2021届上海市格致中学2018级高三上学期期中考试数学试卷及答案

格致中学二〇二四学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷（测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷）一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知复数2ii z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为________.【答案】2-【解析】【分析】根据除法运算可得12i z =--，进而可得虚部.【详解】因为复数2i12i iz -==--，所以z 的虚部为2-.故答案为：2-.2. 函数()ln f x x =的定义域为______【答案】(]01，【解析】【分析】根据解析式可得不等式组210,0,x x ì-³í>î解不等式组，即可得答案；【详解】Q 210,0,x x ì-³í>î01x Þ<£，故答案为：(]01，.3. 若直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-垂直，则实数m ＝__．【答案】6【解析】【分析】根据两直线垂直时，斜率乘积为-1，解方程求得m 的值．【详解】由直线1:210l x my ++=且斜率存在，则直线12:1l y x m m=--，由直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-垂直，则231m-´=-解得6m =.故答案为：6．4. 已知集合{}1A x a x a =££+，{40}B x x =-£<，若A B Í，则实数a 的取值范围是________.【答案】{}|41a a -£<-【解析】【分析】分析可知A ¹Æ，结合包含关系列式求解即可.【详解】因为集合{}1A x a x a =££+，{40}B x x =-£<，显然A ¹Æ，若A B Í，则410a a ³-ìí+<î，解得41a -£<-，所以实数a 的取值范围是{}|41a a -£<-.故答案为：{}|41a a -£<-.5. 等比数列{}n a 满足11a =，23520a a a +=，则1ii a+¥==å________.【答案】23【解析】【分析】求出q 值，再由无穷递缩等比数列的求和公式计算．【详解】23520a a a +=，则2341120a q a q +=，即3420q q +=，即()3120q q +=，因为0q ¹，则12q =-，∴111211312i i a a q +¥====-+å．故答案为：23.6. 在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是________.2113683022445594111336789502455889【答案】50【解析】【分析】分析可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图即可得结果.【详解】因为300.7522.5´=，可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图可知第23位数是50，所以这组数据的第75百分位数是50.故答案为：50.7.二项式82x æçè的展开式的常数项是________．【答案】112【解析】【分析】写出二项式展开式的通项4883182r rr r TC x--+=，令4803r -=即可得到答案.【详解】二项式展开式的通项为48883188(2)2r rrr r rr T C x C x ---+==，令4803r -=，得6r =，所以26382112T C ==.故答案：112.【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到求展开式中的特殊项，只需准确写出通项公式即可.8. 已知()()000,01P x y x <<是曲线1C =上一点，作曲线C 在点P 处的切线l ，l 与x 轴、y轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，则OA OB +=________.【答案】1【解析】【分析】先将曲线C1+=转化为1y x =-，()01x <<，利用导数求出曲线C 在点P 处的切线斜率，得切线l 的方程及l 在x 轴、y 轴上的截距，化简OA OB +即得结果.【详解】因为()()000,01P x y x <<在曲线1C +=1=1+=1=平方，得1y x =-+，()01x <<12121y x ¢æö=-=ç÷èø¢，01x x k y ===-¢∴曲线C 在点P 处的切线l：()001y y x x æ-=-ççè，令0x =，()000011y y x y y x y æ-=-Þ=-+Þ=ççè1OB =-为令0y =，()001y x x æ-=--ççè，则1-=，(01x x -=-，x =∴OA =∴11OA OB +=+-=.故答案为：1.9. 如图（1），在长方体ABCD EFGH -中，2AB BC ==，1AE =，O 为上底面EFGH 的中心.现将矩形EFGH 绕点O 在原平面内顺时针旋转π(0)4q q <£角，连接AE 、DE 、AF 、BF 、BG 、CG 、CH 、DH ，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球M 的球面上，则球M 的表面积是________.【答案】9π【解析】【分析】首先确定球心，再求球心到顶点的距离，即可求得外接球的半径，再代入球的表面积公式.32=，所以这个十面体的外接球的半径为32，从而其表面积234π9π2S æö=×=ç÷èø.故答案为：9π10. 已知())(0,02π)f x x w j w j =+><<，函数()y f x =的部分图像如图所示，已知点A 、D为()y f x =的图像与x 轴的交点，其中1,03D æöç÷èø，点B 、C 分别为()y f x =的图像的最高点和最低点，且212AB DC AB ×=-uuu r uuur uuur ，则j =________.【答案】5π6【解析】【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得w ，再由函数零点即可得j ．【详解】因为1,03D æöç÷èø，且0w >，可知f (x )的最小正周期2πT w=，所以1π1π1π,0,,,33232A B C w w w æöææ--+ç÷ççèøèè，所以ππ,,22AB DC w w ææ==ççèèuuu r uuu r ．所以2222π1π33424AB DC w w æö×=-=-+ç÷èøuuu r uuu r ，化简得223π3082w -=．又0w >，所以π2=w ，又因为13是f (x )递减区间内的零点，则()π12ππ23k k j ´+=+ÎZ ，解得()5π2π6k k j =+ÎZ ．因为02πj <<，所以5π6j =．故答案为：5π6.11. 已知k 为常数，若关于x 的不等式21()e ex kx k -£对任意的(0,)x Î+¥都成立，则实数k 的取值范围为______.【答案】1,02éö-÷êëø【解析】【分析】分析可知0k <，整理可得2211e 0e xkx k k æè-ö-£ç÷ø，换元令0x t k =<，构建()()2211e ,0e t f t t t k-=-<，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解.【详解】显然0k ¹，若0k >，当x 趋近于+¥，2()e xk y x k =-趋近于+¥，不合题意，可知0k <，因为21()e e x kx k -£，可得2211e 0e xk x k k æè-ö-£ç÷ø，由0x >，可得0x k <，令0x t k =<，可得()2211e 0e t t k--£，原题意等价于()2211e 0e tt k --£对任意的(),0t Î-¥都成立，构建()()2211e ,0e t f t t t k-=-<，则()()21e tt t f ¢-=，令()0f t ¢>，解得1t <-；令()0f t ¢<，解得10t -<<；可知()f t 在(),1¥--内单调递增，在()1,0-内单调递减，则()()24110e e f t f k £-=-£，解得12k ³-，所以实数k 的取值范围为1,02éö-÷êëø.故答案为：1,02éö-÷êëø.12. 从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点P (x 0,y 0)向椭圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆1C 、2C ，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为1e 、2e ，2C 在1C 内，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为M l ，若原点O 到直线M l 的距离为定值1，则2212e e -的最大值为______.。

2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是A. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B. 数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C. 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D. 数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定2. “a <2015”是“函数f(x)=(x −a)2在区间[2015,+∞)上为增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知f(x)={x,x ≥01,x <0.则不等式f(x 2)>f(3−2x)的解集为( ) A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (−∞,−3)∪(1,+∞)C. (−∞,−3)∪(12,+∞)D. (−∞,−1)∪(12,+∞) 4. 已知集合，，则( ) A. B. C. D.二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 给出下列命题：①在区间(0,+∞)上，函数y =x −1，y =x 12，y =(x −1)2，y =x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x −1)的图象关于点(1,0)对称；④已知函数f(x)={3x−2,x ≤2log 3(x −1),x >2，则方程f(x)=12有2个实数根； 以上命题是真命题的是：______ ．6.行列式∣∣∣∣x 1y 11x 2y 21001∣∣∣∣= ______ ． 7. 设Q 为圆C ：x 2+y 2+6x +8y +21=0上任意一点，抛物线y 2=8x 的准线为l.若抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m +|PQ|的最小值为 ．8.已知，则复数的实部为9.若m=∫(1−16x2+tanx)dx，且(2x+√3)m=a0+a1x+a2x2+⋯+a m x m，则(a0+a2+⋯+a m)2−(a1+..+a m−1)2的值为______ ．10.已知函数f(x)={1x,x≥1x3,x<1，若关于x的方程f(x)=x+m有两个不同的实根，则实数所的取值范围为______ ．11.已知函数f(x)=ax⋅2x+a−22x+1是定义域R上的奇函数，则a的值为______．12.如图，O是半圆的圆心，直径AB=2√6，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=______ ．13.如图，如果执行程序框图，输入正整数n=5，m=3，那么输出的p等于______14.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+tn，且a3=1，则t=______．15.直线l的方程为y=x+2，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2−4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______ ．16.已知向量a⃗=(1,1)，|b⃗ |=√3，(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=2，则|a⃗−b⃗ |=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知：四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角CD，点F在线段PC上运梯形，∠A=90°，且AB//CD，AB=12动．(1)当F为PC的中点时，求证：BF//平面PAD；=λ，求当λ为何值时有BF⊥CD．(2)设PFFC18.22.(本小题12分)已知在中，(1)若且，求的取值范围；(2)若，求函数的最大值；19. 如图，现有一直径AB=2百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足OC=OD=2百米(O为AB的中点)，市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．(1)设∠EOB=θ，试将管道总长(即线段EC+ED)表示为变量θ的函数；(2)求管道总长的最大值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)四点P 1(1,√3)，P 2(0,√3)，P 3(−1,32)，P 4(1,32)中恰有三个点在椭圆C 上，椭圆C 的离心率为e ．(1)求椭圆C 的方程和离心率e ；(2)设直线l 不经过P 2点与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线P 2A 的斜率与直线P 2B 的斜率的积为e 2，证明：直线l 经过定点，并求定点的坐标．21. 设m ∈N ∗，若数列{x n }满足：对所有d ∈N ∗，x m+d =x d ，且当1<n <m +1时，x n ≠x 1，则称{x n }为“T m 数列”，设k ∈R ，函数f(x)={x +12,0≤x ≤12k(1−x),12<x ≤1，数列{a n }满足a 1∈[0,1]，a n+1=f(a n )(n ∈N ∗)．(1)若a 1=23，而{a n }是T 2数列，求k 的值；(2)设k =1，证明：存在a 1∈[0,1]，使得{a n }是T 4数列，但对任意a 1∈[0,1]，{a n }都不是T 5数列；(3)设k =2，证明：对任意m ∈N ∗，都存在a 1∈[0,1]，使得{a n }是T m 数列．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：由方差(标准差)的概念知，数据方差(标准差)越小，样本数据分布越集中、稳定，数据极差越小，只是说明数据的最大和最小的差别小，并不代表数据的分布集中情况，故选C考点：本题考查了统计的运用点评：掌握极差、平均数、标准差、方差的概念是解决此类问题的关键，属基础题2.答案：A解析：解：若函数f(x)=(x−a)2在区间[2015,+∞)上为增函数，则对称轴x=a≤2015，则“a<2015”是“函数f(x)=(x−a)2在区间[2015,+∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选：A根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的单调性进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．3.答案：B解析：解：由x2≥0，得f(x2)=x2，从而原不等式f(x2)>f(3−2x)化为x2>f(3−2x)．①当3−2x≥0即x≤3时，原不等式进一步化为x2>3−2x，2得x>1，或x<−3，∴1<x≤3，或x<−3．2②当3−2x<0即x>3时，原不等式进一步化为x2>1，2即x>1或x<−1，∵x>3，2∴此时不等式的解为x>3，2综上x>1或x<−3，即不等式的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)，故选：B。

2018-2019学年上海市黄埔区格致中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.下列命题为真命题的是（）A. 经过定点的直线都可以用方程表示B. 不经过原点的直线都可以用方程表示C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示D. 经过定点的直线都可以用方程表示2.对于任意实数m，直线mx-y+1-3m=0必经过的定点坐标是（）A. B. C. D. 无法确定3.已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列，S n为其前n项和，则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4.在直角坐标系xOy中，点P（x P，y P）和点Q（x Q，y Q）满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．若=m及∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则m与θ的值（）A. ，m不确定B. 不确定，C. ，D. 以上答案都不对二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知向量，，，．若，则实数k=______．6.系数矩阵为，且解为=的一个线性方程组是______7.等比数列{a n}的各项均为正数，且a4a6=9，则log3a3+log3a7=______．8.若向量，满足=-10，且||=5，则在的方向上的投影为______9.用行列式解线性方程组，则D y的值为______．10.执行如图的程序框图，如果输入i=6，则输出的S值为______．11.若直线x-y-1=0与x-ay=0的夹角是，则实数a的值为______．12.直线l经过点P（-2，1），且点A（-1，-2）到l的距离为1，则直线l的方程为______．13.已知向量、满足||=||=1且与夹角为120°，则当||的值取到最小时，实数t的值为______14.已如等差数列{a n}的前n项和S n，且＞，则当S n达到最大值时n的值为______15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，向量=（n，），=（m，），=（k，）（n，m，k∈N*），且=+，则用n，m，k表示μ=______．16.已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，，，，…，，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知向量=（2，-3），=（-5，4），=（1-λ，3λ+2）．（1）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值．（2）若点A，B，C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．18.平面直角坐标系xOy中，已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…A n（x n，y n）是直线l：y=kx+b上的n个点（n∈N*，k、b均为非零常数）．（1）若数列{x n}成等差数列，求证：数列{y n}也成等差数列；（2）若点P是直线l上的一点，且=a1+a2，求a1+a2的值；（3）若点P满足=a1+a2+…+a n，我们称是向量，，…，的线性组合，{a n}是该线性组合的系数数列．证明：是向量，，…，的线性组合，则系数数列的和a1+a2+…+a n=1是点P在直线l上的充要条件．19.已知直线l1：y=2x，l2：y=-2x，过点M（-2，0）的直线l分别与直线l1，l2交于A，B，其中点A在第三象限，点B在第二象限，点N（1，0）；（1）若△NAB的面积为16，求直线l的方程；（2）直线AN交l2于点P，直线BN交l1于点Q，若直线l、PQ的斜率均存在，分别设为k1，k2，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5-a3=13，S4=16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n=（-1）i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n+1+（-1）n+1a n]•2n-1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：带有斜率的直线方程，可能斜率不存在，剔除A，D；与x，y轴平行或重合的直线不能运用截距式方程表示，剔除B；故C正确．故选：C．考虑直线的斜率不存在，可判断A，D；由直线与与x，y轴平行或重合，可判断B；由两点式方程可判断C．本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，考查判断能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：直线mx-y+1-3m=0化为：m（x-3）+（1-y）=0，令，解得x=3，y=1．∴直线恒过定点（3，1）．故选：A．直线mx-y+1-3m=0化为：m（x-3）+（1-y）=0，令，解出即可得出定点坐标．本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】A【解析】解：∵{a n}是公比为q的等比数列，当0＜|q|＜1时，S n=，|S n|=||，即“存在M＞||，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件，当q=-1时，|S n|=即取M=2|a1|即可，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件，综上可知：即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件．故选：A．|，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件，当q=-1时，|S n|=即取M=2|a1|可得“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件，本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及等比数列求和，属中档题．4.【答案】C【解析】解：==，=；∴，；又0≤θ≤π；∴．故选：C．可以根据条件求出，从而求出m的值，并可求出，从而可根据求出cos，进而得出θ．考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标求向量的长度，以及数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式．5.【答案】【解析】解：由，得1×（k-6）-9k=0，解得k=-，故答案为：．根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．本题考查向量共线的充要条件，若，则⇔x1y2-x2y1=0．6.【答案】【解析】解：可设线性方程组为=，由于方程组的解是=，∴=，∴所求的方程组为．故答案为：．先根据系数矩阵，写出线性方程组，再利用方程组的解求出待定系数，从而可得所求的线性方程组．本题考查了二元一次方程组的矩阵形式，以及待定系数法求线性方程组问题，是基础题．7.【答案】2【解析】解：由题意可得log3a3+log3a7=log3a3a7=log3a4a6=log39=2故答案为：2由等比数列的性质和对数的运算性质，化简可得．本题考查等比数列的性质和对数的运算，属基础题．8.【答案】-2【解析】解：∵=-10，且||=5，由向量投影的定义可知，在的方向上的投影为==-2，故答案为：-2．由向量投影的定义可知，在的方向上的投影为，代入可求．本题主要考查了平面向量投影的定义的简单应用，属于基础试题．9.【答案】-9【解析】解：行列式解线性方程组，则D y==2×（-1）-7×1=-9，故答案为：-9根据行列式解二元一次方程组的方法可得D y=，即可求出答案．本题考查用行列式解二元一次方程组，考查系数行列式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】21【解析】解：由程序框图知：程序第一次运行S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+2=3，n=2+1=3；第三次运行S=1+2+3=6，n=3+1=4；…直到n=7时，不满足条件n≤6，程序运行终止，输出S=1+2+3+…+6=21．故答案为：21．根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤6，计算此时的S值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．11.【答案】或0【解析】解：直线x-y-1=0的斜率为，直线x-ay=0的斜率不存在或是．当直线x-ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线x-y-1=0的倾斜角为60°，满足条件．当直线x-ay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式可得tan==，解得a=．故答案为：或0．当直线x-ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线x-y-1=0的倾斜角为60°，满足条件．当直线x-ay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式求出a的值．本题主要考查两直线的夹角公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．12.【答案】x=-2或4x+3y+5=0【解析】解：设直线l的方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0∵点A（-1，-2）到l的距离为1，∴=1，解之得k=-，当直线与x轴垂直时，方程为x=-2，点A（-1，-2）到l的距离为1，∴直线l的方程的方程为x=-2或4x+3y+5=0．故答案为：x=-2或4x+3y+5=0．当直线l斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为4x+3y+10=0；当直线与x轴垂直时，l方程为x=-2也符合题意．由此即可得到此直线l的方程．本题求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．13.【答案】【解析】解：∵||=||=1且与夹角为120°，∴=，当||2==t2+t+1=，结合二次函数的性质可知，当t=-时，||有最小值．故答案为：-．由已知可求，而||2==t2+t+1，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了平面向量数量积的定义及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题14.【答案】4或5【解析】解：∵S n=na1+n（n-1）d，∴==-，∴=-，∴a1=-4d，∴S n=dn2-dn=（n-）2-d，故n=4或5时，S n达到最大值，故答案为：4或5利用等差数列的求和公式和极限的定义可得a1=-4d，即可得到S n=（n-）2-d，问题得以解决．本题考查了等差数列的求和公式和极限的定义，属于中档题．15.【答案】【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则：；∴数列为等差数列；∴P，P1，P2都在直线y=上；即P，P1，P2三点共线；∴存在实数k，使；∴=；∴μ=k；又，；∴n-m=μ（k-m）；∴．故答案为：．可设数列{a n}的首项为a1，公差为d，从而可以得出，从而得出{}为等差数列，从而便有三点P，P1，P2共线，从而有，可以用表示出向量，进而可得到μ=k，可求出向量的坐标，带入便可求出μ．考查等差数列的通项公式和前n项和公式，对于等差数列a n=a1+（n-1）d，知道点（n，a n）在直线y=a1+（x-1）d上，共线向量基本定理和平面向量基本定理，以及向量坐标的减法运算和数乘运算．16.【答案】1或2【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴a=1+2（n-1）=2n-1．首项为1，公比为3．∴=3n+1．由a n=2n-1，得，∴2k n-1=3n+1．∴k n=（3n+1+1）∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），即≤恒成立，令f（n）=＞0，则≤1．∴当n=1或n=2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．故答案为：1或2．由已知求出等差数列的公差，得到等差数列的通项公式，再由a1，a2，a k1，a k2，…，a k n，…成等比数列，得=3n+1．由a n=2n-1，得，可得2k n-1=3n+1．即k n=（3n+1+1），由对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），可得≤恒成立，然后结合数列的函数特性求得m值．本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题．17.【答案】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠B=90°；∴；∵，，，；即-7（6-λ）+7（3λ-2）=0；∴λ=2；（2）∵点A，B，C能能构成三角形，则A，B，C不共线，即与不共线；∴-7（3λ-2）-7（6-λ）≠0；∴实数λ应满足的条件是λ≠-2．【解析】（1）先求得，根据△ABC为直角三角形，且∠B为直角即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值；-7（3λ-2）-7（6-λ）≠0，这样即可求出实数λ满足的条件．考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，以及共线向量的坐标关系．18.【答案】解：（1）证：设等差数列{x n}的公差为d，∵y n+1-y n=（kx n+1+b）-（kx n+b）=k（x n+1-x n）=kd，∴y n+1-y n为定值，即数列{y n}是等差数列；（2）证：因为P、A1和A2都是直线l上一点，故有=λ，（λ≠-1），于是，=+=+λ=+λ（-），∴（1+λ）=+λ，∴=+，令a1=，a2=，则有a1+a2=1；（3）假设存在点P（x，y），满足=a1+a2+…+a n，则有x=a1x1+a2x2+a3x3+…+a n x n，又当i+j=n+1时，恒有a i=a j，则又有x=a n x1+a n-1x2+…+a2x n-1+a1x n，∴2x=a1（x1+x n）+a2（x2+x n-1）+a3（x3+x n-2）+…+a n（x n+x1），又∵数列{x n}为等差数列；于是x1+x n=x2+x n-1=x3+x n-2=…=x n+x1∴2x=（a1+a2+a3+…+a n）（x1+x n）=x1+x n故x=，同理y=，且点P（，）在直线上（是A1、A n的中点），即存在点P（，）满足要求，故是向量，，…，的线性组合，则系数数列的和a1+a2+…+a n=1是点P在直线l上的充要条件．【解析】（1）将y n+1和y n分别代入y=kx+b，令两者相减得定值，便可证明数列{y n}为等差数列；（2）由题中条件可知P，A1，A2共线，令=λ，即可证明a1+a2=1；（3）先写出满足条件的x的函数，再根据a1+a2+…+a n=1和a i=a j及数列{x n}为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P店坐标．本题主要考查了等差数列与向量的综合运用，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．19.【答案】解：（1）设直线方程为y=k（x+2），与直线l1：y=2x，l2：y=-2x，分别联立，可得A，B的纵坐标分别为，，∵△NAB的面积为16，∴|MN|•（y B-y A）=16，即（-）=16，解得k=±4，∴直线l的方程为4x±y+8=0；（2）由（1）可得A（，），B（-，），又N（1，0），设P（a，-2a），Q（b，2b），由A，N，P共线，可得=，解得a=，即有P（，-），由B，N，Q共线，可得=，解得b=，即有Q（，），则k2==-5k1，即有为定值-．【解析】（1）设直线方程为y=k（x+2），与直线l1：y=2x，l2：y=-2x，分别联立，可得A，B的纵坐标，再由△NAB 的面积为|MN|•（y B-y A）=16，解方程可得k，进而得到所求直线方程；（2）求得A，B的坐标，设P（a，-2a），Q（b，2b），运用三点共线的条件：斜率相等，求得a，b，再由两点的斜率公式，化简整理，计算即可得到所求定值．本题考查直线方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线交点问题注意联立方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，属于中档题．20.【答案】解：（1）设数列{a n}的公差为d．∵2a5-a3=13，S4=16，∴ ，解得a1=1，d=2，…（2分）∴a n=2n-1，S n=n2．…（4分）（2）①当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，则T2k=（a2-a1）+（a4-a3）+…+（a2k-a2k-1）=2k．…（5分）代入不等式λT n＜[a n+1+（-1）n+1a n]•2n-1，得λ•2k＜4k，从而λ＜．设f（k）=，则f（k+1）-f（k）=-=．∵k∈N*，∴f（k+1）-f（k）＞0，∴f（k）是递增的，∴f（k）min=2，∴λ＜2．…（7分）②当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，则T2k-1=T2k-（-1）2k a2k=2k-（4k-1）=1-2k．…（8分）代入不等式λT n＜[a n+1+（-1）n+1a n]•2n-1，得λ•（1-2k）＜（2k-1）4k，从而λ＞-4k．∵k∈N*，∴-4k的最大值为-4，所以λ＞-4．综上，λ的取值范围为-4＜λ＜2．…（10分）（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列，则（S m-S2）2=S2•（S n-S m），即（m2-4）2=4（n2-m2），∴4n2=（m2-2）2+12，即4n2-（m2-2）2=12，…（12分）即（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12．…（14分）∵n＞m＞2，∴n≥4，m≥3，∴2n+m2-2≥15．∵2n-m2+2是整数，∴等式（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12不成立，故不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列．…（16分）【解析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的前n项和．（2）当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，求出T2k=2k，进而求出λ＜2；当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，求出T2k-1=1-2k，进而求出λ＞-4．由此能求出λ的取值范围．（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列，由此利用已知条件推导出等式（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12不成立，从而得到不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列．本题考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断，综合性强，难度大，解题时要注意不等式、函数单调性、反证法的合理运用．。

上海市格致中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学
试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、解答题
17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，11AA =，点E 是棱AB
的中点．
象可知，()y f x =在(),¥¥-上是减函数析】根据复合方程的求解方法，结合正
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。

2020-2021上海格致中学高三数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．163．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．4．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．5．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40376．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞8．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d10．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( )A ．12B ．54C ．45D ．45-11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________14．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．15．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．16．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．17．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .19．在中，若，则__________．20．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．三、解答题21．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 22．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 23．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．24．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =；（2）若6A π=，ABC V ，求ABC V 的周长．25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．3．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 4．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.6．D解析：D 【解析】【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.8．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.9．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.10．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0,]3π【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.14．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的 解析：5 【解析】 试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有951x x ⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.15．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】 【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】 由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.16．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．17．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值.【详解】 因为2a b +=，所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++， 又因为0b >，||0a >，所以||14||b a a b +=…， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,ab a b a b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.18．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的最小值，为24||55=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13，因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】 线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.19．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a ：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析：【解析】 ∵由正弦定理可得，∴，令，，（），利用余弦定理有，∵，∴，故答案为.20．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B解析：626+2） 【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想三、解答题21．（1）sin 2sin C A = （215【解析】 【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案． （2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a = ，15sin B =，从而计算出面积． 【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin CA= （2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin 4B =， 故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题． 22．（1）23n n a =（2）3231443nn n T +=-⋅ 【解析】 【分析】（1）由题可得1231312n n a a a a a +++++=-L ,与已知作差可得13322n n n a a a +-=-+,整理可得113n n a a +=,进而利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得23n n n n nb a =⋅=,利用错位相减法求和即可. 【详解】解:（1）当2n ≥时,由1231312n n a a a a a -++++=-L , 则1231312n n a a a a a +++++=-L , 两式相减得13322n n n a a a +-=-+, 即11322n n a a +=, ∴113n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-,得229a =, ∴2113a a =, 综上,对任意1n ≥,113n n a a +=, ∴{}n a 是以23为首项,13为公比的等比数列, ∴23n na =.（2）由（1）23n n n n n b a =⋅=, ∴231111233333n n T n =+⋅+⋅++⋅L , 2311111112(1)33333n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L , ∴231211111333333n n x T n +=++++-⋅L 1111233nn n +⎛⎫=--⎪⎝⎭, 则3231443n n n T +=-⋅ 【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等比数列通项公式的应用,考查利用错位相消求解数列前n 项和.23．（Ⅰ）3nn a =；（Ⅱ）()1121334n n S n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3nn b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.【详解】（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+()1233311n n -=⋅+++++L ()1123112n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦13n +=∵13a =，即关系式也成立，∴数列{}n a 的通项公式3nn a =. （Ⅱ）由3nn n b na n ==⋅，得231323333nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，而()23413132333133nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，两式相减，可得()231233333n n n S n +-=++++-⋅L ()111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦∴()1121334n n S n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．24．（1）见解析（2）4+ 【解析】 【分析】（1）用余弦定理将条件cos cos a C c A a +=化为22222222a b c b c a a c a ab bc+-+-⋅+⋅=，然后化简即可（2）由6A π=得23C π=，由ABC V a b =可推出2a b ==，然后用余弦定理求出c 即可. 【详解】（1）因为cos cos a C c A a +=由余弦定理得22222222a b c b c a a c a ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得222b ab =， 所以a b =， 所以A B =． （2）因为6A π=，由（1）知2()3C A B π=π-+=，又ABC V所以1sin 2ab C = 又a b =，所以2122⨯= 所以2a b ==．由余弦定理，得22212cos 14222122c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =，所以ABC V 的周长为4+． 【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型. 25．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044c c =+-⋅⎝⎭． 即2160c -=．解得c =-c =所以1242S =⨯⨯=．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 26．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】（1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

上海市格致中学 2021届高三上学期期中考试数学试题〔文〕〔测试120分钟内完成，总分 150分，试后交答题卷〕友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：老实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 编辑：卢立臻 邮箱：lulizhen617@163一、填空题：〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分〕。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1．假设集合xax24x1a ________。

的子集只有两个，那么实数2．假设复数z 满足：zz 4，zz5 zz___________。

，那么3．假设直线x2y 1 0的倾斜角为，那么sin2的值为______________。

2 x5 41x 的解集为____________。

4．方程232x 3y 33x y 92x 0侧 视5．不等式组 表示平面区域的面积为 ________。

主视图6．某个几何体的三视图如图〔主视图中的弧线是半圆〕 ，2根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕，可得这个几何体的体积是____________cm3。

俯 视 第6题图2fx 3cos 2x,0的图像关于点3成中心7．函数对称，那么的最小正值为_____________。

8．将3名学生安排到A 、B 两个工厂去实习，那么恰有 2 名学生到A 工厂去实习的概率为 ________________。

9．数列an中，a17,a 27，当n2时，a n1是积ana n 1的个位数，那么a2021______。

x 、y 都有2x55 43 y 210．假设对任意实数3ya 0 2x y a 1 2x yya 22xy 2a 4 2xyy 4 a 5ya 0a 1 a 2a 3a 4a 5a 32xyy 35 _______。

，那么xn110xn,nN *OP nx n ,y nOP n1x n1,yn111．定义yn111y n为向量 到向量 的一个矩阵变换，其中O 是坐标原点。

2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为．2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为．3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为．4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为．5．等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6= ．6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：血型 A B AB O该血型的人所占的比例28 29 8 35已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为．9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长．10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n= ，展开式中的常数项为．（用数字作答）11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为．12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有个．13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为．14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为．二、选择题15 .设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．418．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．20．已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．22．对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为{0，1，3} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】化简A，利用A⊊N*，可得a形成的集合．【解答】解：a=0，A=∅，满足题意；a≠0，A={x|ax﹣3=0，a∈Z}={}，x=1时，a=3；x=3时，a=1，故答案为：{0，1，3}．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础．2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+3=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，由此能求出过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程．【解答】解：∵与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，∴过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为：y﹣2=（x﹣1），整理，得x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为{， } ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】由已知及周期公式可求ω，可解得：sin（2x+）=，由x∈（0，π]，可得2x+∈（，]，从而解得f（x）=1在（0，π]上的解集．【解答】解：∵由题意可得：=π，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）=1，可解得：sin（2x+）=，∵x∈（0，π]，∴2x+∈（，]，∴2x+=或，即：x={， }．故答案为：{， }．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，三角函数周期性及其求法，属于基础题．4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题；转化思想；定义法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开法则得x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵的解集为R，∴x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，∴△=4+4a＜0，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6= 32 ．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的前n项和公式求出公比q，由此能求出a6的值．【解答】解：∵{a n}是首项为1的等比数列，S n为{a n}的前n项和，S6=9S3，∴=9×，解得q=2，∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，确定q是关键．6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：血型 A B AB O该血型的人所占的比例28 29 8 35已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为0.64 ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由已知得B、O型血可以输给B型血的人，根据互斥事件的概率加法公式，能求出在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率．【解答】解：对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知得：P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35，∵B、O型血可以输给B型血的人，∴“可以输血给小明”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64，∴任找一个人，其血可以输给小明的概率为0.64．故答案为：0.64．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率加法公式的合理运用．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为 3 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z 最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为 3 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出该三棱锥的直观图，利用图中数据，求出它的侧视图面积．【解答】解：根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，∴该三棱锥的左视图是底面边长为2，对应边上的高为3的三角形，它的面积为×2×3=3．故答案为：3．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出三棱锥的直观图，是基础题目．9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长2．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离为1列式，再结合隐含条件求解．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），即双曲线的右焦点坐标为F（2，0），双曲线的渐近线方程为．不妨取y=，化为一般式：bx﹣ay=0．则，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，联立解得：a2=3，∴a=．则双曲线的实轴长为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n= 6 ，展开式中的常数项为15 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x 得指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为[4，5] ．【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先确定函数f（x）的单调性，由此确定其值域，该值域就是其反函数的定义域，最后再求y=f（x）+f﹣1（x）的定义域．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，即[4，5]，故答案为：[4，5]．【点评】本题主要考查了原函数与反函数定义域与值域之间的关系，涉及函数单调性的应用，属于中档题．12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有 5 个．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】由题意可得集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，然后结合A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；A∩B=∅，求得满足条件的集合A．【解答】解：∵集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，∴2不在A中，5不在B中，则A={1，5}，B={2，3，4，6，7}；A={3，5}，B={1，2，4，6，7}；A={4，5}，B={1，2，3，6，7}；A={5，6}，B={1，2，3，4，7}；A={5，7}，B={1，2，3，4，6}．∴满足条件的A有5个．故答案为：5．【点评】本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力，是基础题．13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为 4 ．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义的理解和运用，属于中档题．14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；解题思想；综合法；解三角形．【分析】由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，从而A1，B1，C1均为锐角，从而得到△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，推导出π=，不成立，从而△A2B2C2是钝角三角形，由此能求出两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【解答】解：∵△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，∴由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，∴A1，B1，C1均为锐角，∴△A1B1C1为锐角三角形，∵A1，B1，C1∈（0，），∴cosA1，cosB1，cosC1∈（0，1）∴sinA2，sinB2，sinC2∈（0，1）∴A2，B2，C2≠，∴△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，则cosA1=sinA2=cos（A2），cosB1=sinB2=cos（﹣B2），cosC1=sinC2=cos（﹣C2），∵A2，B2，C2均为锐角，∴﹣A2，﹣B2，﹣C2也为锐角，又∵A1，B1，C1均为锐角，∴A1=﹣A2，B1=﹣B2，C1=﹣C2三式相加得π=，不成立∴假设不成立，△A2B2C2不是锐角三角形综上，△A2B2C2是钝角三角形．∴两个三角形六个内角中的最大值为钝角．故答案为：钝角．【点评】本题考查两个三角形六个内角中的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．二、选择题15 .设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据共轭复数的定义以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，∴z1•z2=（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，若z1•z是实数，则ad+bc=0，若z1、z2互为共轭，则b=﹣d，由ad+bc=0推不出b=﹣d，由b=﹣d推不出ad+bc=0，故“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复数问题，是一道基础题．16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【专题】运动思想；演绎法；推理和证明．【分析】由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，继而求出答案．【解答】解：由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同，故选：B．【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】函数的图象与图象变化．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，故选：C．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题18．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2【考点】数列的极限；椭圆的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由四棱锥的体积=AB×AA1×AC，代入已知即可解得AA1的值．（2）设C1到平面A1B1C的距离为h，先证明B1A1⊥CA1，由已知及勾股定理可求A1C=，由=，利用三棱锥体积公式可得：×2××h=2×2×3，即可解得C1到平面A1B1C的距离为．【解答】解：（1）∵=AB×AA1×AC=AA1=4，∴AA1=3．（2）∵B1A1⊥C1A1，B1A1⊥A1A，A1A∩B1A1=A1，∴B1A1⊥平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴B1A1⊥CA1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，设C1到平面A1B1C的距离为h，∴A1C==，∵=，=h=×2××h，=×A1B1×C1A1×CC1=2×2×3，∴×2××h=2×2×3，解得：h=．故C1到平面A1B1C的距离．【点评】本题主要考查了直线与直线垂直的判定，考查了三棱锥，四棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用倍角公式与“弦化切”可得cos2θ=，=；（2）由，且．可得sinθ=，cosθ=．根据，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，代入化简即可得出．【解答】解：（1）cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====．===3；（2）由，且．∴sinθ=，cosθ=．∴，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，化为：cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，∴tanΦ=1，∴Φ=．【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”、差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，|OP|=2，可得点P的轨迹方程；（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，利用，求出OP2，即可求M的面积．【解答】解：（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，∴|OP|=2，∴点P的轨迹方程是x2+y2=4；（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，设∠T1OP=α，t=OP2，∵，∴（﹣）•（﹣）=λ，∴2cos2α﹣2OPcosα+OP2=λ，∴+t﹣6=λ，∴t2﹣（6+λ）t+8=0，∴t=（另一根舍去），∴M的面积S==．【点评】本题考查轨迹方程，考查面积的计算，确定轨迹方程是关键．22．对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．【考点】数列的求和．【专题】证明题；新定义；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由已知得a n+2=a（n+1）+b﹣a n+1=（an+a+b）﹣（an+b）+a n=a+a n，由此能证明数列{a n}是“弱等差数列”．由a1=t，a2=s，a n+2﹣a n=a，得到{a n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由递推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差数列性质能求出a=4，b=0，从而得到数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，由此能求了S n．（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由经能求出a的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，∴a n+1=an+b﹣a n，a n+2=a（n+1）+b﹣a n+1=（an+a+b）﹣（an+b）+a n=a+a n，∴a n+2﹣a n=a，∴数列{a n}是“弱等差数列”．∵a1=t，a2=s，a n+2﹣a n=a，∴{a n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，∴a n=．解：（2）∵当t=1，s=3时，数列{a n}是等差数列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，∴，解得a=4，b=0，∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴S n=2n+=n2+n．（3）∵s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，∴a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，∴a＞s﹣t．∴a的取值范围是（s﹣t，+∞）．【点评】本题考查“弱等差数列”的证明，考查数列的通项公式的求法，综合性质强，难度大，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】新定义；数形结合法；作差法；不等式的解法及应用．【分析】（1）直接根据定义，问题等价为|2x﹣3|＜|1﹣3|，解出即可；（2）先求出函数f（x）的解析式并画出函数图象，再运用数形结合的方法，求a的取值范围；（3）直接运用作差法比较两式的大小．【解答】解：（1）因为2x比1接近3，所以|2x﹣3|＜|1﹣3|，即|2x﹣3|＜2，解得＜x＜，所以，x的取值范围为：（，）；（2）分类讨论如下：①当x2﹣2x比x接近于0时，|x2﹣2x|＜|x|，解得，x∈（1，3），②当x比x2﹣2x接近于0时，|x2﹣2x|＞|x|，解得，x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），所以，f（x）=，画出f（x）的图象，如右图，因为方程f（x）=a有两个实根，根据函数图象得，a∈（﹣1，0）∪（0，1）；（3）对两式，平方作差得，△=（）2﹣（）2==，因为a，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，所以，＞||，即比接近0．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，分段函数解析式的确定，和不等式的证明，体现了分类讨论，数形结合的解题思想，属于难题．。

2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为．2．（4分）行列式中，6的代数余子式的值是．3．（4分）抛物线y2＝4x上的点M到其焦点F的距离为4，则点M的横坐标是．4．（4分）已知复数z＝a+i（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2．5．（4分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数为84，则a＝．6．（4分）关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，则实数a的取值范围是．7．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）2﹣4x，那么，不等式f （x+2）．8．（5分）直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y＝0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是．9．（5分）某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻种．10．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝1，函数f（x）＝x3+（a n+1﹣a n﹣cos）x2为奇函数，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2020的值为．11．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6），该三角形的面积为．12．（5分）如图，已知AC＝2，B为AC的中点，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），则的最大值为．二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）13．（5分）一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．55.2，3.6B．55.2，56.4C．64.8，63.6D．64.8，3.6 14．（5分）已知平面α，直线l，m，n，满足m∥α，且m，n互为异面直线（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）设函数f（x）＝，若实数a，b，c满足a＜b＜c且f（a）（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围为（）A．（5，34）B．（5，37）C．（18，34）D．（18，37）16．（5分）设集合S，T中至少有两个元素，且S，y∈S，若x≠y；②对任意x，y∈T，则x ﹣y∈S．下列说法正确的是（）A．若S有2个元素，则S∪T有4个元素B．若S有2个元素，则S∪T有3个元素C．存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素D．存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，AD＝3，PC＝5．（1）证明：直线P A∥平面BDE；（2）求点A到平面PBC的距离．18．（14分）设函数f（x）＝sin x•sin（+x）+cos2x+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，若f（A）＝1，tan C＝，求△ABC的面积．19．（14分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴（万元）补贴后，防护服产量将增加到t＝k•（6﹣）（万件）（k∈[0.5，1]），A公司生产t万件防护服需投入成本（20+8x+50t）万元．（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（利润＝总收入﹣成本，政府补贴x万元不计入公司收入中）；（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时（精确0.01）．20．（16分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为M，N，斜率为的直线l与椭圆C交于P、Q两点；（3）过右焦点F2作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．21．（18分）若无穷数列{a n}满足：只要a p＝a q（p，q∈N*），必有a p+1＝a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6+a7+a8＝21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1；b5＝c1＝81，a n＝b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1＝b n+sin a n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．2020-2021学年上海市黄浦区格致中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为．【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x∈，故答案为：．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．2．（4分）行列式中，6的代数余子式的值是6．【分析】根据代数余子式的定义6的代数余子式A23＝﹣，利用行列式的展开，即可求得答案．【解答】解：6的代数余子式A23＝﹣＝﹣（5×8﹣2×7）＝6，故答案为：6．【点评】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．3．（4分）抛物线y2＝4x上的点M到其焦点F的距离为4，则点M的横坐标是3．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的准线，进而根据抛物线定义可知M到其焦点F 的距离为与M到x＝﹣1的距离进而求得答案．【解答】解：根据抛物线方程可知其准线方程为x＝﹣1，则根据抛物线定义可知M到其焦点F的距离为与M到x＝﹣1的距离即x M+5＝4，∴x M＝3故答案为6【点评】本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到焦点据等于M到抛物线准线方程．4．（4分）已知复数z＝a+i（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2﹣1i．【分析】由题意可得：，解得a，即可得出．【解答】解：复数z＝a+i（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，∴，解得a＝﹣7．则复数z＝﹣1+i．故答案为：﹣6+i．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（4分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数为84，则a＝﹣1．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：的展开式的通项为T r+1＝C6r（﹣a）r x9﹣2r，令5﹣2r＝3，可得r＝2，∴展开式中x3的系数为C95（﹣a）3，∵展开式中x3的系数为84，∴C53（﹣a）3＝84∴a＝﹣7故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6．（4分）关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，则实数a的取值范围是（）．【分析】由关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，得＞0，求解分式不等式得答案．【解答】解：∵关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，∴＞0，即，解得：﹣＜a＜4，∴实数a的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想，正确理解题意是关键，是基础题．7．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）2﹣4x，那么，不等式f （x+2）（﹣7，3）．【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）＝f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）＝f（x+2），则f（x+7）＜5可化为f（|x+2|）＜8，即|x+2|2﹣5|x+2|＜5，（|x+5|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜8，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+8）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．8．（5分）直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y＝0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是[0，2]．【分析】圆的方程可知圆心（1，2），直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y＝0平分，直线过圆心，斜率最大值是2，可知答案．【解答】解：直线l将圆：x2+y2﹣4x﹣4y＝0平分，直线过圆心，2），斜率最大值是2，如图．那么l的斜率的取值范围是[0，3]故答案为：[0，2]．【点评】本题采用数形结合，排除法即可解出结果．是基础题．9．（5分）某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻16种．【分析】利用间接法，农场主人站在中间，男生没有要求的种数，再排除男生相邻的种数，即可求出得到结论．【解答】解：农场主人中间有A44＝24种，农场主人站在中间42A27＝8种，故不同的站法共有24﹣8＝16种，故答案为：16．【点评】本题考查了简单的排列组合问题，特殊位置优先安排，属于基础题．10．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝1，函数f（x）＝x3+（a n+1﹣a n﹣cos）x2为奇函数，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2020的值为1010．【分析】利用f（x）是奇函数，推出，推出函数的周期，然后转化求解即可．【解答】解：因为f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），所以，，a6＝1，，，，如此继续，得a n+4＝a n．S2020＝505（a1+a3+a3+a4）＝505×6＝1010．故答案为：1010．【点评】本题考查数列的函数的特征，数列的周期性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6），该三角形的面积为12．【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积．【解答】解：由题意，设F′是左焦点≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，直线AF′的方程为与x7﹣＝5联立可得y2+6y﹣96＝0，∴P的纵坐标为2，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣．故答案为：12．【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．12．（5分）如图，已知AC＝2，B为AC的中点，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），则的最大值为．【分析】以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A，B，C的坐标，可得以AB为直径的半圆方程，以AC为直径的半圆方程，设出M，N的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α＝2β，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．【解答】解：以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，可得A（0，0），7），0），以AB为直径的半圆方程为（x﹣）2+y2＝（x＞0，以AC为直径的半圆方程为（x﹣2）2+y2＝7（x＞0，y＞0），设M（+cosα，，N（3+cosβ，0＜α，BM⊥BN，可得•+cosα，，sinβ）＝0，即有﹣cosβ+，即为cosβ＝cosαcosβ+sinαsinβ，即有cosβ＝cos（α﹣β），0＜α，β＜π，即α＝2β，则＝（+，sinα）•（﹣5+cosβ＝﹣﹣cosα+（cosαcosβ+sinαsinβ）＝﹣﹣cosα+cosβ＝cosβ﹣cos2β＝﹣（cosβ﹣）2+，可得cosβ﹣＝6，α＝时，，故答案为：．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）13．（5分）一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．55.2，3.6B．55.2，56.4C．64.8，63.6D．64.8，3.6【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，…，x n，若其平均数是5.8，方差是3.61＝（x4+x2+…+x n）＝4.8，方差S12＝[（x1﹣）2+…+（x n﹣）8]＝3.6；若将这组数据中的每一个数据都加上60，则数据为60+x4，60+x2，…，60+x n，则平均数2＝[（60+x1）+）60+x2）+…+（60+x n）]＝60+4.8＝64.8，方差S72＝[（60+x3﹣64.8）2+…+（60+x n﹣64.6）2]＝3.6；故选：D．【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据方差、平均数的计算公式．14．（5分）已知平面α，直线l，m，n，满足m∥α，且m，n互为异面直线（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】α内必然存在两相交直线a，b使a∥m，b∥n，从而推导出l⊥α．【解答】解：因为m，n互为异面直线，n∥α，则平面α内必存在两条相交直线分别与m，n平行，又因为l⊥n且l⊥m，所以l⊥α，则l⊥m且l⊥n，所以“l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的充要条件．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．15．（5分）设函数f（x）＝，若实数a，b，c满足a＜b＜c且f（a）（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围为（）A．（5，34）B．（5，37）C．（18，34）D．（18，37）【分析】画出函数的图象，利用数形结合判断a、b、c的范围，然后求解2a+2b+2c的取值范围．【解答】解：画出函数f（x）＝的图象如图：由a＜b＜c且f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，b∈（3，c∈（4，当图中红线对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：4+2+23＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+4+25＝34．则4a+2b+2c的取值范围是（18，34）．故选：C．【点评】本题考查函数的图象与性质的应用，考查数形结合的解题思想，考查运算能力，是中档题．16．（5分）设集合S，T中至少有两个元素，且S，y∈S，若x≠y；②对任意x，y∈T，则x ﹣y∈S．下列说法正确的是（）A．若S有2个元素，则S∪T有4个元素B．若S有2个元素，则S∪T有3个元素C．存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素D．存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素【分析】根据条件②可知S中的元素成对出现，分别讨论S中是否有0进行判断T的元素情况，得出结论．【解答】解：由条件②可知集合S中的元素必成对出现，他们互为相反数，若S有2个元素，不妨设S＝{a，由条件①可知集合T中必含有元素0，若T的另一个元素为a（或﹣a），显然符合条件②，若T的另一个元素不是a或﹣a，不妨设为c（c≠±a），则由条件②可知c，﹣c也是S的元素，∴S∪T＝{a，﹣a，故A错误；若S有2个元素，则0必然是S的元素，0，﹣a}，再由条件②可知7a∈S，﹣2a∈S，故不存在3个元素的集合S，满足条件①，②，D错误．故选：B．【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，AD＝3，PC＝5．（1）证明：直线P A∥平面BDE；（2）求点A到平面PBC的距离．【分析】（1）连接AC交BD于O，连接OE，根据中位线定理得出OE∥P A，于是P A∥平面BDE；（2）过D作DF⊥PC，证明DF⊥平面PBC，由AD∥平面PBC可知线段DF的长为A 到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：连接AC交BD于O，连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点，又E是PC的中点，∴OE∥P A，又P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）解：过D作DF⊥PC于点F，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥CD，又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DF，又DF⊥PC，PC∩BC＝C，∴DF⊥平面PBC，∴DF为D到平面PBC的距离，∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴A到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离，∵PD＝4，PC＝5，∴DF＝＝，所以A到平面PBC的距离等于．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面距离的计算，属于中档题．18．（14分）设函数f（x）＝sin x•sin（+x）+cos2x+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，若f（A）＝1，tan C＝，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的单调增区间，解不等式可得所求；（2）由特殊角的正弦函数值可得A，判断三角形的形状，再由三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：（1）由题意可得f（x）＝sin x cos x+•+＝sin2x+）+1，可令4kπ﹣≤2x+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，所以f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]；（2）因为f（A）＝sin（2A+）+8＝1）＝5，即2A+＝π，由tan C＝，6＜C＜π，则B＝π﹣A﹣C＝，所以△ABC为等边三角形，故面积为S＝a2＝6．【点评】本题考查三角函数的恒等变换和正弦函数的单调性，以及三角形的形状和面积的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．19．（14分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴（万元）补贴后，防护服产量将增加到t＝k•（6﹣）（万件）（k∈[0.5，1]），A公司生产t万件防护服需投入成本（20+8x+50t）万元．（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（利润＝总收入﹣成本，政府补贴x万元不计入公司收入中）；（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时（精确0.01）．【分析】（1）由题意，A公司生产防护服的利润y＝80t﹣（20+8x+50t），把t＝k•（6﹣）代入，整理得答案；（2）由180k﹣≥0在x∈[0，10]上恒成立，分离参数k，再由函数的单调性求最值，从而求得满足条件的k值．【解答】解：（1）由题意，A公司生产防护服的利润y＝80t﹣（20+8x+50t）＝30t﹣20﹣8x＝30k（8﹣）﹣20﹣8x＝180k﹣，10]；（2）若对任意x∈[0，10]，则180k﹣≥0在x∈[8，即k≥•，记t＝x+3，12]，此时＝，又由函数f（t）＝2t+在t∈[2，∴当t∈[3，12]时，，∴k≈0.648．即当工厂工人的复工率到0.65时，对任意的x∈[8，公司都不产生亏损．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．20．（16分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为M，N，斜率为的直线l与椭圆C交于P、Q两点；（3）过右焦点F2作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．【分析】（1）由题意及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而可得椭圆的方程；（2）由（1）可得M，N的坐标，设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线MP，NQ的斜率之和，整理可证得直线MP与NQ的斜率之和为定值0；（3）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况设直线AB的方程，与椭圆联立求出弦长|AB|，|CD|的代数式，由均值不等式可得|AB|+|CD|的最小值．【解答】解：（1）由题意可得2b＝2，a﹣c＝8﹣，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝7，b2＝1，所以椭圆的标准方程为：+y2＝4；（2）证明：由题意及（1）可得M（2，0），5），由题意设直线PQ的方程为：y＝x+m6，+m）2，+m），联立直线PQ与椭圆的方程可得，整理可得：x2+6mx+2m2﹣2＝0，则△＝4m7﹣4（2m4﹣2）＞0，即m4＜2，x1+x4＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣3，所以k MP+k NQ＝+＝＝＝0．所以可证直线MP与NQ的斜率之和为定值0．（3）当直线AB的斜率不存在时，|AB|+|CD|＝，当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为：y＝k（x﹣），则直线CD的方程为：y＝﹣（x﹣），设A（x4，y3），B（x4，y6），联立直线AB与椭圆的方程，整理可得（3+4k2）x2﹣8k4x+12k2﹣4＝8，则x3+x4＝，x6x4＝，所以|AB|＝＝，同理可得|CD|＝所以|AB|+|CD|＝ +＝1+＝5﹣当且仅当6k2+≥2，即k＝±1时＝，综上所述：|AB|+|CD|的最小值为．【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合及均值不等式的性质，属于中档题．21．（18分）若无穷数列{a n}满足：只要a p＝a q（p，q∈N*），必有a p+1＝a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6+a7+a8＝21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1；b5＝c1＝81，a n＝b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1＝b n+sin a n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．【分析】（1）利用已知条件通过a2＝a5＝2，推出a3＝a6，a4＝a7，转化求解a3即可．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b n，c n得到a n的表达式，推出a2≠a6，说明{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n＝C，通过a n+1＝C+sin a n，证明a p+1＝a q+1，得到{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，得到a2＝b1+sin a1，设函数f（x）＝x﹣b1，g （x）＝sin x，说明b n+1＝b n，即可说明{b n}是常数列．【解答】解：（1）∵a2＝a5＝4，∴a3＝a6，a6＝a7＝3，∴a7＝a8＝2，a6＝21﹣a7﹣a8＝16，∴a2＝16．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，b5﹣b2＝4d＝80，∴d＝20，∴b n＝20n﹣19，＝q4＝，∴q＝n＝∴a n＝b n+c n＝20n﹣19+．∵a1＝a3＝82，而a2＝21+27＝48，a6＝101＝．a4＝a5，但是a2≠a8，{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n＝C，则a n+1＝C+sin a n，若存在p，q使得a p＝a q，则a p+1＝C+sin a p＝C+sin a q＝a q+8，故{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，则a2＝b3+sin a1，设函数f（x）＝x﹣b1，g（x）＝sin x，由f（x），g（x）图象可得5，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b2＝sin a1，∴a2＝b3+sin a1＝a1，∴a n＝a n+2，故b n+1＝a n+2﹣sin a n+6＝a n+1﹣sin a n＝b n，∴{b n}是常数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．。

2021年高三数学上学期期中试题（含解析）沪教版一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分，请在相应的空格内填上正确的答案， 每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则 . 解析：，.2. 函数的最小正周期为 .解析：()2sin cos sin 2cos2442f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期.3. 已知的展开式中，的系数为，那么实数 .解析：，令.4. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 . 解析：分类讨论，不要忘了空集的情况：.5. 在中，角所对的边长分别为.若，则最大角为 .解析：由正弦定理可得，有余弦定理即可得最大角的余弦值，即.6. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球. 现从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 .（结果精确到0.001） 解析：7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为 .解析：很明显，所以，即.8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 .解析：在上单调递增，内函数在上递增且函数值大于0，所以.9. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 . 解析：轴截面是边长为，则底面半径，母线，所以侧面积为.10. 已知定义在上的函数与的图像相交与点，过点作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长度为 . 解析：,.11. 已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 . 解析：，所以， 即.12. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 . 解析：为偶函数，，结合图形可知. 13. 设函数的定义域为，其中. 若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在区间上的最大值与最小值之和为 .解析：令，定义域为，则有在区间上的最大值为5，最小值为2，当为偶函数时，在区间上的最大值为5，最小值为2，此时在区间上的最大值与最小值之和为9；当为偶奇函数时，在区间上的最大值为-2，最小值为-5，此时在区间上的最大值与最小值之和为-5；综上，应填或14.已知命题“，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 .解析：原命题为假命题，即在上有解.显然.当时，结合函数图像可得，无解；当时，结合函数图像可得，所以，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得5分，否则一律得0分.15. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.解析：有各函数的基本性质即可知符合题意，选择.16.在钝角中，“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：能得到，反之不一定成立，还可以为.17. 已知函数，其中，，则下列判断正确的是（）A.当时，的最小值为B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.当时，的最小值为解析：，令，结合函数图像，可得到当时，取到最小值，所以选择C.18. 给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且仅有一个实数解；④若是该方程的实数解，则.其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C. 3个D.4个解析：，的解就等价于函数与的交点个数，作出图像即可判断只有①不对；所以选择C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，直三棱锥中，，.⑴求直三棱锥的体积；⑵若是的中点，求异面直线与所成的角. 解析：∵ 且，∴ . ⑴； ⑵如图，取中点，连接、，又是的中点， 所以，所以即为异面直线与所成的角.计算可得，， 在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成的角为. 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin 2sin 22,33f x x x x m x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且的最大值为1.⑴求的值，并求的单调递增区间；⑵在中，角的对边为，若，且.试判断的形状.解析：⑴∵ ()sin 2sin 22sin 22332sin 23f x x x x m x x mx mπππ⎛⎫⎛⎫=++-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴即；令，得的单调递增区间为； ⑵，∴ ，又，∴21222a cb a bc c c ⇒-=⇒=， 即，故，所以为钝角三角形.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ ⑵要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？C1B A 1CC1B 1C解析：⑴每吨的平均处理成本为22004000040000200400200200y x x x x x x-+==+-≥-= 当且仅当即每月处理量为吨时每吨的平均处理成本最低，最低为200元； ⑵设该单位每月获利为（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．()2230030020040000500400000S x y x x x x x =-=--+=-+-≥解之得：由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.小题满分6分.已知函数，其中常数. ⑴时，求的最小值. ⑵讨论函数的奇偶性.⑶若恒成立，求实数的取值范围. 解析： ⑴时，，当且仅当即时取最小值2. ⑵，，所以当时为偶函数，因为此时有恒成立； 当时为奇函数，因为此时有恒成立. 当时为非奇非偶函数. ⑶由得；()()1122122222x x x x f x f x a a +---+<⇒+⋅<+⋅，令，有，即， 所以.小题满分8分.设函数为定义在上的奇函数，. 当时，. ⑴当时，求的解析式；⑵记，为，求及其反函数的解析式；⑶定义其中，探究方程在区间上的解的个数.解析： ⑴当时，，，即；当时，，有. ⑵()()()()()242f x f x f x f x f x +=-⇒+=-+=，则的周期为； 当时，， ∴ ，， 即.⑶由可得的对称轴为，所以的图像如下：接下来求解在上的解析式：①当为偶数时，为其周期，.所以； ②当为奇数时，为其周期，.所以()()()()()()3322222f x f x k x k f x k x k =-=--=--=--综上，，，所以将向右移动个单位，再向上移动个单位即可得到的图像： 显然，是连续的递增函数，∴ 当时，方程在区间上有一解， 当时，方程在区间上无解.% 28337 6EB1 溱36290 8DC2 跂34057 8509 蔉34865 8831 蠱25489 6391 掑a38884 97E4 韤h,32718 7FCE 翎22810 591A 多F。

上海市上海中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题设是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A.||||||a b a c b c -≤-+- B.2211a a a a+≥+C.1||2a b a b-+≥- 2.设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（ ）条件. A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要3.函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A.()1f x +B.()1f x -C.()1f x +D.()1f x -4.已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A.18B.9C.27D.81第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.设全集I R =，}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________； 6.不等式2113x x ->+的解是_________； 7.若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________； 8.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列{S n n}是首项为3，公差为2的等差数列，若b n=a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则使得S n +T n ≥268成立的n 的最小值为__________.10.如果函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数，则实数a =_________； 11.设函数())f x x =，若,a b 满足不等式()()22220f a a f b b -+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为_________； 12.若{}|224xA x ≤≤，1|1xB x a x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围为_________；13.()2k x ≤+的解集为区间[],a b ，且2b a -=，则k = ．14.对函数设0()||20f x x =-，()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则函数()n y f x =的零点个数n a 的通项公式为_________； 15.{}n a 为等差数列，则使等式1212111n n a a a a a a +++=++++++12122223332018n n a a a a a a =++++++=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值为_________；16.已知20b >>，则232241222c c c a c ++++++的最小值是_________. 三、解答题（题型注释）17.若数列n a 是递增的等差数列，其中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}50n a -的前n 项和n S 的通项公式.18.对于两个实数a ，b ，{}min ,a b 表示a ，b 中的较小数，已知函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭.（1）请画出函数()f x 的图像； （2）请写出函数()f x 的基本性质.19.某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为)*1,116,y p x x N =>≤≤∈，并且前4个月区域外的需求量为20万吨.（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超出油库的容量，试确定m 的取值范围. 20.已知函数21()(,)4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）求最大的()1mm >使得存在t R ∈，只需[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤.21.已知数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，112a =，()22*112n n n n a a a a n N ++-=-∈，设数列的前n 项和为n S . （1）用1n a +表示n S ； （2）求证：1n n a a +<，并且313424n n S -<<； （3）记112n n nb a a +=-，求证：n b ≤参考答案1.C【解析】1.根据绝对值三角不等式得到A 正确；将不等式变换为2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭换元判断正确；取2,3a b ==≤，判断正确，得到答案.A. ||||||a b a c b c -≤-+-，根据绝对值三角不等式知不等式恒成立；B. 2211a a a a +≥+等价于2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭，设(][)1,,22,a t t a +=∈-∞-⋃+∞即220t t --≥即()()210t t -+≥，在(][),22,t ∈-∞-+∞恒成立；C. 1||2a b a b-+≥-，取2,3a b ==计算知不满足；≤≤即≤≥.故选：B 2.B【解析】2.先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案. 当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选：B 3.D【解析】3.根据平移得到曲线C ：()11f x -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案.函数()f x 的反函数为()1fx - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选：D 4.C【解析】4.根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案． 根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ．5.(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【解析】5.先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案.{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<<{}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或 ()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为：(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 6.(,3)(4,)-∞-⋃+∞【解析】6. 不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为：(,3)(4,)-∞-⋃+∞【解析】7.讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =8.20)x ≥【解析】8.利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为：20)x ≥9.5【解析】9.根据等差数列定义求得数列{a n }的前n 项和S n ；由a n =S n −S n−1求得数列{a n }的通项公式，利用b n=a 2n 求得数列{b n }的通项公式，进而求得数列{b n }的前n 项和T n ；依次代入求解即可得到n 的最小值。

上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________10．已知()3sin()(0,02π)f x x w j w j =+><<，函数点A 、D为()y f x =的图像与x轴的交点，其中D 的最高点和最低点，且212AB DC AB ×=-uuu r uuu r uuur ，则j二、单选题13．已知a 、b是非零实数，若A ．22a b <B ．2ab <14．已知事件A 与B 相互独立，且A．(8,8)-B16．已知数列{}a，若存在数列n则称数列{}b是{}n a的交错数列n等差数列{}b，使得{n bn数列{}b，使得{}n b是{n三、解答题17．如图，在以,,,,,A B C D E F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰(1)证明：平面ABCD^平面(2)若M为线段CD上一点，且18．已知()sin3cos=+f x x(1)是否存在正数m，使得(f)(1)求椭圆G的标准方程；(2)当11k=时，求AMNV的面积；(3)如图，设M关于原点O的对称点为连接AO，由ADO EDOV V@所以在三角形OAE中，2AE从而OE OA^，又,,^Ç=OE CD OA CD O OA则()()(0,0,2,2,0,0,0,2,0A E M()()2,0,2,2,2,0, AE EM=-=-uuu r uuuu r设平面AEM的一个法向量为则n AEn EMì×=ïí×=ïîuuu rruuuu rr，即22022x zx y-=ìí-+=î设烧制4个A 所得的利润为x ，则()301044040Y Y Y =--=-x ，令404080Y =-³x ，解得3Y ³，所以()()()()()334480334C 0.810.80.80.8192P P Y P Y P Y ³=³==+==´´-+=x .（3）根据题意完善22´列联表可得：（3）显然()y f x =，()y f x ¢=均在(,)m n 上连续不断，若函数()y f x =是(,)m n 上的绝对增函数，则()()()0g x f x f x ¢=³恒成立，又因为函数()y g x =在(,)m n 上有唯一的零点0x ，可知函数()y f x =，()y f x ¢=均在(,)m n 上至多有一个零点0x ，且必有一个函数有零点，先证：()y f x ¢=在(,)m n 上有唯一的零点0x ，假设()y f x ¢=在(,)m n 上没有零点，则()y f x =在(,)m n 上有唯一的零点0x ，可知()0f x ¢>（或()0f x ¢<）恒成立，不妨设()0f x ¢>恒成立，则()0f x ³恒成立，可知()y f x =在(,)m n 上单调递增，当()0,x m x Î是，()0()0f x f x <=，两者相矛盾；所以假设不成立，即()y f x ¢=在(,)m n 上有唯一的零点0x ；再证：0x 是函数()y f x ¢=的极值点，假设0x 不是函数()y f x ¢=的极值点，则存在0d >，使得()00,(,)x x m n d d -+Í，且()y f x ¢=在()00,x x d d -+上为单调函数，不妨设()y f x ¢=在()00,x x d d -+上单调递增，当()00,x x x d Î-时，()0f x ¢<，可知()y f x =在()00,x x d -上单调递减，且()0f x £，则0()0f x <；当()00,x x x d Î+时，()0f x ¢>，可知()y f x =在()00,x x d +上单调递增，且()0f x ³，则0()0f x ³；两者相矛盾，假设不成立，所以0x 是函数()y f x ¢=的极值点.【点睛】关键点点睛：对于（3）利用反证思想证明问题，对于直接说明比较麻烦时，可以利用反证思想说明问题.。

高三数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知集合M ={}2,0,xy y x N ==(){}2|lg 2x y x x =-,则M N ⋂=_______.【答案】(1,2) 【解析】M ={}2,0x y y x =={}1,y y N ={}2|lg(2x y x x =-={|02}x x <<,所以M N ⋂={|12}x x <<.2.三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为________. 【答案】34 【解析】 【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算． 【详解】由题意，可知： （﹣1）1+2•2674-=--[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数()y f x =的图像过点1(22，则4log (2)f 的值为________. 【答案】14【解析】 【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x 用2代替求出函数值． 【详解】由设f （x ）＝x a ，图象过点（12，2），∴（12）a =a 12=， ∴log 4f （2）＝log 412124=． 故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 4.已知向量()1,3a=，()3,b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 角为______.【答案】【答案】π6. 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义求得m 的值，然后再求出两向量的夹角． 【详解】设a ，b 的夹角为θ， 则||236a b a b cos θ==⨯=，又()()1,33,3a b m ==+，∴336m +=， 解得3m =．∴2||22a b cos a b θ===⨯，又0θπ≤≤， ∴6πθ=．故答案为：6π． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题． 5.满足不等式arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：12111121x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，求解不等式有：11220213x x x ⎧-≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩， 综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.6.函数log (3)1(01)a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，若A 在直线10mx ny ++=，其中,0m n 均大于，则12m n+的最小值_________ 【答案】8 【解析】试题分析：由已知可得定点()2,1A --，代入直线方程可得21m n +=，从而1212()(2)m n m n m n +=++4448n m m n =++≥=. 考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____. 【答案】1(2,0)(0,]4- 【解析】 【分析】 由题意易得11a q =-q ，可得a 1＝﹣（q 12-）214+，由二次函数和等比数列的性质可得． 【详解】∵无穷等比数列{a n }的各项和等于公比q ， ∴|q |＜1，且11a q=-q ，∴a 1＝q （1﹣q ）＝﹣q 2+q ＝﹣（q 12-）214+， 由二次函数可知a 1＝﹣（q 12-）21144+≤，又等比数列的项和公比均不为0， ∴由二次函数区间的值域可得： 首项a 1的取值范围为：﹣2＜a 114≤且a 1≠0 故答案为：1(2,0)(0,]4- 【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数2()f x x =，[1,2]x ∈的反函数为1()f x -，则121[()](2)f x f x --+的值域是____.【答案】[1 【解析】 【分析】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），得函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x y＝x [1，2]上的增函数，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即1≤x ≤2，又y ＝x [1，2]上的增函数，所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的值域是[1，4]，故答案为：[1【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.【答案】【解析】【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短， ∴|AB |＝=2，故答案为：【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】43(,)32ππ 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．【详解】由()22222233363645sin a cos a cos a cos a sin a sin a sin a a -+-=+1， 得：()()()336363636452cos a cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina sin a a -+-+=+1，即()()()336364521cos a cos a a cos a a sin a a -++-=+，由积化和差公式得：()3634511222221cos a cos a cos a sin a a +-=+，整理得：()()()()()()63636345451122222cos a cos a sin a a sin a a sin a a sin a a --+-==++1，∴sin （3d ）＝﹣1．∵d ∈（﹣1，0），∴3d ∈（﹣3，0）， 则3d 2π=-，d 6π=-．由()()2111116221212n n n n n S na d na n a n πππ⎛⎫-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+=+=-++ ⎪⎝⎭．对称轴方程为n 1612a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由题意当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，∴1176192122a ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜＜，解得：14332a ππ＜＜． ∴首项a 1的取值范围是4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 故答案为：4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为__________．【答案】8 【解析】 由题意，()1f x x=，()y f x =与y x =都是奇函数，第一象限图象如图，当8x >时，两图象无交点，所以[)6,0-与(]0,6对称，零点之和为0，(]6,8上，零点为8， 所以，[)6,-+∞上的零点之和为8.12.在数列{}n a 中，11a =，1221332?32(2)n n n n n a a n ----=-+≥，n S 是数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，当不等式*1(31)()1()3()m n m n S m m N S m ++-<∈-恒成立时，mn 的所有可能取值为 .【答案】1或2或4 【解析】 试题分析：由1221332?32(2)n n n n n a a n ----=-+≥得1212213(1)3(1)332?32(2)n n n n n n n a a n ------+=++--+≥，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++≥，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n nS ⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3m mm n m n n m n n m m n m m n mmn n m S m m m m S m m m m +++++++--+---+----⋅-===+<-------即(3)32330(3)33n m m n mm m +--⋅-<--，当3m =时，该不等式不成立，当3m ≠时有233330133m nn m m⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n<<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 二.选择题13.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．14.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数B .其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos 2662g x x x x πππ=++=+=，A ：[,]42x ππ∈时，2[,]2x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：()2cos()042g ππ-=-=，故B 错误；C ：()g x 是偶函数，故C 错误；D ：[0,]3x π∈时，22[0,]3x π∈，值域为[1,2]-，故D 正确，故选D ． 考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．15.已知n N ∈，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图象是（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x |＞1时，2222121lim 22n n n n n n x x lim x x x x+→∞→∞--==---； 当|x |＜1时，222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--1；当x ＝1时，22lim 2n n n x x +→∞-=--1；当x ＝﹣1时，22lim 2n n n x x +→∞--不存在．∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜ ∴只有A 选项符合f （x ）大致图像， 故选A.【点睛】本题考查了函数解析式求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.设M，N是抛物线2y x=上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为12-，则（）A. ||||42OM ON+≥ B. O到直线MN的距离不大于2 C. 直线MN过抛物线2y x=的焦点 D. MN为直径的圆的面积大于4π【答案】B【解析】【分析】根据题意，M，N可看作直线MN与抛物线的交点,对直线MN进行分类讨论，当直线MN 的斜率不存在时，设出M，N的坐标，可以求得M，N的坐标及直线MN的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线MN的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线MN过定点()2,0，结合选项得出答案.【详解】当直线MN的斜率不存在时，设，由斜率之积为12-，可得2112y-=-，即22y=，∴MN的直线方程为2x=；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m=+，联立2y kx my x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m-+=．设()1122(),,M x y N x y，，则，∴121212OM ONy y kk kx x m==-⋅=，即2m k=-．∴直线方程为()22y kx k k x=-=-．则直线MN过定点()2,0．则O 到直线MN 的距离不大于2．故选B ．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论. 三.解答题17.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且2a =． （1）若C=60°且b=1，求a 边的值；（2）当c2b=A 的大小． 【答案】（1）3；（2）A=π3【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得sin a C =，又由60C =︒且1b =，即可求解；（2）由余弦定理及2a =，化简可得sin()16A π+=，即可求解A 的大小，得到答案．【详解】（1）由题意知2a =，可得21sinC 2b a a =⋅，∴sin a C =，又因为60C =︒且1b =，∴3a ==；（2）当2cb=+2b c ==∵2222cos b c A a bc ==+-，∴221sin 2cos 2bc A b c bc A ⋅=+-，即)222cos bc A A b c +=+，∴22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭，得sin()16A π+=， ∵(0,)A π∈，∴7(,)666A πππ+∈，所以62A ππ+=，得3A π=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围．【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，245AD =t 与a的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 【答案】（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，可知5075tDF t a=-+≤，可整理为162550a t t≥++，利用基本不等式可求得162550t t++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=-又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-= ()105,0A ∴245105145OD AD AO ∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E半径为：50t -，即50CD t =-则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：t x a=t OD a =5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t ∴≤++ 1100a ∴≥即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=（2）见解析（3）163【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=。

上海格致中学2021届高三第一学期期中考试数学试题（文）（测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷）一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1．若集合{}2410A x ax x =-+=的子集只有两个，则实数a =________。

2．若复数z 满足：4z z +=，5z z ⋅=，则z z -=___________。

3．若直线210x y +-=的倾斜角为α，则sin 2α的值为______________。

4．方程5242xx -=的解集为____________。

5．不等式组33390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示平面区域的面积为________。

6．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是____________3cm 。

7．函数()()3cos 2f x x ϕ=+的图像关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，则ϕ的最小正值为_____________。

8．将3名学生安排到A 、B 两个工厂去实习，则恰有2名学生到A 工厂去实习的概率为________________。

9．数列{}n a 中，127,7a a ==，当2n ≥时，1n a +是积1n n a a -⋅的个位数，则2010a =______。

10．若对任意实数x 、y 都有()()()()5543201223222x y a x y a x y y a x y y -=+++++()()234534522a x y y a x y y a y +++++，则=+++++543210a a a a a a _______。

11．定义1*110,11n n n n x x n N y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量(),n n n OP x y =到向量()111,n n n OP x y +++=的一个矩阵变换，其中O 是坐标原点。

2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高三上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 直线{x =tcosαy =tsinα (t 为参数)与圆{x =4+2cosθy =2sinθ(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为( ) A. π6或5π6 B. π4或5π6 C. π3或2π3 D. −π6或−5π6 2. 平面α//平面β，点A ，C ∈α，B ，D ∈β，则直线AC//直线BD 的充要条件是( )A. AB//CDB. AD//CBC. AB 与CD 相交D. A ，B ，C ，D 四点共面 3. 已知函数f(x)=lg x+1x−1,x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞),f(a)=b ，则f(−a)=( )A. bB. −bC. 1bD. −1b 4. 直角梯形ABCD 如图1，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f(x).如果函数y =f(x)的图象如图2所示，则△ABC 的面积为( )A. 10B. 32C. 18D. 16二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 对于直线xcosθ+ysinθ=4+√2sin(θ+π4)，当θ取遍全体实数时，会得到一系列的直线，现准备从中选取合适的四条直线围成一个正方形，则所围成的正方形的面积是______；6.记符号f −1(x)为函数f(x)的反函数，且f(3)=0，则f −1(x +1)的图象必经过点______ ． 7.二项式(1+x)5的展开式中含x 的项的系数是 ． 8.已知sin(α+π3)=1213，则cos(α−π6)=______． 9. 点P 在双曲线上⋅，是这条双曲线的两个焦点， ，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是10. 图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的ℎ= ______ cm ．11. 不等式x−23−x ≥0的解集是______ ．12. 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是______．13. 若z =3−4i(i 是虚数单位)，则|z|=______．14. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为棱DD 1和AB 上的点，则下列说法正确的是______.(填上所有正确命题的序号)①A 1C ⊥平面B 1CF ；②在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线；③△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形；④当E ，F 为中点时，平面B 1EF 截该正方体所得的截面图形是五边形；⑤当E ，F 为中点时，平面B 1EF 与棱AD 交于点P ，则AP =23．15. 已知函数f(x)={x 2+2x −3(x <0)x +a(x ≥0)的增区间为[−1,+∞)，则实数a 的取值范图是______． 16. 15.已知偶函数上单调递增，且满足，给出下列判断：(1)；(2)在上是减函数；(3)的图像关于直线对称；(4)函数在处取得最大值；(5)函数没有最小值，其中正确的序号是 。

上海市2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.设集合2{|20}A x x x a =-+=，若3A ∈，则集合A 可用列举法表示为________ 【答案】{3,1}- 【解析】 【分析】将3代入220x x a -+=求出参数a ，再解出二次方程的根，用列举法表示即可 【详解】3A ∈，将3代入220x x a -+=可得：960a -+=，3a =-，原方程为：2230x x --=，解得123,1x x ==-，故集合{1,3}A =- 故答案为：{3,1}-【点睛】本题考查元素与集合的关系，列举法表示集合，属于基础题 2.关于x 的不等式2420x x -++>的解集为________ 【答案】(6,7)- 【解析】 【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进行求解即可【详解】()()()224204207606,7x x x x x x x -++>⇔--<⇔-+<⇒∈-故答案为：(6,7)-【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在二次项系数大于0的前提下遵循“大于取两边，小于取中间”原则，属于基础题 3.若21()(1)m f x m x +=-是幂函数，则(2)f -=________【答案】-32 【解析】 【分析】根据幂函数的基本形式进行求解即可【详解】21()(1)mf x m x +=-是幂函数，∴11m -=，52,()m f x x ==，则()5(2)232f -=-=-故答案为：-32【点睛】本题考查幂函数的基本形式，具体函数值的求法，幂函数基本形式为：()af x x =，x前面的系数必须为1，属于基础题4.已知(,)2παπ∈，1sin 3α=，则tan2α=________【答案】7- 【解析】 【分析】根据同角三角函数先求出tan α，再用正切的二倍角公式求解即可【详解】(,)2παπ∈，∴由1sin tan 3αα=⇒=，22tan tan 21tan ααα==-故答案为： 【点睛】本题考查同角三角函数基本求法，正切角的二倍角公式，属于基础题5.函数sin (3sin 4cos )1y x x x =++（x ∈R ）的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为_____ 【答案】(5,)π 【解析】 【分析】结合二倍角公式和辅助角公式化简，进一步求值即可 【详解】()21cos255sin (3sin 4cos )1=3sin 4sin cos 132sin 2+1=sin 2222x y x x x x x x x x ϕ-=++++=⋅+-+当()sin 2=1x ϕ-时，max 5y M ==，22T ππ==，故有序数对为(5,)π 故答案为：(5,)π【点睛】本题考查三角函数的化简，辅助角公式的使用，形如：221cos21+cos2sin ,cos 22αααα-==应强化记忆，属于基础题 6.在等差数列{}n a 中，若519a =，935a =，则10a =________ 【答案】39 【解析】 【分析】先由95a a -求得公差，再求10a 即可 【详解】数列是等差数列，∴9535194a a d -=-=，4d =，10935439a a d =+=+=故答案为：39【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，属于基础题7.若函数231()21x x f x x m x ⎧≤=⎨-+>⎩的值域为(,3]-∞，则实数m 的取值范围是________ 【答案】(2,5] 【解析】 【分析】分类讨论，先由1x ≤求出3x 的取值范围，再结合1x >时二次函数的单调性求解值域即可 【详解】当1x ≤时，1333x ≤=，()(]0,3f x ∈；当1x >时，()22x mf x -=+减函数，()(),2f x m ∈-∞-，要满足()(,3]f x ∞∈-，此时应满足(]20,3m -∈ ，即(2,5]m ∈ 故答案为：(2,5]【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题8.定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为________个. 【答案】5 【解析】【分析】先求出0x >时2()lg(33)0f x x x =-+=的解，再根据奇函数的性质求出零点个数即可 【详解】当0x >时，令2()lg(33)0f x x x =-+=，即2lg(33)lg1x x -+=，解得121,2x x == 根据奇函数的对称性可得()()()()11220f f f f =--==--=，故341,2x x =-=-也是函数的零点，又()y f x =定义域为R ，所以()00f =，故50x =也是函数的零点，合计5个零点 故答案为：5【点睛】本题考查奇函数的对称性，函数零点个数的求法，属于基础题9.当集合2{|(8)(1)0,}A x mx m x x Z =--->∈中的元素个数最少时，实数m 的取值范围是_____【答案】[4,2]-- 【解析】 【分析】对m 进行分类讨论，在考虑集合中元素个数最少的条件下，进一步确定参数m 所满足的条件即可【详解】①当0m =时，集合{}1A x Z x =∈<当0m ≠时，令2880mx m x m m--=⇒=+，101x x -=⇒= ②当0m >时，8m m +≥，故集合81A x Z x x m m ⎧⎫=∈<>+⎨⎬⎩⎭或③当0m <时，8m m +≤-81A x Z m x m ⎧⎫=∈+<<⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个，而①②两种情况都有无限个元素，故此种条件下符合，[)6,5---，根据对勾函数性质，当且仅当()80,m m m m=<=-取到最大值，要满足集合A 元素个数最少，需满足865m m -≤+<-，化简得22680580m m m m ⎧++≤⎨++>⎩，即[]4,2m ∈--故答案为：[4,2]--【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式含参解法，对勾函数性质，属于中档题10.已知周期为2的偶函数()f x 的定义域为R ，且当[0,1]x ∈时，3()log (32)f x x =-，则当[2019,2020]x ∈时，()f x 的解析式为________【答案】3()log (24037)f x x =- 【解析】 【分析】根据2T =，需将[2019,2020]x ∈进行区间转化，2020[1,0]x -∈-，结合偶函数，求出()f x 在[]1,0x ∈-的表达式，即可求解【详解】由题可知2T =，当[2019,2020]x ∈，()()2020f x f x =-，令2020[1,0]t x =-∈-； 当[]1,0t ∈-时，[]0,1t -∈，则3()log (32)f t t -=+，又函数为偶函数， 故()3()log (32)f t f t t -==+，将2020t x =-代入可得()()()()33log 322020log 24037f t x x =+-=-，即()()3log 24037f x x =-故答案为：()()3log 24037f x x =-【点睛】本题考查周期函数解析式的求法，偶函数的性质，解题关键在于将不在符合条件的定义域通过周期代换和奇偶性转化为给定区间或对称区间，再进一步求解 11.已知数列{}n a 的通项公式和为(73)2n n n S +=，*n N ∈，现从前m 项：12,,,m a a a ⋅⋅⋅中抽出一项（不是1a 也不是m a ），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第________项 【答案】6 【解析】 【分析】 由(73)2n n n S +=可先算出n a ，先令40n a =，算出n ，再结合等差数列的性质进一步判断 【详解】由(73)2n n n S +=得()()()-1-17-132n n n S +=，172(2),n n nS S a n n --==-≥（验证当1n =时也符合）故72n a n =-，令72=40n a n =-，得6n =，即640a =，根据等差数列的性质，6111210572a a a a a a a =+=+==+，由题可知，余下各项的算术平均数是40，说明余下每两项的算数平均数只要满足前式性质即可，根据11611S a =得算数平均数为640a =，则11m =，抽出的是数列的第6项 故答案为：6【点睛】本题考查等差数列的性质，可简记为：对于等差数列，(),,,m n p q m n p q a a a a m n p q N ++=+⇒+=+∈，属于基础题12.已知函数()f x 满足22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，则(1)(2020)f f +的最大值是______ 【答案】4 【解析】 【分析】可将x 换为1x +，得出22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，可得()g x 周期为2，()()(1)(2020)10g g g g +=+ ，再结合基本不等式求解即可【详解】由题意22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，①将x 换为1x +，得出22(2)(2)(1)(1)4f x f x f x f x +-+++-+=，② 由②-①得：22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，则()g x 周期为2，所以()(2020)0g g =令0x =，得22(1)(1)+(0)(0)=4f f f f -- 即()()()()222210=(1)(2020)=(1)(1)+(2020)(2020)=(2020)+(1)(2020)1=4g g g g f f f f f f f f ++---+，()22(2020)+(1)4(2020)1f f f f =++令()()2020,1a f b f ==，则224a b a b +=++，由()()()()22222222a b a b a b a b ++≥+⇒+≥即()242a b a b +++≥，化简得()()420a b a b +-++≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，[]2,4a b +∈-故()()20201a b f f +=+的最大值为4，故答案为：4【点睛】本题考查复合函数周期性的推导，基本不等式求最值，推理运算能力，属于中档题 二. 选择题13.“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 即非充分也非毕必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将条件“x 是1和4的等比中项”化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 故选：B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题14.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 6:7:10A B C =，则△ABC （ ） A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形C. 一定是直角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角形大边对大角原则和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可 【详解】由sin :sin :sin 6:7:10::6:7:10A B C a b c =⇒=，可令6,7,10a b c ===由大边对大角原则确定C 最大，由余弦定理2225cos 0228a b c C ab +-==-< 可判断C 为钝角 故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于基础题 15.已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(3)|2x f -<的解集为（ ） A. (0,1) B. (1,3) C. (1,1)- D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 给出的已知两点确定单调性，再由()f x 与1()f x -的对应关系进一步求解即可 【详解】由311222AB k -==---和()f x 为R 上的单调函数，可得()f x 为R 上的单调递减函数， 则1()f x -在定义域内也单调递减函数；原函数过点(2,3)A -和点(2,1)B ，则1()f x -过()()1,2,3,2- 则11|(3)|22(3)2133x x x f f --<⇔-<<⇔<<，解得(0,1)x ∈ 故选：A【点睛】本题考查原函数与反函数的性质，原函数若单调，则原函数与反函数单调性相同，原函数定义域（值域）与反函数值域（定义域）相同，属于中档题16.如图，已知△ABC 的周长为k ，在AB 、AC 上分别取点M 、N ，使MN ∥BC ，且与△ABC 的内切圆相切，则MN 的最大值为（ ）A.6kB.8k C.9k D.12k 【答案】B 【解析】 【分析】可设BC x =，MN y =，由AMNABC ∆∆和切线长定理可代换出x 与y 的关系，最终将y代换成关于x 的二次函数，再求最值即可【详解】设BC x =，MN y =，,,D E F 分别为三个边的切点，则,,,BE BD CF CD ME MG NF NG ====则AMN ∆周长为2AE AF k x +=-2==AMN MN k x y ABC BC k x ∆-=∆周长周长，则()22248x k x k ky x k k -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当4k x =时，y 有最大值8k故选：B【点睛】本题考查三角形中线段最值的求解，相似三角形，二次函数求最值，解题关键是代换出线段与周长关系，属于中档题 三. 解答题 17.已知函数sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6π3得到()y g x =的图像.（1）当[0,]2x π∈时，求()g x 的值域；（2）已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3()4f A =，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】（1）3[0,1]+；（233【解析】 分析】（1）现根据平移法则求得()g x ，再求()g x 值域即可；（2）由()f A =求得A ，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积. 【详解】（1）sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得()sin f x x =；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，得到()sin 2f x x =；然后向左平移6π个单位，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；再向上平移2个单位，得到()sin 232g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当[0,]2x π∈，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， sin 232x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()sin 20,13g x x π⎡⎛⎫=++⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦（2）sin ()243A f A A π==⇒=或23π（由题意三角形为锐角三角形，故舍去23π）， 1sin 2ABC S bc A ∆=，①()222222cos 22b c bc ab c a A bc bc+--+-==，②又4a =，5b c +=，代入①②得bc =3,则ABC S ∆=【点睛】本题考查三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法则，正弦定理余弦定理结合求面积，属于基础题18.已知函数()2x f x k =+（k 为常数），(,2)A k -是函数1()y f x -=图像上的点.（1）求实数k 的值及函数1()y f x -=的解析式；（2）将1()y fx -=按向量(2,0)a =平移，得到函数()y g x =的图像，若不等式1()f x g m --≤有解，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）2k =-，12()log (2)f x x -=+；（2）32m ≥. 【解析】 【分析】（1）由原函数与反函数的对应关系知()2,k -过原函数，代入()2x f x k =+即可求得k 值，进一步求得1()y fx -=的解析式（2）先根据向量平移法则求得()g x ，原式1()f x g m --≤有解可转化为22log (2)log x m +-≤有解，再由基本不等式求解即可【详解】（1）由题知，反函数过(,2)A k -，则原函数过()2,k -，2(2)22f k k k =+=-⇒=-，则()22xf x =-，由()22222log 2x x y y x y =-⇒=+⇒=+，即12()log (2)f x x -=+（2）12()log (2)f x x -=+按向量(2,0)a =平移得2()log g x x =，则1()f x g m --≤有解⇔22log (2)log x m +-≤()0x >有解，即2222log (2)log log log x +-==≥1x =时等号取到），223log log 2≥=，要使1()f x g m --≤有解，则32m ≥【点睛】本题主要考查原函数与反函数的性质，反函数的求法，含参不等式有解的求法，基本不等式求最值，属于中档题19.大店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开始第一个月就达到1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比，第4个月成本为8000元，但第11个月起每月成本固定为3万元，现打算用函数2()f x ax bx c =++（0a ≠）或()x f x km n =+（0k ≠，0m >，1m ≠）来模拟销量下降期间的月销量. （1）请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x 之间的函数关系式；（2）前20个月内，该网店取得的月利润的最高纪录是多少，出现在哪个月？【答案】（1）()xf x km n =+更合理，141.50.5,110()25,11x x x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，；（2）24万，第10个月【解析】 【分析】（1）分别采用待定系数法，算出2()f x ax bx c =++和()x f x km n =+表达式，再检验18x =时是否符合题设即可（2）列出利润()w x 关于x 的表达式，根据函数性质分别计算两分段函数的利润最大值，即可求解【详解】（1）假设从第11个月开始，月销量符合2()f x ax bx c =++的变化趋势，则()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1211113114412927169137189a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩，22()1789f x x x =+-，对称轴为272x =，当14x ≥时，不符合题意，故此模型舍去； 假设从第11个月开始，月销量符合()x f x km n =+的变化趋势，则()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1411121321319275k km n km n m km n n ⎧=⎧+=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩=⎪⎩，1425()x f x -=+，当17x =时，14174125)8(17f -+==，141886(181)125f -+==，()()1817f f <， 故()x f x km n =+更合理，此时1425()x f x -=+，11x ≥；由题知前10个月符合一次函数模型，设() 1.5f x x b =+，将()1,1代入，解得0.5b =，则() 1.50.5f x x =+，110x ≤≤，故 141.50.5,110()25,11x x x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，（2）设前10个月成本（万元）与月份的关系为()2h x nx =，将()4,0.8代入解得120n =，则()220x h x =，前10个月利润可表示为()()()()()22121.50.530442020x w x f x h x x x =-=--=--+，当10x =时取到最大值，()max 24w x =；当11x ≥时，1425()x f x -=+单调递减，第11个月利润有最大值， ()max =132323w x ⨯-=；故月利润最高记录为24万元，出现在第10个月.【点睛】本题考查函数拟合模型的实际应用，分段函数的求法，实际问题中的利润最大值问题，运算能力，属于中档题20.已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，4224S S =+，219b =，249T =. （1）求公差d 的值；（2）若对任意的*n N ∈，都有7n S S ≥成立，求1a 的取值范围；（3）若11a =，判别2202012n nS T -=-是否有解，并说明理由. 【答案】（1）1d =；（2）[7,6]--；（3）无解，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由4224S S =+化简即可求得；（2）由（1）0d >，7n S S ≥可知，780,0a a ≤≥，再解1a 范围即可；（3）由219b =，249T =可求得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而求得11=123n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，同时11a =可求得()12n n n S +=，设2()12n n f n S T =--，可证2()12n nf n S T =--单调递增，通过对n 赋值可判断不存在n 值，使2202012n nS T -=-有解【详解】（1）()4211432442242S S a d a d ⨯=+⇔+=++，化简得1d = （2）10d =>，7n S S ≥，780,0a a ∴≤≥，即11160[7,6]70a d a a d +≤⎧⇒∈--⎨+≥⎩ （3）等比数列满足219b =，249T =，即1111949b q b b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1113311=112313nn n T ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎝⎭∴=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11a =，则()()()1111222n n n d n n n n S na n --+=+=+= 2223121112123n nnT ==⋅-⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，假设2()12n n f n S T =--，即()1()232n n n f n +=⋅- ()()112(1)232n n n f n ++++=⋅-，()()()1121(1)()2323431022n n n n n n n f n f n n ++++⎡⎤+-=⋅--⋅-=⋅-->⎢⎥⎣⎦，n N +∈，则()1()232n n n f n +=⋅-为单调递增函数，()6671(6)23=14372f ⨯+=⨯-， ()7771(7)23=43462f ⨯+=⨯-，即(6)2020(7)f f <<，∴不存在正整数n ，使2202012n nS T -=-有解【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量的求解，前n 项和公式，函数的单调性，逻辑推理能力，属于中档题21.已知012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>，将等式123011111(1)(1)(1)(1)2(1)n a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=-记为()*式. （1）求函数1()1f x x=-，[2,)x ∈+∞的值域； （2）试判断当1n =时（或2时），是否存在0a ，1a （或0a ，1a ，2a ）使()*式成立，若存在，写出对应0a ，1a （或0a ，1a ，2a ），若不存在，说明理由；（3）求所有能使()*式成立的i a （0i n ≤≤）所组成的有序实数对012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅. 【答案】（1）1[,1)2；（2）不存在，理由见解析；（3）(24,4,3,2)和(60,5,3,2).【解析】 【分析】（1）先判断1()1f x x=-的单调性，再根据定义域进一步求值域；（2）由题干和（1）知，2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，结合()*式判断可确定不存在；（3）可通过试值法，先确定32a =，再通过试值法进一步确定23a =，最终锁定101121+66a a =>， 则136a <<，分别讨论14a =和15a =进一步确定0a 即可 【详解】（1）设122x x ≤<，221()1f x x =-，111()1f x x =-，()()21211212110x x f x f x x x x x --=-=> 故1()1f x x=-在[2,)x ∈+∞上单增，()()min 112122f x f ==-=，当x →+∞时，1()11f x x=-→，则()1[,1)2f x ∈（2）由（1）知，设()11n nf a a =-为单调递增函数，则2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，当1n =时，101111a a -<-，所以()*式不成立； 当2n =时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，210111(1)(1)2(1)a a a -+-<-，()*式也不成立，故当1n =时（或2时），不存在0a ，1a （或0a ，1a ，2a ）使()*式成立 （3）由()111,12n n f a a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭得，123011111(1)(1)(1)(1)2(1)22n n a a a a a <-+-+-+⋅⋅⋅+-=-<，即4n <，又由（2）可知，1,2n n ==()*式不成立，故要使()*式成立，只能取3n =，当3n =时12301111(1)(1)(1)2(1)a a a a -+-+-=-，即012321111a a a a +=++，由题012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>，若33a =，否则原式右边至多为1111345++<，()*式不成立则32a =，同理23a =，否则原式右边至多为1111245++<，因此可得012111132a a +=++，化简得101121+66a a =>，所以136a <<，当14a =时0=24a ；当15a =时，0=60a综上所述，012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅的所有可能解为：()24,4,3,2或()60,5,3,2【点睛】本题考查函数单调性的证明，放缩法的应用，试值法求解具体数值，对于逻辑推理能力有较高要求，属于难题。

格致中学2018-2019学年度第一学期高三10月月考数学试卷一、填空题1.设集合{}{}，，，，，，A a a x x B A ∈===2|9102则B A Y 的所有元素之和为________. 2.已知，π，π，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4543554sin αα则=αsin _______.3.若()()，42321lim 2n =+-++-∞→n n b n a 则=+b a ______. 4.已知()*212N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中各项二项式系数之和为128,则其展开式中含x 1项的系数是_______.5.已知y x 、满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2,则=m ________. 6.已知函数()a x f x --=2,若存在实数()，、2121x x x x ≠使得()()，121-==x f x f 则实数a 的取值范围是____________.7.已知复数z 满足zi i z -=+1,则=+⋯+++201821z z z ________.8.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原点,()13，是l 的一个法向量,已知数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,点()n n a a ，1+均在l 上,若62=a ,则54321a a a a a 的值为_________. 9.将1,2,3,4,5,6随机排成一列,记为，，，，，，f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为___. 10.在菱形ABCD 中，，213124====则=•AE BF _____.11.已知椭圆()，＞＞012222b a by a x =+F 为椭圆的右焦点,AB 为过橢圆中心O 的弦,则ΔABF 面积的最大值为___________.12.设()x f 是定义在R 上的以2为最小正周期的偶函数,在区间[]10，上单调递减,且满足()()，π，π221==f f 则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为______. 二、选择题13.已知直线a ,若直线b 同时满足下列条件:①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ,则这样的直线b （ ）A.唯一确定B.有两条C.有四条D.有无数条 14.已知函数()x f 满足:()()()y f x f y x f •=+并且()11=f ,那么：()()()()()()()()()()()()201910105332112222f f f f f f f f +⋯+++的值为（ ）A.2019B.1010C.4038D.303015.对于函数()x f ,若存在实数m ,使得()()m f m x f -+为R 上的奇函数,则称()x f 是位差值为m 的“位差奇函数”。

2018-2019学年上海市黄埔区格致中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.下列命题为真命题的是（）A. 经过定点的直线都可以用方程表示B. 不经过原点的直线都可以用方程表示C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示D. 经过定点的直线都可以用方程表示2.对于任意实数m，直线mx-y+1-3m=0必经过的定点坐标是（）A. B. C. D. 无法确定3.已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列，S n为其前n项和，则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4.在直角坐标系xOy中，点P（x P，y P）和点Q（x Q，y Q）满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．若=m及∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则m与θ的值（）A. ，m不确定B. 不确定，C. ，D. 以上答案都不对二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知向量，，，．若，则实数k=______．6.系数矩阵为，且解为=的一个线性方程组是______7.等比数列{a n}的各项均为正数，且a4a6=9，则log3a3+log3a7=______．8.若向量，满足=-10，且||=5，则在的方向上的投影为______9.用行列式解线性方程组，则D y的值为______．10.执行如图的程序框图，如果输入i=6，则输出的S值为______．11.若直线x-y-1=0与x-ay=0的夹角是，则实数a的值为______．12.直线l经过点P（-2，1），且点A（-1，-2）到l的距离为1，则直线l的方程为______．13.已知向量、满足||=||=1且与夹角为120°，则当||的值取到最小时，实数t的值为______14.已如等差数列{a n}的前n项和S n，且＞，则当S n达到最大值时n的值为______15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，向量=（n，），=（m，），=（k，）（n，m，k∈N*），且=+，则用n，m，k表示μ=______．16.已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，，，，…，，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知向量=（2，-3），=（-5，4），=（1-λ，3λ+2）．（1）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值．（2）若点A，B，C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．18.平面直角坐标系xOy中，已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…A n（x n，y n）是直线l：y=kx+b上的n个点（n∈N*，k、b均为非零常数）．（1）若数列{x n}成等差数列，求证：数列{y n}也成等差数列；（2）若点P是直线l上的一点，且=a1+a2，求a1+a2的值；（3）若点P满足=a1+a2+…+a n，我们称是向量，，…，的线性组合，{a n}是该线性组合的系数数列．证明：是向量，，…，的线性组合，则系数数列的和a1+a2+…+a n=1是点P在直线l上的充要条件．19.已知直线l1：y=2x，l2：y=-2x，过点M（-2，0）的直线l分别与直线l1，l2交于A，（2）直线AN交l2于点P，直线BN交l1于点Q，若直线l、PQ的斜率均存在，分别设为k1，k2，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5-a3=13，S4=16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n=（-1）i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n+1+（-1）n+1a n]•2n-1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：带有斜率的直线方程，可能斜率不存在，剔除A，D；与x，y轴平行或重合的直线不能运用截距式方程表示，剔除B；故C正确．故选：C．考虑直线的斜率不存在，可判断A，D；由直线与与x，y轴平行或重合，可判断B；由两点式方程可判断C．本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，考查判断能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：直线mx-y+1-3m=0化为：m（x-3）+（1-y）=0，令，解得x=3，y=1．∴直线恒过定点（3，1）．故选：A．直线mx-y+1-3m=0化为：m（x-3）+（1-y）=0，令，解出即可得出定点坐标．本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】A【解析】解：∵{a n}是公比为q的等比数列，当0＜|q|＜1时，S n=，|S n|=||，即“存在M＞||，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件，当q=-1时，|S n|=即取M=2|a1|即可，综上可知：即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件．故选：A．因为{a n}是公比为q的等比数列，当0＜|q|＜1时，S n=，|S n|=||，即“存在M＞||，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件，当q=-1时，|S n|=即取M=2|a1|可得“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”，即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0，使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件，本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及等比数列求和，属中档题．4.【答案】C【解析】解：==，=；∴，；又0≤θ≤π；∴．故选：C．可以根据条件求出，从而求出m的值，并可求出，从而可根据求出cos，进而得出θ．考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标求向量的长度，以及数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式．5.【答案】【解析】解：由，得1×（k-6）-9k=0，解得k=-，根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．本题考查向量共线的充要条件，若，则⇔x1y2-x2y1=0．6.【答案】【解析】解：可设线性方程组为=，由于方程组的解是=，∴=，∴所求的方程组为．故答案为：．先根据系数矩阵，写出线性方程组，再利用方程组的解求出待定系数，从而可得所求的线性方程组．本题考查了二元一次方程组的矩阵形式，以及待定系数法求线性方程组问题，是基础题．7.【答案】2【解析】解：由题意可得log3a3+log3a7=log3a3a7=log3a4a6=log39=2故答案为：2由等比数列的性质和对数的运算性质，化简可得．本题考查等比数列的性质和对数的运算，属基础题．8.【答案】-2【解析】解：∵=-10，且||=5，由向量投影的定义可知，在的方向上的投影为==-2，由向量投影的定义可知，在的方向上的投影为，代入可求．本题主要考查了平面向量投影的定义的简单应用，属于基础试题．9.【答案】-9【解析】解：行列式解线性方程组，则D y==2×（-1）-7×1=-9，故答案为：-9根据行列式解二元一次方程组的方法可得D y=，即可求出答案．本题考查用行列式解二元一次方程组，考查系数行列式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】21【解析】解：由程序框图知：程序第一次运行S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+2=3，n=2+1=3；第三次运行S=1+2+3=6，n=3+1=4；…直到n=7时，不满足条件n≤6，程序运行终止，输出S=1+2+3+…+6=21．故答案为：21．根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤6，计算此时的S 值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．11.【答案】或0【解析】解：直线x-y-1=0的斜率为，直线x-ay=0的斜率不存在或是．当直线x-ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线x-y-1=0的倾斜角为60°，满足条件．当直线x-ay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式可得tan==，解得a=．故答案为：或0．当直线x-ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线x-y-1=0的倾斜角为60°，满足条件．当直线x-ay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式求出a的值．本题主要考查两直线的夹角公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．12.【答案】x=-2或4x+3y+5=0【解析】解：设直线l的方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0∵点A（-1，-2）到l的距离为1，∴=1，解之得k=-，得l的方程为4x+3y+10=0．当直线与x轴垂直时，方程为x=-2，点A（-1，-2）到l的距离为1，∴直线l的方程的方程为x=-2或4x+3y+5=0．故答案为：x=-2或4x+3y+5=0．当直线l斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为4x+3y+10=0；当直线与x轴垂直时，l方程为x=-2也符合题意．由此即可得到此直线l的方程．本题求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．13.【答案】【解析】解：∵||=||=1且与夹角为120°，∴=，当||2==t2+t+1=，结合二次函数的性质可知，当t=-时，||有最小值．故答案为：-．由已知可求，而||2==t2+t+1，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了平面向量数量积的定义及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题14.【答案】4或5【解析】解：∵S n=na1+n（n-1）d，∴==-，∴=-，∴a1=-4d，∴S n=dn2-dn=（n-）2-d，故n=4或5时，S n达到最大值，故答案为：4或5利用等差数列的求和公式和极限的定义可得a1=-4d，即可得到S n=（n-）2-d，问题得以解决．本题考查了等差数列的求和公式和极限的定义，属于中档题．15.【答案】【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则：；∴数列为等差数列；∴P，P1，P2都在直线y=上；即P，P，P三点共线；∴存在实数k，使；∴=；∴μ=k；又，；∴n-m=μ（k-m）；∴．故答案为：．可设数列{a n}的首项为a1，公差为d，从而可以得出，从而得出{}为等差数列，从而便有三点P，P1，P2共线，从而有，可以用表示出向量，进而可得到μ=k，可求出向量的坐标，带入便可求出μ．考查等差数列的通项公式和前n项和公式，对于等差数列a n=a1+（n-1）d，知道点（n，a n）在直线y=a1+（x-1）d上，共线向量基本定理和平面向量基本定理，以及向量坐标的减法运算和数乘运算．16.【答案】1或2【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n-1）=2n-1．∵a1，a2，a k1，a k2，…，a k n，…成等比数列，首项为1，公比为3．∴=3n+1．由a n=2n-1，得，∴2k n-1=3n+1．∴k n=（3n+1+1）第11页，共14页 即≤恒成立，令f （n ）=＞0，则≤1． ∴当n=1或n=2时，f （n ）最大，当n≥2时，f （n ）为减函数，则要使对任意n ∈N *，恒有≤（m ∈N *），则m=1或2． 故答案为：1或2．由已知求出等差数列的公差，得到等差数列的通项公式，再由a 1，a 2，a k 1，a k 2，…，a k n ，…成等比数列，得=3n+1．由a n =2n-1，得，可得2k n -1=3n+1．即k n =（3n+1+1），由对任意n ∈N *，恒有≤（m ∈N *），可得≤恒成立，然后结合数列的函数特性求得m 值．本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题．17.【答案】解：（1）∵△ABC 为直角三角形，∠B =90°； ∴； ∵ ， ，， ； 即-7（6-λ）+7（3λ-2）=0；∴λ=2；（2）∵点A ，B ，C 能能构成三角形，则A ，B ，C 不共线，即 与 不共线；∴-7（3λ-2）-7（6-λ）≠0；∴实数λ应满足的条件是λ≠-2．【解析】（1）先求得，根据△ABC 为直角三角形，且∠B 为直角即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值；（2）根据点A ，B ，C 可构成三角形，即可得出A ，B ，C 三点不共线，即得到不共线，从而得出-7（3λ-2）-7（6-λ）≠0，这样即可求出实数λ满足的条件．考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，以及共线向量的坐标关系．18.【答案】解：（1）证：设等差数列{x n}的公差为d，∵y n+1-y n=（kx n+1+b）-（kx n+b）=k（x n+1-x n）=kd，∴y n+1-y n为定值，即数列{y n}是等差数列；（2）证：因为P、A1和A2都是直线l上一点，故有=λ，（λ≠-1），于是，=+=+λ=+λ（-），∴（1+λ）=+λ，∴=+，令a1=，a2=，则有a1+a2=1；（3）假设存在点P（x，y），满足=a1+a2+…+a n，则有x=a1x1+a2x2+a3x3+…+a n x n，又当i+j=n+1时，恒有a i=a j，则又有x=a n x1+a n-1x2+…+a2x n-1+a1x n，∴2x=a1（x1+x n）+a2（x2+x n-1）+a3（x3+x n-2）+…+a n（x n+x1），又∵数列{x n}为等差数列；于是x1+x n=x2+x n-1=x3+x n-2=…=x n+x1∴2x=（a1+a2+a3+…+a n）（x1+x n）=x1+x n故x=，同理y=，且点P（，）在直线上（是A1、A n的中点），即存在点P（，）满足要求，故是向量，，…，的线性组合，则系数数列的和a1+a2+…+a n=1是点P在直线l上的充要条件．【解析】（1）将y n+1和y n分别代入y=kx+b，令两者相减得定值，便可证明数列{y n}为等差数列；（2）由题中条件可知P，A1，A2共线，令=λ，即可证明a1+a2=1；（3）先写出满足条件的x的函数，再根据a1+a2+…+a n=1和a i=a j及数列{x n}为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P店坐标．本题主要考查了等差数列与向量的综合运用，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．19.【答案】解：（1）设直线方程为y=k（x+2），与直线l1：y=2x，l2：y=-2x，分别联立，可得A，B的纵坐标分别为，，∵△NAB的面积为16，∴|MN|•（y B-y A）=16，第12页，共14页即（-）=16，解得k=±4，∴直线l的方程为4x±y+8=0；（2）由（1）可得A（，），B（-，），又N（1，0），设P（a，-2a），Q（b，2b），由A，N，P共线，可得=，解得a=，即有P（，-），由B，N，Q共线，可得=，解得b=，即有Q（，），则k2==-5k1，即有为定值-．【解析】（1）设直线方程为y=k（x+2），与直线l1：y=2x，l2：y=-2x，分别联立，可得A，B 的纵坐标，再由△NAB的面积为|MN|•（y B-y A）=16，解方程可得k，进而得到所求直线方程；（2）求得A，B的坐标，设P（a，-2a），Q（b，2b），运用三点共线的条件：斜率相等，求得a，b，再由两点的斜率公式，化简整理，计算即可得到所求定值．本题考查直线方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线交点问题注意联立方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，属于中档题．20.【答案】解：（1）设数列{a n}的公差为d．∵2a5-a3=13，S4=16，∴ ，解得a1=1，d=2，…（2分）∴a n=2n-1，S n=n2．…（4分）（2）①当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，则T2k=（a2-a1）+（a4-a3）+…+（a2k-a2k-1）=2k．…（5分）代入不等式λT n＜[a n+1+（-1）n+1a n]•2n-1，得λ•2k＜4k，从而λ＜．第13页，共14页设f（k）=，则f（k+1）-f（k）=-=．∵k∈N*，∴f（k+1）-f（k）＞0，∴f（k）是递增的，∴f（k）min=2，∴λ＜2．…（7分）②当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，则T2k-1=T2k-（-1）2k a2k=2k-（4k-1）=1-2k．…（8分）代入不等式λT n＜[a n+1+（-1）n+1a n]•2n-1，得λ•（1-2k）＜（2k-1）4k，从而λ＞-4k．∵k∈N*，∴-4k的最大值为-4，所以λ＞-4．综上，λ的取值范围为-4＜λ＜2．…（10分）（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列，则（S m-S2）2=S2•（S n-S m），即（m2-4）2=4（n2-m2），∴4n2=（m2-2）2+12，即4n2-（m2-2）2=12，…（12分）即（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12．…（14分）∵n＞m＞2，∴n≥4，m≥3，∴2n+m2-2≥15．∵2n-m2+2是整数，∴等式（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12不成立，故不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列．…（16分）【解析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的前n项和．（2）当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，求出T2k=2k，进而求出λ＜2；当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，求出T2k-1=1-2k，进而求出λ＞-4．由此能求出λ的取值范围．（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列，由此利用已知条件推导出等式（2n-m2+2）（2n+m2-2）=12不成立，从而得到不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m-S2，S n-S m成等比数列．本题考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断，综合性强，难度大，解题时要注意不等式、函数单调性、反证法的合理运用．第14页，共14页。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：格致中学二〇一〇学年度第一学期 期中考试高三年级数学(文科) 测试卷(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1、若全集{}0,1,2U =，{}10A x ax =+=且{}0,1UA =，则a =_________。

2、不等式214xx -≥+的解集为_______________。

3、方程sin 0cos xx=的解集为____________________。

4、若2a bi bi i+=-（其中i 为虚数单位，,a b R ∈），则()2a bi +=__________。

5、若变量x 、y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则42x y +的取值范围为____________。

6、若用平均值为1的样本数据a ，0，1-，3，2-，4来估计总体的标准差，则总体标准差的点估计值为______________。

（结果精确到0.01）7、二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为__________。

8、某食品店推出某种促销活动，将重量和包装完全相同的牛筋和鸭肫混在一起以统一价格出售，现有50个牛筋和150个鸭肫，某人从中随手抓了10个，则恰好抓到5个牛筋的概率为___________。

（结果精确到0.001） 9、如图，某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则其体积为_______3cm 。

10、下图是一个算法的流程图，则最后输出的值为__________。

班级____________姓名________________学号____________准考证号______________主视图 左视图俯视图第9题图11、点P 为直线210x y +-=上的一个动点，1F 、2F 为双曲线22145x y -=的左、右焦点，则12PF PF ⋅的最小值为___________。