上海市格致中学2018-2019学年高三下学期3月月考数学试卷(解析版)

上海市格致中学2023届高三三模数学试题一、填空题1.在复数集中，若复数z 满足21z =-，则z =___________．【答案】i±【分析】设出i(,R)z a b a b =+∈，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a b ab =-+=-，则2210a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，1b =或1b =-，所以i z =或i z =-，故答案为：iz =±2.双曲线2212y x -=的离心率为____．【详解】试题分析：由题意得：21,123,ca c c e a==+====3.若全集为R ，集合103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2|2B y y x ==-+，则A B = ___________．【答案】{}|23<<x x 【分析】先求出集合,A B ，再求出B ，再利用集合的运算即可得出结果.【详解】因为103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，由103x x -<-，得到13x <<，即{}13A x x =<<，又{}2|2B y y x ==-+，易知2y ≤，所以{}|2B y y =>，所以{}|23A B x x =<< ，故答案为：{}|23<<x x 4.已知函数221xy a =-+为奇函数，则实数=a ______【答案】1【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.【详解】若函数()221xf x a =-+为奇函数，则()()2202121x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即222222222021212121xx x x x a a a -⋅--=--=-=++++，解得：1a =，故答案为：1.5.若nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，则常数项为___________（用数字作答）.【答案】240【分析】由17n +=可得n 的值，再写出展开式的通项，令x 的指数位置等于0即可求解.【详解】因为nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，所以17n +=，可得6n =，所以6x⎛+ ⎝展开式的通项为136622166C 2C 2rr r r r r r T x x x ---+==，令3602r -=可得4r =，所以常数项为446C 21516240=⨯=，故答案为：240.6.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是___________．【答案】124【分析】根据百分位数定义可求.【详解】解：因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1221261242+=，故答案为：124.7.盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.【答案】49【分析】根据全概率公式求解可得.【详解】设事件A 为“第一次抽到白球”，事件B 为“第二次抽到白球”，则B AB AB =+，所以()()()()()P B P A P B A P A P B A =+，由题可得()49P A =，()59P A =，()712P B A =，()412P B A =，所以()475449129129P B =⨯+⨯=.故答案为：49.8.关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围为___________．【答案】,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】构造2()2f x ax x a =-+，利用函数的性质，将问题转化成在[)0,∞+上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，令2()2f x ax x a =-+，易知()f x 为偶函数，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，即2()20f x ax x a =-+≥在[)0,∞+上恒成立，所以，当0x =时，由2220ax x a a -+=≥，得到0a ≥，当0x >时，由220ax x a -+≥，得到2122x a x x x≥=++，又因为2x x+≥x =时取等号，所以24a ≥=，综上，实数a 的取值范围为,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.9.已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x fx =+，则函数()y g x =的值域为___________．【答案】[2,7]【分析】确定函数()y g x =的定义域，化简可得()y g x =的表达式，换元令3log ,([0,1])x t t =∈，可得242y t t =++，结合二次函数的性质即得答案.【详解】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x fx f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]10.已知()πsin 202y x ϕϕ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，且该函数在7π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，那么ϕ的取值范围是___________．【答案】ππ,64⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件，结合sin y x =的图像与性质即可求出结果.【详解】当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2,3x ϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，又因为()πsin 2(02y x ϕϕ=-<<在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，所以π2π2k ϕ-+≤-且)2ππ2π(32Z k k ϕ-∈≤+，即ππ2π2π62k k ϕ+≤≤+，Z k ∈，又π02ϕ<<，取0k =，得到ππ62ϕ≤<，当7π(0,8x ∈时，7π2,4x ϕϕϕ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，所以π02ϕ-<-<，又该函数在7π(0,)8上有最小值，所以7π3π42ϕ->，得到π04ϕ<<，综上所述，ππ64ϕ≤<.故答案为：ππ64ϕ≤<.11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是___________．①1n n a a +<；②{}2n S 是等差数列；③n S ≤④满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10．【答案】②③④【分析】根据题意得()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，即可判断②；由②知，=n S ，所以n a ==1n a +==即可判断①；因为1n S ≤1≤，令()10x x =≥，即()e 10x x x ≥+≥，构造函数()()e 10xf x x x =--≥，利用函数的单调性即可判断出③的正误；再根据题意得()22221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣⎦，再根据题意求解即可判断④的正误.【详解】因为221n n n a S a =+，当1n =时，211121a S a =+，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，故②正确；对于①，由()2111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S，得到=n S ，当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即=n a ，又111S a ==，所以1n =时，满足=n a，所以n a ==又1n a +==>，所以<1n n a a +<，故①不正确；对于③，令()()e 10xf x x x =--≥，所以()e 1xf x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()e 100x x x --≥≥，所以e 1x x ≥+在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()11,N x n n *=≥∈，所以1≥=n S，即1n S ≤成立，故③正确；对于④，因为=n S，所以2n S +=1222222log log log n n nS n b S n ++⎛⎫== ⎪⎝⎭()222121log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ()()()22222222221log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣⎦ ()()()()222111log 1log 21log 1222n n n n =-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为3n T ≥，即()()211log 1232n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥，当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>，所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1nn n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .12.已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，1a b b c ⋅=⋅=，a b c -+≤ a c ⋅ 的最大值为___________．【答案】2【分析】根据题意，设出a ，b ，c的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到a c ⋅的范围，从而得到结果.【详解】设()1,0a = ，()1,b s = ，()1,c st t =-，,s t ∈R ，由已知可得：a b c -+=，当且仅当22s t =时，取等号，当0st ≥时，有()2218st st -+≤，得01st ≤≤+，当0st <时，有()2618st st -+≤，得10st -≤<，所以当11st -≤≤时，12a c st -≤⋅=-≤.所以a c ⋅的最大值为2.故答案为：2.二、选择题13.“11x -<<”是“112x x -++≤”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式得到解集为{}11x x -≤≤，从而得到1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，求出答案.【详解】112x x -++≤，当1x <-时，112x x ---≤，即22x -≤，解得1x ≥-，与1x <-取交集，得∅，当11x -≤≤时，112x x -++≤，即22≤，成立，故11x -≤≤，当1x >时，112x x -++≤，解得1x ≤，与1x >取交集，得∅，综上：112x x -++≤的解集为{}11x x -≤≤，因为1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，故“11x -<<”是“112x x -++≤”的充分不必要条件.故选：A14.实验测得六组成对数据(),x y 的值为()4,90，()5,84，()6,83，()7,80，()8,75，()9,68，由此可得y 与x 之间的回归方程为4y x b =-+，则可预测当10x =时，y 的值为（）A.67B.66C.65D.64【答案】B【分析】先求出样本中心点，线性回归方程4y x b =-+恒过(),x y ，代入即可求出b ，再令10x =，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14566789 6.5x =⨯+++++=，()1908483807568806y =⨯+++++=，线性回归方程为4y x b =-+，则804 6.5b =-⨯+，解得106b =，故4106y x =-+，当10x =时，41010666y =-⨯+=.故选：B.15.将函数3=-+y x x ，[]0,1x ∈的图象绕点()1,0顺时针旋转θ角（π02θ<<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则θ的最大值为（）A.1arctan2B.π6 C.π4D.arctan 2【答案】A【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，故只需求1x =处的倾斜角即可.【详解】函数()3f x y x x ==-+，()231f x x '=-+，当30,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x ¢>，函数在30,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上递增，当3,13x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，函数在3,13⎛⎤⎥ ⎝⎦上递减，()12f '=-可得在1x =处切线的倾斜角为πarctan 2-，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，也就是说，最大旋转角为ππ1πarctan 2arctan 2arctan 222--=-=，即θ的最大值为1arctan 2.故选：A.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ= ，11D P D B μ=，其中λ，[]0,1μ∈，则下列说法不正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥P EFD -的体积为定值B.当12μ=时，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是94πC.PE PF +的最小值为536D.存在唯一的实数对(),λμ，使得EP ⊥平面PDF 【答案】C【分析】由线面平行的判定可知1//BD 平面EFD ，知三棱锥P EFD -底面积和高均为定值，A 正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径R 的方程，求得R 后知B 正确；将C 中问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，将问题转化为1E H 长度的求解，根据角度和长度关系可确定C 正确；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得,λμ，可知D 正确.【详解】对于A ，当12λ=时，F 为11C D 中点，又E 为1B C 中点，1//EF BD ∴，EF ⊂平面EFD ，1BD ⊄平面EFD ，1//BD ∴平面EFD ，则当P 在线段1BD 上移动时，其到平面EFD 的距离不变，∴三棱锥P EFD -的体积为定值，A 正确；对于B ，当12μ=时，取,AC BD 交点O ，连接PO ，则四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PO ∴⊥平面ABCD ，设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O '，半径为R ，则O '在直线PO 上，2OC =，12OO R '=-，222OC OO O C ''∴+=，即221122R R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：34R =，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积29π4π4S R ==，B 正确；对于C ，将问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，过1E 作1//HG AD ，交11,C D AB 于,H G ，如下图所示，1PE PE = ，11PE PF PE PF E H ∴+=+≥（当且仅当F 与H 重合时取等号）111111E BA ABD D BE ABD D BC ∠=∠-∠=∠-∠ ，()2211111sin sin 3E BA ABD D BC ⎛⎫∴∠=∠-∠=-=，11112sin sin 6E G B E E BA BE E BA ∴=⋅∠=⋅∠=，125266E H ∴==，即PE PF +的最小值为526，故C 错误；对于D ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,1F λ，(),,1P μμμ-，11,1,22EP μμμ⎛⎫∴=--- ⎪⎝⎭，(),,1DP μμμ=-，()0,,1DF λ= ，若EP ⊥平面PDF ，则EP DPEP DF ⊥⎧⎨⊥⎩，()()()11110221102EP DP EP DF μμμμμμλμμ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+--= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪⋅=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：336132μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）或336312μλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴存在唯一的实数对()13,,26λμ⎛-=⎝⎭，使得EP ⊥平面PDF ，故D 正确.故选：C.三、解答题17.在ABC 中，coscos CA =，6B π=，BC 边中线AM =（1）求A 的值；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）π6；（2【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【小问1详解】因为coscos C A =，所以由正弦定理可得cos cos CA =2sin cos cos cos )B A A C C A A C B=+=+=因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.【小问2详解】因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b bb b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC 的面积为22113sin 2222S b C ==⨯⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中､四边形11ABB A 是菱形，且160ABB ∠=，2AB BC ==，1CA CB =，1CA CB ⊥，（1）证明：平面1CAB ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1BB 和平面ABC 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，证明CO BO ⊥可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点1B 到平面ABC 的距离d ，再由线面角公式1sin dBB θ=求解即可.【小问1详解】连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，如图，四边形11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，又1CA CB =，1CA CB ⊥，O 是1AB 的中点，所以1CO AB ⊥且112CO AB =，由160ABB ∠=︒，可知1ABB 为正三角形，所以12AB AB ==，BO =，在BOC中，22222212CO BO BC =+==+，所以CO BO ⊥，又1BO AB O = ，1,BO AB ⊂平面11ABB A ，所以CO ⊥平面11ABB A ，又CO ⊂平面1CAB ，所以平面1CAB ⊥平面11ABB A .【小问2详解】设1B 到平面ABC 的距离为d ，因为ABC 中，2AB BC ==，AC ==所以11222ABCS AC =⨯，又1224ABB S =⨯= ，1CO =，所以由11B ABC C ABB V V --=，可得11133ABC ABB d S CO S ⋅=⋅△△,即172ABB ABCS d S ===△△,设直线1BB 和平面ABC 所成角为θ，则17sin 27d BB θ===.19.2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k ∈N 人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.（1）请完成下面的列联表，并求出k 的值；喜欢足球不喜欢足球合计男生女生合计（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P k χ≥0.100.050.010.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，2k =；（2）分布列见解析，95【分析】（1）依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出k ；（2）按照二项分布求解.【小问1详解】由已知，完成列联表，喜欢足球不喜欢足球合计男生15k 10k 25k 女生5k 10k 15k 合计20k20k40k将数值代入公式可得2χ的观测值：()222240150508202025153k k kk k k k kχ⨯-==⨯⨯⨯，根据条件，可得83.841 6.6353k≤<，解得1.440 2.488k ≤<，因为*k ∈N ，所以2k =；【小问2详解】由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为35，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为35，则3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()03033280C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121332361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212332542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()303332273C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则X 的分布列为X 0123P812536125541252712539355EX =⨯=；综上，2k =，数学期望为95.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，且过点12⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点（异于椭圆顶点），点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点．①若点P 在直线12x =上，求证：线段MN 的垂直平分线恒过定点S ，并求出点S 的坐标；②求证：当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）①证明见解析，3(,0)8S ；②直线OM 与ON 的斜率之积为14-.【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM 与ON 的斜率之积即可得出定值.【小问1详解】因为焦距为2c =，即c =2223a b c -==，又因为椭圆过点12⎫⎪⎭，所以223114a b+=，解得221,4b a ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y P x y .由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=，2222226416(1)(14)16(14)0k m m k k m ∆=--+=+->，2121222844,1414km m x x x x k k--+==++.①因为点P 为线段MN 的中点，点P 在直线12x =上，所以1202412142x x km x k +-===+，即2148k km +=-，2148k m k+=-.所以00y kx m =+21141288k k k k+=+=--.所以线段MN 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--，即111()82y x k k +=--，即13(8y x k =--.故线段MN 的垂直平分线恒过定点3(,0)8S .②由弦长公式得12MN x =-=坐标原点到直线MN 的距离为21m d k=+，所以OMN 的面积为12OMNS MN d =⋅△2222222214141142214141m m k m k k m k k k+-+=⨯+-=⨯+++22221422114m k m k++-≤⨯=+.当且仅当22214m k m =+-，即22214m k =+时等号成立.所以12121212()()OM ONy y kx m kx m k k x x x x ++==22121212()k x x km x x m x x +++=2222222(44)8(14)44k m k m m k m --++=-2222241144444m k m m m --===---.所以直线OM 与ON 的斜率之积为定值14-.21.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =-- 所以定义域为()0,+¥6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x >令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x xk h x x +<=-；22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数，且(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x =即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，(2)(2)()20a g x x x x +-'=-==得0x =，当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e ⎛=-⇒> ⎝；因为10x <<2x >，令21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a t x t ∴=-而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。

上海市格致中学2018-2019学年高三下学期3月月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知数列{a n}中，a1=1，a2=2+3，a3=4+5+6，a4=7+8+9+10，…，则a10=（）A. 610B. 510C. 505D. 7502.已知平面向量、、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（）A. 1B.C.D. 23.已知函数：①f（x）=3ln x；②f（x）=3e cos x；③f（x）=3e x；④f（x）=3cos x．其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一一个自变量x2，使=3成立的函数是（）A. ③B. ②③C. ①②④D. ④4.设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n∈N*，定义，x∈[1，+∞），则当x∈，时，函数的值域是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点与原点的距离是______．6.将参数方程（θ为参数）化为普通方程，所得方程是______7.已知，是两个非零向量，且||=||=|-|，则与+的夹角大小为______．8.若函数y=tanωx在（-π，π）上是递增函数，则ω的取值范围是______9.行列式中x的系数是______10.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要______个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．11.在均匀分布的条件下，某些概率问题可转化为几何图形的面积比来计算，勒洛三角形是由德国机械工程专家勒洛首先发现，作法为：以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为______12.平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线的距离中的最小值是______．13.设定义域为R的函数f（x）、g（x）都有反函数，且函数f（x-1）和g-1（x-3）图象关于直线y=x对称，若g（5）=2015，则f（4）=______14.已知实数a、b、c成等差数列，点P（-3，0）在动直线ax+by+c=0（a、b不同时为零）上的射影点为M，若点N的坐标为（2，3），则|MN|的取值范围是______15.数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2等于a n•a n+1的个位数，则a2019=______16.已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．若f（a）=f（2020），则满足条件的最小的正实数a是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD．18.已知复数z1=sin2x+λi，（λ，m，x∈R），且z1=z2．（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；（2）设λ=f（x）；①求f（x）的最小正周期和单调递减区间；②已知当x=α时，，试求的值．19.双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求Q点的坐标．20.对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；（3）利用“基函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．21.设数列{a n}满足=a n+1a n-1+λ（a2-a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n-r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a1中有一个数字，a2中有两个数字，…，a9中有九个数字，∴前九项一共有1+2+3+…+9=45个数字，∴a10=46+47+48+…+55=505，故选：C．根据第一项由一个数组成，第二项有两个数组成，第三项有三个数组成，以此类推第九项有九个数组成，在第十项之前一共出现1+2+3+…+9=45个数字，所以第十项是从46到55这些数字的和．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力2.【答案】B【解析】解：∵、为三个单位向量，且，将（x，y∈R）两边平方，得=2+2+2xy，所以x2+y2=1，∵（x+y）2=x2+y2+2xy≤2（x2+y2）=2，∴x+y≤，所以x+y最大值为．故选：B．由已知，将（x，y∈R）两边平方后整理得x2+y2=1，进而根据基本不等式可得x+y的最大值．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，基本不等式，其中根据已知分析出x2+y2=1是解答的关键．3.【答案】A【解析】解：在①f（x）=3lnx中，∵f（1）=0，∴不存在自变量x2，使=3成立，故①不成立；在②f（x）=3e cosx中，∵函数不是单调函数，∴对于定义域内的任意一个自变量x1，使=3成立的自变量x2不唯一，故②不成立；在③f（x）=3e x中，函数是单调函数，且函数值不为0，故定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一一个自变量x2，使=3成立，故③成立；在④f（x）=3cosx中，∵f（）=0，∴不存在自变量x2，使=3成立，故④不成立．故选：A．在①f（x）=3lnx中，f（1）=0，在④f（x）=3cosx中，f（0）=0，不存在自变量x2，使=3成立；在②f（x）=3e cosx中，函数不是单调函数；在③f（x）=3e x 中，函数是单调函数，且函数值不为0，由此能求出结果．本题考查满足条件的函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4.【答案】D【解析】解：当x∈时，，当x→2时，[x]=1，所以；当[2，3）时，，当x→3时，[x]=2，，故函数C8x的值域是．故选：D．将区间分为[，2）、[2，3）两段分别考虑进行求值．本题主要考查已知函数解析式求函数值域的问题．求函数值域有时需要进行分段考虑．5.【答案】【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，-1），与原点的距离是．故答案为：．利用复数代数形式乘除运算化简求得复数对应的点的坐标，再由两点间的距离公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.【答案】4（x-1）2+y2=4【解析】解：由消去参数得（x-1）2+=1．故答案为：4（x-1）2+y2=4．根据平方关系式消去参数可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．7.【答案】【解析】解：如图．设，，则，，根据||=||=|-|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等．△OAB为正三角形，，，即与+的夹角大小为故答案为：根据||=||=|-|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，且一条对角线等于边长，得到特殊的关系．大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．8.【答案】（0，]【解析】解：∵根据题设可知ω＞0，又函数y=tanωx（ω＞0）在（-π，π）上是递增函数，∴kπ-≤ω•（-π），且ω•π≤+kπ，k∈Z，∴求得ω≤，且ω≤k，k∈Z，∴可得：ω≤，∴ω的取值范围为（0，]．故答案为：（0，]．根据题设可知ω＞0，利用正切函数的单调性，可得kπ-≤ω•（-π），且ω•π≤+kπ，k∈Z，由此求得ω的取值范围．本题主要考查正切函数的单调性，属于基础题．9.【答案】-3【解析】解：行列式=35-2x-4-7-x-40=-3x-16．∴行列式中x的系数是-3．故答案为：-3．利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】24【解析】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥， 且底面四边形ABCD 为边长是6的正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，PD=6∴V 四棱锥P-ABCD =×6×6×6=72 ∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728 ∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为24先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．本题主要考查了根据空间几何体的展开图判断原几何体形状，以及几何体体积的计算，考查了学生的识图能力以及空间想象力．11.【答案】【解析】解：设正三角形的边长为1，则正三角形的面积为，三段曲边三角形的面积为3×（S 扇形-S 正三角形）=3×（×1×-）=-，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为=．故答案为：．利用扇形面积公式和正三角形面积公式求得曲边三角形的面积后，根据几何概型的概率公式可得．本题考查了几何概型，属中档题．12.【答案】【解析】解：直线即25x-15y+12=0，设平面上点（x，y）到直线的距离为d，则d==，∵5x-3y+2为整数，故|5（5x-3y+2）+2|≥2，当且仅当x=-1、y=-1或x=2，y=4时，取到最小值2，故所求的距离的最小值为d==；故答案为：设出整点的坐标，利用点到直线的距离公式表示出距离．根据绝对值的意义看出最小值本题考查解析几何与点与直线的距离的综合应用，本题解题的关键是利用点到直线的距离公式表示出要求的最值，根据绝对值求出结果．13.【答案】2018【解析】解：解：设g-1（x-3）=y则g（g-1（x-3））=g（y）∴x-3=g（y）∴x=g（y）+3得y=g（x）+3（为g-1（x-3）的反函数）又∵f（x-1）与g-1（x-3）的图象关于直线y=x对称∴f（x-1）=g（x）+3又g（5）=2015∴f（4）=f（5-1）=g（5）+3∴f（4）=2015+3=2018故填：2018．根据函数f（x-1）和g-1（x-3）图象关于直线y=x对称可得函数f（x-1）和g-1（x-3）互为反函数，故可令g-1（x-3）=y求出其反函数y=g（x）+3 则f（x-1）=g（x）+3然后令x=5再结合g（5）=2015即可得解．本题主要考察反函数的定义和性质．解题的关键是要利用互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称得出函数f（x-1）和g-1（x-3）互为反函数然后依次得出f（x-1）=g（x）+3，本题属于中档题．14.【答案】，【解析】解：∵实数a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，变形为a（2x+y）+c（y+2）=0，令，解得．∴动直线l过定点：Q（1，-2）．∴点M在以PQ为直径的圆上，圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r==．∴|MN|的最大值=|CN|+r=+=5+．|MN|的最小值=-=5-．故答案为：[5-，5+]．实数a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，于是动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，即a（2x+y）+c（y+2）=0，利用直线系可得：动直线l过定点：Q（1，-2）．因此点M在以PQ为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r．则线段MN长度的最大值=|CN|+r．最小值=|CN|-r．本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】4【解析】解：∵已知a1=2，a2=7，a n+2等于a n a n+1（n∈N*）的个位数，∴a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，…，可以看出：从a9开始重复出现从a3到a8的值：4，8，2，6，2，2．因此a n=a n+6（n≥3，n∈N+）．∴a2019=a3+6×336=a3=4．故答案为：4．根据题意可得：由数列的递推公式可得a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】36【解析】解：取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…f（2020）=210f（）=211-2020=28=f（a）设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1-a=28∴a=2m+1-28∈（2m，2m+1）即m≥5即a≥36∴满足条件的最小的正实数a是36故答案为：36取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2m+1-x，根据f （2020）=f（a）进行化简，设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1-a=28求出a的取值范围．本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．17.【答案】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD=DC=1，点E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，CD⊥BC，又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，∴DE⊥BC，∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB，∵EF⊥PB，EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD．【解析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，推导出OE∥PA，由此能证明PA∥平面EDB．（2）推导出DE⊥PC，PD⊥BC，CD⊥BC，从而DE⊥BC，进而DE⊥平面PBC，DE⊥PB，再由EF⊥PB，能证明PB⊥平面EFD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、是中档题．18.【答案】解：由z1=sin2x+λi，（λ，m，x∈R），且z1=z2．得．（1）若λ=0且0＜x＜π，则sin2x=，即tan2x=，∴x=或；（2）①λ=，则T=π，由，得，k∈Z．∴f（x）的单调递减区间为，，k∈Z；②由题意，，∴sin（）=，即cos（）=-．∴==．【解析】利用复数相等的条件可得．（1）由已知得sin2x=，得到即tan2x=，进一步求得x值；（2）①λ=，由周期公式求周期，再由符合函数的单调性求f （x）的单调递减区间；②由题意，，得到sin（）=，利用诱导公式求得cos（）=-，再由倍角公式求．本题考查复数相等的条件，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设双曲线方程为由椭圆求得两焦点为（-2，0），（2，0），∴对于双曲线C：c=2，又为双曲线C的一条渐近线∴解得a2=1，b2=3，∴双曲线C的方程为（Ⅱ）由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B （x2，y2）则，∵，∴，，．∴同理λ2=-，所以．即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）又y=kx+4以及消去y得（3-k2）x2-8kx-19=0．当3-k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k2≠0．由韦达定理有：代入（*）式得k2=4，k=±2∴所求Q点的坐标为（±2，0）．【解析】（1）先求出椭圆的焦点找到双曲线中的c，再利用直线为C的一条渐近线，求出a和b的关系进而求出双曲线C的方程；（2）先把直线l的方程以及A、B两点的坐标设出来，利用，找到λ1和λ2与A、B两点的坐标和直线l的斜率的关系，再利用A、B两点是直线和双曲线的交点以及，求出直线l的斜率k进而求出Q点的坐标．本题综合考查了直线与双曲线的位置关系以及向量共线问题．在对圆锥曲线问题的考查上，一般都是出中等难度和高等难度的题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．20.【答案】解：（1）设h（x）=m（x2+3x）+n（3x+4）=mx2+3（m+n）x+4n，∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）（2）设h（x）=2x2+3x-1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb∴ 得∴a+2b=-=--（8分）由ab≠0知，n≠3，∴a+2b∈ ，，（11分）（3）设h（x）=m log4（4x+1）+n（x-1）∵h（x）是偶函数，∴h（-x）-h（x）=0，即m log4（4-x+1）+n（-x-1）-m log4（4x+1）-n（x-1）=0∴（m+2n）x=0得m=-2n（13分）则h（x）=-2n log4（4x+1）+n（x-1）=-2n[log4（4x+1）-]=-2n[log4（2x+）+] ∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有-2n=1∴m=1．n=∴h（x）=log4（2x+）+h（x）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上是减函数．（18分）【解析】（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．（2）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b的取值范围；（3）先用待定系数法表示出函数h（x），再根据函数h（x）的性质求出相关的参数，代入解析式，由解析研究出其单调性即可本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题．21.【答案】解：（1）由题意，可得=（a n+d）（a n-d）+λd2，化简得（λ-1）d2=0，又d≠0，所以λ=1．（2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以=a n+1a n-1，所以数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，所以a n=2n-1．欲存在r∈[3，7]，使得m•2n-1≥n-r，即r≥n-m•2n-1对任意n∈N*都成立，则7≥n-m•2n-1，所以m≥对任意n∈N*都成立．令b n=，则b n+1-b n=-=，所以当n＞8时，b n+1＜b n；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，b n+1＞b n．所以b n的最大值为b9=b8=，所以m的最小值为；（3）因为数列{a n}不是常数列，所以T≥2，①若T=2，则a n+2=a n恒成立，从而a3=a1，a4=a2，所以，所以λ（a2-a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{a n}是常数列，矛盾．所以T=2不合题意．②若T=3，取a n=，，，∈（*），满足a n+3=a n恒成立．由a22=a1a3+λ（a2-a1）2，得λ=7．则条件式变为a n2=a n+1a n-1+7．由22=1×（-3）+7，知a3k-12=a3k-2a3k+λ（a2-a1）2；由（-3）2=2×1+7，知a3k2=a3k-1a3k+1+λ（a2-a1）2；由12=2×（-3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2-a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．【解析】（1）由等差数列的通项公式，化简可得（λ-1）d2=0，又d≠0，可得所求值；（2）求得λ=0，数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，运用等比数列的通项公式，可得存在r∈[3，7]，使得m•2n-1≥n-r，即r≥n-m•2n-1对任意n∈N*都成立，由参数分离可得m的最小值；（3）由题意可得T≥2，讨论T=2，T=3，根据条件，推理得到结论．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列不等式恒成立问题和周期数列的判断和证明，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

上海市达标名校2018年高考三月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2222:1x yCa b+=的短轴长为2，焦距为1223F F，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P为C上的任意一点，则1211PF PF+的取值范围为（）A．[]1,2B．2,3⎡⎤⎣⎦C．2,4⎡⎤⎣⎦D．[]1,42．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（）A．()lg1y x=+B．12y x=C．2xy=D．lny x=3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．23B．43C．2D．44．设{}n a是等差数列，且公差不为零，其前n项和为n S．则“*n N∀∈，1n nS S+>”是“{}n a为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知()3,0A-，)3,0B，P为圆221x y+=上的动点，AP PQ=，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，若点M的横坐标为x，则x的取值范围是（）A．1x≥B．1x>C．2x≥D．2x≥6．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1）B．（1，2）C．（–1，+∞）D．（1，+∞）7．函数52sin()([,0)(0,])33x xx xf x x-+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．8．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ） ①与点D 3P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π； ②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是62⎣； ③若3DP =DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为62A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数2,0()4,0xx f x x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞10．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2πC ．3π D ．4π 11．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．3512．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

格致中学二〇一八学年度第二学期模拟考试高三年级英语试卷（共11页）I. Listening ComprehensionSection A Short Conversations 10%Directions: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. Use a ladder to help her reach the cup. B. See a doctor about her shoulder.C. Put the cup on a lower shelf.D. Buy a new cupboard.2. A. He has already called Harry. B. Harry knows most of the facts.C. He needs to talk to Harry soon.D. Harry doesn’t have a telephone.3. A. The new doctor lacks experience. B. She disagrees with what the man said.C. The man had better talk with the patients first.D. Patients usually cannot offer a fair evaluation.4. A. Take the man to the station. B. Look after the man’s things.C. Find out when the next bus leaves.D. Show the man the way to the station.5. A. He was good at fixing up bookshelves. B. He helped James build up the furniture.C. James helped him arrange the furniture.D. James helped him with some of the work.6. A. It’s difficult to take photographs indoors.B. The photo album is in the living room.C. Mary has lost the photo album.D. Mary is a good photographer.7. A. The job’s short hours make it impossible for her to refuse.B. The job is turning into an excellent opportunity for her.C. She’s looking forward to meeting her new colleagues.D. She refused the position because of the low salary.8. A. He had to do what is necessary in order to learn.B. He doesn’t have to memorize all the vocabulary.C. He knows the whole vocabulary list already.D. He cannot learn much by just memorizing.9. A. It’s not the one he likes. B. He needs a smaller shirt.C. It doesn’t fit him very well.D. He hasn’t had time to try it on yet.10. A. The line for concert tickets is too busy. B. He’s too busy to go to the concert.C. Carl knows the concert is at eight.D. He hasn’t been able to reach Carl.Section B: Passages 15%Directions: In Section B, you will hear two short passages, and one longer conversation and you will be asked severalquestions on each of the passages and the longer conversation. The passages and the longer conversation will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. In the 19th century. B. In about 1800s.C. In the 18th century.D. In about 2400 BC.12. A. The language used. B. The targeted readers.C. The reputation.D. The length.13. A. The evolution of self-study books.B. The importance of self-study books.C. The difference among self-study books.D. The famous writers of self-study books.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. The reasons railroad regulations in the U.S.A were changed.B. The safety record of the railroad industry in the U.S.A.C. The financing of railroad construction in the U.S.A.D. The evolution of the railroad industry in the U.S.A.15. A. Safety problems with railroad tracks.B. The growth of the automotive industry.C. The use of oversized freight containers.D. The high cost of meeting various regulations.16. A. It causes less air pollution than other means of transport.B. Its competitors are less considerate of customers.C. It creates great personal fortunes for investors.D. Its business is kept in a traditional way.Questions 17 through 20 are based on the following longer conversation.17. A. To earn money for her tuition.B. To make her dream come true.C. To make preparations for her future job.D. To ensure that she has time for acting work.18. A. Serious. B. Funny. C. Experienced. D. Demanding.19. A. It involves many theories. B. He must get an advanced camera.C. He hasn’t learned physics before.D. It occupies much of his spare time.20. A. He is more willing to do something. B. He has stopped working late.C. He can go to sleep early.D. He feels more relaxed.II. Grammar and VocabularySection A 10%Directions: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.A Venturing PilotCharles Lindberg born in December Michigan was raised on a farm in Minnesota, where his father (21) ________ (elect) to the U.S. Congress in 1907. From then on, he spent his boyhood alternatively in Washington D.C., and Little Falls, Minnesota. (22) ________ Lindbergh exhibited exceptional mechanical talent, in 1921, he was admitted to the University of Wisconsin to study engineering. (23) _________(seek) more challenges, he left university before graduation and became a pilot, who performed exciting flight show at country fairs and public assemblies. This unusual and dangerous undertaking paid off so greatly in the sense that it allowed him to gain all-round experience in flying. He was particularly delighted in (24) _________ he called “wing-walking” and parachute jumping.(25) __________(train) in air service for a year, Lindberg completed his program at the Brooks and Kelly airfields at the top of his class. He was offered a job in Robertson Aircraft Corporation of St. Louis in Missouri where he retained his job (26) __________ 1927, running the routes between St. Louis and Chicago. During this period, he set out to win the Raymond B, Orteig prize of $25,000 to be awarded to the first pilot (27) ___________(fly) nonstop from New York to Paris. He knew this ambitious flight (28) ___________ (change) his life.On board the greatest adventure of his time, Lindberg left Roosevelt Airport at 5:52 a.m. on May 20, 1927 and landed at Le Bourget Field at 5:24 p.m. the next day. Fearing that he would be unknown when he arrived, Lindberg carried letters of introduction to the officials in Paris, but when his plane came to a stop, he found himself (29) ___________(crowd) with welcoming people. He was decorated in France, Great Britain, and Belgium. President Coolidge sent a specially designated cruiser, the Memphis to bring him back. His accomplishments in flying brought (30) __________ more medals and awards that had ever been received than any other person in private life.Section B 10%Directions: Fill in each blank with a proper word chosen from the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.Is Boasting Good or Bad Business?Sweden is one of the most creative countries in the world, yet has a culture that warns against boasting about its success in public. And is this 31 manner a help or an obstacle when it comes to start-up?From household names such as Spotify and Skype, to gaming leaders King and Mojang, Sweden is a land of 32 for industrial changes and new products. Despite just 10 million 33 occupying a land mass largely defined by forest wildness, the nation has in recent years created billion-dollar companies per head than everywhere else outside Silicon Valley.The more familiar narrative for Sweden’s start-up success story typically includes the following factors. It has strong digital facilities, a highly educated, tech-experienced workforce, and an ideal population size for testing innovations. And for those whose ideas are not in line, there is a strong social welfare 34 to set them back on their feet.While Ingvar Kamprad, founder of Ikea, has emphasized his being modest and economical in his attitude, research is always at the heart of Ikea’s35 . These firm-held cultural features have 36 the attention worldwide. Local and global observers are admiring their constant role in promoting Sweden’s lively economy.“Trying to keep boasting to a37 and finding a common ground so that everybody is on the same page” remain to be two of the most spreading practice in the Swedish workforce, says Lola Akinmade Akerstrom, a cultural commentator, who 38 this in her recent book Lagorm: The Swedish Secret of Living Well.R ather than focus on a rock star’s or a CEO’s “killing it” , in Swedi sh business : “It’s about everybody getting together, making sure their voices are heard 39 , so that they can all reach a most desirable solution together,” she says.T his culture has its roots in what Swedes call “Jantelagen”, which describes a c entury-old tradition that discourages unnecessary 40 of wealth or success. In other words, nobody should consider themselves better than anyone else.III. Reading ComprehensionSection A 15%Directions: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A,B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.The novelist’s medium is the written word. One might almost say the41 world. Typically the novel is consumed by a silent, individual reader, who may be anywhere at the time. The paperback novel is still the cheapest, most portable and adaptable form of 42 entertainment. It is limited to a single channel of information—43 . The narrative can go, effortlessly, anywhere, into space, people’s head, palaces, prisons and pyramids without any consideration of cost or practical possibility. In determining the shape and content of his narrative, the writer is restricted by nothing except purely artistic criteria (标准).The novelist keeps absolute control over his text until it is published and received by the audience. He may be advised by his editor to revise his 44 , but if the writer refused to meet this condition, no one would be surprised. It is not unknown for a well-established novelist to deliver his or her manuscript and expect the publisher to print it 45 as written.However, not even the most well-established playwright or screenplay writer would submit(提交) a script and expect it to be 46 without any rewriting. This is because plays and motion pictures are cooperative forms of narrative, using more than one channel of 47 .The production of a stage play involves, as well as the 48 of the author, the physical presence of the actors, their voices and gestures, the “set” and possibly music. Although the script play is the essential part of both play and film, it is a 49 for subsequent revision negotiated between the writer and other creative people involved. They’re given “approval” of the choice of a director and actors and have the right to attend50 , during which period they may undertake more 51 work. In the case of screenplay, the writer may have little or no control over the final form of his work. Contracts for the production of plays protect the rights of 52 in this respect.In film or television work, on the other hand, the screenplay has no 53 rights to this degree of consultation. While the script is going through its various 54 , th e writer is in the driver’s seat, although sometimes receiving criticism from the producer and the director. But once the production is under way, artistic control over the project tends to pass to the director. This is a fact overlooked by most journalistic critics of television drama, who tend to give all the 55 or blame for success or failure of a production to the writer and actors, ignoring the contribution, for good and ill of the director.41.A. old-fashioned B. fixed C. presented D. printed42.A. social B. narrative C. favorite D. easy43.A. sourcing B. surfing C. writing D. receiving44.A. text B. publication C. ambition D. attitude45.A. simply B. eventually C. freely D. exactly46.A. performed B. approved C. covered D. continued47.A. information B. approach C. setting D. communication48.A. fame B. words C. presence D. rights49.A. basis B. reference C. plan D. rule50.A. assemblies B. performances C. rehearsals D. negotiations51.A. recording B. evolving C. bargaining D. training52.A. actors B. directors C. audiences D. authors53.A. procedural B. personal C. contractual D. equal54.A. drafts B. arrangements C. additions D. definitions55.A. hope B. work C. credit D. profitSection B 22%Directions: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements.For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)Called “the man who shaped America” and “the father of modern industrial design” , Raymond Loewy must be one of the most influential designers of all time. He revolutionized the industry, working as a consultant for more than 200 companies and creating designs for everything from packaging to refrigerators, from cars to the interiors of spacecraft.Loewy's design all had one thing in common. They were shaped by the MAYA principle – Most Advanced Yet Acceptable. His idea was that people will not accept solutions to design problems if the solutions are too different from current designs.After a short period as a fashion illustrator, Loewy started his career in industrial design in 1929 by re-designing a copying machine for the British manufacturer, Sigmund Gestetner. The 28-year-old designer completed the task in three days and the design of the machine lasted for the next 40 years.The Gestetner copying machine was the beginning of many designs which used streamlining (流线型).He described this as “beauty through function and simplification”. He spent the next 50 years streamlining everything from postage stamps and company logos to the interiors of stores. The famous Greyhound bus and Studebaker car show his use of streamlining in action.He is perhaps most famous for his re-design of the Lucky Strike packaging. In 1940 , the President of the Lucky Strike Manufacturing Company, George Washington Hill, bet Loewy $50,000 that he could not improve the appearance of the green and red Lucky Strike. Loewy accepted the challenge. He changed the background of the packet from green to white. Then he put the red lucky strike target on both sides of the packet. This made it more eye-catching and greatly increased sales. It is now recognized as a design classic.Loewy's logo design aimed at “Visual retention”. He wanted to make sure that anyone who saw the logo, even for a short while, would never forget it. He designed many highly visible logos for famous companies such as Shell Oil , Exxon, Greyhound and Nabisco.By the mid-20th century, his industrial design firm was so famous that he could say “the average person, leading a normal life… is bound to be in daily contact with some of the things, service or structure” designed by his firm.56. Loewy's biggest influence was in ___________.A. completely changing the design industryB. successfully shaping Americans' tasteC. changing people's idea about designD. building a professional design team57. Loewy's designs were based on the idea of _________.A. providing most immediately recognizable designsB. providing completely different designsC. speeding up the design processD. offering original but not revolutionary answers to problems58. Loewy's logo designs aimed at ___________.A. making the companies well knownB. bringing freshness for a short whileC. attracting people to the companies’ historyD. making company symbols very memorable59. What can we infer from the last paragraph?A. Loewy provided service to ordinary people.B. Loewy's designs were famous and influential.C. Loewy's design firms existed all over the world.D. Loewy was welcomed and respected by the public.(B)A familiar voice is just few digits away from you. Whether you prefer high-tech options or more traditional landlines, there are affordable way to call home when you travel abroad, even if you don’t carry an internationally-capable cellphone.Repaid Calling CardsRepaid calling cards provide the ultimate in flexibility: they can be used from mostlocations, including pay phones, cell phones and landlines. But not all calling cards areequal, especially overseas. Compare the rate options associated with different cards,whether you buy them before you travel or on the road. Some charge a pre-connection fee as well as a per minute fee, for example.Callback ServiceAs the name suggests, these services call you and then place your call at cheaper rates.You initiate the call by d ialing a “trigger number –a connection to the call-back service’scomputers. Let the call ring once and then hang up. The computer calls you back from theUnited States using lower international rates and makes the connection after verifying your account number. Often cheaper than direct-dial calls, but the services may not work at hotels, where staff may not accept the return calls. The service is welcome to those who make lots of international calls.Voice Over Internet Protocol (VoIP)VoIP works by digitalizing your voice and sending it via the Internet to the person you’recalling, who hears it on his PC speakers, or by routing it through regular telephone linesto anyone’s standard phone line. V oIP services generally work best with a broadband orwireless Internet connection and can be used from hotel rooms, Internet cafes or wirelesshot spots if you have a notebook computer. Since most calls use the Internet, andconnections into and out of the Internet are typically local calls, the rates are astonishing low.60. According to the passage, if computer technology is not available, travelers are advised to call by _______.A. landlineB. repaid calling cardC. callback serviceD. pay phone61. What is focused on in the callback service?A. Making a phone call as brief as possible.B. Taking advantage of the hotel phone call service.C. Saving on calls by calling from home.D. Using the bank account for call pay in any country.62. The passage is mainly intended to __________.A. offer tips to travelers on how to call home for lessB. help travelers find the easiest way to call back homeC. introduce the optional approaches to family connectionD. advise travelers to call home through broadband or wireless Internet(C)Tourism is a leisure activity, whose prework means just the opposite. Acting as a tourist is one of the clear characteristics of being "modern" and the popular concept of tourism is that, it is organized within particular place and occurs for a period of time, which is arranged beforehand. Tourist relationships arise from a movement of people to, and their stay in, various destinations. This necessarily involves some movement, that is the journey, and a period of stay in anew place or places. The journey and the stay are by definition outside the normal places, of residence and work, and are of a short-term and temporary nature, and there is a clear intention to return home within a relatively short period of time.Modern societies engage in such tourist practices. New socialized forms of transportation and hotel facilities have developed in order to cope with the mass character of the gazes of tourists, as opposed to the individual character of travel. Places are chosen to be visited and be gazed upon because there is an anticipation(期望) especially through daydreaming and fantasy of intense pleasures, either on a different scale or involving different senses from those who have been there. Such anticipation is also constructed and stays through a variety of non-tourist practices, such as films, TV, literature, magazines, records and videos which construct and reinforce this daydreaming.Tourists tend to visit features of landscape and townscape which separate them off from everyday experience. Such aspects are viewed because they are thought to be in some sense out of the ordinary. The viewing of these tourist sights often involves different forms of social patterning with a much greater sensitivity to visual elements of landscape or townscape than is normally found in everyday life. People hang around these sights in a way that they would not normally do in their home environment and the vision is objectified or captured through photographs, postcards films and so on which enable the memory to be endlessly reproduced and recaptured.One of the earliest research paper on the subject of tourism is Boorstin's analysis of the "pseudo-event" (1964) where he argues that contemporary Americans cannot experience "reality" directly but are happy with "pseudo-events". Isolated from the host environment and the local people, the mass tourist travels in guided groups and finds pleasure in fake or man-made attractions, and is cheated into enjoying the pseudo-events and disregarding the real world outside. Over time the images generated of different tourist sights lead to a closed self- perpetuating（自我延续的）system of a false belief that provides the tourist with the basis for selecting or deciding potential places to visit. Such visits are made, says Boorstin, within the "environmental bubble" of the familiar American style hotel which keeps the tourist from the strangeness of the host environment.63. In the 1st paragraph, the author wants to say that before you travel to a new place _______.A. making a careful travel plan is necessaryB. planning travel involves time and thoughtC. getting travel tips from your friends may save timeD. choosing unusual tourist attractions makes a trip memorable64. The sentence “the viewing of these tourist sights often involves different forms of socialpatterning” in the 3rd paragraph means ________.A. traveling to an unfamiliar place is a pleasant change from everyday routineB. new environmental scenes in a different place will become more attractiveC. tourists should find the native people and share with them ideas and experienceD. travelling is to see landmarks and discover unknown ways of life and values65. We can infer from the last paragraph that ______.A. when travelling, many tourists will miss their homes and friendsB. visiting popular tourist attractions is only a waste of timeC. the virtue of travel is to interact with a culture different from your ownD. American tourists like to visit familiar places when they travel outside66. Which of the following can serve as the best title of the passage?A. Tourism, an Outlook on Different LifeB. Tourism, a Direct Hug of NatureC. Tourism, a New Relation to Familiar SightsD. Tourism, a False Belief about the WorldSection C 8%Directions: Read the following passage. Fill in each blank with a proper sentence given in the box. Each sentence can be used only once. Note that there are two more sentences than you need.A scheme was first put forward recently by an expert that certain criminals should be sent to prison in their own home. 67 One very experienced social worker expressed his serious reservation about the scheme in a television interview. When asked to explain why，he thought for a moment and finally confessed "Well, I guess because it's new. That's my only reason.Advocates of the scheme pointed out that courts frequently sentenced first offenders to community service of some kind rather than send them to prison. 68 Nothing positive was achieved by sending some types of convicted people to prison.69 "If a murderer is allowed free in the community like this，what is to prevent him from killing somebody else?" This argument ignored the fact that nobody proposed to allow convicted murderers to use the bracelet system. One criticism put forward was that an offender could take off his bracelet and leave it at home or give it to a friend to wear while he himself went off to commit another crime. The reply to this was that the bracelet would be made so that the computer would immediately detect any attempts to take it off or tamper with it.A more serious objection to the scheme was that the harsh life of prison was intended to be part of the deterrent to crime. A prisoner who was allowed to live at home would suffer no particular discomfort and thus not be deterred from repeating his crime. No immediate action was taken on the proposal. It was far too revolutionary and needed to be examined very carefully. 70 Several governments appointed experts to investigate the scheme and make recommendations for or against it.IV. Summary Writing 10%Directions: Read the following passage. Summarize the main idea and the main point(s) of the passage in no more than 60 words. Use your own words as far as possible.Blowing a Few TopsEver stopped to consider the upside of volcanic eruptions? It’s not all death, destruction and hot liquid rock—scientists have a plan to cool the planet by simulating one such eruption.Solar geoengineering involves simulating a volcano by spraying aerosols(气溶胶) into the atmosphere. When they combine with oxygen, droplets of sulfuric acid (硫酸) form. These droplets reflect sunlight away from Earth, cooling the planet. All good in theory, but the consequences are largely unknown and a few could be disastrous. In a study recently published in Nature Communications, researchers led by Anthony Jones, a climate scientist from the University of Exeter, found that using this technology in the Northern Hemisphere could reduce the number of tropical winds hitting the U.S. and Caribbean. But there's an annoying exchange: more winds in the Southern Hemisphere and a drought across the Sahel region of Africa. That’s because the entire climate system is linked—disrupting one region will invariably affect another. How would a nation react if another was causing its weather to get much worse? Would that be an act of war?There is, however, a case for using solar geoengineering on a global scale. Jones says it could be used to “take the edge off” the temperature increases scientists are predicting. It could be used while the world searches for more effective strategies.The study also highlights a far bigger problem with solar geoengineering: its complete lack of regulation. “There’s nothing t hat could stop one country just doing it,”Jones says. “You only need about 100 aircraft with three flights per day. It would cost $1 billion to $10 billion per year.” He adds, “It’s deeply disturbing that we have this technology thatcould have such a mas sive influence on the climate, yet there’s just no regulation to stop countries or even organizations from doing it.”Jones cautions that there is much about the climate system we do not understand, as well as far more work that will need to be done before solar geoengineering is considered safe—or too dangerous to even discuss.V. Translation 15%Directions: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.1.技术员给他推荐的这款新软件应能帮助他快速适应新的书写方式。

上海市 2019届高三数学 3月月考试题 理考生注意：1.本试卷共 4页，23道试题，满分 150分，考试时间 120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一 律不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分 56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对 4分，否则一律得零分．x y l g x ,Bx x 22x 3 0，则 A B _______________.1. 已知集合 A2.复数(1i )(1 a i ) 是实数，则实数a =_______________.log (x 1) 2l og (x 1) 3. 方程 的解集为_________. 224.已知圆锥的轴与母线的夹角为 ，母线长为 3，则过圆锥顶点的轴截面面积的最大值为_________.315.已知0 y x，且 t an xt an y 2 s in x s i n y ，y ，则 x .3 6. 设等差数列{a }的前n 项和为 ，若 S =42 ,则aa a=.S 7nn 2377.圆 ：(x 2)y 4 , 直线 : 3 ， : 1，若 , 被圆 所截得的弦的长度之比为1: 2 ， C 2 2 l y x l y kx l l1 C 122则 的值为_________.k3 ，侧棱长为 2， 则该球的表面积为_________.4R 9. 已知 ( ) l n( ) ，若对任意的m ，均存在 0 使得 ( ) ，则实数 的f x f x x ax 0m a x取值范围是 ．10.直线 y=k(x 1)(k 0)与抛物线 y=4x 相交于 A, B 两点，且 ．A, B 两点在抛物线的准线 2 , N B N2 A M，则 的值是k 上的射影分别是M ，若 si n 3 4s in截得的弦长为 11.在极坐标中，直线 被圆 .12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有 3颗弹子，射击结束后 尚余子弹数目 的数学期望 E =．cos A cosB cosC13. 已知 ABC ，若存在，满足 A B C 则称 1A B C 是 ABC 的一个“友好” , s in A s in B s i nC 1 1 11 1 1111三角形.在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_______：（请写出符合要求的条件的序号） ① 90 ,B 60 ,C 30 ；② A 75 ,B 60 ,C 45A 75 ,B 75 ,C 30； ③ .A ACB 90 AC 2 BC 1 ，14.如图，在△ AB C 中， ，， 点 A 、C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离是.二、选择题（本大题共有4题，满分 20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答 案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 1{a } 中，a1,a15．已知数列 ，若利用下面程序 框图计算该数1 an1n 1n列的第 2016项，则判断框内的条件是()n=1,A=1A ． n2014C ． n 201516．在锐角ABC1 B ．n 2016D ．n 2017n=n+1 1 , ,中，内角A B C 的对边分别为a b c ，若A= A+1是s in C cos C 2 2 ，则下列各式正确的是()2A ．a b 2c C ．ab 2cB ．a b 2c输出A a b 2c．D 结束{(x , y) | x y 1} ，若实数,17．已知集合 M 满足： 对 任 意 的2 2 (x , y)M ，都有(x ,y )M ，则称(,)是集合 的“和谐实数对”.则以 下集合中，存在“和谐实M数对”的是()A ．{(,) | 4}{(,) | 4} B ．D ．2 2 {(,) | 4 4} {(,) | 4}C ．2 2 2 AB C D A' B'C' D'A , , ' 18. 已知正方体 ，记过点 与三条直线 AB A D AA 所成角都相等的直线条数为 ,m ', AC, AD' 过 点 与 三 个 平 面 AB 所 成 角 都 相 等 的 直 线 的 条 数 为 ， 则 下 面 结 论 正 确 的 是nA ． ．()A ． 1,n 1B ．m 4,n 1D ． m4,n 4m C. m3,n 4 三、解答题（本大题共有 5题，满分 74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤．19.（本题满分 12分）本题共有 2个小题，第(1)小题满分 6分，第(2)小题满分 6分．AB2 A B C中， BAC ， AB A C ， 如图，在直三棱柱 AB C 112 1 1 1C1AA 6 ，点 E 、F 分别在棱 AA 、C C 上，且 AE C F 2 ．1111AEFC （1）求四棱锥 B 的体积； F（2）求BEF 所在半平面与ABC所在半平面所成二面角 的余弦值． E20.（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第（1）小题满分 6 分， 第（2）小题满分 8 分.如图，某城市设立以城中心O 为圆心、 公里为半径圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O 正东方r向上一条高速公路 PB 、西南方向上有一条一级公路 QC ，现要在保护区边缘 PQ 弧上选择一点 A 作为出口， 建一条连接两条公路且与圆 O 相切直 道 BC ．已知通往一级公路道路 AC 每公里造价为a 万元，通往高速公路的道路 AB 每公里造价为m a万元，其中a 2 （1）把 表示成 的函数 y 并 求 出 定 义y 域；（2）当 m 时，如何确定 A 点的位置才2能使 得总造价最低？21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题 6 分，第(2)小题 8 分.x y 2b 2 2 :1(a b 0) 已知椭圆 C 的 右顶点、上顶点分别为 A 、B ，坐标原点到直线 AB a 2 4 32b 的距离为 ，且a . 3（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的左焦点 的直线l 交椭圆于 M 、N 两点，F 1且该椭圆上存在点 P ，使得四边形 MONP （图形上字母按此 顺序排列）恰好为平行四边形，求直线 的方程.l22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题.第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 6分.(x ) f (x )f (x) f (x) ，称 为“局部奇对于函数 f 函数”.，若在定义域内存在实数 x ，满足 (x) a x2x 4a (a R) f (x) 是否为“局部奇函数”？（1） 已知二次函数 f ，试判断 2 并说明理由；(x) 2 m 是定义在区间[1,1]（2）若 f （3）若 f 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；x (x) 4m 2 m 3 是定义 在 的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.Rx x 1223.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题①满分6分，第(2)小题②满分8分.已知等比数列{a}的首项a 20151，数列{a}n前项和记为S，前n项积记为T.nn n n 6045{a}(1)若S3，求等比数列的公比；q4n(2)在(1)的条件下，判断|T|与|T|的大小；并求n为何值时，T取得最大值；n1n n(3)在(1)的条件下，证明：若数列{a}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其n,d,,d，则数列{d}成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d 列.为等比数12n n2019学年第二学期考试参考答案和评分标准一、填空题（本大题共 14题,每题 4分,满分 56分） 92(0,3) 18 51． 2．-1 3． 4．5．3 1 7. 28 [4,)26. 8．9. 10． 3211．（理）2 3（文）612. （理）1.89 （文）34 313．②14．（理）1 2（文） (x 1)(y 1) 12 2 二、选择题（本大题共 4题，每题 5分，满分 20分） 15. C16. B三、解答题（本大题共 5题，满分 74分）19．（本题满分 12分）本题共 2个小题，每小题 6分. 17. C18. D1 1 1AB (4 2)22 4 S 解：（理）（1）V……6分 3 3 2(0,0,0) B(0,2,0) E(0,0,2) F(2,0,4) ，B AEF CAEF C （2）建立如图所示的直角坐标系，则 A , ,, EF (2, 0, 2) EB , (0, 2, 2)……………………7分EF 2x 2z 0EF 2y 2z 0 n(x , y , z ) 取 1得 1, 1 设平面 BEF 的法向量为n ，则 z x y ， n(1,1,1) 所以 n ……………………………9分n n1 3 (0,0,1) cos平面 AB C 的法向量为 n，则 1 n n3 311 3BEF 所在半平面与ABC所以 所在半平面所成二面角 的余弦值为 ．…12分3 1 S3 1 1 43 VC F 222 解：（文）（1）V…6分 3 2 A B C FFA B C A B C 11 1 1 1 1 11 1 1 // FA,所以 CEB 就是异面直线 BE 与 A F 所成的角．8分（2）连接CE ,由条件知CE 1 1 CEB2 2 ，所以CEB 60中， BC CE BE， ………………10分在 60 所以异面直线 BE 与 A F 所成的角为 1．…………………………………12分20．（本题满分 14分）本题共有 2小题，第小题满分 6分，第小题满分 8分.AB r t an解：（1） BC 与圆 O 相切于 A ， OA BC,在 ABC 中，……2 分3rt an( ) 同理，可得 AC ………4 分 43y m aAB aA C m ar t an ar t an()2 2 43y ar [m tan t an ( )], ( , ) ………6分2 4 4 2（2）由（1）得3 1 t an1t an y ar [m tan tan( )] a r [m tan ]2 2 4 2 ar [m (tan 1) m 1]…………9 分2 2 t an 12( , ), tan 1 0m (tan 1) 2 2m ………12分 24 2t an 126 2t an 1时取等号，又m t an 3,，所以 当且仅当2 3m即 A 点在 O 东偏南 的方向上，总造价最低。

上海市格致中学2018-2019学年高三下学期3月月考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2+3，a 3=4+5+6，a 4=7+8+9+10，…，则a 10=（ ）A. 610B. 510C. 505D. 7502. 已知平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为三个单位向量，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y 的最大值为（ ） A. 1 B. √2 C. √3 D. 2 3. 已知函数：①f （x ）=3ln x ； ②f （x ）=3e cos x ； ③f （x ）=3e x ； ④f （x ）=3cos x ．其中对于f （x ）定义域内的任意一个自变量x 1都存在唯一一个自变量x 2，使√f(x 1)f(x 2)=3成立的函数是（ ）A. ③B. ②③C. ①②④D. ④4. 设[x ]表示不超过x 的最大整数（如[2]=2，[54]=1），对于给定的n ∈N *，定义C nx =n(n−1)…(n−[x]+1)x(x−1)⋯(x−[x]+1)，x ∈[1，+∞），则当x ∈[32，3)时，函数C 8x的值域是（ ） A. [163,28]B. [163,56)C. (4,283)∪[28,56)D. (4,163]∪(283,28]二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 在复平面内，复数21+i （i 为虚数单位）对应的点与原点的距离是______． 6. 将参数方程{y =2sinθx=1+cosθ（θ为参数）化为普通方程，所得方程是______ 7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是两个非零向量，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ -b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角大小为______．8. 若函数y =tanωx 在（-π，π）上是递增函数，则ω的取值范围是______ 9. 行列式∣∣∣∣14−1271−1x 5∣∣∣∣中x 的系数是______10. 如图为一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD =PD =6，CR =SC ，AQ =AP ，点S ，D ，A ，Q 及P ，D ，C ，R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要______个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．11. 在均匀分布的条件下，某些概率问题可转化为几何图形的面积比来计算，勒洛三角形是由德国机械工程专家勒洛首先发现，作法为：以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为______12. 平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线y =53x +45的距离中的最小值是______． 13. 设定义域为R 的函数f （x ）、g （x ）都有反函数，且函数f （x -1）和g -1（x -3）图象关于直线y =x 对称，若g （5）=2015，则f （4）=______14. 已知实数a 、b 、c 成等差数列，点P （-3，0）在动直线ax +by +c =0（a 、b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为（2，3），则|MN |的取值范围是______ 15. 数列{a n }中，a 1=2，a 2=7，a n +2等于a n •a n +1的个位数，则a 2019=______16. 已知函数f （x ）满足：①对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；②当x ∈（1，2]时，f （x ）=2-x ．若f （a ）=f （2020），则满足条件的最小的正实数a 是______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =1，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． （1）求证：PA ∥平面EDB ； （2）求证：PB ⊥平面EFD ．18. 已知复数z 1=sin2x +λi ，z 2=m +(m −√3cos2x)i （λ，m ，x ∈R ），且z 1=z 2．（1）若λ=0且0＜x ＜π，求x 的值； （2）设λ=f （x ）；①求f （x ）的最小正周期和单调递减区间；②已知当x =α时，λ=12，试求cos(4α+π3)的值．19. 双曲线C 与椭圆x 28+y 24=1有相同的焦点，直线y =√3x 为C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点P （0，4）的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ1+λ2=−83时，求Q 点的坐标．20.对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；（3）利用“基函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．21.设数列{a n}满足a n2=a n+1a n-1+λ（a2-a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n-r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a1中有一个数字，a2中有两个数字，…，a9中有九个数字，∴前九项一共有1+2+3+…+9=45个数字，∴a10=46+47+48+…+55=505，故选：C．根据第一项由一个数组成，第二项有两个数组成，第三项有三个数组成，以此类推第九项有九个数组成，在第十项之前一共出现1+2+3+…+9=45个数字，所以第十项是从46到55这些数字的和．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力2.【答案】B【解析】解：∵、为三个单位向量，且，将（x，y∈R）两边平方，得=2+2+2xy，所以x2+y2=1，∵（x+y）2=x2+y2+2xy≤2（x2+y2）=2，∴x+y≤，所以x+y最大值为．故选：B．由已知，将（x，y∈R）两边平方后整理得x2+y2=1，进而根据基本不等式可得x+y的最大值．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，基本不等式，其中根据已知分析出x2+y2=1是解答的关键．3.【答案】A【解析】解：在①f（x）=3lnx中，∵f（1）=0，∴不存在自变量x2，使=3成立，故①不成立；在②f（x）=3e cosx中，∵函数不是单调函数，∴对于定义域内的任意一个自变量x1，使=3成立的自变量x2不唯一，故②不成立；在③f（x）=3e x中，函数是单调函数，且函数值不为0，故定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一一个自变量x2，使=3成立，故③成立；在④f（x）=3cosx中，∵f（）=0，∴不存在自变量x2，使=3成立，故④不成立．故选：A．在①f（x）=3lnx中，f（1）=0，在④f（x）=3cosx中，f（0）=0，不存在自变量x2，使=3成立；在②f（x）=3e cosx中，函数不是单调函数；在③f（x）=3e x 中，函数是单调函数，且函数值不为0，由此能求出结果．本题考查满足条件的函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4.【答案】D【解析】解：当x∈时，，当x→2时，[x]=1，所以；当[2，3）时，，当x→3时，[x]=2，，故函数C8x的值域是．故选：D．将区间分为[，2）、[2，3）两段分别考虑进行求值．本题主要考查已知函数解析式求函数值域的问题．求函数值域有时需要进行分段考虑．5.【答案】√2【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，-1），与原点的距离是．故答案为：．利用复数代数形式乘除运算化简求得复数对应的点的坐标，再由两点间的距离公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.【答案】4（x-1）2+y2=4【解析】解：由消去参数得（x-1）2+=1．故答案为：4（x-1）2+y2=4．根据平方关系式消去参数可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．7.【答案】π6【解析】解：如图．设，，则，，根据||=||=|-|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等．△OAB为正三角形，，，即与+的夹角大小为故答案为：根据||=||=|-|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，且一条对角线等于边长，得到特殊的关系．大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．8.【答案】（0，1]2【解析】解：∵根据题设可知ω＞0，又函数y=tanωx（ω＞0）在（-π，π）上是递增函数，∴kπ-≤ω•（-π），且ω•π≤+kπ，k∈Z，∴求得ω≤，且ω≤k，k∈Z，∴可得：ω≤，∴ω的取值范围为（0，]．故答案为：（0，]．根据题设可知ω＞0，利用正切函数的单调性，可得kπ-≤ω•（-π），且ω•π≤+kπ，k∈Z，由此求得ω的取值范围．本题主要考查正切函数的单调性，属于基础题．9.【答案】-3【解析】解：行列式=35-2x-4-7-x-40=-3x-16．∴行列式中x的系数是-3．故答案为：-3．利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】24【解析】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6∴V四棱锥P-ABCD=×6×6×6=72∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为24先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．本题主要考查了根据空间几何体的展开图判断原几何体形状，以及几何体体积的计算，考查了学生的识图能力以及空间想象力．11.【答案】√32(π−√3)【解析】解：设正三角形的边长为1，则正三角形的面积为，三段曲边三角形的面积为3×（S扇形-S正三角形）=3×（×1×-）=-，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为=．故答案为：．利用扇形面积公式和正三角形面积公式求得曲边三角形的面积后，根据几何概型的概率公式可得．本题考查了几何概型，属中档题．12.【答案】√3485【解析】解：直线即25x-15y+12=0，设平面上点（x，y）到直线的距离为d，则d==，∵5x-3y+2为整数，故|5（5x-3y+2）+2|≥2，当且仅当x=-1、y=-1或x=2，y=4时，取到最小值2，故所求的距离的最小值为d==；故答案为：设出整点的坐标，利用点到直线的距离公式表示出距离．根据绝对值的意义看出最小值本题考查解析几何与点与直线的距离的综合应用，本题解题的关键是利用点到直线的距离公式表示出要求的最值，根据绝对值求出结果．13.【答案】2018【解析】解：解：设g-1（x-3）=y则g（g-1（x-3））=g（y）∴x-3=g（y）∴x=g（y）+3得y=g（x）+3（为g-1（x-3）的反函数）又∵f（x-1）与g-1（x-3）的图象关于直线y=x对称∴f（x-1）=g（x）+3又g（5）=2015∴f（4）=f（5-1）=g（5）+3∴f（4）=2015+3=2018故填：2018．根据函数f（x-1）和g-1（x-3）图象关于直线y=x对称可得函数f（x-1）和g-1（x-3）互为反函数，故可令g-1（x-3）=y求出其反函数y=g（x）+3 则f（x-1）=g（x）+3然后令x=5再结合g（5）=2015即可得解．本题主要考察反函数的定义和性质．解题的关键是要利用互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称得出函数f（x-1）和g-1（x-3）互为反函数然后依次得出f（x-1）=g（x）+3，本题属于中档题．14.【答案】[5−√5，5+√5]【解析】解：∵实数a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，变形为a（2x+y）+c（y+2）=0，令，解得．∴动直线l过定点：Q（1，-2）．∴点M在以PQ为直径的圆上，圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r==．∴|MN|的最大值=|CN|+r=+=5+．|MN|的最小值=-=5-．故答案为：[5-，5+]．实数a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，于是动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，即a（2x+y）+c（y+2）=0，利用直线系可得：动直线l过定点：Q（1，-2）．因此点M在以PQ为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r．则线段MN长度的最大值=|CN|+r．最小值=|CN|-r．本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】4【解析】解：∵已知a1=2，a2=7，a n+2等于a n a n+1（n∈N*）的个位数，∴a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，…，可以看出：从a9开始重复出现从a3到a8的值：4，8，2，6，2，2．因此a n=a n+6（n≥3，n∈N+）．∴a2019=a3+6×336=a3=4．故答案为：4．根据题意可得：由数列的递推公式可得a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】36【解析】解：取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…f（2020）=210f（）=211-2020=28=f（a）设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1-a=28∴a=2m+1-28∈（2m，2m+1）即m≥5即a≥36∴满足条件的最小的正实数a是36故答案为：36取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2m+1-x，根据f （2020）=f（a）进行化简，设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1-a=28求出a的取值范围．本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．17.【答案】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD =DC =1，点E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC ，∵底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， ∴PD ⊥BC ，CD ⊥BC ，又PD ∩DC =D ， ∴BC ⊥平面PDC ，∴DE ⊥BC ，∵PC ∩BC =C ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥PB ， ∵EF ⊥PB ，EF ∩DE =E ， ∴PB ⊥平面EFD ． 【解析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE ∥PA ，由此能证明PA ∥平面EDB ．（2）推导出DE ⊥PC ，PD ⊥BC ，CD ⊥BC ，从而DE ⊥BC ，进而DE ⊥平面PBC ，DE ⊥PB ，再由EF ⊥PB ，能证明PB ⊥平面EFD ．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、是中档题．18.【答案】解：由z 1=sin2x +λi ，z 2=m +(m −√3cos2x)i （λ，m ，x ∈R ），且z 1=z 2． 得{m =sin2xλ=m −√3cos2x． （1）若λ=0且0＜x ＜π，则sin2x =√3cos2x ， 即tan2x =√3，∴x =π6或2π3；（2）①λ=f(x)=2sin(2x −π3)，则T =π， 由π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ，得kπ+5π12≤x ≤11π12+kπ，k ∈Z ．∴f （x ）的单调递减区间为[kπ+5π12，kπ+11π12]，k ∈Z ；②由题意，12=2sin(2α−π3)，∴sin （π3−2α）=−14， 即cos （π6+2α）=-14．∴cos(4α+π3)=2cos 2(π6+2α)−1=2×(−14)2−1=−78． 【解析】利用复数相等的条件可得．（1）由已知得sin2x=，得到即tan2x=，进一步求得x 值；（2）①λ=，由周期公式求周期，再由符合函数的单调性求f（x ）的单调递减区间； ②由题意，，得到sin （）=，利用诱导公式求得cos（）=-，再由倍角公式求．本题考查复数相等的条件，考查y=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设双曲线方程为x 2a 2−y2b2=1 由椭圆x 28+y 24=1求得两焦点为（-2，0），（2，0），∴对于双曲线C ：c =2，又y =√3x 为双曲线C 的一条渐近线 ∴ba =√3解得a 2=1，b 2=3， ∴双曲线C 的方程为x 2−y 23=1（Ⅱ）由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y =kx +4，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则Q(−4k ，0) ∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(−4k ，−4)=λ1(x 1+4k ，y 1)． ∴λ1=−4kx 1+4k=−4kx1+4同理λ2=-4kx2+4，所以λ1+λ2=−4kx 1+4−4kx 2+4=−83． 即2k 2x 1x 2+5k （x 1+x 2）+8=0．（*）又y =kx +4以及x 2−y 23=1消去y 得（3-k 2）x 2-8kx -19=0．当3-k 2=0时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k 2≠0． 由韦达定理有：x 1+x 2=8k3−k 2x 1x 2=−193−k 2代入（*）式得k 2=4，k =±2∴所求Q 点的坐标为（±2，0）． 【解析】（1）先求出椭圆的焦点找到双曲线中的c ，再利用直线为C 的一条渐近线，求出a 和b 的关系进而求出双曲线C 的方程； （2）先把直线l 的方程以及A 、B 两点的坐标设出来，利用，找到λ1和λ2与A 、B 两点的坐标和直线l 的斜率的关系，再利用A 、B 两点是直线和双曲线的交点以及，求出直线l 的斜率k 进而求出Q 点的坐标．本题综合考查了直线与双曲线的位置关系以及向量共线问题．在对圆锥曲线问题的考查上，一般都是出中等难度和高等难度的题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．20.【答案】解：（1）设h （x ）=m （x 2+3x ）+n （3x +4）=mx 2+3（m +n ）x +4n ，∵h （x ）是偶函数，∴m +n =0，∴h （2）=4m +4n =0；（4分）（2）设h （x ）=2x 2+3x -1=m （x 2+ax ）+n （x +b ）=mx 2+（am +n ）x +nb∴{m =2am +n =3nb =−1得{a =3−n2b =−1n∴a +2b =3−n 2-2n =32-n 2-2n（8分） 由ab ≠0知，n ≠3，∴a +2b ∈(−∞，−12)∪(72，+∞)（11分）（3）设h （x ）=m log 4（4x +1）+n （x -1）∵h （x ）是偶函数，∴h （-x ）-h （x ）=0，即m log 4（4-x +1）+n （-x -1）-m log 4（4x +1）-n （x -1）=0 ∴（m +2n ）x =0得m =-2n （13分）则h （x ）=-2n log 4（4x +1）+n （x -1）=-2n [log 4（4x +1）-12x +12]=-2n [log 4（2x +12x ）+12] ∵h （x ）有最小值1，则必有n ＜0，且有-2n =1∴m =1．n =−12 ∴h （x ）=log 4（2x +12x ）+12h （x ）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上是减函数．（18分） 【解析】（1）先用待定系数法表示出偶函数h （x ），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可． （2）先用待定系数法表示出偶函数h （x ），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b 的取值范围；（3）先用待定系数法表示出函数h （x ），再根据函数h （x ）的性质求出相关的参数，代入解析式，由解析研究出其单调性即可本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题．21.【答案】解：（1）由题意，可得a n2=（a n +d ）（a n -d ）+λd 2， 化简得（λ-1）d 2=0，又d ≠0，所以λ=1．（2）将a 1=1，a 2=2，a 3=4，代入条件， 可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a n 2=a n +1a n -1，所以数列{a n }是首项为1，公比q =2的等比数列， 所以a n =2n -1． 欲存在r ∈[3，7]，使得m •2n -1≥n -r ，即r ≥n -m •2n -1对任意n ∈N *都成立， 则7≥n -m •2n -1，所以m ≥n−72n−1对任意n ∈N *都成立． 令b n =n−72n−1，则b n +1-b n =n−62n -n−72n−1=8−n2n ，所以当n ＞8时，b n +1＜b n ；当n =8时，b 9=b 8；当n ＜8时，b n +1＞b n ． 所以b n 的最大值为b 9=b 8=1128，所以m 的最小值为1128； （3）因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2，①若T =2，则a n +2=a n 恒成立，从而a 3=a 1，a 4=a 2，所以{a 12=a 22+λ(a 2−a 1)2a 22=a 12+λ(a 2−a 1)2， 所以λ（a 2-a 1）2=0，又λ≠0，所以a 2=a 1，可得{a n }是常数列，矛盾． 所以T =2不合题意．②若T =3，取a n ={1，n =3k −22，n =3k −1−3，n =3k(k ∈N ∗)（*），满足a n +3=a n 恒成立．由a 22=a 1a 3+λ（a 2-a 1）2，得λ=7． 则条件式变为a n 2=a n +1a n -1+7． 由22=1×（-3）+7，知a 3k -12=a 3k -2a 3k +λ（a 2-a 1）2；由（-3）2=2×1+7，知a3k2=a3k-1a3k+1+λ（a2-a1）2；由12=2×（-3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2-a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．【解析】（1）由等差数列的通项公式，化简可得（λ-1）d2=0，又d≠0，可得所求值；（2）求得λ=0，数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，运用等比数列的通项公式，可得存在r∈[3，7]，使得m•2n-1≥n-r，即r≥n-m•2n-1对任意n∈N*都成立，由参数分离可得m的最小值；（3）由题意可得T≥2，讨论T=2，T=3，根据条件，推理得到结论．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列不等式恒成立问题和周期数列的判断和证明，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

进才中学2018-2019学年度第二学期高三年级3月月考数学试题一、填空题1.若集合{}{}，＜，2|31|x x B x x A =≤≤=则=B A _________. 2.方程23log log 3=+x x 的解是=x ________.4.若圆锥的侧面积为2π,底面积为π,则该圆锥的体积为_________.5.若关于y x 、的方程组⎩⎨⎧=-+=-+02401ay x y ax 有无数多组解,则实数=a ________.6.若()*1N n x x n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中各项系数的和等于64,则展开式中3x 的系数是________. 7.设n m 、分别为连续两次娜骰子得到的点数,且向量()()，，，，11-==b n m a 则a 与b 的夹角为锐角的概率是_______.8.已知函数()，x xx f --=2019若对任意的R x ∈都有()()，＜02ax f a x f ++则实数a 的取值范围是________. 9.已知实数，＞1m 实数y x 、满足不等式，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 若有目标函数my x z +=的最大值等于3，则m 的值是_________.10.在△4BC 中,()，02=⋅-则角A 的最大值为_______(结果用反三角形式表示). 1l.已知数列{}n a 是首项为1,公差为m 2的等差数列,其前n 项和为，n S 设 ()，*2N n n S b n n n ∈⋅=若数列{}n b 是递减数列,则m 的取值范围是__________.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+--++=03012x ax x x x a x x f ，＞，的最小值为，1+a 则实数a 的取值范围是_____. 二、选择题13.若，，R b a ∈则“22b a ＞”是“b a ＞”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.设n m l 、、表示三条直线,γβα、、表示是三个平面,给出下列四个命题：①若，，αα⊥⊥m l 则；∥m l②若n m ，β⊂是l 在β内的射影,，l m ⊥则；n m ⊥③若，∥，n m m β⊂则；∥αn④若，，γβγα⊥⊥则.βα∥其中真命题为A.①②B.①②③C.②③④D.①③④15.已知双曲O y x C ，13:22=-为坐标点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N,若△OMN 为直角三角形,则MN 的值为 A.23 B.3 C.32 D.4 16.已知集合(){}，，1|≤+=y x y x M 若实数对()μλ，满足:对任意的()，，M y x ∈都有 ()，，M y x ∈μλ则称()μλ，是集合M 的“嵌入实数对”，则以下集合中,不存在集合M 的 “嵌入实数对”的是A.(){}2|=-μλμλ，B.(){}232|22=+μλμλ，C.(){}2|22=-μλμλ，D.(){}2|22=+μλμλ， 三、解答题17.如图,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形,PA=AB=1,AD=2,点F 是PE 的中点,点E 在边BC 上移动.(1)求三棱锥PAD E -的体积；(2)证明:无论点E 在边BC 的何处,都有AF⊥PE .18.已知函数()()0sin 3＞ωωx x f =的部分图像如图所示,P 、Q 分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点,且四边形OQPR 为矩形.(1)求点P 的坐标并求()x f 解析式；(2)将()x f y =的图像向右平移21个单位长度后,得到函数()x g y =图像,已知: ()，，，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=252333ααg 求()αf 的值.19.某通讯公式生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1只还需另投入16美元,设通讯公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完,每万只的销售收入为()x R 万美元，且().4040000740040064002⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=＞，＜，x x xx x x R (1)写出年利润w (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产里为多少万只时,该通讯公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.20.如图，由半圆()00222＞，r y r y x ≥=+和部分抛物线()()0012＞，a y x a y ≥-=合成的曲线C 称为“羽毛球开线”,曲线C 与x 轴有A 、B 两个焦点,且经过点().32，(1)求r a 、的值；(2)设()，，20N M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点P 、A 、Q 三点,问是否存在实数，k 使得∠QBA=∠PBA?若存在,求出k 的值；若不存在,请说明理由。

格致中学高三三模数学试卷一.填空题1.已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为____12()f x x -=（0x ≥）2.已知关于x 、y 的方程组23319x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则实数a 的值为___3- 3.在△ABC 中，3AC =，3sin 2sin A B =，且C ∠的大小是23π，则AB =4.函数2()log (43)a f x x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[,)m +∞上存在反函数，则实数m 的取值范围是____ (3,)+∞5.已知复数i1ix y z +=+（,x y ∈R ，i 是虚数单位）的对应点z在第四象限，且||z ≤，那么点(,)P x y 在平面上形成的区域面积等于____π由题得()12x yi x y y x iz i +++-==+，z 在第四象限，则有0202x yy x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，整理得00x y x y +>⎧⎨->⎩，由||z ≤得22()()24x y y x ++-≤，化简得224x y +≤，则点(,)P x y 在不等式组22004x y x y x y +>⎧⎪->⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内，如图阴影部分： 则其面积2124S ππ=⋅⋅=.6.某几何体的一条棱长为a ，在该几何体的主视图、俯视图、左视图中，5，那么a =由题，设a 为长方体的体对角线，三视图中的三个投影是三个面上的对角线，长方体边长分别为x ，y ，z ，如图：由已知可得222x y +=，222(5)y z +=，222x z +=，2222x y z a ++=，解得a =7.已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1nn na b a +=，若对任意的*n ∈N ，都有10n b b ≤成立，则实数a 的取值范围是____(9,8)-- 由题得1n a n a =+-，则1111n n n a b a n a +==++-，对任意的*n ∈N ，都有10n b b ≤成立，而11n a +-关于n 的单调性为1n a >-时单调递减，1n a <-时单调递减，且1n a >-时101n a >+-，1n a <-时101n a >+-。