上海市格致中学2020-2021学年高一下学期3月数学月考卷

2021年高一下学期3月段考数学试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．等差数列{a n }中，若a 1+a 2=5，a 3+a 4=7，则a 5+a 6= ． 2．sin15°•cos15°= ．3．三个数1，a ，2成等比数列，则实数a= ．4．在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值= ． 5．在等差数列{a n }中，前15项的和S 15=90，则a 8= ． 6．已知，，则= ．7．在△ABC 中，已知a 2tanB=b 2tanA ，则此三角形的形状为 三角形． 8．已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ，则a n = ．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A= ．10．设等比数列a n 中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ．11．已知cos α=，cos （α+β）=，α，β均为锐角，则cos β= ． 12．设公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q= ． 13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且=，（n ∈N +）则+= ．14．在锐角△ABC 中，b=2，B=，sin2A +sin （A ﹣C ）﹣sinB=0，则△ABC 的面积为 ．二、解答题：15．已知数列{a n }为等差数列，且a 3=5，a 6=11． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 1+a 2+a 3，求数列{b n }的前n 项和S n ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2+ab=c 2． （1）求角C 的大小；（2）若c=2acosB ，b=2，求△ABC 的面积．17．在等差数列{a n }中，已知a 1=20，前n 项和为S n ，且S 6=S 15， （1）求{a n }的通项公式；（2）求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； （3）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）求2sin 2A +cos （A ﹣C ）的范围．19．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）写出a 1，a 2，a 3； （2）求a n 的表达式；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a ，如果b=，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）20．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1，其中n ≥2，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围； （3）设c n =4n +（﹣1）n ﹣1λ•2an （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n +1＞c n 成立．xx学年江苏省泰州市泰兴中学高一（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．等差数列{a n}中，若a1+a2=5，a3+a4=7，则a5+a6=9．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，∴a1+a2+a5+a6=2（a3+a4），∴5+a5+a6=2×7，解得a5+a6=9，故答案为：9．2．sin15°•cos15°=．【考点】二倍角的正弦．【分析】给原式乘以2后，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，即可求出原式的值．【解答】解：sin15°•cos15°=×2sin15°•cos15°=sin30°=×=．故答案为：3．三个数1，a，2成等比数列，则实数a=±．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接利用等比中项的概念列式得答案．【解答】解：∵三个数1，a，2成等比数列，∴a2=1×2=2，则a=．故答案为：．4．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值=﹣．【考点】余弦定理．【分析】根据题意结合正弦定理得a：b：c=2：3：4．设a=2k，b=3k，c=3k，利用余弦定理求出cosC之值，即得最大角的余弦值【解答】解：∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴根据正弦定理，得a：b：c=2：3：4，可得c为最大边，角C是最大角设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）∴cosC===﹣即最大角的余弦值为﹣故答案为：﹣5．在等差数列{a n}中，前15项的和S15=90，则a8=6．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可求a8【解答】解：由等差数列的前n和可得∴a8=6故答案为：66．已知，，则=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．【解答】∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣7．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形的形状为等腰或直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】根据同角三角函数的基本关系与正弦定理化简题中的等式，可得sinAcosA=sinBcosB，由二倍角的正弦公式算出sin2A=sin2B，再利用诱导公式得出A=B或A+B=，从而可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵a2tanB=b2tanA，∴a2•=b2•．根据正弦定理，可得sin2A•=sin2B•，化简整理，得sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，又∵A、B∈（0，π），∴2A=2B或2A=π﹣2B，解得A=B或A+B=，因此可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角8．已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则a n=．【考点】数列的函数特性．【分析】这是数列中的知S n求a n型题目，解决的办法是对n分n=1与n≥2两类讨论解决．【解答】解：∵S n=3+2n，∴当n=1时，S1=a1=3+2=5，=2n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，不符合n≥2时的表达式．∴a n=．故答案为：a n=．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A= 30° ．【考点】正弦定理．【分析】已知sinC=2sinB 利用正弦定理化简，代入第一个等式用b 表示出a ，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c 与a 代入求出cosA 的值，即可确定出A 的度数． 【解答】解：将sinC=2sinB 利用正弦定理化简得：c=2b ， 代入得a 2﹣b 2=bc=6b 2，即a 2=7b 2， ∴由余弦定理得：cosA===， ∵A 为三角形的内角， ∴A=30°． 故答案为：30°10．设等比数列a n 中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= 20 ． 【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列和对数的性质，结合题设条件导出log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•a 3…a 10）=log 3（a 5a 6）5，由此能够求出其结果．【解答】解：∵等比数列{a n }中，每项均是正数，且a 5a 6=81， ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•a 3…a 10） =log 3（a 5a 6）5 =log 3320 =20．故答案：20．11．已知cos α=，cos （α+β）=，α，β均为锐角，则cos β= ． 【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin （α+β），sin α的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解． 【解答】解：∵α、β为锐角， ∴α+β∈（0，π），∵cos （α+β）=＞0，cos α=， ∴sin （α+β）==，sin α==，∴cos β=cos [（α+β）﹣α]=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=×+×=． 故答案为：．12．设公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q= ﹣2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】通过记等比数列{a n }的通项为a n ，利用S n ﹣S n +1=S n +2﹣S n 即﹣a n •q=a n •q +a n •q 2，计算即得结论．【解答】解：记等比数列{a n }的通项为a n ， 则a n +1=a n •q ，a n +2=a n •q 2，又∵S n +1、S n 、S n +2成等差数列， ∴S n ﹣S n +1=S n +2﹣S n ， 即﹣a n •q=a n •q +a n •q 2，∴q2+2q=0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．13．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N）则+=．+【考点】数列的求和．【分析】由等差数列的性质，知+==，由此能够求出结果．【解答】解：∵S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，），且=，（n∈N+∴+====．故答案为：．14．在锐角△ABC中，b=2，B=，sin2A+sin（A﹣C）﹣sinB=0，则△ABC的面积为．【考点】解三角形．【分析】根据三角形的内角和定理得到三个角之和为π，表示出B，代入已知的等式中，利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式及和差化积公式变形，提取2cosA，等式左边变为积的形式，根据两数之积为0，至少有一个为0，可得cosA=0或sinA=sinC，由cosA=0，根据A为三角形的内角，可得A为直角，但三角形为锐角三角形，矛盾，故舍去；由sinA=sinC，根据A和C都为锐角，可得A=C，又B为，可得三角形为等边三角形，且边长为2，进而求出等边三角形的面积即可．【解答】解：∵A+B+C=π，∴B=π﹣（A+C），∴sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），代入sin2A+sin（A﹣C）﹣sinB=0得：sin2A﹣[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）]=0，变形得：2sinAcosA﹣2cosAsinC=0，即2cosA（sinA﹣sinC）=0，所以cosA=0或sinA=sinC，解得A=（又锐角△ABC，此情况不满足，舍去）或A=C，所以A=C，又B=，b=2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积S=×22=．故答案为：二、解答题：15．已知数列{a n}为等差数列，且a3=5，a6=11．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差d，∵a3=5，a6=11，∴，解得a1=1，d=2，a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a1+a2+a3=9，b1=3，∴q=3，∴{b n}的前n项和为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2+ab=c2．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理即可得出．（2）利用余弦定理可得a=b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2．∴cosC===﹣．∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵c=2acosB，b=2，∴c=2a×，∴a2=b2，即a=b=2，∴△ABC的面积S=absinC=×=．17．在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S6=S15，（1）求{a n}的通项公式；（2）求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值；（3）求数列{|a n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列前n项和公式=，将a1=20，即可求得公差d，根据等差数列通项公式即可求得{a n}的通项公式；（2）根据二次函数图象对称确定，当n=11，a11=0，可知n=10或11时，S10=S11，S n取得最大值，根据等差数列前n项和公式，即可求得S n取得最大值；（3）由题意可知当n≤11时，a n≥0，求得T n，当n≥12时，a n＜0根据数列的性质，可知T n=2S11﹣（21n﹣n2）=n2﹣21n+220，即可求得数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意可知：S6=S15，即=，∴2a6=3a1+5a15，∴2（a1+5d）=3a1+5（a1+14d），解得：d=﹣2，∴a n=20+（﹣2）（n﹣1）=22﹣2n，∴{a n}的通项公式a n=22﹣2n；（2）由题意可知，S6=S15，∴S n=f（n）的对称轴方程为：n==10.5，10.5∉N*，∴n=10或11时，S10=S11，∴a11=0，d＜0，∴S10=S11==110，S n最大值为110．（3）由题意可知：a11=0，∴当n≤11时，a n≥0，T n==21n﹣n2，当n≥12时，a n＜0，T n=2S11﹣（21n﹣n2）=n2﹣21n+220，∴．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．【考点】正弦定理；等差数列；三角函数的定义域．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（A﹣C）的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，即：sin（A+C）=sinB，∴sinB=2sinBcosB，又在△ABC中，sinB≠0，∴，∵0＜B＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴∴==，∵，∴∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是．19．某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材的存量，（1）写出a1，a2，a3；（2）求a n的表达式；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a，如果b=，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）【考点】数列递推式；对数的运算性质．【分析】（1）要求出a n的表达式，主要思路是求出前几项然后观察规律，从而推出得出a n 的表达式，求解即可（2）只需代入，化简后的指数式转化利用对数的运算即可顺利解答．【解答】解：（1）设第一年的森林的木材存量为a1，第n 年后的森林的木材存量为a n ， 则，，，所以．（2）当时，有得即， 所以，．答：经过8年后该地区就开始水土流失．20．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1，其中n ≥2，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围； （3）设c n =4n +（﹣1）n ﹣1λ•2an （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n +1＞c n 成立．【考点】数列与不等式的综合． 【分析】（1）通过变形为（S n +1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=1（n ≥2，n ∈N *）可知数列{a n }是以a 1=2为首项、公差为1的等差数列，进而可得结论； （2）通过a n =n +1，裂项可知b n =（﹣），并项相加即得结论；（3）通过a n =n +1化简可知（﹣1）n ﹣1λ＜2n ﹣1恒成立，分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可． 【解答】（1）证明：依题意，（S n +1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=1（n ≥2，n ∈N *）， 即a n +1﹣a n =1（n ≥2，n ∈N *），且a 2﹣a 1=1， ∴数列{a n }是以a 1=2为首项、公差为1的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n =n +1； （2）解：∵a n =n +1， ∴b n ==（﹣），∴T n =（1﹣+﹣+…+﹣+﹣） =（1+﹣﹣） =﹣，易知T （n ）=﹣随着n 的增大而增大， 且T （n ）=，T （1）=， ∴≤T （n ）＜； （3）解：∵a n =n +1， ∴，∵c n +1＞c n 恒成立， ∴恒成立，∴3•4n ﹣3λ•（﹣1）n ﹣12n +1＞0恒成立， ∴（﹣1）n ﹣1λ＜2n ﹣1恒成立，（ⅰ）当n 为奇数时，即λ＜2n ﹣1恒成立， 当且仅当n=1时，2n ﹣1有最小值为1， ∴λ＜1；（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，当且仅当n=2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，∴λ=﹣1；综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有b n＞b n．+1精品文档xx年10月24日36665 8F39 輹tP22824 5928 夨36750 8F8E 辎27373 6AED 櫭40769 9F41 齁34602 872A 蜪/33178 819A 膚31477 7AF5 竵实用文档。

2020~2021学年下学期高一年级3月份月考数学试卷考生注意:1.本试题共分为Ⅰ、Ⅱ卷，共4页，时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号，座位号填入相应位置内。

2.客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签宇笔书写在答题卷上。

考试结束时，只交答题卷，试卷请妥善保管。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题，本大题共8个小题，每题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若()()1,2,1,0AC BC ==， 则AB 等于（ ）A.()22，B.()20，C.()0,2D.()0,2-2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，.已知()22,21b c a b sinA ==-，则A 等于（ ） A.34π B.3π C.4π D.6π 3.已知向量()()()21212a b sin c cos αα==-=-，，，，，， 若()//a b c +，则tan α的值为（ ） A.2 B.12 C.12- D.2- 4.已知平面向量()(),21,1,a k b k R ==∈，，则2k =是a 与b 同向的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在ABC ∆中，152C cos BC AC ===，，则AB 等于（ ）A. D.6.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，， 已知1sin sin 4sin ,cos 4a A b B c C A -==-，则b c等于（ ）A.6B.5C.4D.37.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，若cos c b A <，则ABC ∆为（ ） A 钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形8.在ABCD 中，o =60,4,3BAD AB AD ∠==，且=3CP PD ，则AP AB ⋅等于（ ）A.5B.6C.7D.10二、多项选择題.本大题共4个小题，毎题5分，共20分.在毎小题出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有逃错的得0分。

2021年高一下学期3月月考数学试卷含解析一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）1．若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A．4cm2B．2cm2C．4πcm2D．1cm22．设θ是第三象限角，且|cos|=﹣cos，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．sin（﹣π）的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．4．在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B，则点B的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）5．把函数f（x）=sin（﹣2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位可以得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的值为（）A．B．C．或D．或6．已知，，且∥，则钝角θ等于（）A．45°B．135°C．150°D．120°7．若向量=（1，2），=（﹣2，3）分别表示向量与，则|+|=（）A． B．25 C．2 D．268．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（﹣1，2），=（5，7）B．=（0，0），=（1，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（，﹣）9．已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．已知点A（1，1），B（4，2）和向量=（2，λ），若∥，则实数λ的值为（）A．﹣B． C． D．﹣二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且，则y=．12．已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k=．13．在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD=2BD．设=，=，则=．（用a，b表示）14．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．15．已知下列命题：①函数y=sin（﹣2x+）的单调增区间是[﹣kπ﹣，﹣kπ+]（k∈Z）．②要得到函数y=cos（x﹣）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度．③已知函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3，当a≤﹣2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．④y=sinωx（ω＞0）在[0，1]上至少出现了100次最小值，则ω≥π．⑤函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）其中正确命题的序号是．（将所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共75分）16．已知向量=（2，0），=（1，4）．（Ⅰ）求|+|的值；（Ⅱ）若向量k+与+2平行，求k的值．17．已知角α是第二象限角，其终边上一点P的坐标是，且sinα=y．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知（1）化简f（α）（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．19．已知函数．（Ⅰ）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；（Ⅱ）指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x 取何值时，函数g（x）取得最大值．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．在一个周期内，当x=时，y取得最大值6，当x=时，y取得最小值0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当x∈[﹣，]时，函数y=mf（x）﹣1的图象与x轴有交点，求实数m的取值范围．21．定义在区间[﹣π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x∈[﹣π，]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[﹣π，π]的表达式；（Ⅱ）求方程f（x）=的解；（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）﹣m|＜2在x∈[﹣，π]上恒成立；若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．xx学年山东省枣庄八中东校区高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）1．若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A．4cm2B．2cm2 C．4πcm2D．1cm2【考点】扇形面积公式．【分析】结合弧长公式，求圆的半径，再利用扇形的面积公式，可得结论．【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：×2×1=1cm2，故选D．2．设θ是第三象限角，且|cos|=﹣cos，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号和象限之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵θ是第三象限角，∴在第二象限或在第四象限，由|cos|=﹣cos，∴cos≤0，即在第二象限，故选：B．3．sin（﹣π）的值等于（）A．﹣B． C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin（﹣π）=sin（4π﹣π）=sin=sin=，故选：D．4．在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B，则点B的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【考点】弧度制．【分析】作出单位圆，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，结合单位圆能求出B点坐标．【解答】解：如图，作出单位圆，由题意，，OB=1，过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，则，∴|OM|=，MB==，∴B（﹣，）．故选：A．5．把函数f（x）=sin（﹣2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位可以得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的值为（）A． B． C．或D．或【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得函数g（x）=﹣sin（2x﹣2φ﹣）．再根据g（x）为偶函数，可得2φ+=kπ+，k∈Z，结合φ的范围，求出它的值．【解答】解：把函数f（x）=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，可以得到函数g（x）=﹣sin[2（x﹣φ）﹣]=﹣sin（2x﹣2φ﹣）的图象．再根据g（x）为偶函数，可得2φ+=kπ+，k∈Z，即φ=+，k∈Z．∴φ=，或φ=，故选：C．6．已知，，且∥，则钝角θ等于（）A．45°B．135°C．150°D．120°【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标表示出两者的关系，再由θ为钝角最终确定范围．【解答】解：，，且∥，∴2×﹣（1﹣cosθ）（1+cosθ）=0，解得sinθ=±，∵θ为钝角，∴θ=135°，故选：B．7．若向量=（1，2），=（﹣2，3）分别表示向量与，则|+|=（）A． B．25 C．2 D．26【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算得出+=（﹣1，5），利用向量的模的公式求解即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，3）分别表示向量与，∴+=（﹣1，5），∴|+|==，故选：A．8．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（﹣1，2），=（5，7）B．=（0，0），=（1，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（，﹣）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作为基底的两向量不共线，而根据共线向量的坐标关系即可判断出A中的两向量不共线，B，C，D中的两向量都共线，从而便可得出正确选项．【解答】解：不共线的向量可以作为基底；设，若共线，则：x1y2﹣x2y1=0；根据共线向量的坐标关系即可判断出A中的两个向量不共线，而B，C，D中的两向量都共线；∴可以作为基底的应是A中的两向量．故选A．9．已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】依题意可知f（x）=sin（ωx+）的周期为π，从而可求得ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，∴ω=2；∴f（x）=sin（2x+）．令g（x）=cos2x=sin（2x+），则g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的图象，只需将y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的图象右平移个单位即可．故选B．10．已知点A（1，1），B（4，2）和向量=（2，λ），若∥，则实数λ的值为（）A．﹣B． C． D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（4，2）﹣（1，1）=（3，1），∵∥，∴3λ﹣2=0．解得．故选：B．二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且，则y=﹣8．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的第二定义，我们可得sinθ=（r表示点P到原点的距离），结合p （4，y）是角θ终边上的一点，且，我们可以构造出一个关于y的方程，解方程即可求出y 值．【解答】解：若P（4，y）是角θ终边上的一点，则点P到原点的距离r=则=，则y=﹣8故答案为：﹣812．已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k=．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线．【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k．【解答】解：向量，∴又A、B、C三点共线故（4﹣k，﹣7）=λ（﹣2k，﹣2）∴k=故答案为13．在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD=2BD．设=，=，则=．（用a，b表示）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据D是BC上的点，且CD=2BD，得到，结合向量减法的三角形法则，得到，化简整理可得，代入已知条件即得本题的答案．【解答】解：∵D是BC上的点，且CD=2BD，∴∵，，∴，整理，得结合题意=，=，可得=故答案为：14．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f（0）=sin=，故答案为：．15．已知下列命题：①函数y=sin（﹣2x+）的单调增区间是[﹣kπ﹣，﹣kπ+]（k∈Z）．②要得到函数y=cos（x﹣）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位长度．③已知函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3，当a≤﹣2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．④y=sinωx（ω＞0）在[0，1]上至少出现了100次最小值，则ω≥π．⑤函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）其中正确命题的序号是②③④⑤．（将所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①运用﹣α的诱导公式，再令2kπ≤2x≤2kπ+，解出即可；②运用+α的诱导公式，y=cos（x﹣）即y=sin（x+），再由图象平移规律，即可判断；③令cosx=t∈[﹣1，1]，y=2t2﹣2at+3，对称轴t=，当a≤﹣2时，﹣1，区间[﹣1，1]为增区间，即可得到最小值；④由条件得到T+99T≤1，再由周期公式，即可得到；⑤1﹣tanx＞0，即tanx＜1，由正切函数的图象即可得到定义域．【解答】解：①函数y=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣），令2kπ≤2x≤2kπ+，则kπ+≤x≤k，即函数的单调增区间为[kπ+，k]，k∈Z，故①错；②要得到函数y=cos（x﹣）即y=sin（x+）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动个单位，故②正确；③已知函数f（x）=2cos2x﹣2acosx+3，令cosx=t∈[﹣1，1]，y=2t2﹣2at+3，对称轴t=，当a≤﹣2时，﹣1，区间[﹣1，1]为增区间，最小值为g（a）=5+2a，故③正确；④y=sinωx（ω＞0）在[0，1]上至少出现了100次最小值，则T+99T≤1，即T≤，ω=≥．故④正确；⑤1﹣tanx＞0，即tanx＜1．则kπ﹣＜x＜kπ，k∈Z，故⑤正确．故答案为：②③④⑤．三、解答题（共75分）16．已知向量=（2，0），=（1，4）．（Ⅰ）求|+|的值；（Ⅱ）若向量k+与+2平行，求k的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出；（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2，0），=（1，4）．∴+=（3，4）．∴|+|==5．（Ⅱ）k+=（2k+1，4），+2=（4，8）∵向量k+与+2平行，∴8×（2k+1）﹣4×4=0，解得k=．17．已知角α是第二象限角，其终边上一点P的坐标是，且sinα=y．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义求得y的值，可得tanα= 的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．【解答】解：（1）由题意可得y＞0，且sinα==y，求得y=，∴tanα==﹣．（2）===﹣．18．已知（1）化简f（α）（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】（1）利用诱导公式化简f（α）的结果为cosα．（2）利用诱导公式求出sinα，再由同角三角函数的基本关系求出cosα，从而得到f（α）的值．【解答】解：（1）==cosα．（2）∵，∴，又∵α为第三象限角，∴，∴．19．已知函数．（Ⅰ）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；（Ⅱ）指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x 取何值时，函数g（x）取得最大值．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；（Ⅱ）用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行；（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+）++m，x∈[﹣，]，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值．【解答】解：（Ⅰ）先列表，再描点连线，可得简图．x ﹣2x+ 0 π2πsin（2x+）0 1 0﹣1 0y ﹣（Ⅱ）y=sinx向左平移得到y=sin（x+），再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为y=sin（2x+），最后再向上平移个单位得到y=sin（2x+）+．（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+）++m，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴g（x）∈[m，+m]，∴m=2，∴gmax（x）=+m=，当2x+=即x=时g（x）最大，最大值为．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．在一个周期内，当x=时，y取得最大值6，当x=时，y取得最小值0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当x∈[﹣，]时，函数y=mf（x）﹣1的图象与x轴有交点，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象；三角函数的最值．【分析】（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．在一个周期内，当x=时，y取得最大值6，当x=时，y取得最小值0．求出A，B，ω，φ的值，进而可得函数f（x）的解析式；（2）由（1）中函数f（x）的解析式，结合正弦型函数的单调性和对称性，可得函数f（x）的单调递增区间与对称中心坐标；（3）分析当x∈[﹣，]时，函数y=mf（x）﹣1的取值范围，进而可得函数图象与x轴有交点时实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵在一个周期内，当x=时，y取得最大值6，当x=时，y取得最小值0，A＞0，故A==3，B==3，=﹣=，故T=π，又∵ω＞0∴ω=2，将x=，y=6，代入得+φ=+2kπ，k∈Z，∴φ=+2kπ，k∈Z，又∵|φ|＜π，∴φ=，∴；（2）由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈，∴函数f（x）递增区间；由2x+=kπ+π，k∈Z得：x=，∴函数f（x）对称中心；（3）当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]，∈[，3]，，若y=mf（x）﹣1，则，∴．21．定义在区间[﹣π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x∈[﹣π，]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[﹣π，π]的表达式；（Ⅱ）求方程f（x）=的解；（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）﹣m|＜2在x∈[﹣，π]上恒成立；若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．【分析】（Ⅰ）当x∈[﹣，]时，由图象可求得f（x），由y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f（x）=f（﹣x），当时，易求f（﹣x）；（Ⅱ）分﹣，两种情况进行讨论可解方程；（Ⅲ）由条件得：m﹣2＜f（x）＜m+2在x上恒成立，可转化为函数的最值解决，而最值可借助图象求得；【解答】解：（Ⅰ）x∈[﹣，]，A=2，，∴T=2π，ω=1，且f（x）=2sin（x+φ）过（﹣，2），∵0＜φ＜π，∴﹣φ=，φ=，f（x）=2sin（x+），当时，﹣，f（﹣x）=2sin（﹣x+）=2sin（π﹣x）=2sinx，而函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f（x）=f（﹣x），即f（x）=2sinx，，∴f（x）=；（Ⅱ）当﹣时，f（x）=2sin（x+）=，sin（x+）=，∴x+=或，即x=﹣或，当时，f（x）=2sinx=，sinx=，∴x=或，∴方程f（x）=的解集是{﹣，，，}，（Ⅲ）存在，假设存在，由条件得：m﹣2＜f（x）＜m+2在x上恒成立，即，由图象可得：，解得0＜m＜2．xx年5月7日40040 9C68 鱨37808 93B0 鎰`3o21734 54E6 哦23605 5C35 尵$626561 67C1 柁<34682 877A 蝺25837 64ED 擭20032 4E40 乀。

2020学年第二学期3月质量检测班级_______________姓名______________学号_________________一、填空题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 2．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________.3．已知37sin 352παπα=-，＜＜，则cos 2α=________. 4．已知12cos()213βα-=，4sin()25αβ-=，,,0,22ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()22αβ+=__________. 5．已知tan tan αβ，是关于x 的实系数方程2(23)20mx m x m +-+-=的两个根，则tan()αβ+的最小值为__________.6．已知α212sin(5)cos()33sin 1sin 22πααπαππα+--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．ABC ∆中，若11tan tan 23A B ==，，最长的边长为1cm,则最短边的长度为_____cm. 8．ABC ∆中，cos cos cos C A B =，则cot cot A B =_________. 9. 如图所示，三个全等的三角形ABF 、BCD 、△CAE拼成一个等边三角形ABC ，且DEF ∆为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=________10．设锐角ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且4c =，2A C =，则ABC ∆的周长的取值范围为______________.二、选择题11．若1sin 24α=，且,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-的值为（ ）AB． C．2± D ．3412．若02πα-<<）A ．2sin 42πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．2sin 42πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．2sin 42πα-⎛⎫+⎪⎝⎭ 13．使sin cos x x ≤成立的x 的一个变化区间是( )A ．344ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．22ππ⎡⎥-⎤⎢⎣⎦， C ．344ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]0π，14．已知函数210()210x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩，若(sin sin sin361)1f αβ++︒-=-，(cos cos cos361)3f αβ++︒+=，则cos()αβ-=（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-三、解答题15．已知角α是第三象限角，1tan 2α=. （1）求sin ,cos αα的值； （2）求2212sin()cos(2)5sin ()sin ()2παπαπαα+------的值. 16．已知cos()5αβ+=，1tan 7β=，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）求22cos sin sin cos ββββ-+的值；（2）求2αβ+的值.17．在锐角三角形ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且2sin c A =⋅．（1）求角C ；（2）已知c =ABC a +b 的值．18．在△ABC 中，角A B C 所对的边分别为a ，b ，c sin (2cos )0C c A -+=，（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC sin sin B C +的值.19．如图，岛A 、C 相距7海里．上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C 3海里的E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？ （Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，5sin ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？。

上海市格致中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （4分）己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P?Q，则满足条件的集合P的个数是（）A． 3 B． 4 C．7 D．8参考答案：D考点：集合的包含关系判断及应用．分析：解出集合Q，再根据P?Q，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P的个数；解答：集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，∴Q={0，1，2}，共有三个元素，∵P?Q，又Q的子集的个数为23=8，∴P的个数为8，故选D；点评：此题主要考查集合的包含关系判断及应用，是一道基础题；2. 直线l过点(－1,2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0参考答案：A3. 在△ABC中，，，O为△ABC的外心，则AO=（）A．B．2 C．3 D．参考答案：B 连接、，因为O为的外心，则，又，故，是等边三角形，.4. 已知、为非零实数，且，则下列命题成立的是A. B. C. D.参考答案：C略5. 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )．A．(－∞，－1) B． (1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)参考答案：C6. 若f（x）=a x（a＞0且a≠1）对于任意实数x、y都有（）A．f（xy）=f（x）?（y）B．f（xy）=f（x）+（y）C．f（x+y）=f（x）f（y）D．f（x+y）=f（x）+f（y）参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【分析】本题利用直接法求解，分别求出f（x+y）及f（x）f（y）或f（xy）、f（x）+（y）对照选项即可选出答案．【解答】解：∵f（x+y）=a x+y∵f（x）=a x，f（y）=a y∴f（x+y）=a x+y∴f（x+y）=f（x）f（y）故选C．【点评】本题主要考查了指数函数的图象等抽象函数及其应用．属于容易题．7. 若四边形满足，，则该四边形一定是A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形参考答案：B8. 某班共有人参加数学、物理、化学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有人，参加化学兴趣小组的有人，参加物理兴趣小组的有人，同时参加数学、物理兴趣小组的有人，参加数学、化学兴趣小组的有人，三个兴趣小组都参加的有人。

上海市2021学年高一数学下学期3月阶段测试题（含解析）一、填空题（每小题4分，共40分）1.已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．2.求值：______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．3.已知，则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.5.在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是 .【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.考点：1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知，则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．7.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．9.在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．10.在中，，则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos（A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．二、选择题（每小题4分，共16分）11.若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A. B. C. D..【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以, , , .选A.12.“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．13.已知中，且，，则是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】A【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC的形状．【详解】∵tan A+tan B tan A tan B，即tan A+tan B（1﹣tan A tan B），∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，∴A+B＝120°，即C＝60°，∵，∴,∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°.由题意知∴△ABC等边三角形．故选：A．【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14.设且则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．三、解答题：15.如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．16.在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．17.（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC.【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题.- 11 -18.如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y ），设∠DAQ＝，∠PAB ＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴- 12 -∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．- 13 -。

格致中学高一月考数学试卷2021.12一. 填空题1. 已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =-，{2,3}B =，则A B =2. 函数lg(2)y x =-的定义域为3. 若幂函数()y f x =的图像过点(2,4)，则表达式()f x =4. 若方程2240x x +-=的两根分别为α、β，则11αβ+=5. 已知幂函数223()(22)n nf x n n x -=+-（n ∈Z ）的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是严格减函数，则n 的值为 6. 函数132xy x-=+的图像的对称中心是 7. 已知函数()log a f x x =（01a <<）在[2,4]上的最大值比最小值大2，则a 的值为 8. 已知3a >-，且函数3y x b =+（[3,]x a ∈-）是奇函数，则a b += 9. 已知正实数a 、b 满足4ab a b =+，则ab 的最小值为10. 已知函数|1|||y x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则该函数的最小值是 11. 已知定义域为R 的函数()y f x =是奇函数，在(0,)+∞上是严格增函数，且(3)0f =，则不等式(1)()0x f x -<的解集是12. 若函数2()1f x tx x =++（常数t ∈R ），对于任意两个不同的1x 、2x ，当1x 、2[2,2]x ∈-时，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤-（k 为常数，k ∈N ）成立，如果满足条件的最小正整数k 为4，则实数t 的取值范围是二. 选择题13. 已知a 、b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”成立的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非必要非充分14. 已知函数log ()a y x b =+的大致图像如图所示，其中a 、b 为常数，则函数x y a b =+的大致图像是（ ）A. B. C. D.15. 若a 、b 为非零实数，则下列不等式中成立的是（ ）A. 2()4a b ab +≤B. 2a b+≥C. ||||2||a b a b a ++-≤D. ||||2||a b a b b +--≥ 16. 已知集合A 、B 都是非空集合，且满足AB =∅，[5,5]A B =-，则函数121|21|,()2,x x Af x x x x B-⎧--∈⎪=⎨-∈⎪⎩的最大值与最小值的情况是（ ） A. 有最大值，但不一定有最小值 B. 有最小值，但不一定有最大值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 不一定有最大值，也不一定有最小值三. 解答题17. 已知函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 已知函数4()1f x x x =++. （1）求()y f x =在(1,)-+∞上的最小值，并求此时x 的值；（2）设()()2g x f x x =--，由定义证明：函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数.19. 为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.（1）以2021年为第一年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第x 年，该企业投入的研发资金数y （万元）与x 的函数关系式以及函数的定义域； （2）该企业从哪年开始，每年投入的资金数将超过 600万元？20. 已知()y f x =在定义域R 上是连续不断的函数，对于区间I ∈R ，若存在c I ∈，使得 对任意的x I ∈，都有()()f x f c ≤，则称()y f x =在区间I 上存在最大值M （()M f c =）. （1）函数2y x mx =+在区间(1,3]存在最大值，求实数m 的取值范围；（2）若函数()y f x =为奇函数，在[0,)+∞上，2()2f x x x =-，易证对任意t ∈R ，函数 ()y f x =在区间(,]t -∞上存在最大值M ，试写出最大值M 关于t 的函数关系式()M g t =； （3）若对任意t ∈R ，函数()y f x =在区间(,]t -∞上存在最大值M ，设最大值M 关于t 的 函数关系式为()M g t =，求证:“()y f x =在定义域R 上是严格增函数”的充要条件是 “()M g t =在定义城R 上是严格增函数”.参考答案一. 填空题1. {1}2. (2,)+∞3. 2x4. 125. 16. (2,3)--7. 8. 3 9. 16 10. 4 11. (3,0)(1,3)- 12. 3113[,)(,]4224--二. 选择题13. C 14. B 15. A 16. A三. 解答题17.（1）[1,0]-；（2）略18.（1）1x =，min ()3f x =；（2）略19.（1）300(110%)x y =+万元，定义域为*{|10,}x x x ≤∈N ；（2）第8年，即2028年20.（1）4m ≥-；（2）232,1()1,112,1t t t M g t t t t t ⎧--≤-⎪⎪==-<≤+⎨⎪->⎪⎩；（3）反证法，略。

新世界中英文2021-2021学年高一数学下学期3月月考试题〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内〔每一小题5分，一共60分〕.α是第二象限角，角α的终边经过点(),4P x ,且cos 5xα=,那么tan α=〔 〕 A. 43-B. 34-C.34D.43【答案】A 【解析】【详解】因为r =35xx =⇒=-，故44tan 33α==--，应填答案A ． 2. 假设α是第一象限角，那么sinα+cosα的值与1的大小关系是〔 〕 A. sinα+cosα＞1 B. sinα+cosα=1C. sinα+cosα＜1D. 不能确定【答案】A 【解析】试题分析：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，那么由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．解：如下图：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，那么由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM 中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1， 应选A ．考点：三角函数线．3.方程 2sin 2sin 0x x a --=在x ∈R 上有解，那么a 的取值范围是〔 〕 A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. [1,3]- D. [1,3)-【答案】C 【解析】 【分析】转化2sin 2sin 0x x a --=，为22sin 2sin (sin 1)1a x x x =-=--，令sin t x =， 计算2(1)1y t =--的值域即得解.【详解】由于2sin 2sin 0x x a --=，即22sin 2sin (sin 1)1a x x x =-=-- 令sin ,[1,1]t x t =∈-2(1)1[1,3]y t ∴=--∈-故[1,3]a ∈- 应选：C【点睛】此题考察了转化方程有解为三角函数与二次函数复合函数的值域问题，考察了学生转化划归，数学运算的才能，属于中档题.α与β都是第一象限角，并且αβ>，那么一定有如下关系〔 〕A. sin sin αβ>B. sin sin αβ<C. sin sin αβ≠D. 不能确定【解析】 【分析】对α与β取特殊值，即可得答案；【详解】对A ，当390,60αβ==时，sin sin αβ<，故A 错误； 对B ，当60,30αβ==时，sin sin αβ>，故B 错误； 对C ，当390,30αβ==时，sin sin αβ=，故C 错误； 应选：D.【点睛】此题考察象限角的概念及任意角三角函数的定义，属于根底题.5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么〔 〕 A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D.b ac <<【答案】D 【解析】【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,应选D .6.α是三角形的一个内角且2sin cos 3αα+=，那么此三角形是〔 〕 A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 【答案】C由题设可知α是三角形的一个内角，那么sin 0α>，将2sin cos 3αα+=两边平方可得412sin cos 9αα+=，即5sin cos 0cos 018ααα=-<⇒<，所以2παπ<<，即该三角形是钝角三角形，应选答案C ．sin tan 0αα<且cos tan 0αα>，那么角2α为〔 〕 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或者第二象限角 D. 第一或者第三象限角【答案】D 【解析】 【分析】先判断角α所在的象限，再判断角2α所在的象限. 【详解】sin tan 0αα<且cos tan 0αα>，∴α为第二象限角，∴22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴,422k k k Z παπππ+<<+∈，∴2α为第一或者第三象限角. 应选：D.【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号、象限角的表示方法，考察运算求解才能，属于根底题.sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是〔 〕A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数【解析】 【分析】根据诱导公式可得sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，直接可得函数为偶函数，利用周期公式可求得函数的周期.【详解】sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴22T ππ==，又cos 2y x =为偶函数， 应选：B.【点睛】此题考察诱导公式和余弦函数的性质，考察运算求解才能，属于根底题.(sin )cos f x x =，那么(cos 60)f =( )A.12C. 12-D. 【答案】B 【解析】解：因为(sin )cos f x x =，那么3(cos 60)(sin 30)cos302f f ===，选B 10.同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是〔 〕 A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C. cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B【分析】运用三角函数的性质对四个选项逐一进展分析即可得到结论【详解】对于A ，26x y sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2412T πππ==≠，故排除A对于B ，sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，T π=，满足图象关于直线3x π=对称，且在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，符合题意对于C ，23y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]20,3x ππ+∈，所以23y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，故排除C 对于D ，sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+，62k x ππ=+，其图象不关于直线3x π=对称，故排除D 应选B【点睛】此题考察了三角函数的图像性质，考察了其周期性、对称性、单调性等知识点，纯熟运用图像性质来解题是关键．AD 的是〔 〕A. MB AD BM +-B. ()()AD MB BC CM +++C. ()AB CD BC ++D. OC OA CD -+【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案；【详解】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确； 对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确； 应选：A.【点睛】此题考察向量加法和减法的运算，求解时注意向量减法起点要一样.ABC 所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，那么ABM 与ABC 的面积比为〔 〕. A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】将条件53AM AB AC =+中的AB 转化为2AD ，然后然后化简得23DM MC =，由此求得两个三角形高的比值，从而求得面积的比值. 【详解】如图，由5AM =AB +3AC 得2AM =2AD +3AC -3AM ，即2(AM -AD )=3(AC -AM )，即2DM =3MC ，故DM =3DC 5，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC =3∶5.所以选C.【点睛】本小题考察平面向量的线性运算，考察三角形面积的比值的求法，属于根底题. 二、填空题：请把答案填在题中横线上〔每一小题5分，一共20分〕α的终边落在射线(0)y x x =-≥上，那么sin cos αα+=________.【答案】0【分析】根据三角函数的定义，分别求得sin ,cos αα的值，即可得到答案. 【详解】角α的终边落在射线(0)y x x =-≥上，∴sin αα==，∴sin cos 0αα+=.故答案为：0.【点睛】此题考察角α的终边求三角函数值，考察对概念的理解，属于根底题.sin ,0,()612,0,x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩那么[(1)]f f =________.【答案】12- 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求(1)f 的值，再求[(1)]f f 的值.【详解】sin ,0,()612,0,x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩∴(1)121f =-=-， ∴1[(1)](1)sin()62f f f π=-=-=-.故答案为：12-.【点睛】此题考察分段函数的求值、特殊角三角函数的求值，考察函数与方程思想，考察运算求解才能，属于根底题.|sin |lg x x =的解的个数为_______.【答案】5【分析】画出函数|sin |y x =与lg y x =的图像，根据图像的交点个数，即可得到答案. 【详解】作出函数|sin |y x =与lg y x =的图像，如下图，当7102x π=>时，∴lg 1x ， ∴两个图像交点个数为5个.故答案为：5.【点睛】此题考察利用数形结合求函数图像交点的个数，考察函数与方程思想、数形结合思想.(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，那么sin 6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是______.【答案】38-. 【解析】 【分析】令sin cos t αα+=，利用角三角函数关系中的平方和为1这个公式，可以求出sin cos αα⋅的值，这样可以求出函数的解析式，最后代入求值即可. .【详解】令222sin cos (sin cos )12sin cos t t t αααααα+=⇒+=⇒+⋅=，21sin cos 2t αα-⇒⋅=，因为(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，所以21()2t f t -=， 所以21()1132sin ()6228f f π-⎛⎫===- ⎪⎝⎭ 【点睛】此题考察了求函数解析式，并求函数值问题，考察了换元法，掌握同角三角函数关系中的平方和为1这个公式是解题的关键.三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〔一共70分〕. ，所在圆的半径为R ，假设扇形的周长为40cm,当它的圆心角为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为【解析】【详解】(1) 设扇形的弧长为cm,由题意知，,然后再利用,得到S 关于R 的函数求解即可.解：设扇形的弧长为cm,由题意知，∴∴ ∴当时，扇形的面积最大；这个最大值为.此时，故当扇形的圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为.18.〔1〕在ABC ∆中，1sin22A =，求cos 2B C +的值. 〔2〕求函数5sin 2,,366y x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间.【答案】〔1〕12〔2〕单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】〔1〕利用三角形的内角和为π，结合诱导公式，即可得答案；〔2〕解不等式3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，再与区间5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦取交集，即可得答案；【详解】〔1〕222B C A A B C ππ+++=⇒=-，1cos cos sin 22222B C A A π+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 〔2〕由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， ∴函数的单调减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 由于5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察诱导公式、正弦函数的单调性，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.19.〔1〕求函数()lg(2cos 1)f x x =-〔2〕假设cos 4θ=，求sin(5)cos cos(8)23sin sin(4)2πθπθπθπθθπ⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭的值. 【答案】〔1〕55773333x x x x ππππ⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.〔2〕4± 【解析】【分析】〔1〕根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，解不等式即可得答案；〔2〕利用诱导公式将原式化简成sin θ，再利用同角三角函数的平方关系，即可得答案.【详解】〔1〕由题意可知21cos 2490x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，解得22,3377k x k k Z x ππππ⎧-<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ ∴573x π-≤<-或者33x ππ-<<或者573x π<≤ 故函数的定义域为55773333x x x x ππππ⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭或或. 〔2〕因为sin(5)cos cos(8)23sin sin(4)2πθπθπθπθθπ⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭(sin )sin cos sin cos (sin )4θθθθθθ-⋅⋅====±⋅-. 【点睛】此题考察函数定义域的求解、诱导公式的综合运用，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意三角函数值的符号.20.0a >，函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5()1f x -≤≤，求常数,a b 的值.【答案】2,5a b ==-【解析】【分析】 求出72666x πππ≤+≤，利用正弦线可得函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭的最大值与最小值，解方程组得常数,a b 的值. 【详解】0,0,2a x π⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，∴72666x πππ≤+≤，根据单位圆中的正弦线可得： 当7266x ππ+=，即2x π=时，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭获得最小值12-， ∴max 1()2()21312f x a a b a b =-⨯-++=⇒+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭获得最小值1， ∴min ()21255f x a a b b =-⨯++=-⇒=-；解得：2,5a b ==-.【点睛】此题考察根据函数的值域求参数的值，考察逻辑推理才能、运算求解才能. x的方程221)0x x t -+=的两个根为,cos ,(0,2),sin αααπ∈求： 〔1〕sin tan cos tan 11tan ααααα+--的值； 〔2〕实数t 的值；〔3〕方程的两个根及此时α的值【答案】〔1；〔2〔3〕6πα=或者3πα=. 【解析】【详解】第一问中利用一元二次方程中根与系数的关系得到,cos ,(0,2),sin αααπ∈的关系式，然后将所求解的化简，代值得到．第二问利用正弦值和余弦值的关系，利用和值平方后得到积值第三问中，利用第一问中两个和，以及第二问中的结论，得到,cos ,(0,2),sin αααπ∈，进而求解得到角．解：〔1〕因为22222sin tan cos tan 11tan sin cos cos (tan 1)1tan sin cos sin cos sin cos cos (tan 1)sin cos 312αααααααααααααααααααα+--=+----===+--+=〔2〕因为31cos ,(0,2),23cos =2sin sin αααπαα++=∈∴两边平方可得 故32t = 〔3〕由〔2〕得：1sin 23cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者3sin 21cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴6πα=或者3πα=。

2021年高一下学期3月月考数学试题含答案班别：高一（）班姓名：学号：第一部分选择题（本部分共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出4个选项，其中只有一个正确的）1．等于（）A．B．C．D．2、下列各式不正确的是（）A．sin（α＋180°）=－sinα B．cos（－α＋β）=－cos（α－β）C． sin（－α－360°）=－sinα D．cos（－α－β）=cos（α＋β）3．已知是第三象限角，且终边上的一点P的坐标为，则等于（ * ）(A) (B) (C) (D)4．已知点在第三象限，则角的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．若，，则等于（）A. B. C. D.6、函数y=sinx（）的值域是（）A. B. C. D.7．下列不等式中，正确的是（）A．tan B．sinC．sin(π－1)<sin1o D．cos8．扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角是（ * ）(A) 3 (B) (C) (D)9．若，则的值为（ * ）(A) (B) (C) (D)10．把函数的图像向左平移个单位，再把图像上所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的倍；然后把图像向下平移2个单位。

最后得到的函数解析式为：（ * ）(A) (B)(C) (D)第二部分非选择题填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．函数的周期为 * 。

12. 如果cosα=，且α是第四象限角，则=_____________13．函数的定义域是 * 。

14. 已知sin，则sin_____________xx学年第二学期汾水中学高一年级数学科3月月考测试答卷（满分150分，90分钟完成）班别：高一（）班姓名：学号：第一部分选择题（本部分共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出4个选项，其中只有一个正确的）第二部分非选择题填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．；12．；13．；14．；解答题（本题共5小题，共80分）15．（本小题满分14分）已知，.16．（本小题满分14分）求值715cos tan()tan225cos240sin(60)tan(30) 34ππ+-+--17. （本小题满分16分）已知角的终边上有一点P（-3a,4a）18．（本小题满分18分）已知是第三象限角，且sin()cos(2)tan(3) ().cos()sin()fπαπααπααππα---+ =----（1）化简；（2）若，求的值；（3）若求的值.19．（本小题满分18分）已知函数()的部分图像如图所示， （1）请根据图像求出的解析式。

2021学年上海市高一（下）第三次月考数学试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若向量a →=(1, 1)，b →=(1, −1)，c →=(−1, 2)，则c →等于（ ） A.−12a →+32b →B.12a →−32b →C.32a →−12b →D.−32a →+12b →2. 函数y =sin x −|sin x|的值域是（ ） A.{0} B.[−2, 2] C.[0, 2] D.[−2, 0]3. D ，C ，B 三点依次在底面同一直线上，DC =a ，点A 在底面上的射影为B ．从C ，D 两点测得点A 的仰角分别为β和α(α<β)，则A 点离底面的高度AB 等于（ ） A.a sin αsin βsin (β−α) B.a sin αcos βsin (β−α) C.a cos αsin βsin (β−α)D.a sin αsin βcos (β−α)4. 在△OAB 中，|OA →|=a ，|OB →|=b ，OD 是AB 边上的高，若AD →=λAB →，则实数λ等于（ ） A.a⋅(b−a)|a−b|2B.a →⋅(a →−b →)|a →−b →|2C.a →⋅(b →−a →)|a →−b →|D.a →⋅(a →−b →)|a →−b →|5. 若AB →=2BC →，AC →=λCB →，则λ=________．6. 在△ABC 中，顶点A(2, 1)，B(−3, 4)，C(−1, −1)，则△ABC 重心G 的坐标为________．7. 若向量a →与b →的夹角θ的正弦值为√22，则θ=________．8. 已知向量a →=(3,4)，b →=(sin α,cos α)，且a → // b →，则tan α=________．9. 已知sin (θ+kπ)=−2cos (θ+kπ)(k ∈Z)，则4sin θ−2cos θ5cos θ+3sin θ=________．10. 在△ABC 中，AB =2，AC =3，D 是边BC 的中点，则AD →⋅BC →=________．11. 在△ABC 中，若4πsin A −3arccos (−12)=0，则A =________．12. 方程sin x2−cos x2=1的解集为________．13. 函数f(x)=arcsin x +arctan x 的值域是________．14. 已知平面向量α→，β→，|α→|＝1，|β→|＝2，α→⊥(α→−2β→)，则|2α→+β→|的值是________．15. 设G 是△ABC 的重心，且(sin A)GA →+(sin B)GB →+(sin C)GC →=0→，则∠B =________．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为边BC 上的高，有以下结论： ①AC →⋅AH →|AH →|=c sin B ；②BC →⋅(AC →−AB →)=b 2+c 2−2bc cos A ； ③AH →⋅AC →=AH →2；④AH →⋅(AB →+BC →)=AH →⋅AB →． 其中所有的正确序号的是________．17. 如果满足∠ABC =60∘，AC =12，BC =k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是________．18. 如图所示：在△AOB 中，∠AOB =π3，OA ＝3，OB ＝2，BH ⊥OA 于H ，M 为线段BH 上的点，且MO →⋅MA →=−54，若BM →=xBO →+yBA →，则x +y 的值等于________．19. 在锐角△ABC 中，sin A ＝sin 2B +sin (π4+B)sin (π4−B)． （1）求角A 的值；（2）若AB →⋅AC →=12，求△ABC 的面积．20. 已知2a →+b →=(3,3)，a →−b →=(3,0)． 求（1）b →的单位向量b 0→；（2）a →在b →方向上的投影．21. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且cos 2C =−14，0<C <π2．（1）求cos C 的值；（2）当a =2，2sin A =sin C 时，求b 及c 的长．22.（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是对角线DB 的延长线上一点，且OB =BE ．记AB →=a →，AD →=b →，试用向量a →，b →表示AE →．（2）若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，求AP →⋅(PB →+PD →)的取值范围．（3）设OA →=a →，OB →=b →，已知a →⋅b →=|a →−b →|=2，当△AOB 的面积最大时，求∠AOB 的大小．23. 已知函数f(x)=2sin 2x +2√3sin x cos x −1(x ∈R)．（1）试说明函数f(x)的图象是由函数y =sin x 的图象经过怎样的变换得到的；（2）若函数g(x)=12|f(x +π12)|+12|f(x +π3)|(x ∈R)，试判断函数g(x)的奇偶性，并用反证法证明函数g(x)的最小正周期是π4；（3）求函数g(x)的单调区间和值域．参考答案与试题解析2021学年上海市高一（下）第三次月考数学试卷一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 1.【答案】 B【考点】平面向量的基本定理 平面向量的坐标运算 【解析】以a →和b →为基底表示c →，设出系数，用坐标形式表示出两个向量相等的形式，根据横标和纵标分别相等，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】∵ a →=(1,1)b →=(1,−1)c →=(−1,2)， ∴ c →=ma →+nb →，∴ (−1, 2)＝m(1, 1)+n(1, −1)＝(m +n, m −n) ∴ m +n ＝−1，m −n ＝2， ∴ m =12，n =−32， ∴ c →=12a →−32b → 2.【答案】 D【考点】正弦函数的定义域和值域 【解析】先对函数化简，y =sin x −|sin x|={0sin x ≥02sin x sin x <0然后结合正弦函数的值域求解即可 【解答】解：∵ y =sin x −|sin x|={0sin x ≥02sin x sin x <0根据正弦函数的值域的求解可得−2≤y ≤0， 函数y =sin x −|sin x|的值域是[−2, 0]； 故选D ． 3.【答案】 A【考点】解三角形的实际应用先分别在直角三角形中表示出DB ，BC ，根据DC =DB −BC 列等式求得AB ． 【解答】解：依题意知，DB =ABtan α，BC =ABtan β， ∴ DC =DB −BC =AB(1tan α−1tan β)=a ， ∴ AB =a sin αsin βsin (β−α)，故选：A ．4.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 【解析】根据向量的线性运算法则，算出AD →=λ(b →−a →)，再由OD ⊥AB 得OD →⋅AD →=0，由此建立关于a →、b →和λ的式子，解之即可得到实数λ的值． 【解答】解：∵ AD →=λAB →，AB →=OB →−OA →=b →−a →， ∴ AD →=λ(b →−a →)，∴ OD →=OA →+AD →=a →+λ(b →−a →)， ∵ OD 是AB 边上的高，可得OD →⊥AD →， ∴ OD →⋅AD →=0，即[a →+λ(b →−a →)]•λ(b →−a →)=0，解得λ=a →⋅(a →−b →)|a →−b →|2故选：B二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 3 分 ，共计42分 ） 5.【答案】 −3【考点】平行向量的性质利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵ AB →=2BC →，AC →=λCB →，∴ AC →=AB →+BC →=2BC →+BC →=−3CB →=λCB →， 解得λ=−3． 故答案为：−3． 6. 【答案】(−23, 43) 【考点】 三角形五心 【解析】根据题意，设重心重心G 的坐标为(x, y)，由三角形重心坐标公式计算可得x =2+(−3)+(−1)3=−23，y =1+4+(−1)3=43，即可得答案．【解答】解：根据题意，设重心G 的坐标为(x, y)， 又由A(2, 1)，B(−3, 4)，C(−1, −1)， 则有x =2+(−3)+(−1)3=−23，y =1+4+(−1)3=43，即G 的坐标为(−23, 43)； 故答案为：(−23, 43)．7. 【答案】π4或3π4【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据向量的夹角的范围和特殊角的三角函数值即可求出 【解答】解：∵ 向量a →与b →的夹角θ的正弦值为√22， ∴ sin θ=√22， ∵ 0≤θ≤π， ∴ θ=π4或3π4， 故答案为：π4或3π4 8.34【考点】平行向量的性质 【解析】根据题意，有a → // b →，根据向量平行的充要条件，构造方程，解方程即可得到答案． 【解答】 解：∵ a → // b →， ∴ 3cos α−4sin α=0 即tan α=34 故答案为：349.【答案】 10【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】利用已知条件sin (θ+kπ)=−2cos (θ+kπ)，k ∈z 求出tan θ=−2，将4sin θ−2cos θ5cos θ+3sin θ分子、分母同除以cos θ，将tan θ的值代入即可． 【解答】解：∵ sin (θ+kπ)=−2cos (θ+kπ)(k ∈Z)， ∴ tan (θ+kπ)=−2，∵ k ∈z ，进而tan θ=−2． …∴ 4sin θ−2cos θ5cos θ+3sin θ=4tan θ−25+3tan θ=4×(−2)−25+3×(−2)=10． 故答案为：10． 10. 【答案】52【考点】平面向量数量积的运算向量加减混合运算及其几何意义 【解析】由△ABC 中，AB =2，AC =3，D 是边BC 的中点，我们易将AD →⋅BC →中两个向量变形为：BC →=AC →−AB →，AD →=12AC →+12AB →，然后再利用向量数量积的计算公式，代入即可得到答案． 【解答】解：根据向量的加减法法则有： BC →=AC →−AB →， AD →=12AC →+12AB →，此时BC →⋅AD →=(AC →−AB →)⋅12(AC →+AB →)=12(AC →2−AB →2) =12(9−4) =52.故答案为：52．11. 【答案】π6或5π6 【考点】反三角函数的运用 【解析】利用反三角函数化简，可得sin A =12，即可得出结论． 【解答】解：∵ 4πsin A −3arccos (−12)=0，∴ 4πsin A −3×2π3=0，∴ sin A =12， ∵ 0<A <π， ∴ A =π6或5π6，故答案为π6或5π6．12. 【答案】 {x|x =kπ+π4或x =kπ+π2, k ∈Z} 【考点】三角函数的化简求值 【解析】先利用两角和公式对sin x2−cos x2化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集． 【解答】解：由sin x2−cos x2=1， 得sin x2−cos x2=√2(√22sin x 2−√22cos x 2)=√2sin (x 2−π4)=1，∴ sin (x 2−π4)=√22． ∴ x =kπ+π4或x =kπ+π2，k ∈Z ．故答案为：{x|x =kπ+π4或x =kπ+π2, k ∈Z}． 13. 【答案】[−3π4, 3π4] 【考点】反三角函数的运用 【解析】确定y =arcsin x +arctan x 在[−1, 1]上单调递增，即可求出函数f(x)=arcsin x +arctan x 的值域． 【解答】解：∵ 函数y =arcsin x 在[−1, 1]上单调递增，y =arctan x 在R 上单调递增， ∴ y =arcsin x +arctan x 在[−1, 1]上单调递增， ∴ 函数f(x)=arcsin x +arctan x 的值域是[−3π4, 3π4]．故答案为[−3π4, 3π4]．14. 【答案】√10【考点】平面向量的坐标运算 【解析】先由α→⊥(α→−2β→)可知α→⋅(α→−2β→)＝0求出α→⋅β→=12，再根据|2α→+β→|2＝4α→2+4α→⋅β→+β→2可得答案． 【解答】由题意可知α→⋅(α→−2β→)＝0，结合|α→|2＝1，|β→|2＝4，解得α→⋅β→=12， 所以|2α→+β→|2＝4α→2+4α→⋅β→+β→2＝8+2＝10， 开方可知|2α→+β→|=√10 15.【答案】 π3【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【解析】根据重心的性质，以及向量的数乘运算，以及GA →与GB →不共线，可得sin A =sin B =sin C 得到a =b =c ，问题得以解决． 【解答】解：∵ G 是△ABC 的重心， ∴ GA →+GB →+GC ¯=0→． ∴ GB →=−(GA →+GC →)．∵ (sin A)GA →+(sin B)GB →+(sin C)GC →=0→， ∴ sin AGA →−sin B(GA →+GC →)+sin CGC →=0→， 化为(sin A −sin B)GA →+(sin C −sin B)GC →=0→． ∴ GA →与GB →不共线，∴ sin A −sin B =sin C −sin B =0， ∴ sin A =sin B =sin C ． ∴ a =b =c ． ∴ A =B =C =π3．故答案为：π316.【答案】 ①②③④ 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】利用平面向量的数量积定义，结合三角形中向量的线性运算法则对每一个命题进行分析、判断，即可得出结果． 【解答】解：如图所示，对于①，AC →⋅AH →|AH →|=|AC →|×|AH →|cos <AC →，AH →>|AH →|=|AC →|cos <AC →，AH →>=|AH →|，又c sin B =|AH →|，∴ ①正确； 对于②，BC →⋅(AC →−AB →)=BC →2=a 2，由余弦定理知a 2=b 2+c 2−2bc cos A ，∴ ②正确；对于③，AH →⋅AC →=AH →⋅(AH →+HC →)=AH →2+AH →⋅HC →=AH →2，∴ ③正确； 对于④，AH →⋅(AB →+BC →)=AH →⋅AC →=AH →2， AH →⋅AB →=AH →⋅(AH →+HB →)=AH →2+AH →⋅HB →=AH →2， ∴ AH →⋅AB →+BC →)=AH →⋅AB →，④正确． 综上，正确的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 17. 【答案】0<k ≤12或k =8√3 【考点】 正弦定理 【解析】要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k 满足的条件． 【解答】解：(1)当AC <BC sin ∠ABC ，即12<k sin 60∘，即k >8√3时，三角形无解； (2)当AC =BC sin ∠ABC ，即12=k sin 60∘，即k =8√3时，三角形有1解； (3)当BC sin ∠ABC <AC <BC ，即k sin 60∘<12<k ，即12<k <8√3，三角形有2个解；(4)当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形有1个解． 综上所述：当0<k ≤12或k =8√3时，三角形恰有一个解． 故答案为：0<k ≤12或k =8√3 18. 【答案】12【考点】平面向量的基本定理 【解析】以HA 所在直线为x 轴，以HB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可求得点O ，A ，B 的坐标，设M(0, m)，所以可求出向量MO →,MA →的坐标，根据MO →⋅MA →=−54即可求出m 的值，所以可求得向量BM →,BO →,BA →的坐标，根据BM →=xBO →+yBA →即可求出x ，y ，从而求出x +y ． 【解答】由已知条件知：OH ＝1，HA ＝2，BH =√3；分别以HA ，HB 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，则：O(−1, 0)，B(0, √3)，A(2, 0)，设M(0, m)； ∴ MO →=(−1,−m),MA →=(2,−m)； ∴ MO →⋅MA →=−2+m 2=−54，解得m =√32，∴ M(0,√32)； BM →=(0,−√32)，BO →=(−1,−√3)，BA →=(2,−√3)；∴ (0,−√32)=x(−1,−√3)+y(2,−√3)；∴ {0=−x +2y−√32=−√3x −√3y，解得x =13，y =16，∴ x +y =12．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ） 19.【答案】在△ABC 中，sin A =sin 2B +sin (π4+B)sin (π4−B) =sin 2B +(√22cos B +√22sin B)(√22cos B −√22sin B) =sin 2B +12(cos 2B −sin 2B)=sin 2B +12(1−2sin 2B)=12；又A 为锐角； ∴ A =π6；AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos π6=12； ∴ |AB →||AC →|=8√3；∴ S △ABC =12|AB →||AC →|sin π6=12×8√3×12=2√3． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出sin (π4+B)sin (π4−B)=12(1−2sin 2B)，从而可由sin A =sin 2B +sin (π4+B)sin (π4−B)得出sin A =12，这样即可得到A =π6； （2）可由AB →⋅AC →=12及A =π6便可得出|AB →||AC →|的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积． 【解答】在△ABC 中，sin A =sin 2B +sin (π4+B)sin (π4−B) =sin 2B +(√22cos B +√22sin B)(√22cos B −√22sin B) =sin 2B +12(cos 2B −sin 2B)=sin 2B +12(1−2sin 2B)=12； 又A 为锐角； ∴ A =π6；AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos π6=12； ∴ |AB →||AC →|=8√3；∴ S △ABC =12|AB →||AC →|sin π6=12×8√3×12=2√3． 20. 【答案】解：（1）∵ 2a →+b →=(3,3)，a →−b →=(3,0)． ∴ 3a →=2a →+b →+a →−b →=(6, 3)， ∴ a →=(2, 1)，∴ b →=a →−(3, 0)=(2, 1)−(3, 0)=(−1, 1)， ∴ |b →|=√2， ∴ b →的单位向量b 0→=b→|b →|=(−√22, √22) （2）∵ a →×b →=2×(−1)+1×1=−1， ∴ a →在b →方向上的投影为a →×b →|b →|=2=−√22【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）根据向量的坐标运算，求出a →，b →，再根据单位向量的定义即可求出， （2）根据向量投影的定义即可求出． 【解答】解：（1）∵ 2a →+b →=(3,3)，a →−b →=(3,0)． ∴ 3a →=2a →+b →+a →−b →=(6, 3)， ∴ a →=(2, 1)，∴ b →=a →−(3, 0)=(2, 1)−(3, 0)=(−1, 1)， ∴ |b →|=√2， ∴ b →的单位向量b 0→=b→|b →|=(−√22, √22) （2）∵ a →×b →=2×(−1)+1×1=−1， ∴ a →在b →方向上的投影为a →×b →|b →|=2=−√2221. 【答案】解：(1)cos 2C =−14，0<C <π2，∴ 2cos 2C −1=−14，解得cos C =√64． （2）由sin C =√1−cos 2C =√104， ∵ 2sin A =sin C ，∴ 2sin A =√104，可得sin A =√108． 由正弦定理可得：asin A =csin C ，可得c =2×√104√108=4．cos A =√1−sin 2A =3√68． ∴ sin B =sin (A +C)=sin A cos C +cos A sin C =√108×√64+3√68×√104=√154． ∴bsin B=c sin C，可得b =4×√154√104=2√6．【考点】 余弦定理 正弦定理【解析】（1）利用倍角公式可得cos C ．（2）由sin C =√1−cos 2C ，2sin A =sin C ，可得sin A ．由正弦定理可得：asin A =csin C ，可得c ．cos A =√1−sin 2A ．sin B =sin (A +C)=sin A cos C +cos A sin C ．可得bsin B =csin C ． 【解答】解：(1)cos 2C =−14，0<C <π2，∴ 2cos 2C −1=−14，解得cos C =√64． （2）由sin C =√1−cos 2C =√104，∵ 2sin A =sin C ，∴ 2sin A =√104，可得sin A =√108． 由正弦定理可得：a sin A=c sin C，可得c =2×√104√108=4．cos A =√1−sin 2A =3√68． ∴ sin B =sin (A +C)=sin A cos C +cos A sin C =√108×√64+3√68×√104=√154． ∴ bsin B =csin C ，可得b =4×√154√104=2√6．22. 【答案】解：（1）由DB →=AB →−AD →=a →−b →，AO →=12(AB →+AD →)=12(a →+b →)， 由O 为BD 的中点，且OB =BE ．则DB =OE ， ∴ AE →=AO →+OE →=12(a →+b →)+a →−b →=32a →−12b →，∴ AE →=32a →−12b →，．方法二：由向量加法的平行四边形法则可知：AO →=12(AB →+AD →)=12(a →+b →)，由OB =BE ．则AB →=12(AO →+AE →)，则AE →=2AB →−AO →=2a →−12(a →+b →)=32a →−12b →，∴ AE →=32a →−12b →．（2）解：以AB ，AC 为x ，y 轴建立直角坐标系则A(0, 0)，B(1, 0)，C(1, 1)，D(0, 1)设P(x, x)(0≤x ≤1)，AP →=(x, x)，PD →=(1−x, −x) ∴ AP →=(−x, 1−x)，AP →⋅(PB →+PD →)=2x(1−2x)=−4(x −14)2+4(0≤x ≤1)∴ 当x =14时，函数有最大值14；当x =1时函数有最小值−2 ∴ AP →⋅(PB →+PD →)的取值范围[−2, 14]， （3）根据条件|a →−b →|2=|a →|2−4+|b →|2=4； ∴ ||2+|b →|2=8；∴ 设||=2√2cos θ，|b →|=2√2sin θ；∴ S △AOB =12|||b →|sin ∠AOB =2sin 2θsin ∠AOB ；∴ sin 2θ=1时，△AOB 的面积最大；∴ 此时，a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos ∠AOB =4sin 2θcos ∠AOB =4cos ∠AOB =2； ∴ cos ∠AOB =12； ∴ ∠AOB =π3，∴ ∠AOB 为π3． 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）方法一：由向量的减法及加法运算，求得AE →=AO →+OE →，代入即可求得AE →； 方法二：利用加法的平行四边形法则，AO →=12(AB →+AD →)，AB →=12(AO →+AE →)，则AE →=2AB →−AO →；（2）建立直角坐标，根据向量的坐标表示，二次函数的性质，即可求得AP →⋅(PB →+PD →)的取值范围；（3）由||2+|b →|2=8，设||=2√2cos θ，|b →|=2√2sin θ；这样便可得出S △AOB =2sin 2θsin ∠AOB ，从而sin 2θ=1时△AOB 的面积最大，这样由a →⋅b →=2即可得到cos ∠AOB =12，从而便可得出∠AOB 的大小．【解答】解：（1）由DB →=AB →−AD →=a →−b →，AO →=12(AB →+AD →)=12(a →+b →)， 由O 为BD 的中点，且OB =BE ．则DB =OE ， ∴ AE →=AO →+OE →=12(a →+b →)+a →−b →=32a →−12b →，∴ AE →=32a →−12b →，．方法二：由向量加法的平行四边形法则可知：AO →=12(AB →+AD →)=12(a →+b →)， 由OB =BE ．则AB →=12(AO →+AE →)，则AE →=2AB →−AO →=2a →−12(a →+b →)=32a →−12b →， ∴ AE →=32a →−12b →．（2）解：以AB ，AC 为x ，y 轴建立直角坐标系则 A(0, 0)，B(1, 0)，C(1, 1)，D(0, 1)设P(x, x)(0≤x ≤1)，AP →=(x, x)，PD →=(1−x, −x) ∴ AP →=(−x, 1−x)，AP →⋅(PB →+PD →)=2x(1−2x)=−4(x −14)2+4(0≤x ≤1)∴ 当x =14时，函数有最大值14；当x =1时函数有最小值−2 ∴ AP →⋅(PB →+PD →)的取值范围[−2, 14]， （3）根据条件|a →−b →|2=|a →|2−4+|b →|2=4； ∴ ||2+|b →|2=8；∴ 设||=2√2cos θ，|b →|=2√2sin θ；∴ S △AOB =12|||b →|sin ∠AOB =2sin 2θsin ∠AOB ； ∴ sin 2θ=1时，△AOB 的面积最大；∴ 此时，a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos ∠AOB =4sin 2θcos ∠AOB =4cos ∠AOB =2； ∴ cos ∠AOB =12； ∴ ∠AOB =π3， ∴ ∠AOB 为π3． 23. 【答案】解：（1）∵ f(x)=2sin 2x +2√3sin x cos x −1=√3sin 2x −cos 2x ， ∴ f(x)=2sin (2x −π6)(x ∈R)．∴ 函数f(x)的图象可由y =sin x 的图象按如下方式变换得到：①将函数y =sin x 的图象向右平移π6个单位，得到函数y =sin (x −π6)的图象； ②将函数y =sin (2x −π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y =sin (2x −π6)的图象；③将函数y =sin (2x −π6)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y =2sin (2x −π6)的图象． （2）由（1）知，f(x)=sin (2x −π6)，∴ g(x)=12|f(x +π12)|+12|f(x +π3)|=|sin 2x|+|cos 2x|．又对任意x∈R，g(−x)=g(x)，∴函数g(x)是偶函数．∵g(x+π4)=|cos2x|+|sin2x|=g(x)，∴g(x)是周期函数，T=π4是它的一个周期．现用反证法证明T=π4是函数g(x)的最小正周期．反证法：假设T=π4不是函数g(x)的最小正周期，设T1(0<T1<π4)是g(x)的最小正周期．则g(x+T1)=g(x)，即|cos(2x+2T1)|+|sin(2x+2T1)|=|sin2x|+|cos2x|．令x=0，得sin2T1+cos2T1=1，两边平方后化简，得sin2T1×cos2T1=0，这与sin2T1≠0且cos2T1≠0，矛盾．因此，假设不成立．所以，函数g(x)的最小正周期是π4．（3）先求函数g(x)在一个周期[0, π4]内的单调区间和函数值的取值范围．当x∈[0, π4]时，g(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，且π4≤2x+π4≤34π．易知，此时函数g(x)的单调增区间是[0, π8]，单调减区间是[π8, π4]；函数的取值范围是1≤g(x)≤√2．因此，依据周期函数的性质，可知函数g(x)=|sin2x|+|cos2x|的单调增区间是[kπ4, kπ4+π8](k∈Z)；单调减区间是[kπ4+π8, kπ4+π4](k∈Z)．函数g(x)的值域是[1, √2]．【考点】反证法与放缩法函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换复合三角函数的单调性【解析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数即可，再利用图象变换规律可得变换方法；（2）由（1）知，f(x)=sin(2x−π6)，从而可得g(x)=12|f(x+π12)|+12|f(x+π3)|=|sin2x|+|cos2x|，利用函数奇偶性的定义进行证明，再用反证法证明T=π4是函数g(x)的最小正周期；（3）先求函数g(x)在一个周期[0, π4]内的单调区间和函数值的取值范围；再依据周期函数的性质，可得结论．【解答】解：（1）∵f(x)=2sin2x+2√3sin x cos x−1=√3sin2x−cos2x，∴f(x)=2sin(2x−π6)(x∈R)．∴函数f(x)的图象可由y=sin x的图象按如下方式变换得到：①将函数y=sin x的图象向右平移π6个单位，得到函数y=sin(x−π6)的图象；②将函数y=sin(2x−π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x−π6)的图象；③将函数y=sin(2x−π6)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2sin(2x−π6)的图象．（2）由（1）知，f(x)=sin(2x−π6)，∴g(x)=12|f(x+π12)|+12|f(x+π3)|=|sin2x|+|cos2x|．又对任意x∈R，g(−x)=g(x)，∴函数g(x)是偶函数．∵g(x+π4)=|cos2x|+|sin2x|=g(x)，∴g(x)是周期函数，T=π4是它的一个周期．现用反证法证明T=π4是函数g(x)的最小正周期．反证法：假设T=π4不是函数g(x)的最小正周期，设T1(0<T1<π4)是g(x)的最小正周期．则g(x+T1)=g(x)，即|cos(2x+2T1)|+|sin(2x+2T1)|=|sin2x|+|cos2x|．令x=0，得sin2T1+cos2T1=1，两边平方后化简，得sin2T1×cos2T1=0，这与sin2T1≠0且cos2T1≠0，矛盾．因此，假设不成立．所以，函数g(x)的最小正周期是π4．（3）先求函数g(x)在一个周期[0, π4]内的单调区间和函数值的取值范围．当x∈[0, π4]时，g(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，且π4≤2x+π4≤34π．易知，此时函数g(x)的单调增区间是[0, π8]，单调减区间是[π8, π4]；函数的取值范围是1≤g(x)≤√2．因此，依据周期函数的性质，可知函数g(x)=|sin2x|+|cos2x|的单调增区间是[kπ4, kπ4+π8](k∈Z)；单调减区间是[kπ4+π8, kπ4+π4](k∈Z)．函数g(x)的值域是[1, √2]．。

一、填空题1．________.sin 900︒=【答案】0【分析】根据诱导公式直接求值即可.【详解】.()sin 900sin 2360180sin180sin 00︒=⨯︒+︒=︒=︒=故答案为：0.2．设角终边上的点的坐标为，则________.α()3,4-tan α=【答案】 43-【分析】根据任意角三角函数的定义即得．【详解】因为角终边上一点的坐标为，α()3,4-所以． 4tan 3α=-故答案为：． 43-3．是第________象限角. 5π3【答案】四【分析】根据象限角的定义可得出结论. 【详解】因为，故是第四象限角. 3π5π2π23<<5π3故答案为：四.4．弧度________角度.2.4≈【答案】137.52【分析】根据弧度与角度的换算关系可得出结果.【详解】弧度.2.4 2.457.3137.52≈⨯= 故答案为：.137.525．若，，则是第________象限角.sin 0α>sin cos 0αα<α【答案】二【分析】根据三角函数在各个象限的符号即可判断.【详解】由，，可得，，sin 0α>sin cos 0αα<sin 0α>cos 0α<由三角函数的符号规律可知：由，可得为第一，二象限角，或轴的非负半轴，sin 0α>αy 由可得为第二，三象限角，或轴的非正半轴，cos 0α<αx取公共部分可得为第二象限角，α故答案为：二.6．使得有意义，则的取值范围为______．tan αα【答案】 ,Z 2k k πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】由正切函数的定义域求得答案即可.【详解】显然 ,Z 2k k πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为： ,Z 2k k πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭7．请用集合表示终边位于轴的角的集合________.x 【答案】{|180,Z}n n αα=⋅︒∈【分析】写出落在x 轴上的角，再根据终边相同的角写出所有的角即可.0~360︒︒【详解】在内,终边在x 轴上的角有两个,即和,与这两个角终边相同的角组成的集合[)0,360︒︒0︒180︒依次为,.{}1360,Z S k k αα==⋅︒∈{}2180360,Z S k k αα==︒+⋅︒∈为简便起见,我们把集合和的表示方法改为,1S 2S {}12180,Z S k k αα==⋅︒∈,(){}221180,Z S k k αα==+⋅︒∈因为,{}{}2,Z 21,Z Z m m k k m m k k =∈⋃=+∈=即集合是终边在x 轴上的角的集合.{|180,Z}S n n αα==⋅︒∈故答案为：{|180,Z}n n αα=⋅︒∈8．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．120 π【答案】 3π4【分析】利用扇形弧长和面积公式直接求解即可.【详解】设扇形的半径为，则弧长，解得：，扇形面积. r 120ππ180r l ==32r =∴13π24S lr ==故答案为：. 3π49．若是第三象限角，且，则______. αtan 3α=sin cos αα-=【答案】 【分析】根据同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为是第三象限角，且，αtan 3α=所以,sin 3cos ,sin 0,cos 0αααα=<<因为22sin cos 1αα++=所以， sin αα==所以 sin cos αα⎛== - ⎝=故答案为：10．计算：________.7cos 2703sin 270tan 765︒+︒+︒=【答案】2-【分析】利用特殊三角函数值求解即可.【详解】()()7cos 2703sin 270tan 7657031tan 236045︒+︒+︒=⨯+⨯-+⨯︒+︒.312=-+=-故答案为：.2-11．“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的________条件.【答案】必要不充分条件【分析】写出第二象限角的范围以及钝角的范围，再按照充分必要条件的定义判断.【详解】第二象限上的角满足，当时，这个角不是钝角，故不满α22,Z 2k k k απ+π<<π+π∈1k =足充分性，钝角满足，这个角必在第二象限，满足必要性，βππ2β<<故“一个角在第二象限上”是“这个角为钝角”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件.12．若，则________. ()cos πx -=[)0,2πx ∈x =【答案】或 π611π6【分析】利用诱导公式可得出的值，结合可得出的值.cos x [)0,2πx ∈x【详解】因为 ()cos πcos x x -=-=cos x =又因为，则或. [)0,2πx ∈π6x =11π6故答案为：或. π611π6二、单选题13．已知角的终边过点，则是第（ ）象限角．α()sin1,cos1P αA ．一B ．二C ．三D ．四【答案】A【解析】分析横纵坐标的符号即可求解.()sin1,cos1P 【详解】因为角的终边过点，α()sin1,cos1P 且，sin10,cos10>>所以是第一象限角.α故选：A14．若是第三象限角，则下列各式中成立的是（ ）αA ．B ． tan sin 0αα->sin cos 0αα+>C ．D ． cos tan 0αα->tan sin 0αα>【答案】A【分析】根据所在象限，确定的三角函数值的正负，然后逐一判断选项的正误即可.αα【详解】因为是第三象限角 α，sin 0,cos 0,tan 0ααα∴<<>，A 正确；tan sin 0αα∴->，B 错误；sin cos 0αα+<，C 错误；cos tan 0α-α<，D 错误.tan sin 0αα<故选：A.15．下列说法正确的是（ ）A ．的定义域是()f x =()1,+∞B ． tan x =,3x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZC ．同时满足， 1sin 2x =cos x =D ．当时，的图像在的上方()0,1x ∈43y x =y x =【答案】B【分析】对A ，定义域满足； ()10lg 10x x ->⎧⎨-≥⎩对B ，由 πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭对C ，由三角函数周期性判断；对D ，由作差法说明的符号即可判断. 43x x -【详解】对A ，定义域满足，A 错； ()1012lg 102x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒≥⎨⎨-≥≥⎩⎩对B ，，B 对； πtan π,3x x k k Z =⇒=-+∈对C ，由三角函数周期性可得该角有无数个，C 错；对D ，令，∵，则，即，即的图()41331f x x x x x æöç÷=-=-ç÷èø()0,1x ∈()1310f x x x æöç÷=-<ç÷èø43x x <43y x =像在的下方，D 错.y x =故选：B.16．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【详解】因为 ,0,sin sin()cos ,2222A B A B A B B πππππ+∴->∴>-=,所以点P 在第二象限. cos sin 0,,0B A sinB cosA ∴--同理三、解答题17．在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 αk αβπ=+Z k ∈π3π,24β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】图形见详解【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. απ23π4【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边απ23π4界线.18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．证明：(1).2442cos sin cos 1θθθ+=+(2)已知， π32ππ2π22k x k +<<+k ∈Z sin 1cos x x-=【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用作差法结合同角三角函数的平方关系可证得结论成立；（2）由已知条件可得，，再利用同角三角函数的平方关系计算可证得结论成1sin 1x -<<cos 0x ≥立.【详解】（1）证明：因为 ()()()244222222cos sin cos 12cos 1sin cos sin cos θθθθθθθθ+-+=-+-+，222222cos 1sin cos sin cos 10θθθθθ=-+-=+-=因此，.2442cos sin cos 1θθθ+=+（2）证明：因为，，则，， π32ππ2π22k x k +<<+k ∈Z 1sin 1x -<<cos 0x <. 1sin sin 1cos cos x x x x --====故结论得证. 20．已知， ()()1sin πcos 5αα-+-=()0,πα∈(1)求的值；sin cos αα-(2)求的值 3πtan 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)； 75(2). 34-【分析】（1）由题可得，然后根据平方关系结合条件可得，进而即1sin cos 5αα+=()2sin cos αα-得；（2）由题可得，，然后利用同角关系式及诱导公式即得.. 4sin 5α=3cos 5α=-【详解】（1）由，可得， ()()1sin πcos 5αα-+-=1sin cos 5αα+=所以， ()21sin cos 25αα+=即，解得， 221sin cos 2sin cos 25αααα++=12sin cos 025αα=-<因为，所以，可得，， 0πα<<2απ<<πsin 0,cos 0αα><sin cos 0αα->所以， ()2221249sin cos sin cos 2sin cos 122525αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭所以； 7sin cos 5αα-=（2）因为，， 1sin cos 5αα+=7sin cos 5αα-=所以，， 4sin 5α=3cos 5α=-所以. 3πsin 3πcos 2tan 3335π2sin cos 2445ααααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-== ⎪-⎛⎫⎝⎭- =-⎪=-⎝⎭21．已知是第三象限角，且． α3sin()cos(2)tan 2()cot()sin()f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1）化简；()f α（2）若，求的值． 31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f α【答案】（1）；（2. cos α-【分析】（1）利用诱导公式先逐部分化简，然后可得化简后的；()f α（2）先根据诱导公式求得的值，然后根据同角的三角比求解出的值，最后由的表sin αcos α()f α示求解出其结果.【详解】（1）； ()sin 2cos 4tan 3sin cos cot 222()cos cot sin cot 2sin 222f πππααααααααππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭===--⋅⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为，所以， 31cos cos 3sin 225ππααα⎛⎫⎛⎫-=⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 5α=-又因为是第三象限角，所以， αcos α==所以. ()cos f αα=-=。

上海市东格致中学2021年高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，在区间为增函数的是（）....参考答案：A略2. 三棱锥三条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，三角形ABC的面积为S，则顶点P到底面的距离是（）A. B. C. D.参考答案：C3. 已知，则f（x+1）的解析式为（）A．x+4（x≥0）B．x2+3（x≥0）C．x2﹣2x+4（x≥1） D．x2+3（x≥1）参考答案：B【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用换元法求函数的解析式即可．设t=，求出f（x）的表达式，然后求f（x+1）即可．【解答】解：设t=，t≥1，则，所以f（t）=（t﹣1）2+3，即f（x）=（x﹣1）2+3，所以f（x+1）=（x+1﹣1）2+3=x2+3，由x+1≥1，得x≥0，所以f（x+1）=（x+1﹣1）2+3=x2+3，（x≥0）．故选B．4. 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中假命题的序号是()A．① B．②③C．①②③ D．③④参考答案：C5. 下列关系正确的是（）A．0∈N B．1?R C．{π}?Q D．﹣3?Z参考答案：A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】根据各字母表示的集合，判断元素与集合的关系．解：N为自然数，0是自然数，故A正确；1是元素，R是集合，元素和集合的关系不是“?”，故B错；π是无理数，而Q是有理数，故C不正确；Z表示整数集合，﹣3是整数，故D不正确；故选A．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．6. 下列四个关系式中，正确的是（）。

A. B. C. D.参考答案：D略7. 已知，且，则（）A. 3B. 5C. 7D. －1参考答案：C【分析】由题意可得出，由此可求出的值.【详解】，，，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.8. 不等式的解集是，则的值是( )A ． 10B ．–10 C ． 14 D ． –14 参考答案：D9. 已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |等于（ ） A ． B ． C ．D ． 4 参考答案：C 10. 设集合，则等于A. {1,2}B.{3,4}C. {1}D. {－2,－1,0,1,2}参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （1）sin330°+5= ；（2）+= ．参考答案：2,1.【考点】三角函数的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及对数的运算性质计算即可；（2）把根式内部的代数式化为平方的形式，然后计算得答案． 【解答】解：（1）sin330°+5=sin （﹣30°）+=﹣sin30°+=2；（2）+==．故答案为：2，1．12. 已知半径为120厘米的圆上，有一条弧所对的圆心角为，若，则这条弧长是__ _厘米.参考答案：80π13. 对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________． 参考答案：.0.04；440 略14. 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且，若用含a 、b 、c ，且不含A 、B 、C 的式子表示P ，则P =_______ .参考答案：【分析】利用诱导公式，二倍角公式，余弦定理化简即可得解.【详解】.故答案为.【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的三角函数公式，余弦定理，属于中档题.15. 已知函数，当时，参考答案： 1，0 16. 函数是定义在R 上的奇函数，并且当时，，那么，= .参考答案：17. 点 在角 的终边上，则 参考答案：-10三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年上海市格致中学高一下学期3月月考数学试题一、填空题 1．若3cos 3α=，则cos(π)α-=__． 【答案】33- 【分析】利用诱导公式化简cos(π)α-，结合条件可得其值.【详解】3cos(π)cos 3αα-=-=-． 故答案为：33-. 2．在ABC 中，若sin 3cos A A =-，则角A =__．【答案】2π3【分析】由正弦余弦三角函数关系得出正切值，再根据三角形中角的性质求出即可.【详解】在ABC 中，因为sin 3cos A A =-，所以tan 3A =-，又0πA <<，所以2π3A =， 故答案为：2π3. 3．若sin cos ()x a x x +∈R 的最小值为2-，则实数a 的值为__．【答案】3±【分析】根据题意结合辅助角公式运算求解.【详解】∵()2sin cos 1sin x a x a x ϕ+=++，由题意得212a -+=-，所以3a =±．故答案为：3±.4．已知角α的终边上一点的坐标为22(sin ,cos )33ππ,则角α的最小正值为_________. 【答案】【详解】试题分析：由正切函数的定义,又由题设可知点在第四象限,所以.故应填.【解析】三角函数的定义及运用．5．设π02x <<12sin cos sin cos x x x x -⋅-，则x 的取值范围是__． 【答案】ππ[,]42 【分析】根据同角同角三角函数的基本关系和正余弦函数图象的性质即可求解.【详解】212sin cos (sin cos )|sin cos |sin cos x x x x x x x x -⋅=-=-=-，所以sin cos x x ≥，又因为π02x <<，所以x 的取值范围是ππ[,]42． 故答案为: ππ[,]42. 6．若()tan x m m =∈R ，则2sin 21cos x x=+__（结果用m 表示）． 【答案】222m m + 【分析】根据题意利用倍角公式化成齐次式运算求解. 【详解】22222sin 22sin cos 2tan 21cos sin 2cos tan 22x x x x m x x x x m ===++++． 故答案为：222m m +. 7．当|lg ||lg |a b =，a b <时，则3a b +的取值范围是________．【答案】(4,)+∞【解析】由已知推出1ab =，133a b b b +=+，构造函数1()3f x x x=+，利用函数的单调性可得出结果. 【详解】因为lg lg a b =，a b <，所以01a <<，1b >，lg lg a b -=，即lg lg lg 0a b ab +==，因此1ab =，所以133a b b b +=+， 令1()3f x x x=+，1x >， 任取121x x <<，则12121211()()33f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121212121113()()3x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为121x x <<，所以120x x -<，12130x x ->， 因此1212121()()()30f x f x x x x x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即12()()f x f x <， 所以函数1()3f x x x=+在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)4f x f >=，即2+a b 的取值范围是()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.8．函数()lgsin f x x =的定义域为__． 【答案】[)()4,π0,1--【分析】解不等式组401sin 0x x x +⎧≥⎪-⎨⎪>⎩，即可得函数的定义域.【详解】由题意可得401sin 0x x x +⎧≥⎪-⎨⎪>⎩，所以()412π2ππx k x k k -≤<⎧⎨<<+∈⎩Z ，则4πx -≤<或01x <<， 故定义域为[)()4,π0,1--． 故答案为：[)()4,π0,1--.9．若a ，1a +，2a +是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是______．【答案】13a <<【分析】根据三边的大小关系可得：2a +所对的角为钝角，利用两边之和大于第三边和两较小边的平方和小于最大边的平方列不等式组，解之即可求解.【详解】因为12a a a <+<+，所以三边中2a +最大，由题意可知：2a +所对的角为钝角，所以()()222120012a a a a a a a ⎧++-+<⎪>⎨⎪++>+⎩，解得：13a <<，所以a 的取值范围13a <<，故答案为：13a <<.10．已知矩形ABCD 内接于半径为1的半圆O 内，点A 和点B 在半圆弧上，点C 和点D 在直径上，则矩形ABCD 周长的最大值为__． 【答案】25【分析】利用半径与边长的关系，转化为三角函数的最值问题即可求解.【详解】如图所示：设AOD θ∠=，则矩形ABCD 周长为：()2sin 4cos 25,θθθϕ+=+此时tan 2ϕ=，ϕ为锐角，当π2ϕθ+=时，周长有最大值25故答案为：2511．若m ∈R ，点(tan ,0),(tan ,0)A B αβ是二次函数2()(23)2f x mx m x m =+-+-图像上的点，则tan()αβ+的最小值为__．【答案】34- 【分析】由跟与系数的关系得出tan ,tan αβ及m 的关系，再由两角和公式代入tan()αβ+展开式种，即可求出关于m 的表达式，再根据m 的取值范围即可求得tan()αβ+的最小值.【详解】232tan tan ,tan tan m m m mαβαβ--+=-⋅=，所以tan tan 3tan()1tan tan 2m αβαβαβ++==--⋅ 由209Δ234204m m m m m ≠⎧⇒≤⎨=---≥⎩（）（）且0m ≠，所以当94m =时，tan()αβ+的最小值为34-． 故答案为：34- 12．已知实数,αβ满足2132sin 2sin 2αβ+=++，则|2022π2|αβ--的最小值为__． 【答案】π4【分析】根据题意结合正弦函数的有界性分析可得sin sin 21αβ==-，即可得1212ππ2π,22π,,22k k k k αβ=-=-∈Z ，代入运算求解.【详解】由sin ,sin 2[1,1]αβ∈-，可得22,22sin 3α⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，11,12sin 23β⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，∵2132sin 2sin 2αβ+=++，则sin sin 21αβ==-， 所以1212ππ2π,22π,,22k k k k αβ=-=-∈Z ，即1212π24ππ,π,,4k k k k αβ=-=-∈Z ， 所以()12π2022π22023π4π4k k αβ⎡⎤--=-++⎣⎦的最小值为π4，当且仅当()121242023,k k k k +=∈Z 时取到最小值． 故答案为：π4.二、单选题13．在ABC 中，若sin cos 0A B ⋅<，则这个三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】B【分析】根据三角形内角的范围，结合三角函数值在各象限的符号分析判断即可.【详解】在ABC 中，则(),0,πA B ∈，故0sin 1A <≤，∵sin cos 0A B ⋅<，则cos 0B <， ∴ππ2B <<，故这个三角形是钝角三角形． 故选：B ．14．满足条件4,45a b A ===︒的ABC 的个数为（ ）A ．一个B ．两个C ．不存在D ．无法判断【答案】B【分析】利用余弦定理运算求解即可判断.【详解】因为2222cos a b c bc A =+-，即216186c c =+-，解得3c =3c =所以满足条件的ABC 有两个．故选：B ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A 【详解】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.16．下列命题中正确的个数为（ ）①若sin 0α>，则α是第一或第二象限角； ②2ππππ|,|,3236k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=+∈⊂=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ； ③若ABC 是锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B +>+；④若,A B 是ABC 的内角，则“a b <”是“cos cos A B >”的充要条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【分析】对①：根据任意角三角函数的定义分析判断；对②：根据集合间的关系分析判断；对③：根据三角形的内角性质结合诱导公式、正弦函数的单调性分析判断；对④：根据三角形的边角关系结合余弦函数的单调性分析判断.【详解】对①：若sin 0α>，则α是第一或第二象限角或α的终边为y 轴正半轴，①错误； 对②：()()(2πππππππ|,|43,|2221,,|,|213266366k k x x k x x k k x x k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧=+∈==+∈==+-∈=-∈==-⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩Z Z Z Z ，∵22k +为偶数，k 为整数， ∴2ππππ|,|,3236k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=+∈⊂=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，②正确； ③若ABC 是锐角三角形，则π2A B +>，即π2A B >-， ∵π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭， 同理可得：sin cos B A >，故sin sin cos cos A B A B +>+，③正确；④若,A B 是ABC 的内角，则a b A B <⇔<，∵(),0,πA B ∈，且cos y x =在()0,π上单调递减，∴cos cos A B A B ⇔， 即cos cos a b A B A B <⇔⇔，故“a b <”是“cos cos A B >”的充要条件，④正确.故选：D.三、解答题17．已知sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，tan 7β=，其中0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、． (1)求sin α的值；(2)求αβ+．【答案】(1)45(2)34π 【分析】（1）根据题意由和差公式得出1sin cos 5αα-=，联立22sin cos 1αα+=，且π(0,)2α∈，即可解出答案；（2）求出tan()αβ+的值，结合0αβ<+<π，即可得出答案.【详解】（1）sin 4απαα⎛⎫-= =⎪⎝⎭， 即1sin cos 5αα-=， 联立22sin cos 1αα+=，且π(0,)2α∈， 解得4sin 5α，3cos 5α=． （2）由小问1得4tan 3α=， 则47tan tan 3tan()141tan tan 173αβαβαβ+++===---⨯， (0,)2παβ∈、，则0αβ<+<π 则34αβπ+=． 18．在ABC 中，已知2b ac =，22a c ac bc -=-.（1）求A 的大小；（2）求sin b B c的值.【答案】（1）3A π=； （2【分析】（1）根据题设条件和余弦定理，求得1cos 2A =，即可求得A 的值； （2）因为2b ac =，由正弦定理得到sin sin b B c A =，即可求解.【详解】（1）在ABC 中，因为2b ac =，22a c ac bc -=-，可得222b c a bc +-= 由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为2b ac =，由正弦定理，可得sin sin b B c A =，可得sin sin sin 3b B A c π===19．已知函数2()f x x x k =-+，若2log ()2f a =，2(log )f a k =，1a ≠．(1)求,a k 的值，并求函数(log )a f x 的最小值及此时x 的值；(2)函数()42g x mx m =+-，若对任意的1[1,3]x ∈，总存在2[1,3]x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =，2k =，x (log )a f x 有最小值74． (2)(,4][4,)-∞-+∞【分析】（1）联立2log ()2f a =，及2(log )f a k =，求出a ，k 的值，将,a k 的值代入函数中利用二次函数求最值方法求解最小值以及取最小值时的自变量的值.（2）由题意转化为成立或恒成立问题，然后对m 进行分论讨论即可【详解】（1）因为2()f x x x k =-+，所以2()f a a a k =-+，所以()2222log 2log 44a a k a a k -+==⇒-+=，①因为2(log )f a k =，所以()2222log log l )og (f k a a a k =-+=，②由②得，()2222log log log 00a a a -=⇒=或21log a =解得1a =或2a =因为0a >，且1a ≠，所以2a =，代入①22242k k -+=⇒=，所以2,2a k ==，所以2()2f x x x =-+ 所以22222217(log )(log )(log )log 2(log )24a f x f x x x x ==-+=-+． 所以当21log 2x =，即2x =时，(log )a f x 有最小值74． （2）2()2f x x x =-+，当1[1,3]x ∈时，1()[2,8]f x ∈，因为对任意的1[1,3]x ∈，总存在2[1,3]x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以1()f x 的值域是2()g x 值域的子集，当0m =时，()4g x =，舍去；当0m >时，因为2[1,3]x ∈，所以2()[4,4]g x m m ∈-++，所以4248m m -+≤⎧⎨+≥⎩，所以4m ≥； 当0m <时，因为2[1,3]x ∈，所以2()[4,4]g x m m ∈+-+，所以4248m m +≤⎧⎨-+≥⎩，所以4m ≤-； 综上，实数m 的取值范围是(,4][4,)-∞-+∞．20．如图，在平面直角坐标系中．锐角α、β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．(1)如果5tan 12α=，B 点的横坐标为725，求cos()αβ-； (2)若π3AOB ∠=，将角β的终边按逆时针方向旋转π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭后与单位圆交于点3,ABCO C S =求角θ的大小及四边形ABCO 的周长；(3)若角αβ+的终边与单位圆交于D 点，设角α、β、αβ+的正弦线分别为MA 、NB 、PD ，试探索线段MA 、NB 、PD 能否构成一个三角形？【答案】(1)204325 (2)π3θ=，4； (3)线段,,MA NB PD 能构成一个三角形．【分析】(1)由同角关系可求sin ,cos αα，由三角函数定义和同角关系求cos ,sin ββ，利用两角差的余弦公式求cos()αβ-；(2)结合三角形面积公式表示四边形ABCO 的面积，由条件列方程求θ，再求其周长.(3)由正弦线的定义表示MA 、NB 、PD ，结合正弦函数和余弦函数的性质判断线段MA 、NB 、PD 中任意两条线段的和与第三条线段的大小关系，由此确定结论.【详解】（1）因为5tan 12α=且α为锐角， 所以22sin 5,sin cos 1cos 12αααα=+=， 所以5sin 13α=，12cos 13α=， 因为B 点的横坐标为725，由三角函数的定义得cos 725β=，24sin 25β=， 所以204cos()cos cos sin sin 325αβαβαβ-=+=；（2）221π11sin 1sin 232ABCO S θ=⋅+⋅=sin θ= 因为π02θ≤≤，所以π3θ=； 因为1OA OB ==，π3AOB ∠=，所以1AB =， 因为1OC OB ==，π3AOC θ∠==，所以1BC =， 所以4AB BC CO OA +++=，所以四边形ABCO 的周长为4，第 11 页 共 11 页（3）因为角α、β为锐角，所以0sin 1,0cos 1,0sin 1,0cos 1ααββ<<<<<<<<， 由已知sin MA α=，sin NB β=，sin()sin cos cos sin PD αβαβαβ=+=+， sin()sin cos cos sin sin 1sin 1sin sin PD αβαβαβαβαβ=+=+<⋅+⋅=+所以MA NB PD +>，sin sin[()]sin()cos cos()sin MA ααββαββαββ==+-=+-+sin()11sin αββ<+⋅+⋅，所以NB PD MA +>，同理MA PD NB +>，所以线段,,MA NB PD 能构成一个三角形．。