苏科初中数学八年级上册 实数与数轴讲义

课题八年级数学实数一、教材简解1、教学内容：《实数》是苏科版八年级上册第四章第三节内容。

本节共两课时,我所说的第一课时的内容，包括（1）了解实数的概念，知道无理数是客观存在的，（2）知道实数与数轴上的点一一对应。

2、教材的地位和作用：本节课是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数范围扩充到实数范围。

在中学阶段，大多数问题是在实数的范围内研究的，它也是进一步二次根式、一元二次方程以及函数等知识的基础。

因此，让学生正确而深刻地理解实数是非常重要的。

二、目标预设•知识与技能 1.从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别。

2.了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。

•过程与方法通过无理数的引入，经历数系从有理数扩展到实数的过程，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力。

•情感态度与价值观培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想。

三、教学重点难点•教学重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。

•教学难点无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。

四、设计理念自主探究—交流—发现五、设计思路新课改倡导积极主动，勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生；因此本节课主要采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法。

本课设计了这样五个环节：1、创设情境，激情投入，明确目标，2、学案引导，自主探究，指向目标，3、聚集重点，合作探究，初达目标，4、总结梳理、整合提高、内化目标，5、达标检测，反馈矫正，反思目标。

通过多媒体展示充分调动了学生积极性。

□A1 11 1 11 1 A A A A A A a 3 4 5 6 O六、教学过程教师活动学生活动 设计意图【课前准备】1、 叫有理数。

2、数轴的三要素是 。

3、 叫无理数。

一、创设情境，激情投入，明确目标 活动一 认识无理数多媒体展示，问题1：如图…=1,= …=°，求的值.问题2：你能画出分别为2 cm 、3 cm 、5cm …的线段吗? 问题3：画半径为1 cm 的圆，计算这个圆的周长、面积． 二、学案引导，自主探究，指向目标 活动二 数的分类 如果一个数可以写成 a b（a b 都是整数，b ≠0）的形式，这个数叫有理数。

实数与数轴 重难点易错点辨析 实数与数轴． 题一：如图，在数轴上点A 与点B 之间的整数是 __ ． 72B A实数比大小．题二：比较大小：(1)12-与13-；(2)1338-与18；(3)57与75．金题精讲 题一：点A 在数轴上和原点相距3个单位，点B 在数轴上和原点相距5个单位，则A 、B 两点之间的距离是__ __．题二：数轴上表示1和2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，O 为原点．(1)线段长度：AB = ，AC = ，OC = ．(2)设C 点表示的数为x ，试求|x 2|+x 的值．题三：设A 、B 均为实数，且A m B m 33,3=-=-，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ＞B B ．A =BC ．A ＜BD ．A ≥B题四：比较下列各组数的大小．(1)315-与15；(2)233-+与447-．思维拓展题一：若有理数m 、n 满足m n 55100+=，求m +n 的值．实数与数轴讲义参考答案重难点易错点辨析题一：2．题二：(1)>；(2)<；(3)<．金题精讲题一：53-，22-；(2)2．题三：D．题四：(1)<；(2)>．-，21+．题二：(1)21-或53思维拓展题一：2．赠送文档，欢迎留存！初中期末评语：一、表现一般、成绩较好1、头脑灵活，思维敏捷是你的优点；学习积极也是你的优点……但是你也有没有做好的地方，那就是在平时表现上过于“安静”，对班级和各项活动不能做到积极参与，有时还抱着无所谓的态度。

要知道我们学习是要做到德、智、体全面的发展，光学习好可不是真正的好。

希望以后能积极参加各种有益的文体活动！2、你的成绩很好，这是大家公认的。

老师知道这和你的努力是分不开的。

不过在其他方面你做的还不够，如参加集体活动的热情，参加劳动的积极性，帮助同学方面。

我们在学校学习，班里学习，学校班级就成为一个大集体，我们不但要个人努力，也要为集努力，大家好才是真得好！二、表现一般、成绩一般1、不要计较老师总批评你，其实老师是喜欢你的，喜欢你聪明，对老师、同学热情。

八年级上册实数知识点讲解在数学学科中，实数是非常重要的一个概念。

它是指所有普通数字的集合，包括正数、负数和零。

在八年级上册中，实数也是重点学习内容之一。

本文将对八年级上册实数的知识点进行全面讲解，以便帮助学生加深对实数的理解。

一、实数的基础概念实数是指所有常见的数字集合，包括正数、负数和零。

实数的表示方法可以用数轴来表示。

其中，数轴的正方向表示正数，反方向表示负数，原点表示零。

在数轴上，任何一个实数都可以表示为一个唯一的点。

二、绝对值的概念绝对值是一个实数的非负值，表示这个数到零的距离。

比如绝对值为5的实数表示这个数与零的距离为5。

绝对值的表示方法可以用两个竖线（如|4|表示4的绝对值为4）来表示。

三、实数的运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。

具体表示为：①交换律：a + b = b + a②结合律：(a + b) + c = a + (b + c)③分配律：a * (b + c) = a * b + a * c2. 实数的减法实数相减，可以转换为实数相加，即 a - b = a + (-b)。

其中，-b 表示b的相反数。

实数的减法满足结合律和分配律，但不满足交换律。

3. 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

具体表示为：①交换律： a * b = b * a②结合律： (a * b) * c = a * (b * c)③分配律： a * (b + c) = a * b + a * c4. 实数的除法实数的除法用分数表示。

若b不为0，则a/b = a * (1/b)。

其中，1/b表示b的倒数。

实数的除法满足结合律和分配律，但不满足交换律。

四、实数的大小比较实数的大小比较可以通过比较它们的绝对值大小来实现。

其中，绝对值越大的实数，其大小越大；绝对值相等的实数，需要进一步比较它们的正负。

五、实数的平方与平方根实数的平方是该实数与自身相乘的结果，即a² = a * a。

第26讲实数新知新知点 1. 无理数无穷不循小数叫做无理数。

我在接触到的无理数主要分三：一，有特定意的数二，开方开不尽的数（包含平方和立方）三，拥有一些其余律或无律的无穷不循小数例 1：以下的是（）A.不可以化分数的数是无理数B.无理数与有理数的和还是无理数C.根号的数都是无理数⋯是无理数知点 2.数把有理数和无理数称数。

也就是，我在学的数有以下分：（一下非数和非正数）例 2：（ 1）3 6 的是， 2 的相反数是， |3.14 －π|=；（2）相反数等于自己的数是，倒数等于自己的数是，等于自己的数是。

知点 3.数的算除了才到的相反数、、倒数外，数在运算程中也同依照以前我学的运算律和性，比方：(3 5 2) 3(15)=35 2 3 35=1例题 3：计算：2（ 2 2）-（2 2+3）2335金题精讲π， 0，22题一：以下各数：9 ，，7， 1 2 中，无理数的个数为（）2题二：如图， A 点是以单位长度为直径的圆上一点，且A与原点重合，将圆向正方向转动一周， A运动到了 A′点，则 A′所对应的数是。

A A'–2–1 01234题三：实数分为整数部分和小数部分。

实数的整数部分是指不大于实数自己的最大整数，比方，最凑近17 且不大于17 的整数是4，因此17 的整数部分是 4.近似的，35 的整数部分是， 5 的整数部分是。

实数的小数部分是指这个实数减去它的整数部分，比方，17 的小数部分就是17 4。

那么，35 的小数部分是， 5 的小数部分是。

第26讲实数新知新讲例 1：C例 2：（1）3 62π －（2）0± 1非负数例3：22352金题精讲题一： B题二：π题三： 5335535。

苏科版八年级上册第4章实数知识点详细总结第4章实数（1）定义:如果x 2=a(a≥0), 那么x 叫做a 的平方根1）一个正数有两个平方根, 它们互为相反数（2）性质2）0的平方根是03）负数没有平方根1. 平方根（3）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方1）定义:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根（4）算术平方根（2）规定:0的算术平方根是03）性质:, 即0,a ≥05）意义:(2=a(a≥0)a(a≥0)-a(a＜0)（1）定义:如果x 3=a,那么x 叫做a 的立方根（1）正数的立方根是正数（2）性质实数2. 立方根（2）0的立方根是0（3）负数的立方根是负数（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方4）意义(3=a（13. 实数=a（1）正实数（2）03）负实数1）有理数1. 2. 按概念2）无理数-----无限不循环小数实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样（2实数与数轴上的点是一一对应关系有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用与有理数的运算法则、运算律相同定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数4. 精确度：常用四舍五入法对近似数进行精确4.1平方根一、平方根的概念及表示拓展延伸：（1）由平方根的意义可知，x=±把x=±x 2=a，得（±2=a（a ≥0）.（2）当a ≥0时，我们说式子a ＜0时，式子二、平方根的性质1. 正数有两个平方根，它们互为相反数。

如果a ＞0，那么a 的平方根为±2.0有一个平方根，就是0，即3. 负数没有平方根三、开平方注意：开平方是求一个非负数的平方根的运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是一对相反数。

四、算术平方根的概念及性质1）定义:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根（2）规定:0的算术平方根是0算术平方根3）性质:, 即0,a ≥0当a ≥0时，=a五、算术平方根与平方根的区别与联系联系：（1）具有包含关系；（2）存在条件相同：被开方数为非负数；（3）0的平方根、算术平方根都是0.4.2立方根一、立方根的概念及表示一般地，如果x 3=a,那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作“，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数（注意：根指数3不能省略）。

苏科版初二数学?实数?复习讲义一、知识体系：二、知识点：1、平方根的概念：如果x2〔a≥0〕，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根。

2、表示方法：数a〔a≥0〕的平方根记作±a。

其中a表示a的正的平方根，也叫a的算术平方根。

－a表示a的负的平方根。

3、平方根的性质：〔1〕一个正数有两个平方根，它们互为相反数；〔2〕0的平方根是0；〔3〕负数没有平方根。

注意：〔1〕在x2中，因为x2≥0，所以a≥0.〔2〕求一个数的平方根，是指把所有平方后等于这个数的数都求出来，而判断一个数是不是另一个数的平方根，是检验，也就是把这个数平方之后看是不是等于另一个数，二者含义不同，要求也不同。

4、开平方〔难点〕开平方是一种运算，开平方就是求二次方根。

求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

其中a 叫做被开方数。

注意：〔1〕开平方时，被开方数a 必须是非负数〔a ≥0〕。

〔2〕开平方是求一个非负数的平方根。

〔3〕开平方是一种运算，开平方及平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个非负数，而一个数〔非负数〕的平方根是一对互为相反数。

应用举例：求以下各数的平方根：〔1〕121 〔2〕22514 5、开平方运算常用的两个重要性质： 〔1〕a 2，当a ≥0时，a 2；当a ＜0时，a 2 〔2〕a 2〔a ≥0〕 应用举例：实数a 、b 、c 在数轴上对应点如下图。

化简()b a -2－＋＋＋＋()c a c a --26、算术平方根〔重点〕我们把正数a 的正的平方根a 叫做算术平方根，记为“a 〞。

如22=4，那么2就叫做4的算术平方根。

0的算术平方根是0，一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数。

注意：平方根是一对相反数，算术平方根是两个平方根中的非负数。

应用举例：〔1〕361的算术平方根是〔 〕 A 、61B 、361 C 、－61 D 、±61 〔2〕物理学中自由落体运动公式：212〔g 是重力加速度，它的值约为102〕，如果物体降落的高度125m，求降落的时间。

实数与数轴的学习要点随着社会的发展和实际生活的需要，人们引进了实数．由于实数的初来乍到，同学们不免感觉有点陌生，因此，建议同学们在学习实数时应注意掌握以下几个要点：一、能正确理解实数的有关概念我们已经知道整数和分数统称为有理数．并规定无限不循环小数是无理数，这样我们把有理数和无理数统称为实数,即实数这个大家庭里包括有理数和无理数两大成员．学习时应注意分清有理数和无理数是两类完全不同的数,就是说如果一个数是有理数，那么它一定不是无理数，反之，如果一个数是无理数，那么它一定不是有理数．二、正确理解实数的分类实数的分类可从两个角度去思考：（1）按定义来分类；（2）按正、负数来分类．具体地见下表：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数　负无理数或实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数　正有理数正实数由此可见，0在实数里也扮演着重要角色．我们通常把正实数和0合称为非负数,把负实数和0合称为非正数．三、正确理解实数与数轴的关系实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁,并且到原点的距离相等．实数a的绝对值就是在数轴上这个数点到原点的距离．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数,右边的总大于左边．四、熟悉掌握实数的有关性质实数和有理数一样也有许多的重要性质．具体地讲可从以下几方面去思考：1．相反数：实数a的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a与b互为相反数，则a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，则a与b互为相反数．2．绝对值：一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．实数a的绝对值可表示为()()0,0.a aaa a⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即.0≥a并且有若()0,x a a x a==±≥．3．倒数: 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．4．实数大小的比较：任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．5．实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数和０可以开平方．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除,最后算加减，有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

第4章实数4.3 实数课程标准课标解读1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类2.了解实数与数轴上点的一一对应关系3.会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小1.在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类2.了解有理数、无理数以及实数的有关概念，理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值几何概念3.画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴表示大小知识点01 实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等目标导航知识精讲【微点拨】（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.【即学即练1】1．在下列实数中，是无理数的为（ ） A ．16B C ．1.01001D 【答案】B 【分析】根据无理数的定义求解即可． 【详解】 解：A ．16是分数，属于有理数； BC ．1.01001是有限小数，属于有理数；D 3，是整数，属于有理数； 故选：B ．知识点02 实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

实数与数轴重难点易错点辨析 实数与数轴．题一：如图，在数轴上点A 与点B 之间的整数是 __ ． 72B A实数比大小．题二：比拟大小： (1)12-与13-；(2)1338-与18；(3)57与75．金题精讲 题一：点A 在数轴上和原点相距3个单位，点B 在数轴上和原点相距5个单位，那么A 、B 两点之间的距离是__ __．题二：数轴上表示1和2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，O 为原点．(1)线段长度：AB = ，AC = ，OC = ．(2)设C 点表示的数为x ，试求|x 2|+x 的值．题三：设A 、B 均为实数，且A m B m 33,3=-=-，那么A 、B 的大小关系是( )A ．A ＞B B ．A =BC ．A ＜BD ．A ≥B题四：比拟以下各组数的大小．(1)315-与15；(2)233-+与447-．思维拓展题一：假设有理数m 、n 满足m n 55100-+=，求m +n 的值．实数与数轴讲义参考答案重难点易错点辨析题一：2．题二：(1)>；(2)<；(3)<．金题精讲 题一：53-或53+．题二：(1)21-，21-，22-；(2)2．题三：D ．题四：(1)<；(2)>．思维拓展题一：2．9.1 单项式乘单项式力．教学重点：理解单项式相乘的法那么，会进行单项式的乘法运算．教学难点：能运用单项式乘以单项式的法那么解决实际问题．【情景创设】用6个边长为a 的小正方体拼成一个长方体，并用不同的方法表示你所拼出来的长方体的体积，从不同的表示方法中，你能发现些什么？〔1〕体积的表示方法；〔2〕面对你的侧面积的表示方法． 探索新知让学生在交流的根底上思考以下问题：〔1〕体积的表示方法：①3a ·2a ·a ＝________________＝6a 3，②3a ·2a ·b ＝________________＝6a 2b ．侧面积的表示方法：3a ·2a ＝________________＝6a 2．〔2〕从不同的表示中你发现了什么？〔3〕通过下面两个计算我们来进一步的探讨：〔2a 2b 〕〔3ab 2〕＝［2 ×3］•〔a 2•a 〕〔b •b 2〕＝6a 3b3 系数相乘 相同字母 相同字母〔4ab 2〕〔5b 〕＝［4×5］•〔b 2• b 〕•a ＝20ab 3系数相乘 相同字母 只在一个单项式中出现的字母你能告诉大家你算出的结果吗？你是怎样来思考的呢？通过探索得到单项式乘单项式的计算法那么：〔1〕将它们的系数相乘；〔2〕相同字母的幂相乘；〔3〕只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．【展示交流】例 1 计算：① －13a 2·(－6ab )； ② 6x 2·(－2x 2y )． 注：教师强调格式标准，板书过程．〔通过计算引导学生发现单项式与单项式相乘时，一找系数，二找相同字母的幂，三找只在一个单项式里出现的字母．〕练习1：判断正误：〔1〕3x 3·(－2x 2)＝5x 3； 〔2〕3a 2·4a 2＝12a 2； 〔3〕3b 3·8b 3＝24b 9；〔4〕－3x ·2xy ＝6x 2y ； 〔5〕3ab ＋3ab ＝9a 2b 2．练习2：课本练一练 第1、2题．例 2 计算：〔1〕(2x )3·(－3xy 2)； 〔2〕(－2a 2b )·(－a 2)·14bc ． 注：遇到乘方形式先用积的乘方公式展开，然后转化为单项式乘以单项式的形式，再根据今天所学内容计算．练习3：计算：〔1〕(a 2)2·(－2ab ) ；〔2〕－8a 2b ·(－a 3b 2) ·14b 2 ； 〔3〕(－5a n ＋1b ) ·(－2a )2；〔4〕[－2(x －y )2]2·(y －x )3．【盘点收获】【课后作业】补充习题和同步练习。