数。

（二）实数的相关概念。

1. 数轴。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。

2. 相反数。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

a的相反数是-a，0的相反数是0。

例如：3与-3互为相反数。

- 若a、b互为相反数，则a + b=0。

3. 绝对值。

- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。

例如：| 5| = 5，| -3|=3。

4. 倒数。

- 乘积为1的两个数互为倒数。

a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。

例如：2的倒数是(1)/(2)。

（三）实数的运算。

1. 运算法则。

- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。

- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。

- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。

2. 运算律。

- 加法交换律：a + b=b + a。

- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。

- 乘法交换律：ab = ba。

课题实数与数轴的关系 教学目标1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系，能估算无理数的大小2. 会求实数的相反数、倒数、绝对值，能比较实数的大小 重难点透视 1．实数与数轴的关系、大小比较、估算和运算教学内容知识整理1、实数与数轴的关系实数与数轴上的点是一一对应的。

每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。

例题：如图，数轴上点A 表示的实数是 ．2、实数的相反数与绝对值相反数:数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个实数。

例：3的相反数是3-。

0的相反数等于0. 绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是他的相反数；0的绝对值是0。

（1） 任何实数的绝对值都是非负数。

即0≥a（2）互为相反数的两个数的绝对值相等，即a a -=例题：的相反数是 ．3、实数的运算实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

（1）实数运算的限制条件：除法运算中除数不能是0，负数不能进行开平方运算。

（2）实数运算的不同结果：若未要求近似计算，则可保留根号或π；若要求近似计算，则用近似有限小数去代替无理数。

（3）实数的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。

4、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.例题：比较52和0.5的大小 基础训练1．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a ﹣b |的结果为（ ）A ．a +bB ．a ﹣bC ．b ﹣aD ．﹣a ﹣b2．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n +q ＝0，则m ，n ，p ，q 四个实数A．p B．q C．m D．n3．在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A．②③ B．②③④C．①②④D．②④4．计算题（1）（2）（4）（3）（5）|﹣3|+（6）（7）（8）5．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c|（1）和4；（2）和0.5．7．已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．8.在数轴上表示下列各数，π，|﹣4|，0，﹣，并把这些数按从小到大的顺序进行排列9.如图所示是小军同学设计的一个计算机程序，请你仔细看懂后完成下题：（1）若输入的数x＝5，输出的结果是．（2）若输出的结果是0且没有返回运算，输入的数x是．（3）请你输入一个数使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算则可输出结果，你觉得可以输入的数是，输出的数是．提高训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b2．如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n3．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（）A．B．1﹣C．D．2﹣4．实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|．5．已知a，b为正实数，试比较+与+的大小．6．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．7．已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a、b的值；（2）求3a﹣b2的值．8、已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+3）2的值．9．计算：（1）2+++|﹣2| （2）+﹣．3 （3）+|﹣2|++（﹣1）2011（4）||+||+．（5）|﹣3|﹣×+（﹣2）3．（6）﹣14﹣2×．10．化简求值：（），其中a＝2+．11、若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．12、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．课后作业1.计算：﹣+||+．2．计算：．3．求值：+（）2+（﹣1）2015．4．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求的值。

实数与数轴知识点总结实数是数学中的一个重要概念，对于数学的学习有着非常重要的作用。

实数包括有理数和无理数两部分，是数学中最基本的数学概念之一。

数轴是表示实数的一种图形工具，用于在数学中对实数进行可视化表示，方便我们对实数进行研究和运算。

本文将对实数与数轴的相关知识点进行总结，希望能对大家有所帮助。

一、实数的定义实数是数学中的一种基本的数学概念，它包括有理数和无理数两部分。

有理数是可以表示为两个整数的商的数，而无理数则是不能表示为有理数的数。

实数可以用小数表示，例如，有理数可以表示为有限小数或者循环小数，而无理数则是不循环、无限不循环的小数。

二、有理数有理数是可以表示为两个整数的商的数，包括整数和分数两种形式。

整数是不带小数部分的有理数，分数是带有分母和分子的有理数。

1. 整数整数包括正整数、负整数和零三种类型。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零则是一个特殊的整数。

2. 分数分数是有理数的一种形式，它可以表示为一个整数与一个非零整数的比值。

分数可以化简为最简分数，也可以表示为带分数或者混合数。

三、无理数无理数是不能表示为有理数的数，它是无限不循环小数的形式。

无理数包括开方数和圆周率等，例如，√2、π等都是无理数。

四、数轴数轴是一种用于表示实数的有向直线，它是实数的图形表示方式。

数轴将实数表示为一维空间上的点，方便我们对实数进行可视化表示和研究。

数轴一般用于进行实数的比较、运算和研究。

1. 数轴的建立数轴的建立需要选择一个原点作为参照点，并沿着直线的一个方向标出正数，另一个方向标出负数。

数轴上的每个点表示一个实数，它与原点的距离表示这个实数的大小。

2. 数轴上的实数数轴上的实数按照大小顺序排列，较大的实数在数轴上的位置较靠右，较小的实数在数轴上的位置较靠左。

数轴上相邻的两个整数之间的距离为1，而相邻的两个分数之间的距离根据它们在数轴上的位置来确定。

3. 数轴上的点数轴上的每个点表示一个实数，它与原点的距离表示这个实数的大小。

12.2实数与数轴◆随堂检测1、下列各数：23，722-，327-，414.1，3π-，12122.3，9-，••9641.3中，无理数有 个，有理数有 个，负数有 个，整数有 个.2、33-的相反数是 ，|33-|=57-的相反数是 ，21-的绝对值=3、设3对应数轴上的点A ，5对应数轴上的点B ，则A 、B 间的距离为4、若实数a<b<0，则|a| |b|；大于17小于35的整数是 ；比较大小：3 55、下列说法中,正确的是( )A .实数包括有理数,0和无理数B .无限小数是无理数C .有理数是有限小数D .数轴上的点表示实数.◆典例分析例： 设a 、b 是有理数，并且a 、b 满足等式2522-=++b b a ，求a+b 的平方根分析：先将已知式子变形，再结合有理数的意义，可找到解决问题的突破口.解：∵ 2522-=++b b a∴ 02)5(2=+++b b a∵ a 、b 是有理数∴ a+2b 、b+5都为有理数要使b a 2+与2)5(+b 的和为0. 只有a+2b=0 ，b+5=0时才成立∴ a=10 b=-5∴b a 2+的平方根是5±，即52±=+±b a◆课下作业●拓展提高一、选择1、 如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为 （ ）A．2－1 B ．1－2 C ．2－2 D ．2－22、设a 是实数，则|a|-a 的值（ ）A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是整数也可以是负数二、填空3、写出一个3和4之间的无理数4、下列实数1907，3π-，0，49-，21，31-，1.1010010001…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m 个有理数，n 个无理数，则n m =三、解答题5、比较下列实数的大小（1）|8-| 和3 （2）52- 和9.0- （3）215-和87 6、设m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值.● 体验中考1．（2011年青岛二中模拟）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ）A ．2-B ．1-C ．2-+D ．1+答案：A2．（2011年湖南长沙）已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a - C A 0 B（第46题图）3、（2011年江苏连云港）实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b < 答案D4、（2011年浙江省杭州市模2）如图，数轴上点A 所表示的数的倒数是（ ）A. 2-B. 2C.12 D. 12- 答案：D参考答案：随堂检测：1、2，6，4，22、33-，33- ，75-，12-3、35-4、>,5,>,<5、D拓展提高：1、C2、B 点拨：分情况讨论：①当0≥a 时，|a|-a=a-a=0②当0<a 时，|a|-a=-a-a=-2a ，因为0<a ，所以-2a>0, 故|a|-a 不可能是负数3、10,π等不惟一4、34 点拨：由题意知m=4 n=3 所以n m =345、(1) |8-| <3 点拨：|8-| =8=8.222≈ (2) 52- >9.0- 点拨：8.052-≈-，而|-0.8| <|-0.9|,所以-0.8>-0.9 (3) 215-<87 点拨：236.115≈-，故215-=0.618，故215-<87=0.875 0 （第8题图）6、解：因为16139<< 所以4133<<,故m=3,n=313-所以m-n=3-(313-)=136-。

数学实数知识点在日复一日的学习中，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺帮大家整理的数学实数知识点（精选8篇），仅供参考，欢迎大家阅读。

数学实数知识点1实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

1、实数的分类：有理数和无理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

实数和数轴上点一一对应。

3、相反数：符号不同的两个数，叫做互为相反数。

a的相反数是-a，0的相反数是0。

(若a与b护卫相反数，则a+b=0)4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。

5、倒数：乘积为1的两个数6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。

(平方和立方)7、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。

(算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。

)数学实数知识点21.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。

(表为：x0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

第十二章 实数第三节 实数的运算§12.5 用数轴上的点表示实数教学目标理解每一个实数都可以用数轴上一个点来表示，知道数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示，能将一个实数用数轴上大致位置的点表示出来。

知道两数各自对应的点在数轴上的位置与这两个数大小之间的关系；知道数的范围扩充后，有理数范围内已有的绝对值、相反数等有关概念，在实数范围内依然成立，会求实数的绝对值、相反数，会对实数的大小进行比较；会根据数轴上两点所对应的实数求这两点间的距离。

知识精要1.实数与数轴的关系：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.2.绝对值与相反数：一个在实数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

实数a 的绝对值记作a .一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为⎩⎨⎧<-≥=时。

当时；当0,0,a a a a a 就是说实数a 的绝对值是一个非负数，即0≥a ，并且有若a x =(0≥a )，则a x ±=.绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零。

非零实数a 的相反数是a -. 在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且到原点的距离相等。

具体地，若a 与b 互为相反数，则0=+b a ；反之，若0=+b a ，则a 与b 互为相反数.有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。

3.实数大小比较：负数小于零；零小于正数.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.4.数轴上两点距离公式：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为b a 、，那么A 、B 两点的距离为b a -.经典题型精讲(一)数轴上的点与实数例1.如图，数轴上表示21、对应的点分别为B A ,，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是( )A .12-B .21-C .22-D .22-举一反三：在数轴上分别标出35-、5所对应的点的大致位置。