上海市格致中学2010年11月高三期中考试 数学理

格致中学 二〇一〇学年度第一学期期中考试高三年级 数学(理科)试卷一、填空题(本大题满分56分)：本大题共有14题，每个空格填对得4分，填错或不填一律得零分. 1已知矩阵221a M ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中R a ∈,点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点)0,4('-P ,则实数a = .2 函数()cos f x ax ax +(0)a >的最小正周期为π, 最大值为b ,则log a b = ___ .3 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了 一个容量为n 的样本,其频率分布直方图如右图所示,其中 支出在[50,60)元的同学有30人,则n 的值为 _____.4 已知5()a x +的展开式中2x 的系数为1k ,41x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(,0a R a ∈≠)的展开式中x 的系数为2k ,则12k k ⋅=_____________.5 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且满足(2)()f x f x +=,又当(0,1)x ∈时,()21x f x =-,则12(log 6)f 的值等于__________________.6 cos ()cos(30)x f x x =- ,则()()()()125859f f f f ++⋅⋅⋅++=____.7 不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为________.8 某校选派A 、B 两个班参加一次社会活动,其中A 班有学生40名,其中男生24人；B 班有学生50名,其中女生30人,现从A 、B 两班各找一名学生进行问卷调查,则找出的学生是一男一女的概率为 ____.9 已知函数2()log f x x =,等比数列{}n a 的首项10a >,公比2q =, 若246810()25f a a a a a =,则122009()()()2f a f a f a +++= ____ .10 阅读下列材料:若两个正实数12,a a 满足12221=+a a ,那么221≤+a a .证明:构造函数1)(22)()()(2122221++-=-+-=x a a x a x a x x f ,因为对一切实数x ,恒有0)(≥x f ,所以0≤∆,从而得08)(4221≤-+a a ,所以221≤+a a .根据上述证明方法,若n 个正实数满足122221=+⋯⋯++n a a a 时,你能得到的结论为 .班级____________姓名________________学号____________准考证号______________11已知抛物线21:2C y px =和圆2222:24p p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,其中 0>p ,直线l 经过1C 的焦点,依次交1C ,2C 于,,,A B C D四点,则CD AB ⋅的值为_____________. 12 已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+ , x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ .13 已知以4T =为周期的函数()f x 在(13]-，上的解析式为2(1||),(1,1]()1(2),(1,3]m x x f x x x -∈-⎧=⎨--∈⎩,其中0m >,若方程3()f x x =恰有5个实数解,则m 的取值范围为______________.14 定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 .二、选择题(本大题满分16分)：本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分. 15“18a =”是“对任意的正数x ,21ax x+≥”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件16 若322παπ<<,则直线1cos sin x y αα+=必不经过 ( )A 第一象限;B 第二象限;C 第三象限;D 第四象限.17 对于数列{}n a ,若存在常数M ,使得对任意*n N ∈,n a 与1n a +中至少有一个不小于M ,则记作{}n a M ,那么下列命题正确的是 ( )A ．若{}n a M ,则数列{}n a 各项均大于或等于MB ．若{}n a M ,则22{}n a MC ． 若{}n a M ,{}n b M ,则{}2n n a b M +D ．若{}n a M ,则{21}21n a M ++18 如图E 所示,是由底为1、高为1的等腰三角形及底为1、高分别为2和3的两个矩形所构成,函数()(0)S S a a =≥是图形E 介于平行线0y =及y a =之间的那一部分面积,则函数()S a 的图形大致为( )DCBAP三、解答题(本大题满分78分)：本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19 (本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)已知以角B 为钝角的ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,(,2)m a b = ，(1,sin )n A =-,且m n ⊥ .(1)求角B 的大小；(2)求sin cos A C +的取值范围.20 (本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分)如图.一个小球从M 处投入,通过管道自上而下落到A 或B 或C .已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到,,A B C .则分别设为1,2,3等奖.(1)求投入小球1次获得1等奖的概率；(2)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随 机变量ξ为获得(1,2,3)k k =等奖的折扣率.求随机变量ξ的 分布列及数学期望E ξ；(3)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动,记随机变量η 为获得1等奖或2等奖的人次.求(2)P η=. (即求3次中有二次获得1等奖或2等奖的概率)21．(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分) 如图,四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面A B C D 为直角梯形,且//AB CD ，90BAD ∠= ,2PA AD DC ===,4AB =.(1)求证:BC PC ⊥；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)求点A 到平面PBC 的距离.22 (本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,对一切*n N ∈,点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭都在函数()1f x x =+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为()1a ,()23,a a ,()456,,a a a ，()78910,,,a a a a ；()11a ,()1213,a a ,()141516,,a a a ,()17181920,,,a a a a ；()21a ,…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ,求5100b b +的值；(3)设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积,若不等式()312A f a a --对一切*n N ∈都成立,求a 的取值范围.23 (本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1. (1)求抛物线C 的方程；(2)若过焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点,M 在第一象限,且2MF NF =,求直线MN 的方程； (3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积163后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为163,求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163,求所有侧面面积之和的最小值”.现有正确命题:过点(,0)2p A -的直线交抛物线2:2(0)C y px p =>于,P Q 两点,设点P 关于x 轴的对称点为R ,则直线RQ 必过焦点F .试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.格致中学 二〇一〇学年度第一学期期中考试高三年级 数学(理科)试卷(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)_________一、填空题(本大题满分56分)：本大题共有14题，每个空格填对得4分，填错或不填一律得零分. 1已知矩阵221a M ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中R a ∈,点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点)0,4('-P ,则实数a = .【答案】3. 【解析】由214,224,32120a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∴-=-∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 2 函数()cos f x ax ax =+(0)a >的最小正周期为π,最大值为b , 则log a b = ___ . 【答案】1.【解析】因π()2sin 6f x ax ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为π,最大值为b ,故2,2a b ==, log 1a b =.3 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一 个容量为n 的样本,其频率分布直方图如右图所示,其中支 出在[50,60)元的同学有30人,则n 的值为 _____. 【答案】100.【解析】[50,60)这一组的频率为1(0.0360.0240.01)100.3-++⨯=,故301000.3n ==.4 已知5()a x +的展开式中2x 的系数为1k ,41x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(,0a R a ∈≠)的展开式中x 的系数为2k ,则12k k ⋅=_____________.【答案】40.【解析】211254C C 40k k =⋅=. 5 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且满足(2)()f x f x +=,又当(0,1)x ∈时,()21x f x =-,则12(log 6)f 的值等于__________________.【答案】12-.【解析】0.010.036 0.0246 cos ()cos(30)x f x x =-,则()()()()125859f f f f ++⋅⋅⋅++=____..【解析】首尾配对,如cos1cos592cos30cos 29(1)(59)cos 29cos 29cos 29f f +=+==故原式=7 不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为________. 【答案】1a ≤-或4a ≥.【解析】求函数()31f x x x =+--的最大值是4,所以有234a a -≥.8 某校选派A 、B 两个班参加一次社会活动,其中A 班有学生40名,其中男生24人；B 班有学生50名,其中女生30人,现从A 、B 两班各找一名学生进行问卷调查,则找出的学生是一男一女的概率为 ____. 【答案】1325. 【解析】找出的学生是一男一女的概率为2430162013405025⨯+⨯=⨯. 9 已知函数2()log f x x =,等比数列{}n a 的首项10a >,公比2q =, 若246810()25f a a a a a =,则122009()()()2f a f a f a +++= ____ .【答案】100420092⨯.【解析】因55255252468106121()()()log (2)25f a a a a a f a f a q a ===⋅=,故11a =,12n n a -=. 所以()1n f a n =-,122009()()()2f a f a f a +++= 0120082+++= 100420092⨯.10 阅读下列材料:若两个正实数12,a a 满足12221=+a a ,那么221≤+a a .证明:构造函数1)(22)()()(2122221++-=-+-=x a a x a x a x x f ,因为对一切实数x ,恒有0)(≥x f ,所以0≤∆,从而得08)(4221≤-+a a ,所以221≤+a a .根据上述证明方法,若n 个正实数满足122221=+⋯⋯++n a a a 时,你能得到的结论为 .【答案】12n a a a +++≤ 【解析】构造函数22212()()()()n f x x a x a x a =-+-++- ,因为对一切实数x ,恒有0)(≥x f ,所以0≤∆,从而得2124()40n a a a n +++-≤ ,所以12n a a a +++11 已知抛物线1C :px y 22=和圆2C :42222p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-,其中 0>p ,直线l 经过1C 的焦点,依次交1C ,2C 于,,,A B C D 四点,则CD AB ⋅的值为_____________.【答案】24p .【解析】当直线l 垂直于x 轴时就可得结果.12 已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 . 【答案】(0,2). 【解析】令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段AC 上.从而1AP x y AQ +=<.由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈.13 已知以4T =为周期的函数()f x 在(13]-，上的解析式为2(1||),(1,1]()1(2),(1,3]m x x f x x x -∈-⎧=⎨--∈⎩,其中0m >,若方程3()f x x =恰有5个实数解,则m 的取值范围为______________. 【答案】48,33⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】由数形结合知,直线3xy =与函数在第二个周期的折线有交点,且与第三个周期的折线无交点,所以有143m >且183m <无交点,即有48,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 14．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 . 【答案】13.【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =- 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+ ,9091122na n n n +=+-,由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13.二、选择题(本大题满分16分)：本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分. 15“18a =”是“对任意的正数x ,21a x x +≥”的 ( A )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16 若322παπ<<,则直线1cos sin x y αα+=必不经过 ( )A 第一象限;B 第二象限;C 第三象限;D 第四象限. 答案:B .解答:令0y =,得cos 0x α=>;令0x =,得sin 0y α=<.所以直线与x 轴交于正方向上一点,与y 轴交于负方向上一点,所以直线不经过第二象限.17对于数列{}n a ,若存在常数M ,使得对任意*n N ∈,n a 与1n a +中至少有一个不小于M ,则记作{}n a M ,那么下列命题正确的是 ( )A ．若{}n a M ,则数列{}n a 各项均大于或等于MB ．若{}n a M ,则22{}n a MC ． 若{}n a M ,{}n b M ,则{}2n n a b M +D ．若{}n a M ,则{21}21n a M ++17．【答案】 D .【解析】(A)的反例可以是:1,2,1,2, ，2M =. (B)的反例可以是:1,1,1,1,---- ，2M =-. (C)的反例可以是:1,2,1,2, 和2,1,2,1, ,2M =.18 如图E 所示,是由底为1、高为1的等腰三角形及底为1、高分别为2和3的两个矩形所构成,函数()S S a =(0a ≥)是图形E 介于平行线0y =及y a =之间的那一部分面积,则函数()S a 的图形大致为( )【答案】 (C ).【解析】当a 在[]0,1之间时，面积增加的速度由快到慢，排除(A)、(B). 又a 在[]1,2之间时面积增加的速度，大于a 在[]2,3之间时面积增加的速度，选(C).三、解答题(本大题满分78分)：本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19（本题共2小题，每小题7分，满分14分）已知以角B 为钝角的ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,(),2m a b = ，()1,sin n A =-,且m n ⊥ .(1)求角B 的大小；(2)求sin cos A C +的取值范围.解析：（1）(),2m a b = ，()1,sin n A =-，且m n ⊥ ，2sin 0a b A ∴-=----------2’ 由正弦定理2sin ,2sin a R A b R B ==可得：sin 2sin sin 0A B A -⋅=---3’sin 0A ≠ ，化简求得：1sin 2B =-------------------------------------------------5’B 为钝角，56A π∴=----------------------------------------------------------------7’（2）1sin cos sin cos sin sin 62A C A A A A A π⎛⎫+=+-=+⎪⎝⎭-----------8’3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-------------------------10’0,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，,663A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭---------------12’sin cos A C ∴+的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭------------------------------------------------14’20 (本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分)如图.一个小球从M 处投入,通过管道自上而下落到A 或B 或C .已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到,,A B C .则分别设为1,2,3等奖.(1)求投入小球1次获得1等奖的概率；(2)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随 机变量ξ为获得(1,2,3)k k =等奖的折扣率.求随机变量ξ的 分布列及数学期望E ξ；(3)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动,记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次.求(2)P η=.(即求3次中有二次获得1等奖或2等奖的概率)解析:(1)投入小球1次获得1等奖的概率为11113()244216⋅+⋅=. -------------------4’ (2)由题意得ξ的分布列为则50%70%90%.168164E ξ=⨯+⨯+⨯=------------------------------------------9’ (3)由(2)可知,获得1等奖或2等奖的概率为339.16816+=由题意得93,16B η⎛⎫ ⎪⎝⎭,则223991701(2)116164096P C η⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ------------------------------------------14’21．(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分) 如图,四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面A B C D 为直角梯形,且//AB CD ，90BAD ∠= ,2PA AD DC ===,4AB =.(1)求证:BC PC ⊥；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)求点A 到平面PBC 的距离.【解析】∵AP ⊥平面ABCD ,90BAD ∠=.∴以A 为原点,,,AD AB AP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系. ∵2PA AD DC ===,4AB =.∴ (0,4,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2)B D C P . ------------------------------------------2’(1)∴(2,2,0),(2,2,2)BC PC =-=-,从而BC PC ⊥. --------------------------------4’(2) ∵(0,0,2),(2,2,0)AP AC == 设面APC 法向量(,,)n x y z =, ∴(1,1,0)n =-. ------------------------------------------7’∵(0,4,2)PB =- ∴cos ,|||PB nPB n PB n ⋅<>=⨯|=5即PB 与平面PAC ------------------------------------------10’ (3)∵(0,4,2),(2,2,2)PB PC =-=- 设面PBC 法向量(,,)m a b c =,DCBAP 你的首选资源互助社区设1,2,1a c b =∴==,∴(1,1,2)m =. ------------------------------------13’∴点A 到平面PBC的距离为||AB m d m ⋅= ||------------------------------------------16’22 (本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,对一切*n N ∈,点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭都在函数()1f x x =+的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为()1a ,()23,a a ,()456,,a a a ，()78910,,,a a a a ；()11a ,()1213,a a ,()141516,,a a a ,()17181920,,,a a a a ；()21a ,…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ,求5100b b +的值；(3)设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积,若不等式()312A f a a --对一切*n N ∈都成立,求a 的取值范围.解：（1）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+， 由条件得1112y y x x-+?-，-------------------------------------------------------2’ 即()22102x y x += 动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x += -----------------------------------6’ （注：无0x ¹扣1分）（2）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y ，ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=()()()1213,,3,3,QM y QN y y\=-=-=--()2211732QM QNy \?--=-----------------------------------------------------10’ ⅱ）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+，由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=----------------------11’ 22121222422,1212k k x x x x k k-∴+=-=++--------------------------------------------12’ ()()()12121212122224QM QNx x y y x x x x y y\?--+=-+++又()()11221,1y k x y k x =+=+，()()()2221212124QM QNk x x k x x k \?++-+++-----------------13’()217131722212k =-<+------------------------------------------14’ 综上所述QN QM ⋅的最大值是217---------------------------------------------------15’ λ∴的最小值为172------------------------------------------------------------------------16’23 (本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分第3小题8分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1. (1)求抛物线C 的方程；(2)若过焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点,M 在第一象限,且2MF NF =,求直线MN 的方程； (3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积163后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为163,求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163,求所有侧面面积之和的最小值”.现有正确命题:过点(,0)2pA -的直线交抛物线2:2(0)C y px p =>于,P Q 两点,设点P 关于x 轴的对称点为R ,则直线RQ 必过焦点F .试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题. 解析:(1)24y x =. ------------------------------------------4’(2)设2(,)(0)4t N t t ->，则2(,2)M t t ，F(1,0).因为M 、F 、N 共线，则有FM NF k k =，所以2221114t tt t -=--，解得t =，---------------7’所以k ==因而,直线MN的方程是1)y x =-.-----------------------10’ (3)“逆向问题”一：①已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过定点(,0)2pA -. 证明：设过F 的直线为y=k(x 2p-)，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11(,)R x y - 由24()2y xp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得222221(4)04k x pk x p k -++=，所以2124p x x =， 1111()222RApk x y k p px x -==-+++， 2121121211()()()222222QAp p p k x k x x x k x k p p p x x x x x ---===-+++=RA k ， 所以直线RQ 必过焦点A 。