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第3讲 实数⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩实数的分类实数的相关概念：平方根、算术平方根、立方根实数的运算法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数的运算律实数的相关计算实数的运算顺序实数的比较大小估算一个实数的大小1． 算术平方根、平方根及立方根的概念及表示方法是什么？2． 算术平方根、平方根及立方根之间有什么区别和联系3． 算术平方根有哪些性质？前章回顾知识网络图中考说明3.1无理数与实数一．无理数1． 概念：无限不循环的小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2． 性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a b +，a b -是无理数； 二． 实数1． 概念：有理数和无理数统称为实数． 2． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数0⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数3． 实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数a -． （2）任何非0实数a ，都有倒数1a． （3）正实数的绝对值是它本身；负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 4． 实数与数轴上的点是一一对应：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 数轴上的任意两点．概念辨析【例1】 （2013年房山期末）在0.25，，，，，0.021021021…中，无理数的个数（）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个【例2】 有下列说法中正确的说法的个数是（）（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示．【例3】 判断正误．（1） 实数是由正实数和负实数组成．（） （2）0属于正实数．（）（3） 数轴上的点和实数是一一对应的．（） （4） 若x =x =．（）2π72239121例题精讲【例4】 把下列各数填入相应的集合：1－、π、 3.14-、120.7、0． （1）有理数集合｛｝； （2）无理数集合｛｝； （3）整数集合｛｝； （4）正实数集合｛｝； （5）负实数集合｛｝．【例5】A ．B ．2E ．0，问题的答案是（只需填字母）：_________________【例6】 （2011_______；3π-= __________． 【例7】 若直径为2个单位长度的圆上的点A 的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A 2πB ．4πC 2πD 4π3.2实数的大小比较及估算一．实数大小的比较方法： 1． 正实数大于0，负实数小于0． 2． 两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的反而小．3． 数轴上的两个实数右边的实数比左边的实数大． 二． 无理数大小的比较方法： 1． 通过被开方数比较两数的大小：0a >，0b >时，若a b >；若a b < 若a b =2． 平方法：0a >，0b >时，若22>若22<； 若2＝23． 作差法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <． 4． 作商法：0a >，0b >时，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <．【例8】 把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1414．，π，0.6，34-，例题精讲概念辨析【例9】 实数2.6A．2.6< B．2.6<C2.6<D2.6【例10】化简：（1）21（2【例11】（2012的大小应在（）A ．7.0~8.0之间B ．8.0~8.5之间C ．8.5~9.0之间D ．9~10之间【例12】（2012年第44中学）已知a b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值3.3实数的综合【例13】已知m A =3n m -+的算术平方根，2m n B -=7m n +的立方根，求B A +的平方根．【例14】设x 、y 都是有理数，且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求x y -的值.试一试：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的x 、y 的值.例题精讲【例15】（2013年西城期末）阅读与思考：我们规定：用[]x 表示实数x 的整数部分，如[]3.143=，2=，在此规定下解决下列问题： （1）填空：++++ =_________； （2）求+++++ 的值．基础演练【练1】 下列说法正确的是（）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【练2】 下列说法正确是（）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【练3】 （2014杨浦区三模）点A 是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．点A 表示的数一定是正数B ．点A 表示的数一定是分数C ．点A 表示的数一定是有理数D ．点A 表示的数可能是无理数【练4】 （2012年北京四中期末）下列说法正确的是（）．A ．一个无理数不是正数就是负数B ．8的立方根是2±C ．3D【练5】 （2012年东城期末）下列实数12-，4π13，A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【练6】 写出一个有理数和无理数，是它们都是大于2-的负数：___________（答案不唯一） 【练7】 ________；的倒数是________的绝对值是________．【练8】 （2011年北师大月考）81的平方根是_________________；64-的立方根是_________．【练9】 （2012年北京四中期末）若2x -是8的立方根，则x 的平方根是___________．【练10( )A ．6-B ．6C ．6±D ．【练11】 数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是___________．全能突破【练12】 计算：（1（2【练13】 3.141π-＝______；|=______．【练14】 （2013年怀柔期末）如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点共有__________个．【练15】 （2012年北京四中期末）大于_____________【练16】 （2012年海淀期末）已知整数m满足1m m <+，则m 的值为（）A ．4B ． 5C ．6D ．7【练17】 如果a的整数部分，b的小数部分，a b -=__________．【练18】 计算下列各组算式，观，察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1； （2（3（4（5；（6(0,0)a b ≥≥．能力提升【练192___________；_________；2的绝对值是________【练20】 最大的负整数是_________，最小的正整数是_________，绝对值最小的实数是_______，不超过__________.【练21】 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a -没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10（34）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．【练22】 （2013年北大附中）求下列各题中字母的值：（1） 若24x =，求x 的值； （2） 若3a -=-，求a 的值； （3） 若a a >-，那么a 可能是什么数？【练23】 已知01x <<，则21x x x、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【练24】 计算:（12）2(2)-【练25】 （134+（2）1-+++【练26】 （2012年东城期末）估计2A ．6到7之间B ．5到6之间C ．4到5之间D ．3到4之间【练27】 【巩固】（2013年大兴期末）已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b +=____________【练28】 若a 2的整数部分，1b -是9的平方根，且||a b b a -=-，求a b +的算术平方根．【练29】 先阅读理解，再回答下列问题：，且121；23<2；=343；n 为正整数）的整数部分为______，请说明理由．【练30】 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.144=⨯=；4=4=【练31】 观；==然数()1n n ≥的等式表示出来：_____________________巅峰突破【练32】设A，B=则A、B中数值较小的是________．【练33】已知20152(4axa-=+，求x的个位数字。
课题实数与数轴的关系 教学目标1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系，能估算无理数的大小2. 会求实数的相反数、倒数、绝对值，能比较实数的大小 重难点透视 1．实数与数轴的关系、大小比较、估算和运算教学内容知识整理1、实数与数轴的关系实数与数轴上的点是一一对应的。
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。
例题：如图，数轴上点A 表示的实数是 ．2、实数的相反数与绝对值相反数:数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个实数。
例：3的相反数是3-。
0的相反数等于0. 绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是他的相反数；0的绝对值是0。
（1） 任何实数的绝对值都是非负数。
即0≥a（2）互为相反数的两个数的绝对值相等，即a a -=例题：的相反数是 ．3、实数的运算实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
（1）实数运算的限制条件：除法运算中除数不能是0，负数不能进行开平方运算。
（2）实数运算的不同结果：若未要求近似计算，则可保留根号或π；若要求近似计算，则用近似有限小数去代替无理数。
（3）实数的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。
4、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.例题：比较52和0.5的大小 基础训练1．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a ﹣b |的结果为（ ）A ．a +bB ．a ﹣bC ．b ﹣aD ．﹣a ﹣b2．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n +q ＝0，则m ，n ，p ，q 四个实数A．p B．q C．m D．n3．在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A．②③ B．②③④C．①②④D．②④4．计算题（1）（2）（4）（3）（5）|﹣3|+（6）（7）（8）5．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c|（1）和4；（2）和0.5．7．已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．8.在数轴上表示下列各数，π，|﹣4|，0，﹣，并把这些数按从小到大的顺序进行排列9.如图所示是小军同学设计的一个计算机程序，请你仔细看懂后完成下题：（1）若输入的数x＝5，输出的结果是．（2）若输出的结果是0且没有返回运算，输入的数x是．（3）请你输入一个数使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算则可输出结果，你觉得可以输入的数是，输出的数是．提高训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b2．如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n3．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（）A．B．1﹣C．D．2﹣4．实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|．5．已知a，b为正实数，试比较+与+的大小．6．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．7．已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a、b的值；（2）求3a﹣b2的值．8、已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+3）2的值．9．计算：（1）2+++|﹣2| （2）+﹣．3 （3）+|﹣2|++（﹣1）2011（4）||+||+．（5）|﹣3|﹣×+（﹣2）3．（6）﹣14﹣2×．10．化简求值：（），其中a＝2+．11、若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．12、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．课后作业1.计算：﹣+||+．2．计算：．3．求值：+（）2+（﹣1）2015．4．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求的值。
2024年《实数》实数教学标准课件一、教学内容本节课选自2024年教材《数学》七年级下册第十章《实数》，主要内容包括：实数的定义，无理数的概念及其与有理数的区别，实数的分类，实数与数轴的关系，以及实数的四则运算法则。
二、教学目标1. 理解实数的定义，掌握实数的分类及特点。
2. 掌握无理数的概念，了解无理数与有理数的区别。
3. 学会使用数轴表示实数，并能解决相关问题。
三、教学难点与重点难点：无理数的概念，实数的四则运算。
重点：实数的定义，实数与数轴的关系，实数的分类。
四、教具与学具准备教具：黑板，粉笔，实数教学课件。
学具：直尺，圆规，计算器。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入实数概念，如测量物体长度时，得到的数值可能是整数，也可能是分数，还有可能是无限不循环小数，这些数统称为实数。
2. 基本概念讲解：（1）实数的定义：实数包括有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能。
（2）实数的分类：整数、分数、无理数。
（3）实数与数轴的关系：实数可以在数轴上表示出来，数轴上的每一个点都对应一个实数。
3. 例题讲解：4. 随堂练习：让学生在数轴上表示一些实数，并判断它们是有理数还是无理数。
5. 实数的四则运算：（1）有理数的四则运算规则同样适用于实数。
（2）无理数的四则运算需要特别注意，如√2 √2 = 2。
六、板书设计1. 实数的定义及分类。
2. 实数与数轴的关系。
3. 实数的四则运算规则。
4. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）5/3（有理数），√5（无理数），2π（无理数），0.666（有理数）。
（2）√9 + √16 = 3 + 4 = 7，√2 √3 = √6，(√2 + √3)² = 5 + 2√6。
（3）见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实际情景引入实数概念，让学生了解实数的定义及分类，掌握实数的四则运算，培养学生运用数轴解决问题的能力。
第十二章 实数第三节 实数的运算§12.5 用数轴上的点表示实数教学目标理解每一个实数都可以用数轴上一个点来表示，知道数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示，能将一个实数用数轴上大致位置的点表示出来。
知道两数各自对应的点在数轴上的位置与这两个数大小之间的关系；知道数的范围扩充后，有理数范围内已有的绝对值、相反数等有关概念，在实数范围内依然成立，会求实数的绝对值、相反数，会对实数的大小进行比较；会根据数轴上两点所对应的实数求这两点间的距离。
知识精要1.实数与数轴的关系：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.2.绝对值与相反数：一个在实数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
实数a 的绝对值记作a .一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为⎩⎨⎧<-≥=时。
当时；当0,0,a a a a a 就是说实数a 的绝对值是一个非负数，即0≥a ，并且有若a x =(0≥a )，则a x ±=.绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零。
非零实数a 的相反数是a -. 在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且到原点的距离相等。
具体地，若a 与b 互为相反数，则0=+b a ；反之，若0=+b a ，则a 与b 互为相反数.有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
3.实数大小比较：负数小于零；零小于正数.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.4.数轴上两点距离公式：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为b a 、，那么A 、B 两点的距离为b a -.经典题型精讲(一)数轴上的点与实数例1.如图，数轴上表示21、对应的点分别为B A ,，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是( )A .12-B .21-C .22-D .22-举一反三：在数轴上分别标出35-、5所对应的点的大致位置。
